1 LỜI CẢM ƠN Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán Tin và Phòng sau đại học trường Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để tôi thực hiện luận văn trong th[.]
LỜI CẢM ƠN Trước hết xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán Tin Phòng sau đại học trường Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện để tơi thực luận văn thời gian cho phép Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn PGS.TS Bùi Tường Trí Thầy nhiệt tình hỗ trợ hướng dẫn tơi suốt q trình làm luận văn Dù cố gắng thực hoàn thành luận văn tất tâm huyết lực luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp chân thành q thầy bạn TP Hồ Chí Minh, ngày 23 tháng 09 năm 2013 Tác giả Nguyễn Vũ Vân Trang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các định nghĩa, tính chất vành 1.2 Các định nghĩa, tính chất môđun 1.3 Radical vành 10 CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHƠNG GIAO HỐN 15 2.1 Lũy đẳng 15 2.2 Lũy đẳng tâm 18 2.3 Lũy đẳng trực giao, lũy đẳng đầy đủ .19 2.4 Lũy đẳng nguyên thủy .19 2.5 Lũy đẳng địa phương .20 2.6 Lũy đẳng bất khả quy 23 2.7 Lũy đẳng đẳng cấu 25 2.8 Sự nâng lên lũy đẳng vành thương tới lũy đẳng vành R 27 2.9 Lũy đẳng tâm phân tích khối 34 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 BẢNG KÝ HIỆU ℤ Vành số nguyên 𝑍(𝑅) Tâm vành 𝑅 𝐻𝑜𝑚𝑅 (𝑀, 𝑁) Nhóm 𝑅 – đồng cấu từ 𝑀 đến 𝑁 𝐴↠𝐵 𝑀𝑅 B ảnh tồn cấu A 𝑅 – mơđun phải 𝑀 𝐸𝑛𝑑𝑅 (𝑀) Vành 𝑅 – tự đồng cấu 𝑀 𝑈(𝑅) Nhóm phần tử khả nghịch vành 𝑅 ACC Điều kiện dây chuyền tăng 𝑀𝑛 (𝐷) 𝑟𝑎𝑑 𝑅 DCC Vành ma trận vuông cấp n 𝐷 Căn Jacobson 𝑅 Điều kiện dây chuyền giảm LỜI NÓI ĐẦU Trước hết ta thấy vành giao hốn có lũy đẳng 𝑒 vành 𝑅 phân tích thành tích trực tiếp hai vành 𝑅𝑒 𝑅(1 − 𝑒) Theo nhiều nghiên cứu lý thuyết vành giao hoán, thu hẹp nghiên cứu vành 𝑅 phân tích nghĩa 𝑅 ≠ 𝑅 khơng phân tích thành tích trực tiếp hai vành khác không Các vành vành có phần tử lũy đẳng tầm thường Đối với vành khơng giao hốn, nhận xét hợp lí ta thay từ “lũy đẳng” thành “lũy đẳng tâm” Do đó, vành 𝑅 khác khơng khơng phân tích khơng có phần tử lũy đẳng tâm khơng tầm thường Tuy nhiên vành có nhiều phần tử lũy đẳng khơng lũy đẳng tâm không tầm thường Do lý thuyết vành khơng giao hốn định lý lũy đẳng có vai trị bật lý thuyết vành giao hốn Đặc biệt vai trị lũy đẳng tâm phân tích khối vành CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương nêu số định nghĩa tính chất đại số khơng giao hốn Quy ước