1 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy Nguyễn Văn Thìn, người đã tận tình hướng dẫn tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn này Tôi cũng xi[.]
LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy Nguyễn Văn Thìn, người tận tình hướng dẫn tơi để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tồn thể thầy khoa TốnTin học, trường Đại học Sư phạm TP.HCM dạy bảo tơi tận tình suốt q trình tơi học tập khoa Cuối cùng, tơi xin gửi đến gia đình, bạn bè lịng biết ơn chân thành ln động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình tơi học tập thực luận văn tốt nghiệp TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2013 Tác giả Phan Phương Dung MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành đơn, vành Artin, môđun Artin 1.2 Một vài kết tích tenxơ mơđun 1.3 Một vài kết tích tenxơ đại số 1.4 Tích tenxơ lí thuyết trường 11 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM 14 2.1 Định lí Skolem-Noether 14 2.2 Định lí tâm 18 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM 31 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 BẢNG KÍ HIỆU , , tập hợp số, A ⊗R B tích tenxơ A , B R , Mn (R) tập hợp tất ma trận vuông cấp n R , Aop vành đối vành A , Z ( A) tâm vành A , A: K số K A , A≅ B A đẳng cấu với B , L/K L mở rộng trường K , N L/ K chuẩn mở rộng Galois L / K , dim K L số chiều L K , K [ x] vành đa thức biến K , ZB ( M ) tâm M B , M A vành A sinh M , End R ( A) vành tự đồng cấu R − môđun A , B: AR bậc phải B A , Gal ( L / K ) nhóm Galois mở rộng Galois L / K , σ nhóm sinh σ , φ|L thu hẹp φ L , FixL (σ ) nhóm bất biến σ L LỜI NĨI ĐẦU Định lí Skolem-Noether Định lí tâm hai định lí tảng đại số Chúng sử dụng phần sở tốn học cho nhiều cơng trình nghiên cứu Việc tìm hiểu hai định lí ứng dụng chúng cần thiết Do đó, tơi chọn “Định lí SkolemNoether Định lí tâm” làm đề tài luận văn Luận văn chia làm chương Nội dung luận văn chương chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức sở Phần lớn kết chương không chứng minh, thay vào nguồn trích dẫn tham khảo chúng Chương Định lí Skolem-Noether Định lí tâm Định lí Skolem-Noether Định lí tâm phát biểu chứng minh Chương Một số ứng dụng định lí Skolem-Noether định lí tâm Một vài ứng dụng hai định lí trên, đặc biệt kết liên quan tới lí thuyết trường trình bày chương Phần lớn kết nêu luận văn tham khảo từ “Skew Fields” P.K Draxl Trong khả mình, tơi xếp chúng cách logic, trình bày rõ ràng chi tiết hóa chứng minh Dù có nhiều cố gắng, hẳn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý độc giả để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, kiến thức sở nhằm chuẩn bị cho việc trình bày Định lí Skolem-Noether, Định lí tâm số ứng dụng chúng tóm tắt (không chứng minh) Trong luận văn này, ta quy ước vành có đơn vị ≠ , kí hiệu phần tử đơn vị vành 1.1 Vành đơn, vành Artin, môđun Artin Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành Một R − môđun phải M gọi Artin phải dãy giảm R − môđun phải M dừng Một vành A gọi Artin phải A − mơđun phải Artin Từ trở sau, trường hợp không dẫn đến nhầm lẫn, ta quy ước viết gọn cụm từ “Artin phải” “Artin” Định nghĩa 1.1.2 Một vành R gọi đơn khơng có iđêan hai phía thực Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành Một iđêan phải khác không R gọi tối tiểu khơng chứa thật iđêan phải khác khơng R Định lí 1.1.4 [3, tiết 3, Định lí 1, trang 13] Cho A vành đơn r iđêan phải tối tiểu A n Nếu M ≠ {0} A − mơđun phải Artin tồn n ∈ cho M ≅ ⊕ r i =1 A − môđun phải Định nghĩa 1.1.5 Cho A R − môđun tự Khi đó, ta gọi số vectơ sở A R hạng A R 1.2 Một vài kết tích tenxơ môđun Cho R , S vành Định lí 1.2.1 [3, tiết 4, Định lí 3, trang 19] Cho ( Ai )i∈I họ R − môđun phải giả sử P ⊗ R Ai tồn với i ∈ I Khi đó, ( ) i) P ⊗ R ⊕ Ai tồn ii) Tồn đẳng cấu − môđun i∈I ( ) P ⊗ R ⊕ Ai ≅ ⊕ ( P ⊗ R Ai ) i∈I i∈I xác định p ⊗ ∑ ∑ p ⊗ i i Định nghĩa 1.2.2 (Song môđun) Cho