1 MỤC LỤC trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn 0TMỤC LỤC0T 1 0TBẢNG KÍ HIỆU0T 2 0TPHẦN MỞ ĐẦU0T 3 0TChương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ0T 4 0TChương 2 VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN0T 16 0[.]
1 MỤC LỤC trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn MỤC LỤC T 0T BẢNG KÍ HIỆU T 0T PHẦN MỞ ĐẦU T 0T Chương 1- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ T T Chương 2- VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO T HOÁN 16 0T 2.1 Định lý 16 T 0T 0T 0T 2.2 Định lý R.E Johnson 21 T 0T 0T T 2.3 Định lý 22 T 0T 0T 0T 2.4 Định lý 25 T 0T 0T 0T 2.5 Định lý Albert, Neumann, Fuchs 26 T 0T 0T T 2.6 Định lý 28 T 0T 0T 0T 2.7 Các ví dụ vành khơng giao hốn thứ tự 31 T 0T 0T T KẾT LUẬN 35 T 0T TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 T 0T BẢNG KÍ HIỆU Kí hiệu Đọc charR Đặc số vành R MR M R − module phải R M M R − module trái R MR M song module J ( R) Căn Jacobson vành R P Thứ tự vành R [ x] Vành đa thức biến x có hệ số thực T Tiền thứ tự vành R T Cái bao đóng chia T PHẦN MỞ ĐẦU Vành số nguyên có cấu trúc thứ tự tự nhiên định nghĩa với hai phép toán cộng nhân Cụ thể: ∀a, b, c ∈ , ta có: a < b ⇒ a + c < b + c , < a,0 < b ⇒ < ab Trong , có quan hệ thứ tự: < −2 < −1 < < < < Nếu tiên đề hóa tính chất trên, đến khái niệm vành thứ tự Tuy nhiên vành R đưa vào quan hệ thứ tự để trở thành vành thứ tự Điều phức tạp lớp vành khơng giao hốn Trong trường hợp R trường Artin Schreier rằng: trường R trường thứ tự R “số thực hình thức”, −1 khơng tổng bình phương R Vậy với điều kiện vành R thứ tự vành không giao hốn thứ tự có đặc trưng nào? Luận văn tìm hiểu làm rõ vấn đề Chương 1- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức kết có liên quan chặt chẽ đến chương sau như: lý thuyết vành, lý thuyết module, quan hệ thứ tự, trường thứ tự 1.1 Định nghĩa vành Cho tập hợp R khác rỗng, R ta trang bị hai phép toán thường kí hiệu “+” (đọc phép cộng) “.” (đọc phép nhân) Ta nói R, +, vành điều kiện sau thỏa mãn: i) R, + nhóm giao hốn ii) R, nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối phép cộng: với phần tử tùy ý x, y, z ∈ R ta có: x ( y + z ) = xy + xz ( y + z ) x =yx + zx Nếu phép nhân giao hốn ta gọi R vành giao hốn, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi R vành có đơn vị 1.2 Định nghĩa vành Một phận A khác rỗng vành R với hai phép toán vành R cảm sinh A lập thành vành ta nói A vành vành R 1.3 Định lý Cho A tập khác rỗng vành R Các mệnh đề sau tương đương: 1.4 i) A vành R ; ii) Với x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, − x ∈ A; iii) Với x, y ∈ A, x − y ∈ A xy ∈ A Định nghĩa ideal vành Cho R vành, vành I R gọi ideal trái (ideal phải) vành R thỏa mãn điều kiện: rx ∈ I ( xr ∈ I ) , ∀x ∈ I , ∀r ∈ R Vành I R gọi ideal vành R I vừa ideal trái vừa ideal phải vành R 1.5 Định lý Cho I tập khác rỗng vành R Các mệnh đề sau tương đương: i) I ideal R ; ii) Với x, y ∈ I r ∈ R, x + y ∈ I , − x ∈ I , rx ∈ I xr ∈ I ; iii) Với x, y ∈ I r ∈ R, x − y ∈ I , rx ∈ I xr ∈ I 1.6 Định nghĩa ideal nguyên tố Một ideal I vành R gọi ideal nguyên tố I ≠ R với hai ideal M , N ⊆ R, MN ⊆ I M ⊆ I N ⊆ I 1.7 Định nghĩa ideal tối đại Một ideal I vành R gọi ideal tối đại I ≠ R M ideal thỏa I ⊂ M ⊂ R I = M M = R 1.8 Định lý − Định nghĩa Giả sử I ideal vành R Khi ta xét nhóm thương nhóm cộng Abel R I • Lớp xy + I phụ thuộc vào lớp x + I y + I mà không phụ thuộc vào lựa chọn phần tử đại diện x, y từ lớp Và ta gọi xy + I tích hai lớp x + I y + I • R với hai phép tốn: I Phép cộng: ( x + I , y + I ) x + y + I Phép nhân: ( x + I , y + I ) xy + I vành, gọi vành thương R I Nhận xét: 1) Nếu R vành giao hốn vành thương R I giao hốn 2) Nếu vành R có đơn vị e vành thương R 1.9 e+I I có đơn vị Định nghĩa đồng cấu vành Một ánh xạ f từ vành R vào vành R ' gọi đồng