i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khi đưa vào luận án Các kết quả nêu trong luận á[.]
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Đinh Đức Tài ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn GS TSKH Đinh Văn Huỳnh (Trường Đại học Ohio, Hoa Kỳ) PGS.TS Ngô Sỹ Tùng (Trường Đại học Vinh) Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Đinh Văn Huỳnh, người Thầy nghiêm khắc mẫu mực, định hướng nghiên cứu hướng dẫn tận tình, đáo suốt thời gian tác giả thực luận án Xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, người thường xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Trong q trình hồn thành luận án, tác giả nhận nhiều ý kiến đóng góp quý báu GS.TSKH Nguyễn Tự Cường (Viện Toán học Việt Nam), PGS TS Nguyễn Tiến Quang (ĐHSP Hà Nội), GS.TS Lê Văn Thuyết (ĐH Huế) Tác giả xin trân trọng cảm ơn Xin chân thành cảm ơn góp ý giúp đỡ nhà khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Chu Trọng Thanh, TS Nguyễn Thị Hồng Loan dành cho tác giả trình viết chỉnh sửa luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới: Khoa Toán khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh; Ban Giám hiệu trường Đại học Hà Tĩnh; Các thành viên nhóm xemina Lý thuyết Vành trường ĐH Vinh; iii Trung tâm Lý thuyết Vành ứng dụng (CRA) thuộc khoa Toán (Trường Đại học Ohio - Hoa Kỳ) tạo điều kiện thuận lợi để tác giả sang thực tập, nghiên cứu khoảng thời gian tháng quý báu (từ tháng đến tháng 12 năm 2008) Cuối cùng, xin gửi tới gia đình, anh em, bạn bè, lời biết ơn chân thành động viên, chia sẻ suốt thời gian qua Cảm ơn hy sinh vợ hai - chỗ dựa tinh thần vững giúp vượt qua khó khăn hồn thành luận án Vinh, tháng 10 năm 2010 Đinh Đức Tài MỤC LỤC Lời cảm ơn ii Mục lục Bảng kí hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 12 1.1 Các khái niệm 12 1.2 Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh mở rộng 17 1.3 Vành Artin, vành Noether lớp vành liên quan 19 Vành CS - nửa đơn 23 2.1 Một số bổ đề cần thiết 24 2.2 Đặc trưng vành CS - nửa đơn 27 2.3 Kết luận Chương 33 QF-vành 35 3.1 Một số bổ đề cần thiết 36 3.2 Đặc trưng QF-vành 38 3.3 Kết luận Chương 43 Điều kiện để số lớp vành trở thành Noether 44 4.1 Một số bổ đề cần thiết 45 4.2 Khi V-vành Noether 48 4.3 Điều kiện để vành đơn Noether 51 4.4 Khi vành đơn SI 56 4.5 Kết luận Chương 59 Kết luận luận án 61 Danh mục cơng trình liên quan 62 Tài liệu tham khảo 62 BẢNG KÍ HIỆU Z : Vành số nguyên Q : Trường số hữu tỷ R : Trường số thực C : Trường số phức A ⊆⊕ B : A hạng tử trực tiếp B A /− B : A môđun cốt yếu B A∼ = B : A đẳng cấu với B A ⊕ B : Tổng trực tiếp môđun A mơđun B ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm) E(M ) : Bao nội xạ môđun M Soc(M ) : Đế môđun M End(M ) :Vành tự đồng cấu môđun M u-dim(M ) : Chiều Goldie môđun M Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh đồng cấu f (tương ứng) M (I) : ⊕i∈I M (tổng trực tiếp I M ) MR (R M ) : M R-môđun phải (trái) Mn (S) : Vành ma trận vuông cấp n với hệ tử S M od-R: Phạm trù R-môđun phải Rad(M ) : Căn môđun M J(R) : Căn Jacobson vành R Z(M ) : Môđun suy biến môđun M MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Trong đại số nói chung lý thuyết vành nói riêng, đặc trưng tính Artin tính Noether lớp vành ln đề tài rộng hấp dẫn nhà nghiên cứu cấu trúc vành Từ định lý cấu trúc Wedderburn - Artin điều kiện tương đương, lớp vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành SI- vành xuất thu hút quan tâm nhiều nhà toán học 1.2 Lớp vành CS-nửa đơn lớp vành mở rộng thực lớp vành Artin nửa đơn lớp vành Artin hai phía Các kết lớp vành năm 1994 giới thiệu [11] Đặc trưng vành CS- nửa đơn thông qua tính CS (hoặc điều kiện yếu hơn) lớp môđun hữu hạn sinh đếm sinh (xem [38], [32]) hướng nghiên cứu lớp vành nhiều nhà nghiên cứu cấu trúc vành quan tâm 1.3 Lớp QF- vành Nakayama định nghĩa năm 1939, chuyên khảo [54] tuyển tập đầy đủ kết liên quan đến lớp QF-vành, đồng thời phần nói lên quan tâm nhà nghiên cứu lớp vành Trong