LỜI CẢM ƠN Lới đầu tiên, tôi kính gửi đến Thầy PGS TS Nguyễn Bích Huy lời cảm ơn chân thành vì đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt thời gian làm luận văn Tốt nghiệp Tôi cũng xin chân thành c[.]
LỜI CẢM ƠN Lới đầu tiên, tơi kính gửi đến Thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy lời cảm ơn chân thành tận tình giúp đỡ bảo tơi suốt thời gian làm luận văn Tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy hướng dẫn tơi suốt khóa học Tơi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, bạn học viên Cao học Tốn Giải Tích Khóa 21 gia đình ln động viên, khuyến khích giúp đỡ tơi thời gian học tập làm luận văn Tp Hồ Chí Minh, ngày 29/09/2012 Học viên Cao học khóa 21 SONGSAMAYVONG Somchay MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG ĐỊNH LÍ RADON-NIKODYM 1.1Độ đo liên tục tuyệt đối, tính chất 1.2 Phân tích Lebesgue-Radon-Nikodym 10 1.3 Định lí Radon-Nikodym 15 CHƯƠNG ỨNG DỤNG 26 2.1 Đối biến số tích phân 26 2.2 Khơng gian độ đo có dấu 31 2.3 Định lí phép tính tích phân 38 2.4 Phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian 𝑳𝒑𝑋, 𝜇 46 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài, ý nghĩa khoa học thực tiễn: Định lí Radon-Nikodym định lí trung tâm lí thuyết độ đo tích phân Nó tìm ứng dụng có ý nghĩa Giải tích thực, Giải tích hàm, Y học,… Việc tìm hiểu ứng dụng định lí Radon-Nikodym trình bày chúng thành tài liệu hồn chỉnh việc làm có ý nghĩa thực tiễn, giúp học viên Cao học hiểu sâu đầy đủ đề tài Mục tiêu đề tài: - Trình bày định lí Radon-Nikodym hệ - Trình bày tương đối đầy đủ ứng dụng định lí Radon-Nikodym Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp chung: sưu tầm tài liêu định lí Radon-Nikodym vấn đề liên quan, ứng dụng Phân tích tổng hợp tài liệu thu để trình bày lại đề tài theo hiểu biết cách chi tiết, khoa học - Phương pháp chứng minh cụ thể: áp dụng phương pháp kết lý thuyết độ đo-Tích phân, Giải tích hàm, Tơpơ đại cương Nội dụng luân văn: CHƯƠNG Định lí Radon-Nikodym 1.1 Độ đo liên tục tuyệt đối, tính chất 1.2 Phân tích Lebesgue-Radon-Nikodym 1.3 Định lí Radon-Nikodym CHƯƠNG Ứng dụng 2.1 Đối biến số tích phân 2.2 Khơng gian độ đo có dấu 2.3 Định lí phép tính tích phân 2.4 Phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian 𝐿𝑝 (𝑋, 𝜇) CHƯƠNG ĐỊNH LÍ RADON-NIKODYM 1.1Độ đo liên tục tuyệt đối, tính chất Định nghĩa:1.1 Giả sử (𝑋, 𝔐) không gian đo được, 𝜇 độ đo dương, 𝜑, 𝜆 độ đo dương có dấu, xác định 𝔐 a) b) 𝜑được gọi liên tục tuyệt đối 𝜇, ký hiệu là𝜑 ≪ 𝜇 nếu: ∀𝐴 ∈ 𝔐, 𝜇 (𝐴) = ⇒ 𝜑(𝐴) = 𝜑 gọi tập trung tập 𝐵 ∈ 𝔐 nếu: 𝜑 (𝐴 ) = 𝜑 (𝐴 ∩ 𝐵 ) c) (∀𝐴 ∈ 𝔐) Nói cách khác, 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑐 ta ln có 𝜑(𝐴) = Hai độ đo 𝜑, 𝜆 gọi kỳ dị nhau, ký hiệu 𝜑 ⊥ 𝜆,nếu có tập 𝐵 ∈ 𝔐 cho 𝜑 tập trung 𝐵, 𝜆 tập trung 𝐵 𝑐 Mệnh đề :1.1.1 Giả sử 𝜇 độ đo dương, 𝜑, 𝜑1 , 𝜑2 độ đo (có dấu dương) a) Nếu 𝜑1 ≪ 𝜇 � 𝜑1 + 𝜑2 ≪ 𝜇 𝜑2 ≪ 𝜇 Hệ quả: 𝜑1 − 𝜑2 ≪ 𝜇 b) Nếu 𝜑1 ⊥ 𝜇 � 𝜑1 + 𝜑2 ⊥ 𝜇 𝜑2 ⊥ 𝜇 Hệ quả: 𝜑1 − 𝜑2 ⊥ 𝜇 𝜑≪𝜇 � 𝜑 ⊥ 𝜇 𝜑 = c) Nếu d) Nếu 𝜑 ≪ 𝜇 𝜑 + ≪ 𝜇 𝜑 − ≪ 𝜇 Chứng minh: a) Ta chứng minh 𝜑1 + 𝜑2 ≪ 𝜇 sau ∀𝐴 ∈ 𝔐, giả sử 𝜇(𝐴) = ,cần chứng minh (𝜑1 + 𝜑2 )(𝐴) = Ta có: (𝜑1 + 𝜑2 )(𝐴) = 𝜑1 (𝐴) + 𝜑2 (𝐴), ∀𝐴 ∈ 𝔐 Nhận xét (1) Do 𝜑1 ≪ 𝜇, 𝜇(𝐴) = 0, ⇒ 𝜑1 (𝐴) = Do 𝜑2 ≪ 𝜇, 𝜇(𝐴) = 0, ⇒ 𝜑2 (𝐴) = thay kế vào (1), ta có (𝜑1 + 𝜑2 )(𝐴) = + = ∀𝐴 ∈ 𝔐 Do theo định nghĩa liên tục tuyệt đối ta suy ra:𝜑1 + 𝜑2 ≪ 𝜇 Hệ : chứng minh ∀𝐴 ∈ 𝔐, 𝜇 (𝐴) = ta cần chứng minh (𝜑1 − 𝜑2 )(𝐴) = Ta có: (𝜑1 − 𝜑2 )(𝐴) = 𝜑1 (𝐴) − 𝜑2 (𝐴), ∀𝐴 ∈ 𝔐 (2) Nhận xét Do 𝜑1 ≪ 𝜇, 𝜇(𝐴) = 0, 𝐴 ∈ 𝔐 ⇒ 𝜑1 (𝐴) = Do 𝜑2 ≪ 𝜇, 𝜇(𝐴) = 0, 𝐴 ∈ 𝔐 ⇒ 𝜑2 (𝐴) = thay kế vào (2), ta có (𝜑1 − 𝜑2 )(𝐴) = + = , ∀𝐴 ∈ 𝔐 b) Do theo định nghĩa liên tục tuyệt đối ta suy ra:𝜑1 − 𝜑2 ≪ 𝜇 Do𝜑1 ⊥ 𝜇, 𝜑2 ⊥ 𝜇 nên ta tìm 𝐴1 ∈ 𝔐 cho 𝜑1 tập trung 𝐴1, 𝜇 tập trungtrên 𝐴1𝑐 𝐴2 ∈ 𝔐 cho 𝜑2 tập trung 𝐴2 , 𝜇 tập trungtrên𝐴𝑐2 Khi 𝜑1 + 𝜑2 tập trung 𝐴1 ∪ 𝐴2 và𝜇 tập trung (𝐴1 ∪ 𝐴2 )𝑐 Thật lấy 𝐵 ⊂ (𝐴1 ∪ 𝐴2 )𝑐 = 𝐴1𝑐 ∩ 𝐴𝑐2 𝐵 ⊂ 𝐴1𝑐 𝐵 ⊂ 𝐴𝑐2 Mà 𝜑𝑖 tập trung 𝐴𝑖 , 𝑖 = ���� 