2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quế Thanh MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 2 BỘ[.]
2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quế Thanh MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHƠNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quế Thanh MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHƠNG GIAO HỐN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn: Bùi Tường Trí Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy PSG.TS Bùi Tường Trí, người hết lịng hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình học cao học làm luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh q thầy mơn Tốn học tạo điều kiện học tập nhiệt tình giảng dạy tơi thời gian học cao học, qua tơi có kiến thức bổ ích để làm đề tài luận văn Xin cảm ơn tập thể lớp Đại số khóa 21 động viên giúp đỡ thời gian thực luận văn Cuối xin gửi lời tri ân đến gia đình, bạn bè, người thân ln bên cạnh động viên giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Học viên thực Nguyễn Quế Thanh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .2 MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU MỞ ĐẦU .5 Chương : KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 ĐIỀU KIỆN DÂY CHUYỀN 1.2 CĂN NGUYÊN TỐ 14 1.3.CĂN JACOBSON .17 Chương : MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHƠNG GIAO HỐN .22 2.1 MA TRẬN 23 2.2 VÀNH ĐA THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG .32 2.3 ĐẠI SỐ WEYL .38 2.4 CHUỖI LŨY THỪA KHÔNG ĐỐI XỨNG VÀ ĐA THỨC LAURENT 45 2.5 VÀNH NHÓM 47 KẾT LUẬN .54 BẢNG KÝ HIỆU MR M R – môđun phải End(M R ) vành tự đồng cấu M R M n (R) vành ma trận n x n vành R N(R) nguyên tố vành R Spec(R) tập tất iđêan nguyên tố R J(R) Jacobson vành R S MR M song môđun, M S – môđun trái R – môđun phải L(R) tập mơđun R II(A) vành iđêan hóa A với A iđêan phải R A n (K) đại số Weyl thứ n K MỞ ĐẦU Trong học phần Đại số giao hoán chương trình Cao học làm quen với hình ảnh ví dụ lớp vành Noether giao hốn Như lớp vành Noether khơng giao hốn có hình ảnh nào? Trong luận văn tìm hiểu sâu số vành Noether khơng giao hốn bắt nguồn hồn cảnh đặc biệt đồng thời hệ thống hóa trường hợp nêu ví dụ số hình ảnh cụ thể Nội dung luận văn gồm phần sau: Chương 1: Kiến thức Trình bày lại khái niệm, chứng minh lại số định lý, bổ đề dùng luận văn Chương 2: Một số hình ảnh cụ thể vành Noether khơng giao hốn Trong chương xây dựng lớp vành Noether khơng giao hốn dựa vật liệu chính: Ma trận Vành đa thức không đối xứng Đại số Weyl Chuỗi lũy thừa không đối xứng đa thức Laurent Vành nhóm Vẫn cịn số trường hợp để xây dựng lớp vành Noether khơng giao hốn, luận văn khai thác số trường hợp mức độ định Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN Nội dung chương nhắc lại số vấn đề kết làm tảng vững cho phần chương sau Chương gồm bài: Điều kiện dây chuyền, Căn nguyên tố Căn Jacobson 1.1 ĐIỀU KIỆN DÂY CHUYỀN 1.1.1 Định nghĩa: Cho R vành có đơn vị M gọi R - mơđun đơn (hay cịn gọi R - môđun bất khả quy) M R ≠ M có hai mơđun M Môđun tổng trực tiếp môđun đơn gọi môđun nửa đơn Trong đó, mơđun đơn đẳng cấu đơi với mơđun gọi mơđun isotypic Tập thứ tự M gọi thỏa điều kiện dây chuyền giảm (hay gọi điều kiện cực tiểu) điều kiện tương đương sau thỏa mãn: i) Mọi tập khác rỗng M có phần tử tối tiểu ii) Bất kỳ dây chuyền giảm: M1 > M2 > … > Mn > … với M i phần tử M (i ∈ {1,2,…,n,…}), dừng sau hữu hạn bước Tập thứ tự M gọi thỏa điều kiện dây chuyền tăng (hay gọi điều kiện cực đại) điều kiện tương đương sau thỏa mãn: i) Mọi tập khác rỗng M có phần tử tối đại ii) Bất kỳ dây chuyền tăng: M1 < M2 < … < Mn < … với M i phần tử M (i ∈ {1,2,…,n,…}), dừng sau hữu hạn bước Nếu tập môđun môđun