M vừa R − môđun trái, vừa S − môđun phải Nếu r ( ms ) = ( rm ) s , với r ∈ R , m ∈ M , s ∈ S ta gọi M ( R − S ) − song môđun Trong trường hợp R = S , ta gọi cách ngắn gọn ( R − R ) − song môđun R − song mơđun Định lí 1.2.3 [3, tiết 4, Bổ đề 3, trang 22] Cho A R − môđun phải, M ( R − S ) − song môđun P S − môđun trái Khi đó, A ⊗ R M S − môđun phải với phép nhân a ms , ∀a ∈ A, m ∈ M , s ∈ S ; ( a ⊗ m ) s =⊗ M ⊗ S P R − môđun trái với phép nhân r ( m ⊗ p ) = rm ⊗ p , ∀r ∈ R, m ∈ M , p ∈ P Hơn nữa, tồn đẳng cấu nhóm aben ( A ⊗R M ) ⊗S P ≅ A ⊗R ( M ⊗S P ) xác định ( a ⊗ m ) ⊗ p a ⊗ ( m ⊗ p ) , ∀a ∈ A, m ∈ M , p ∈ P Định lí 1.2.4 [3, tiết 4, Bổ đề 4, trang 23] Cho A , B R − mơđun Khi đó, tồn đẳng cấu R − môđun A ⊗ R B ≅ B ⊗ R A xác định a ⊗ b b ⊗ a 1.3 Một vài kết tích tenxơ đại số Cho R vành giao hoán Định nghĩa 1.3.1 Một R − môđun A gọi R − đại số A có phép tốn “ × ” thỏa mãn i) ( A, +, ×) vành ii) Với r ∈ R , a, b ∈ A , r ( a × b ) = ( ) × b = a × ( rb ) Hơn nữa, ( A, +, × ) vành đơn A gọi R − đại số đơn Để đơn giản cách viết, phép “ × ” viết thành “ ⋅ ” hay bỏ qua khơng có nhầm lẫn Định nghĩa 1.3.2 Cho A , B R − đại số Một đồng cấu R − môđun f : A → B gọi đồng cấu R − đại số f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) , với a , b ∈ A Định nghĩa 1.3.3 Cho A, B R − đại số Trên A ⊗ R B , ta định nghĩa phép nhân ( a ⊗ b )( a '⊗ b ' ) = aa '⊗ bb ' , với a ⊗ b, a '⊗ b ' ∈ R Khi đó, A ⊗ R B với phép nhân có cấu trúc R − đại số, gọi tích ten-xơ R − đại số A, B Việc chứng minh định nghĩa 1.3.3 xác định tham khảo [3], tiết 5, Định lí 1, trang 25 Định lí 1.3.4 [3, tiết 5, Bổ đề 2, trang 26] Cho P R − môđun, A R − đại số giao hoán, B A − đại số Khi đó, tồn đẳng cấu B − môđun trái ( P ⊗R A) ⊗ A B ≅ P ⊗R B xác định ( p ⊗ a ) ⊗ b p ⊗ ab Hơn nữa, B giao hoán P R − đại số đẳng cấu trở thành đẳng cấu B − đại số Định lí 1.3.5 [3, tiết 5, Bổ đề 3, trang 26] Cho A , B R − môđun, C R − đại số giao hốn Khi đó, tồn đẳng cấu C − môđun ( A ⊗ R C ) ⊗C ( B ⊗ R C ) ≅ ( A ⊗ R B ) ⊗ R C xác định ( a ⊗ c ) ⊗ ( b ⊗ c ') ( a ⊗ b ) ⊗ cc ' Hơn nữa, A , B R − đại số đẳng cấu phía trở thành đẳng cấu C − đại số Định lí 1.3.6 [3, tiết 5, Định lí 3, trang 27] Cho P R − môđun, A R − đại số, X A − môđun trái f : P → X đồng cấu R − mơđun Khi đó, tồn đồng cấu A − môđun trái f A : P ⊗ R A → X cho p ⊗ a af ( p ) Định nghĩa 1.3.7 Ta gọi f A Định lí 1.3.6 mở rộng A − tuyến tính trái f Định lí 1.3.8 [3, tiết 5, Bổ đề 4, trang 27] Cho A R − đại số j : M n ( R ) → M n ( A ) ánh xạ nhúng tắc cảm sinh iA : R → A , r r1 Khi đó, mở rộng A − tuyến tính trái j A : M n ( R ) ⊗ R A → M n ( A ) vừa đẳng cấu R − đại số, vừa đẳng cấu A − mơđun Hơn nữa, cịn đẳng cấu A − đại số A giao hốn Định lí 1.3.9 [3, tiết 5, Hệ 1, trang 27] M n ( R ) ⊗ R M m ( R ) ≅ M n ( M m ( R ) ) ≅ M nm ( R ) Định nghĩa 1.3.10 (vành đối) Cho A vành Ta kí hiệu Aop nhóm cộng A với phép nhân “.” cho a.b = ba (phép nhân vế phải hiểu phép nhân ban đầu A ) Dễ dàng thấy Aop với phép nhân định nghĩa vành ta gọi Aop vành đối vành A Định lí 1.3.11 [3, tiết 5, Hệ 2, trang 29] Cho A K − đại số đơn hữu hạn chiều, K = Z ( A) n = A : K hữu hạn Khi đó, tồn đẳng cấu K − đại số 10 ... chúng Chương Định lí Skolem- Noether Định lí tâm Định lí Skolem- Noether Định lí tâm phát biểu chứng minh Chương Một số ứng dụng định lí Skolem- Noether định lí tâm Một vài ứng dụng hai định lí trên,... ĐỊNH LÍ SKOLEM- NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM 14 2.1 Định lí Skolem- Noether 14 2.2 Định lí tâm 18 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ SKOLEM- NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM ... trường cố định σ L Đặt FixL ( Γ ) = ∩ FixL (σ ) Khi đó, FixL ( Γ ) trường, gọi trường cố σ ∈Γ định Γ L 12 13 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ SKOLEM- NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM 2.1 Định lí Skolem- Noether Định lí 2.1.1