1,2 nên 𝜑𝑖 (𝐵) = 0, 𝑖 = ���� 1,2 Do (𝜑1 + 𝜑2 )(𝐵) = 𝜑1 (𝐵) + 𝜑2 (𝐵) = Do (𝜑1 + 𝜑2 ) tập trung 𝐴1 ∪ 𝐴2 Lấy 𝐵 ⊂ 𝐴1 ∪ 𝐴2 Ta có: 𝐵 = (𝐴1 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴2 ∩ 𝐵) = 𝐵1 ∪ 𝐵2 ≤ 𝜇 (𝐵) = 𝜇(𝐵1 ∪ 𝐵2 ) ≤ 𝜇(𝐵1 ) + 𝜇(𝐵2 ) = Nên 𝜇(𝐵) = c) Vậy 𝜇 tập trung (𝐴1 ∪ 𝐴2 )𝑐 Để chứng minh 𝜑 = 0, ta lấy ∀𝐴 ∈ 𝔐, chứng minh 𝜑(𝐴) = Ta có: • 𝜑 ≪ 𝜇 ⇔ (𝜇(𝑈) = ⇒ 𝜑(𝑈) = 0, ∀𝑈 ∈ 𝔐) • 𝜑 ⊥ 𝜇 ⇔ ∃𝐵 ∈ 𝔐 cho 𝜑 tập trung B 𝜇 tập trung 𝐵𝑐 Ta có:∀𝐴 ∈ 𝔐 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝑋 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐵 𝑐 ) = = (𝐴 ∩ 𝐵 ) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ) ⇒ 𝜑(𝐴) = 𝜑[(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵𝑐 )] = = 𝜑 (𝐴 ∩ 𝐵 ) + 𝜑 (𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ) (4) (do: 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ∈ 𝔐, (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ) = ∅ 𝜑 độ đo có dấu xác định 𝔐) Nhận xét 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐵 = (𝐵𝑐 )𝑐 mà 𝜇 tập trung 𝐵 𝑐 (giả thiết) ⇒ 𝜇 (𝐴 ∩ 𝐵 ) = ⇒ 𝜑 (𝐴 ∩ 𝐵 ) = Nhận xét (do 𝜑 ≪ 𝜇 ) 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 ⊂ 𝐵𝑐 mà 𝜑 tập trung 𝐵 (giả thiết) ⇒ 𝜑 (𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ) = Thay kết vào (4), ta ∀𝐴 ∈ 𝔐, 𝜑(𝐴) = Điều dẫn đến 𝜑 = d)Trường hợp 1: Chứng minh 𝜑 + ≪ 𝜇 ∀𝐴 ∈ 𝔐, 𝜇 (𝐴) = 0, chứng minh 𝜑 + (𝐴) = Ta có: 𝜑+ (𝐴) = sup{𝜑(𝐵)/𝐵 ⊂ 𝐴, 𝐵 ∈ 𝔐} Ta có khẳng định 𝜑(𝐵) = 0, ∀𝐵 ∈ 𝔐 , 𝐵 ⊂ 𝐴 Thật vậy:Với 𝐵 ⊂ 𝐴 ⇒ 𝜇(𝐵) ≤ 𝜇 (𝐴) mà 𝜇(𝐴) = ⇒ 𝜇(𝐵) = Giả thiết cho 𝜑 ≪ 𝜇, nên với 𝜇(𝐵) = ⇒ 𝜑(𝐵) = Tóm lại: 𝜑(𝐵) = 0, ∀𝐵 ∈ 𝔐 , 𝐵 ⊂ 𝐴 ⇒ Sup{𝜑(𝐵)/𝐵 ⊂ 𝐴, 𝐵 ∈ 𝔐} = ⇒ 𝜑 + (𝐴 ) = Trường hợp 2: Chứng minh 𝜑 − ≪ 𝜇 ∀𝐴 ∈ 𝔐: 𝜇(𝐴) = 0, chứng minh 𝜑− (𝐴) = Ta có: ∀𝐴 ∈ 𝔐 thi 𝜑− (𝐴) = 𝜑 + (𝐴) − 𝜑(𝐴) (5) Nhận xét: giả thiết cho𝜑 ≪ 𝜇 Vậy ∀𝐴 ∈ 𝔐: 𝜇(𝐴) = ⇒ 𝜑(𝐴) = Chứng minh tiếp cho ta 𝜑+ ≪ 𝜇 Vậy với 𝜇(𝐴) = ⇒ 𝜑 + (𝐴) = 0thay kết vào (5), Ta 𝜑 − (𝐴) = Mệnh đề:1.1.2 Cho không gian độ đo (𝑋, 𝔐, 𝜇) 𝜑 độ đo có dấu xác