chương: khơng nói thêm 𝑅 vành khơng giao hốn có đơn vị, mơđun M 𝑅 – mơđun phải 1.1 Các định nghĩa, tính chất vành Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp R khác rỗng , R ta trang bị hai phép tốn thường kí hiệu “+” (đọc phép cộng) “.” (đọc phép nhân) Ta nói R, +, vành điều kiện sau thỏa mãn: (1) R, + nhóm giao hốn (2) R, nửa nhóm (3) Phép nhân phân phối phép cộng, với phần tử tùy ý 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 ta có: 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 (𝑦 + 𝑧)𝑥 = 𝑦𝑥 + 𝑧𝑥 Nếu phép nhân 𝑅 giao hốn ta gọi 𝑅 vành giao hốn, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi 𝑅 vành có đơn vị Định nghĩa 1.1.2 Một phận 𝐴 khác rỗng vành 𝑅 với hai phép toán vành 𝑅 cảm sinh 𝐴 thành vành ta nói 𝐴 vành vành 𝑅 Định nghĩa 1.1.3 Cho 𝑅 vành, vành 𝐴 𝑅 gọi iđêan trái (hoặc iđêan phải) vành 𝑅 thỏa mãn điều kiện: 𝑟𝑎 ∈ 𝐴 (hoặc 𝑎𝑟 ∈ 𝐴), ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∀𝑟 ∈ 𝑅 Vành 𝐴 𝑅 gọi iđêan vành 𝑅 𝐴 vừa iđêan trái vừa iđêan phải vành 𝑅 Định lý 1.1.4 Giả sử 𝐴 iđêan vành (𝑅, +, ) nhóm thương (𝑅�𝐴 , +) ta định nghĩa phép toán nhân sau: (𝑥 + 𝐴)(𝑦 + 𝐴) = 𝑥𝑦 + 𝐴 Khi (𝑅�𝐴 , +, ) vành, gọi vành thương 𝑅 𝐴 Định nghĩa 1.1.5 Một phần tử 𝑎 vành 𝑅 lũy linh tồn 𝑛 cho a n = Định nghĩa 1.1.6 Một iđêan phía (hoặc hai phía) 𝐴 ⊆ 𝑅 gọi nil 𝐴 chứa phần tử lũy linh; 𝐴 gọi lũy linh 𝐴𝑛 = với 𝑛 số tự nhiên Định nghĩa 1.1.7 Cho 𝑅 vành có đơn vị Nếu phần tử khác 𝑅 khả nghịch 𝑅 gọi vành chia (hay thể) Định nghĩa 1.1.8 Vành 𝑅 đơn 𝑅 ≠ 𝑅 có hai iđêan (0) 𝑅 Định nghĩa 1.1.9 Vành 𝑅 gọi Artin phải tập khác rỗng iđêan phải có phần tử tối tiểu Định nghĩa 1.1.10 Vành 𝑅 gọi Noether phải tập khác rỗng iđêan phải có phần tử tối đại Định nghĩa 1.1.11 Vành 𝑅 gọi vành nguyên tố 𝑎𝑅𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑎 = 𝑏 = Định nghĩa 1.1.12 Vành 𝑅 gọi nửa nguyên tố khơng có iđêan lũy linh khác khơng Định nghĩa 1.1.13 Một ánh xạ 𝑓 từ vành 𝑅 vào vành 𝑅′ gọi đồng cấu vành 𝑓 bảo tồn phép tốn, nghĩa là: 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) Một đồng cấu từ vành 𝑅 vào vành 𝑅 gọi tự đồng cấu 𝑅 Một đồng cấu đồng thời đơn ánh, toàn ánh, song ánh gọi đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Nếu tồn đẳng cấu từ 𝑅 vào 𝑅′ ta nói 𝑅 đẳng cấu với 𝑅′, kí hiệu: 𝑅 ≅ 𝑅′ 1.2 Các định nghĩa, tính chất mơđun Định nghĩa 1.2.1 Cho 𝑅 vành tùy ý 𝑀 nhóm cộng aben 𝑀 gọi 𝑅 – môđun phải có ánh xạ 𝑓: 𝑀 𝑥 𝑅 ⟶ 𝑀, cho ∀𝑚, 𝑚1 , 𝑚2 ∈ 𝑀 