M R với quan hệ thứ tự bao hàm thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (giảm) ta nói M R mơđun Noether (Artin) Nếu tập iđêan phải (trái) vành A với quan hệ thứ tự bao hàm thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (giảm) ta nói A vành Noether (Artin) phải (trái) 1.1.2 Chú ý: Nếu N M M Noether hay Artin N M/N Noether hay Artin Do N M nên ta có đồng cấu nhúng i : N → M đồng cấu chiếu p :M → M / N tạo thành dãy khớp ngắn: 0→ N →M →M /N →0 Suy M Noether (Artin) N M/N Noether (Artin) 1.1.3 Định lý Jordan – Holder: a) Môđun M R thỏa hai điều kiện dây chuyền tăng dây chuyền giảm chiều dài dãy môđun M giới hạn cận n b) Nếu (a) thỏa mãn dãy mơđun M làm mịn đến dãy có độ dài n: M = M ⊃ M1 ⊃ … ⊃ Mn = (*) Với i = 0,1,…, n – 1, M i+1 môđun tầm thường M i , mơđun thương M i /Mi+1 đơn Các môđun thương: M /M , M /M , …, M n-1 /M n gọi môđun thương hợp thành M dãy (*) gọi dãy hợp thành M Cho: M = H0 ⊃ H1 ⊃ … ⊃ Hs = M = K ⊃ K1 ⊃ … ⊃ Kt = hai dãy hợp thành M s = t mơđun thương hợp thành tương ứng đẳng cấu với nhau, tức là: Kj K Hi ≅ H j+1 i+1 1.1.4 Mệnh đề: Các điều kiện sau môđun nửa đơn M R tương đương: i) M R thỏa điều kiện dây chuyền tăng ii) M R thỏa điều kiện dây chuyền giảm iii)M R có độ dài hữu hạn 1.1.5 Mệnh đề: Các điều kiện sau môđun M R tương đương: i) M R Noether (Artin) ii) Mỗi môđun M R hữu hạn sinh iii)Mọi tập khác rỗng mơđun M R có phần tử tối đại (tối tiểu) 1.1.6 Định nghĩa: Nếu R R Noether (Artin) R vành Noether (Artin) phải Nếu R R Noether (Artin) R vành Noether (Artin) trái Nếu R vừa vành Noether (Artin) phải vừa vành Noether (Artin) trái R vành Noether (Artin) 1.1.7 Hệ quả: Các điều kiện sau vành R tương đương: i) R vành Noether phải ii) R thỏa điều kiện dây chuyền tăng iđêan phải iii)Mỗi iđêan phải R hữu hạn sinh iv) Mỗi tập khác rỗng iđêan phải R có phần tử tối đại Chứng minh: (i) ⇒ (ii) Do định nghĩa (ii) ⇒ (iii) R thỏa điều kiện (ii) suy R vành Noether phải (do định nghĩa) Do mệnh đề 1.1.5 suy iđêan phải R hữu hạn sinh (iii) ⇒ (iv) Do mệnh đề 1.1.5 (iv) ⇒ (i) Do mệnh đề 1.1.5 1.1.8 Định nghĩa: Khi iđêan phải (trái) R iđêan (hay cyclic) R gọi vành iđêan bên phải (trái) hay cịn gọi pri-ring (pli-ring) Khi R vừa pri-ring vừa pli-ring R gọi vành iđêan 1.1.9 Bổ đề Schur: Nếu M R đơn End(M R ) vành chia (End(M R ): vành tự đồng cấu M R ) Chứng minh: Ta cần chứng minh End(M R ) vành có đơn vị khác phần tử khác End(M R ) khả nghịch End(M R ) Ta có: End(M R ) vành (do định nghĩa) có đơn vị IdM ≠ R ∀ θ ∈ End(M R ) Ta chứng minh nhận xét: M = M θ θ toàn ánh Thật vậy: R R θ :M → M a θ (a) = aθ Khi đó: ∀b ∈ M, MR = MR θ nên ∃b1 ∈ M: b = b1 θ = θ(b1 ) hay θ toàn ánh Đặt W = M R θ Do θ ≠ nên W ≠ ∀ ∈ r θ= R : Wr= M θ r = ( M R r )θ ⊂ M R R W Suy W môđun khác M R Do W = M R (do M R môđun đơn) Vậy M R = M R θ hay θ toàn ánh (1) Kerθ môđun M R mà θ ≠ nên Kerθ ≠ MR ⇒ Kerθ = (do M R môđun đơn) Suy θ đơn ánh (2) Từ (1) (2) suy θ song ánh Do θ tự đồng cấu M R nên θ tự đẳng cấu Suy θ -1 ∈ End(M R ) Vậy phần tử khác End(MR ) khả nghịch End(MR ) Kết luận: End(M R ) vành chia ... làm quen với hình ảnh ví dụ lớp vành Noether giao hoán Như lớp vành Noether khơng giao hốn có hình ảnh nào? Trong luận văn tìm hiểu sâu số vành Noether khơng giao hốn bắt nguồn hồn cảnh đặc biệt... ví dụ số hình ảnh cụ thể Nội dung luận văn gồm phần sau: Chương 1: Kiến thức Trình bày lại khái niệm, chứng minh lại số định lý, bổ đề dùng luận văn Chương 2: Một số hình ảnh cụ thể vành Noether. .. MỘT SỐ HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA CÁC VÀNH NOETHER KHƠNG GIAO HỐN .22 2.1 MA TRẬN 23 2.2 VÀNH ĐA THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG .32 2.3 ĐẠI SỐ WEYL .38 2.4 CHUỖI LŨY THỪA KHÔNG