định 𝔐 Các mệnh đề sau tương đương 1) 2) 𝜑≪𝜇 ∀𝜀 > , ∃𝛿 > 0: 𝐴 ∈ 𝔐, 𝜇 (𝐴) < 𝛿 ⇒ |𝜑(𝐴)| < 𝜀 Từ suy hàm f khả tích 𝑋 theo độ đo 𝜇 ∀𝜀 > , ∃𝛿 > 0: 𝐴 ∈ 𝔐, 𝜇(𝐴) < 𝛿 ⇒ � |𝑓| 𝑑𝜇 < 𝜀 𝐴 Chứng minh: 2) ⇒ 1) Xét 𝐴 ∈ 𝔐 mà 𝜇(𝐴) = ∀𝜀 > ∃𝛿 > thỏa 2), ta chứng minh 𝜑(𝐴) = Do, 𝜇(𝐴) = ⇒ 𝜇(𝐴) < 𝜀 2) Chọn 𝛿 = 𝜀 ta có 𝜇(𝐴) < 𝛿 ⇒ |𝜑(𝐴)| ⇒ |𝜑(𝐴)| = ⇒ 𝜑(𝐴) = Vậy 𝜑 ≪ 𝜇 1) ⇒ 2) Giả sử 𝜑 ≪ 𝜇 mà∃𝜀 > 0: ∀𝛿 > 0, ∃𝐴 ∈ 𝔐, 𝜇(𝐴) < 𝛿 |𝜑(𝐴)| ≥ 𝜀 Với 𝛿 = 2−𝑛 ta xây dựng dãy (𝐴𝑛 )𝑛 ⊂ 𝔐 cho 𝜇 (𝐴𝑛 ) < 2−𝑛 |𝜑(𝐴𝑛 )| ≥ 𝜀 Đặt: 𝐵1 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … … ∪ 𝐴𝑛 ∪ … 𝐵2 = ∞ Ta có: 𝐵𝑛 = � 𝐴𝑘 , 𝑘=𝑛 𝐴2 ∪ … … ∪ 𝐴𝑛 ∪ … … 𝐵𝑛 = 𝐴𝑛 ∪ 𝐴𝑛+1 … (𝐵𝑛 )là dãy giảm Do phân tích Jordan ta cọi 𝜑 độ đo dương, hữu hạn +∞ +∞ 𝑛=1 𝑛=1 ∗ Đặt: 𝐵 = � 𝐵𝑛 , ta có: 𝜑(𝐵) = 𝜑 �� 𝐵𝑛 � = lim 𝜑(𝐵𝑛 ) 𝑛→∞ (vì 𝐵𝑛 giảm ) ∞ ∞ ∞ 𝑘=𝑛 𝑘=𝑛 ∗ Vì 𝐵𝑛 = � 𝐴𝑘 , ta có: 𝜇(𝐵𝑛 ) ≤ � 𝜇(𝐴𝑘 ) ≤ � 2−𝑘 → 𝑘=𝑛 ∞ ⇒ lim 𝜇(𝐵𝑛 ) = �vì � 𝑛→∞ ⇒ 𝜇 (𝐵 ) = ⇒ 𝜑 (𝐵 ) = 𝑘=1 −𝑘 ∞ (𝑛 → ∞) (𝑛⟶0) hội tụ nên � 2−𝑘 �⎯⎯⎯� 0� +∞ 𝑘=𝑛 �vì 𝐵 = � 𝐵𝑛 nên 𝜇(𝐵) ≤ 𝜇(𝐵𝑛 )� 𝑛=1 (vì 𝜑 ≪ 𝜇) Suy ra: lim 𝜇(𝐵𝑛 ) = 𝑛→∞ Mà ta có 𝜑(𝐵𝑛 ) ≥ 𝜑(𝐴𝑛 ) ≥ 𝜀 Ta gặp mâu thuẫn Vậy ta có 1) ⇒2 Mệnh đề1.1.3 𝔐 Cho không gian với độ đo hữu hạn (𝑋, 𝔐, 𝜇), 𝜑 độ đo códấu xác định Trong 𝔐 ta qui ước 𝐴 = 𝐵 𝜇(𝐴∆𝐵) = xét metric 𝑑 (𝐴, 𝐵) = 𝜇(𝐴∆𝐵) = � |1𝐴 − 1𝐵 | 𝑑𝜇, 𝑋 1) 𝐴, 𝐵 ∈ 𝔐 Xét 𝜑 ánh xạ từ (𝔐, 𝑑 ) vào ℝ mệnh đề sautương đương 𝜑 liên tục 𝔐 ... thực tiễn: Định lí Radon- Nikodym định lí trung tâm lí thuyết độ đo tích phân Nó tìm ứng dụng có ý nghĩa Giải tích thực, Giải tích hàm, Y học,… Việc tìm hiểu ứng dụng định lí Radon- Nikodym trình... bày định lí Radon- Nikodym hệ - Trình bày tương đối đầy đủ ứng dụng định lí Radon- Nikodym Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp chung: sưu tầm tài liêu định lí Radon- Nikodym vấn đề liên quan, ứng. .. Tôpô đại cương Nội dụng luân văn: CHƯƠNG Định lí Radon- Nikodym 1.1 Độ đo liên tục tuyệt đối, tính chất 1.2 Phân tích Lebesgue -Radon- Nikodym 1.3 Định lí Radon- Nikodym CHƯƠNG Ứng dụng 2.1 Đối biến