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 thì: (𝑚, 𝑟) ↦ 𝑓(𝑚, 𝑟) = 𝑚𝑟 (1) m(a + b) = ma + mb (2) (m1 + m2 )a =m1a + m2 a (3) (ma)b = m(ab) Định nghĩa 1.2.2 𝑀 𝑅 – mơđun tập 𝐴(𝑀) = {𝑟 ∈ 𝑅/𝑀𝑟 = 0} gọi tập linh hóa M R Định nghĩa 1.2.3 𝑀 gọi 𝑅 – mơđun trung thành 𝑀𝑟 = (0) 𝑟 = Như 𝑀 𝑅 – môđun trung thành 𝐴(𝑀) = {0} Mệnh đề 1.2.4 𝐴(𝑀) iđêan hai phía 𝑅, 𝑀 𝑅/𝐴(𝑀) – mơđun trung thành Kí hiệu 𝐸(𝑀) tập hợp tất tự đồng cấu nhóm cộng M Khi đó, 𝐸(𝑀) lập thành vành với phép cộng phép nhân ánh xạ thông thường Với a ∈ R , ta định nghĩa Ta : M → M cho mTa= ma, ∀m ∈ M Mệnh đề 1.2.5 𝑅/𝐴(𝑀) đẳng cấu với vành vành 𝐸(𝑀) Đặc biệt 𝑀 𝑅 – mơđun trung thành 𝐴(𝑀) = {0} 𝑅 xem vành vành 𝐸(𝑀) Bây ta xét phần tử E ( M ) mà giao hoán với tất Ta Định nghĩa 1.2.6 Ta đặt 𝐶(𝑀) = {𝜓 ∈ 𝐸(𝑀)/𝜓𝑇𝑎 = 𝑇𝑎 𝜓, ∀𝑎 ∈ 𝑅} Khi 𝐶(𝑀) vành vành 𝐸(𝑀), vành tự đồng cấu mơđun 𝑀 Khi 𝐶(𝑀) vành vành 𝐸(𝑀), vành tự đồng cấu môđun 𝑀 Định nghĩa 1.2.7 Cho 𝑅 – môđun 𝑀 tập ∅ ≠ 𝑁 ⊂ 𝑀, 𝑁 gọi môđun 𝑀 nếu: 1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁: 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑁 2) ∀𝑎 ∈ 𝑅, ∀𝑥 ∈ 𝑁: 𝑥𝑎 ∈ 𝑁 Định nghĩa 1.2.8 𝑀 gọi môđun đơn (hay môđun bất khả quy) 𝑀𝑅 ≠ 𝑀 có hai môđun (0) 𝑀 Định nghĩa 1.2.9 Một vành 𝑅 gọi nửa đơn 𝑅 R - môđun đơn Bổ đề 1.2.10 (Bổ đề Schur) Nếu 𝑀 mơđun đơn 𝐶(𝑀) = 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 ) vành chia Định nghĩa 1.2.11 quy Vành 𝑅 gọi vành ngun thủy 𝑅 có mơđun trung thành bất khả Định nghĩa 1.2.12 đơn Môđun 𝑀 gọi nửa đơn tổng trực tiếp hữu hạn môđun Định nghĩa 1.3.13 𝑀 gọi thỏa điều kiện dây chuyền tăng (ACC) dãy tăng môđun 𝑀1 ⊊ 𝑀2 ⊊ ⋯ dừng sau hữu hạn bước nghĩa tồn 𝑛 cho: 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Khi 𝑀 gọi mơđun Noether Mơđun 𝑀 gọi thỏa điều kiện dây chuyền giảm (DCC) dãy giảm môđun 𝑀0 ⊋ 𝑀1 ⊋ ⋯ dừng sau hữu hạn bước nghĩa tồn 𝑛 cho: 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Khi 𝑀 gọi môđun Artin Mệnh đề 1.2.14 Nếu 𝑁 môđun 𝑅 – môđun 𝑀 tập hợp 𝑀/𝑁 với phép cộng phép nhân vô hướng định bởi: (𝑥 + 𝑁) + (𝑦 + 𝑁) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑁, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 𝑎(𝑥 + 𝑁) = 𝑎𝑥 + 𝑁, ∀𝑥 ∈ 𝑀, ∀𝑎 ∈ 𝑅 𝑅 – môđun Khi 𝑅 – mơđun 𝑀/𝑁 gọi mơđun thương 𝑅–mơđun 𝑀 với mơđun 𝑁 Định nghĩa 1.2.15 Một dãy hợp thành 𝑅 – môđun 𝑀 dãy giảm gồm số hữu hạn môđun 𝑀 = 𝑀0 ⊃ 𝑀1 ⊃ ⋯ ⊃ 𝑀𝑛 = {0} cho 𝑀𝑖−1 ⁄𝑀𝑖 môđun đơn, 𝑖 = 1, … , 𝑛 Khi số 𝑛 gọi độ dài dãy hợp thành Mơđun 𝑀 có dãy hợp thành gọi