BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Đức Long MORITA CONTEXT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số Mã số 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Đức Long MORITA CONTEXT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH KHƠNG GIAO HỐN Chun ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Lời cảm ơn đầu tiên, xin chân thành cảm ơn đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người thầy hướng dẫn tận tình giúp tơi hồn thiện q trình thực thi hồn thành luận văn Tôi chân thành gởi lời cảm ơn đến q thầy khoa Tốn Tin thuộc trường Đại Học Sư Phạm giảng dạy, truyền đạt kiến thức giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thành chương trình đào tạo trường Tôi xin gởi lời cảm ơn đến bạn khóa Và cuối cùng, tơi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình Do trình độ hạn chế nên luận văn chắn khơng thể tránh khỏi sai sót, kính mong thơng cảm góp ý q thầy TP.HCM, Tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Đức Long MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN .2 MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU TOÁN HỌC MỞ ĐẦU .5 CHƯƠNG I: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH KHƠNG GIAO HỐN CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM MORITA CONTEXT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH KHƠNG GIAO HỐN 17 2.1 ĐỊNH LÝ GOLDIE: .17 2.2 MORITA CONTEXT: .29 KẾT LUẬN .45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 BẢNG KÍ HIỆU TỐN HỌC End(M ) Vành tự đồng cấu nhóm cộng M EndM R Vành tự đồng cấu R-module phải M Hom ( M , N) Nhóm đồng cấu module phải từ M đến N ( ) J R Z (R ) RS ( ) ( ) l R ,l S Radical vành R Tâm vành R Vành thương phải vành R với tập nhân S Linh hóa tử trái, phải tập S Or ( I ) , Ol ( I ) Thứ tự phải thứ tự trái R-ideal phân thức phải udimM chiều module M MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong lĩnh vực lý thuyết vành không giao hoán, ta biết việc xây dựng vành thương vành khơng giao hốn việc xây dựng trường thương miền nguyên việc xây dựng nên vành thương theo nghĩa Ore Goldie Việc xây dựng vành thương theo nghĩa Ore Goldie thiết phải có điều kiện mà ta gọi điều kiện Ore Goldie Ta muốn biết vành có chung tính chất Goldie Trong luận văn này, chúng tơi muốn đưa vào định nghĩa vành Morita Context tương đương Morita vành.Mục đích luận văn muốn giải số vành tương đương Morita có tính chất chung vành Đặc biệt tính chất Goldie vành giữ nguyên tương đương Morita Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương Chương 1: Những vấn đề lý thuyết vành khơng giao hốn Trong chương luận văn trình bày số kiến thức lý thuyết vành khơng giao hốn có liên quan đặc biệt chương sau Luận văn phát biểu định lý,bổ đề, hệ không sâu vào chứng minh Chương 2: Chúng đưa định nghĩa vành Morita Context, dẫn mối quan hệ Morita Context lớp vành Noether.Tiếp theo đưa vào khái niệm Morita tương đương từ đưa tính chất bất biến Morita, đặc biệt tính chất Goldie nửa nguyên tố tính chất bất biến Morita CHƯƠNG I NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH KHƠNG GIAO HỐN 1.1 Định nghĩa nhóm: Cho tập hợp R khác rỗng R gọi nhóm R nửa nhóm đồng thời thỏa mãn điều kiện: i) ∃e ∈ R : ∀x ∈ R ii) e.x=x;x.e=x ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : x.y= y.x = e e gọi phần tử đơn vị 1.2 Định nghĩa vành: Cho tập hợp R ≠ ∅ , R ta trang bị hai phép toán ký hiệu “+” “.” Ta nói R, +, vành điều kiện sau thỏa mãn: i) R, + nhóm giao hốn ii) R, nửa nhóm iii) phần tử tùy ý Phép nhân phân phối phép cộng, tức với x, y, z ∈ R ta có: x ( y + z ) = xy + xz ( y + z ) x = yx + zx Nếu phép nhân giao hốn ta gọi R vành giao hốn, phép nhân có phần tử đơn vị ta gọi R vành có đơn vị 1.3 Định nghĩa vành con: Một phận A ≠ ∅ vành R với hai phép toán vành cảm sinh A thành vành ta nói A vành vành R 1.4 Định nghĩa ideal vành : Cho R vành, vành A R gọi ideal trái(phải) vành R thỏa điều kiện ra∈ A (ar ∈ A) ,∀a ∈ A,∀r ∈ R Vành A R gọi ideal vành R A vừa ideal trái vừa ideal phải vành R 1.4.1 Định nghĩa: Ideal A R gọi ideal tối tiểu A ≠ {0}, thỏa: ∀B ideal R, B ⊂ A, A ≠ B B = 1.4.2 Định nghĩa: Ideal A R gọi ideal tối đại A ≠ R , thỏa: ∀B ideal R, A ⊂ B, A ≠ B B = R 1.5 Định nghĩa: Cho R vành có đơn vị Nếu phần tử khác R khả nghịch ( phép nhân ) R gọi thể (hay vành chia) 1.6 Định nghĩa: Một thể giao hoán gọi trường 1.7 Định nghĩa: Cho R vành tùy ý M nhóm cộng aben.M gọi R-module phải tồn ánh xạ f : M × R → M (m, r ) mr , thỏa: i) m (a + b ) = ma + mb ii) (m + n ) a = ma + na iii) (ma)b = m (ab) ∀m, n ∈ M ;a,b∈ R Nếu R có chứa phần tử đơn vị module Unitary = ∀ ∈ ta gọi M Rm1 m, m M M gọi R-module trung thành r ∈ R : M r = r = Điều có nghĩa r≠0 M r ≠ 1.7.1 Định nghĩa: • Giả sử: M R-module, đặt End(M ) tập tự đồng cấu nhóm cộng M End(M ) vành với hai phép toán + định nghĩa sau: ( g1 + g ) m = g (m ) + g (m ) 2 ( g1 g ) m = g1 ( g2 (m )), ∀m ∈ M , g1 , g2 ∈ End(M ) • Khi M R-module ∀r ∈ R ,ánh xạ: TR : M → M m mr,∀m ∈ M tự đồng cấu nhóm M TR ∈ End(M ),∀r ∈ R Ánh xạ f (r ) = TR xác định đồng cấu vành từ R vào End(M ) Định nghĩa tương tự cho lớp ánh xạ bên trái LR (m ) = rm 1.7.2 Định nghĩa : Cho M R-module, A(M) tập hợp phần tử R linh hóa toàn M A(M ) = { ∈ = } r R M r Bổ đề 1.7.1 A(M ) = { ∈ = }là ideal hai phía R M R ( ) r R M r A M module trung thành M R- module trung thành ⇔ ( 1.7.3 Định nghĩa module bất khả quy: A M ) = M gọi R-module bất khả quy MR ≠ M khơng có module thực nào, tức M có module tầm thường M 1.7.4 Định nghĩa: Cho M R-module, ta gọi tâm M R tập hợp: C ( M ) = {ρ ∈E (M ): ρ0T r = Với Tr : M → M Tr ρ } m mTr = mr Định lý 1.7.2 (bổ đề Schur): Nếu M R-module bất khả quy C(M) thể ( hay vành chia) Chứng minh: Hiển nhiên C(M) vành E(M) Do C(M) vành Ta cần chứng minh ∀ϕ ∈ C (M ) ϕ ≠ phần tử khả nghịch C(M) thật vậy, ϕ ≠ nên Mϕ ≠ Mϕ module M Theo giả thiết M R-module bất khả quy nên ta có: Mϕ = M suy ϕ toàn cấu Hơn nữaϕ đơn cấu, Kerϕ = thật vậy, giả sử Kerϕ ≠ M R-module bất khả quy nên Kerϕ = M ϕ = (mâu thuẫn) Tóm lại, ta có ϕ đẳng cấu Suy tồn đẳng cấu ngược ϕ −1 ∈ E ( M ) Khi ta có: 10 C M T ,r R ϕ∈ ) = rϕ ∈ ⇒ ϕ ϕT = ϕ Trϕ, r ∈ R −1( T ⇔ −1 ϕ r ⇒ Tr = ϕ −1Trϕ, r ∈ R ⇒ Trϕ −1 = ϕ −1Tr, r ∈ R ⇒ ϕ −1 ∈ C ( M ) Bổ đề 1.7.3 Nếu M R-module bất khả quy M R ρ với ρ ideal phải,tối đại R Hơn ∃a ∈ R : x − ax ∈ ρ,∀x ∈ R , ρ gọi ideal phải quy Ngược lại, ρ ideal phải, tối đại quy Rmodule thương R ρ R-module bất khả quy Chứng minh: Giả sử : M R-module bất khả quy, MR ≠ Đặt: } S = {m ∈ M mR = Dễ dàng kiểm tra S module M Nếu S ≠ (0 ) S = M ( M module bất khả quy), Suy MR = (0 ) ( mâu thuẫn) Do đó: S=(0) ,nghĩa ∀m ∈ M m ≠ mR ≠ Mặt khác: mR module M M module bất khả quy Do đó, m ∈ M m ≠ mR = M Lấy m ∈ M m ≠ ,xét ánh xạ: φ : R → M ;r mr Dễ dàng kiểm tra, φ đồng cấu Hơn nữa, mR = M nên φ tồn cấu Theo định lý Noether, ta có đẳng cấu R kerφ ≅ M ... Mọi vành nguyên thủy vành nguyên tố 17 CHƯƠNG KHÁI NIỆM MORITA CONTEXT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH KHƠNG GIAO HỐN Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm vành Morita Context tương đương Morita vành. .. thể vành Artin • Tổng trực tiếp số hữu hạn vành Artin vành Artin • Mọi vành có hữu hạn ideal phải(trái) vành Artin • Vành ma trận vng cấp n trường hay thể vành Artin • Ảnh đồng cấu vành Artin vành. .. Ta muốn biết vành có chung tính chất Goldie Trong luận văn này, muốn đưa vào định nghĩa vành Morita Context tương đương Morita vành. Mục đích luận văn muốn giải số vành tương đương Morita có tính