lý thuyết QF- vành, giả thuyết Faith hai giả thuyết dành quan tâm đặc biệt Việc nghiên cứu góp phần làm sáng tỏ dần giả thuyết Faith đề tài hấp dẫn 1.4 Lớp V- vành lớp SI- vành hai hướng mở rộng khác lớp vành Artin nửa đơn Đặc trưng tính Noether lớp V- vành nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ năm 1976 (xem [17], [11]) nay, việc nghiên cứu lớp vành đề tài thú vị Khác với lớp V- vành, lớp SI- vành trường hợp đặc biệt lớp vành Noether Trong lý thuyết SI- vành người ta đặc biệt quan tâm đến lớp vành đơn đặc trưng tính Noether vành đơn cầu nối để thiết lập điều kiện cho vành đơn SI Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: Đặc trưng số lớp vành Artin Noether Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án là: Đặc trưng số lớp vành Artin (CS- nửa đơn, QF- vành) thông qua lớp mơđun chúng Đặc trưng tính Noether lớp V- vành vành đơn, từ thu kết SI- vành Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu lớp môđun thỏa mãn số điều kiện hữu hạn định Phạm vi nghiên cứu Nội dung luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu lớp vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành, vành đơn SI-vành Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu luận án nghiên cứu lý thuyết Sử dụng kỹ thuật liên quan đến đế môđun kỹ thuật khác vận dụng chứng minh Ý nghĩa khoa học thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm kết hiểu biết lớp vành CS- nửa đơn, V- vành, SI- vành, vành Noether Đặc biệt, kết lớp QF- vành hy vọng phần góp phần làm sáng tỏ giả thuyết Faith Ý nghĩa thực tiễn: Khi nghiên cứu lớp vành kể trên, luận án tài liệu tham khảo cho nhà nghiên cứu, học viên cao học sinh viên Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án: Cùng với nhóm trường, vành ba cấu trúc đại số có ứng dụng rộng rãi Vì việc nghiên cứu vành khơng túy đam mê tốn học mà cịn lơi ứng dụng đa dạng vào ngành khoa học khác Lý thuyết vành xuất khoảng 120 năm ngày phát triển cách phong phú bối cảnh Mục đích lý thuyết vành mơ tả cấu trúc vành Tuy nhiên, với định nghĩa trừu tượng nó, khơng thể đưa điều nhiều tính chất chung chung Vì vậy, muốn nghiên cứu cấu trúc vành cách sâu sắc người ta phải đặt điều kiện cụ thể tìm cách mơ tả chúng sở cấu trúc biết Do đề xuất "điều kiện cụ thể" mà xuất nhiều lớp vành như: vành Artin, vành Noether, vành Goldie, vành Frobenius, vành tựa Frobenius (QF - vành), vành hoàn chỉnh, v.v Emil Artin người đặt móng cho việc nghiên cứu cấu trúc vành Năm 1928, ông chuyển định lý cấu trúc Wedderburn đại số hữu hạn chiều trường cho với điều kiện đại số không chứa iđêan lũy linh khác không, sang vành túy Để đạt kết này, Artin sáng tạo cách thay điều kiện hữu hạn chiều điều kiện tối tiểu iđêan phía Qua đồng thời giải phóng phụ thuộc vành vào trường cho Đây định lý cấu trúc hồn chỉnh đại số nói chung lý thuyết vành nói riêng Có thể nói, định lý mở đầu cho phát triển lý thuyết vành cách có hệ thống Để ghi nhận công lao Artin, người ta gọi kết định lý cấu trúc Wedderburn - Artin gọi vành thỏa mãn điều kiện tối tiểu cho iđêan phía vành Artin (phía đó) Khi vành Artin khơng chứa iđêan lũy linh khác khơng gọi vành Artin nửa đơn Định lý Wedderburn - Artin phát biểu rằng: Một vành R Artin nửa đơn R tổng trực tiếp hữu hạn số vành ma trận cấp hữu hạn thể Như vậy, theo định lý này, vành Artin nửa đơn mô tả cách triệt để qua số hữu hạn thể hữu hạn số nguyên dương (đó hạng ma trận) Nói rõ hơn, với hữu hạn số nguyên dương ni hữu hạn thể Si , i = 1, k, đặt Mni (Si ) vành ma trận cấp ni thể Si lập tổng trực tiếp vành: (1) R = Mn1 (S1 ) ⊕ Mn2 (S2 ) ⊕ ⊕ Mnk (Sk ) R vành Artin nửa đơn Ngược lai, S vành Artin nửa đơn, Artin chứng minh S đẳng cấu với vành R có dạng (1) Định lý Wedderburn Artin cho ta biết thêm rằng, điều kiện (1) tương đương với điều kiện sau đây: (2) R tổng trực tiếp iđêan phải tối tiểu; (3) R tổng trực tiếp iđêan trái tối tiểu; (4) Mọi R-môđun phải nội xạ; (5) Mọi R-môđun trái nội xạ; (6) Mọi R-môđun trái xạ ảnh; (7) Mọi R-môđun phải xạ ảnh