mơđun có dãy hợp thành Định lý 1.2.16 (Định lý Jordan-Holder) Nếu 𝑅 – môđun 𝑀 có dãy hợp thành với độ dài 𝑛, tất dãy hợp thành 𝑀 có độ dài 𝑛 Hơn nữa, dãy tăng giảm thật mơđun 𝑀 có độ dài không vượt độ dài dãy hợp thành, mở rộng thành dãy hợp thành Định nghĩa 1.2.17 Nếu 𝑅 – môđun (trái phải) 𝑀 có dãy hợp thành tất dãy hợp thành 𝑀 có độ dài Khi độ dài dãy hợp thành 𝑀 gọi độ dài môđun M Nếu 𝑅 – mơđun 𝑀 khơng có dãy hợp thành ta nói 𝑀 có độ dài vơ hạn Định lý 1.2.18 Artin Một 𝑅 – mơđun 𝑀 có độ dài hữu hạn 𝑀 vừa Noether vừa Định nghĩa 1.2.19 Tập S R – môđun M gọi tập độc lập tuyến tính từ đẳng thức a1 x1 +…+ an xn = với x1, …, xn ∈ S đôi khác nhau, ta rút a1 =…= an Nếu trái lại S gọi tập phụ thuộc tuyến tính Nếu M có hệ sinh S độc lập tuyến tính gọi môđun tự tập S gọi sở M Định nghĩa 1.2.20 Một R – môđun P gọi xạ ảnh với đồng cấu f: P→ M″ tồn cấu g: M→ M″ R – mơđun tồn đồng cấu h: P → M cho gh=f 1.3 Radical vành Định nghĩa 1.3.1 Radical Jacobson (Căn Jacobson) 𝑅, ký hiệu 𝑟𝑎𝑑 𝑅, tập tất phần tử 𝑅 linh hóa tất 𝑅 – mơđun bất khả quy 𝑅 Nếu 𝑅 khơng có mơđun bất khả quy 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = 𝑅 Theo định nghĩa 𝑟𝑎𝑑 𝑅 =∩ 𝐴(𝑀), M chạy khắp R - mơđun bất khả quy, ta có 𝐴(𝑀) iđêan hai phía nên 𝑟𝑎𝑑 𝑅 iđêan hai phía Định nghĩa 1.3.2 Một iđêan phải 𝜌 𝑅 gọi quy có 𝑎 ∈ 𝑅 cho 𝑥 − 𝑎𝑥 ∈ 𝜌, ∀𝑥 ∈ 𝑅 Nếu 𝑅 có đơn vị (thật đơn vị trái) tất iđêan phải quy Định nghĩa 1.3.3 Một phần tử 𝑎 ∈ 𝑅 gọi tựa quy phải có 𝑎′ ∈ 𝑅 cho 𝑎 + 𝑎′ + 𝑎𝑎′ = Ta gọi 𝑎′ tựa nghịch đảo phải 𝑎 Ta định nghĩa tương tự cho phần tử tựa quy trái Chú ý 𝑅 có đơn vị 𝑎 tựa quy phải + 𝑎 khả nghịch phải 𝑅 Định nghĩa 1.3.4 (0) Vành 𝑅 gọi nửa nguyên thủy (hay gọi J – nửa đơn) 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = Bổ đề 1.3.5 Với 𝑦 ∈ 𝑅, phát biểu sau tương đương: (1) 𝑦 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 (2) − 𝑥𝑦 khả nghịch trái với 𝑥 ∈ 𝑅 10 ... 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương ta nghiên cứu lý thuyết có hệ thống lũy đẳng vành khơng giao hốn Sau ta xét hai tốn lớn: toán khả nâng lên lũy đẳng vành. .. phần tử lũy đẳng khơng lũy đẳng tâm không tầm thường Do lý thuyết vành khơng giao hốn định lý lũy đẳng có vai trị bật lý thuyết vành giao hốn Đặc biệt vai trị lũy đẳng tâm phân tích khối vành CHƯƠNG... 1.1 Các định nghĩa, tính chất vành 1.2 Các định nghĩa, tính chất mơđun 1.3 Radical vành 10 CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHƠNG GIAO HỐN