cấu vành f bảo tồn phép tốn, nghĩa ∀x, y ∈ R f ( x + y= ) f ( x) + f ( y) f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) Một đồng cấu từ vành R vào vành R gọi tự đồng cấu R Một đồng cấu đồng thời đơn ánh, toàn ánh, song ánh gọi đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Nếu tồn đẳng cấu từ R vào R ' ta nói R đẳng cấu với R ' Kí hiệu: R ≅ R' 1.10 Các ví dụ đồng cấu vành 1) Ánh xạ đồng id R vành R tự đẳng cấu, gọi tự đẳng cấu đồng R 2) Giả sử A vành vành R Khi ánh xạ bao hàm iA : A → R định iA ( x ) = x đơn cấu, gọi đơn cấu tắc 3) Giả sử I ideal vành R Khi ánh xạ π : R → R định I π ( x )= x + I toàn cấu, gọi tồn cấu tắc 4) Giả sử R, R ' hai vành Khi ánh xạ f : R → R ' định f ( x ) = R ' ( R ' phần tử không vành R ' ) đồng cấu, gọi đồng cấu tầm thường 5) Cho R vành có đơn vị a ∈ R khả nghịch Khi ánh xạ f : R → R , định f ( x ) = axa −1 tự đẳng cấu R 1.11 Mệnh đề Nếu f : R → R' f ( − x ) =− f ( x ) , ∀x ∈ R 1.12 Mệnh đề đồng cấu vành f ( 0R ) = 0R ' Tích hai đồng cấu vành đồng cấu vành Đặc biệt, tích hai đơn cấu (tương tứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành đơn cấu (tương tứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành 1.10 Mệnh đề Ánh xạ ngược đẳng cấu vành đẳng cấu vành 1.13 Định lý Cho đồng cấu vành f : R → R ' A vành R , A ' vành R ' Khi đó: i) f ( A ) vành R ' ii) f −1 ( A ') vành R Hơn nữa, A ' ideal R ' f −1 ( A ') ideal R Đặc biệt: Im f = f ( R ) vành R ' , ker f = f −1 ( R ' ) ideal R Ta gọi Im f ảnh f ker f hạt nhân f 1.14 Định lý Đồng cấu vành f : R → R ' đơn cấu ker f = {0 R } 1.15 Định lý đẳng cấu Cho đồng cấu vành f : R → R ' Khi ánh xạ f : R f ( x + ker f ) = f ( x ) đơn cấu vành Đặc biệt R ker f ker f ≅ Im f → R ' định 1.16 Định lý đẳng cấu Cho R vành I ideal R , A vành R Khi I + A vành R ; I ideal I + A ; I ∩ A ideal A A ∩ A ≅ ( I + A ) qua đẳng cấu vành x + I ∩ A x + I I I 1.17 Định lý đẳng cấu Cho R vành I ideal R Khi đó: i) A vành vành thương R I A có dạng A ' I với A ' vành R A ' chứa I ii) A ideal vành thương R I A có dạng A ' I với A ' ideal R A ' chứa I Hơn nữa, ta có: (R I ) ( A' I ) ≅R A' ( ) qua đẳng cấu ( x + I ) + A ' x + A ' I 1.18 Định nghĩa Cho R vành có đơn vị Nếu phần tử khác không R khả nghịch (đối với phép nhân) R gọi thể (hay vành chia) 1.19 Định nghĩa Một thể giao hoán gọi trường 1.20 Định nghĩa Vành giao hoán R gọi miền nguyên tích phần tử khác không khác không 10 1.21 Định nghĩa Một vành R gọi miền R ≠ 0, ab = ⇒ a = b = 1.22 Định nghĩa Cho R miền, miền R ' ⊇ R gọi vành thương R ∀x ∈ R ', ∃a, b ∈ R \ {0} : ax ∈ R, xb ∈ R 1.23 Định nghĩa đặc số vành Vành R gọi vành có đặc số s ≠ s số nguyên dương bé thỏa s.r= R , ∀r ∈ R (*) Vành R gọi vành có đặc số số nguyên thỏa (*) 1.24 Mệnh đề Nếu vành R có đặc số s ≠ phần tử ước không vành có cấp s Nếu vành R có đặc số s = phần tử khơng phải ước khơng có cấp vơ hạn Chứng minh Xét vành R giả sử r ∈ R ước Nếu R có đặc số s ≠ , ta có sr = r có cấp n ước số s Ta chứng tỏ n = s Với = R R r ước R , suy x ∈ R , ta có ( nx= ) r x ( nr ) x= nx = R Vậy n = s Bây vành R có đặc số s = giả sử r có cấp hữu hạn n Lập luận trên, ta có: nx = R với x ∈ R , điều trái với giả thiết R có đặc số s = Vậy r có cấp vơ hạn ... chất mối quan hệ vành tiền thứ tự vành thứ tự, điều kiện để tiền thứ tự trở thành thứ tự, mối quan hệ miền nguyên thứ tự vành thương, mối quan hệ vành thứ tự Acsimet tính giao hốn vành Trước tiên,... tứng, tồn cấu, đẳng cấu) vành đơn cấu (tương tứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành 1.10 Mệnh đề Ánh xạ ngược đẳng cấu vành đẳng cấu vành 1.13 Định lý Cho đồng cấu vành f : R → R '' A vành R , A '' vành R... nên P 19 thứ tự, T thỏa tính chất (2.4), (2.5) nên T tiền thứ tự Nhưng T không thỏa tính chất (2.3) nên T khơng thứ tự 2) Giao họ (không rỗng) thứ tự tiền thứ tự 2.1.6 Bổ đề Với tiền thứ tự T ⊆