MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Chương 1 ĐỊNH LÍ KREIN RUTMAN CHO ÁNH XẠ DƯƠNG MẠNH 3 1 1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón 3 1 1 1 Nón và thứ tự sinh bởi nón 3 1 1 2 Nón chuẩn 4 1 1 3 Nón chính qui 5 1 1 4[.]
MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN CHO ÁNH XẠ DƯƠNG MẠNH 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón 1.1.1 Nón thứ tự sinh nón .3 1.1.2 Nón chuẩn 1.1.3 Nón qui 1.1.4 Nón sinh 1.1.5 Nón liên hợp 1.2 Ánh xạ tuyến tính dương tồn vectơ riêng dương 1.2.1 Giá trị riêng vectơ riêng 1.2.2 Phổ ánh xạ tuyến tính 1.2.3 Ánh xạ tuyến tính dương 10 1.3 Định lí Krein – Rutman 13 Chương ĐỊNH LÍ KREIN –RUTMAN CHO ÁNH XẠ u – DƯƠNG 18 2.1 Ánh xạ u – dương 18 2.2 Định lí Krien–Rutman cho ánh xạ u – dương 19 Chương ĐỊNH LÍ KREIN-RUTMAN CHO ÁNH XẠ THUẦN NHẤT DƯƠNG 26 3.1 Ánh xạ dương Bán kính phổ mở rộng .26 3.2 Mở rộng khái niệm dương mạnh .31 3.3 Ánh xạ e - dương 35 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 BẢNG KÝ HIỆU ∗ : Tập hợp số tự nhiên khác : Tập hợp số thực 1+ : Tập hợp số thực không âm : Tập hợp số phức C[a ,b] : Không gian hàm liên tục [ a, b ] với chuẩn x = sup f (t) a ≤t ≤b X* : Tập phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian X L(X, X) : Khơng gian hàm tuyến tính liên tục L1 (Ω) : Khơng gian hàm khả tích Ω Lp (Ω= ) {f : Ω → ; f đo p : Chuẩn không gian Banach X B(a, ρ) : Hình cầu mở tâm a bán kính ρ B(a, ρ) : Hình cầu đóng tâm a bán kính ρ ∂ C : Tập tất điểm biên C i ∏µ j =µ µ1 µ µi } f ∈ L1 (Ω) , với ≤ p < ∞ MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình khơng gian có thứ tự đời từ năm 1940 cơng trình mở đầu M.Krein A.Rutman, phát triển hồn thiện ngày Nó tìm ứng dụng rộng rãi có giá trị nhiều lĩnh vực khoa học xã hội Lý thuyết phương trình vi phân, Vật lý, Y - sinh học, Kinh tế học Định lý Krein - Rutman giá trị riêng, vectơ riêng ánh xạ tuyến tính dương mạnh định lý tìm sớm mặt lý thuyết mặt ứng dụng lý thuyết Định lí mở rộng kết riêng quan trọng sau đây: - Định lí Perron, tìm năm 1907, khẳng định “ Nếu A ma trận vng có số hạng dương : 1) Bán kính phổ r(A) A số dương 2) r(A) giá trị riêng đơn A 3) Nếu λ ≠ r(A) giá trị riêng A λ < r(A) 4) Vectơ riêng v A ứng với giá trị riêng r(A) có toạ độ dương 5) v vectơ riêng dương A ( xác tới thừa số ) - Định lí Jentseh, chứng minh năm 1912, mở rộng kết cho toán tử tích phân ϕ ∫a K(t,s) ϕ(s)ds với hạch K(t,s) b Vì quan trọng mà định lý Krein - Rutman nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tìm ứng dụng gần Do việc tìm hiểu định lý mở rộng đề tài có ý nghĩa cho học viên cao học chun ngành Tốn giải tích Mục tiêu luận văn giới thiệu định lí Krien – Rutman ban đầu với phép chứng minh dựa vào phương pháp hệ động lực vài mở rộng định lí này, có kết tìm gần Luận văn có chương : Chương1 Trình bày định lý Krein – Rutman phương pháp hệ động học Chương2 Trình bày mở rộng định lý Krein – Rutman cho ánh xạ u – dương Chương3 Trình bày mở rộng định lý Krein – Rutman cho ánh xạ dương Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Lê Xuân Trường, Khoa Toán Thống Kê - Đại học Kinh tế TP.HCM Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tơi biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Tốn-Tin, trường Đại học Sư Phạm TP.HCM, giúp đỡ tận tình bảo vô quý báu Thầy cho tơi nghiên cứu khoa học Tơi kính gởi đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, Bộ mơn Tốn Giải tích Phịng Sau Đại Học trường Đại học Sư phạm TP.HCM giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập thực luận văn, lời cám ơn chân thành trân trọng Tơi kính gởi đến Ban Giám Hiệu, Ban chấp hành cơng đồn trường, tổ Tốn - Tin trường THPT Nguyễn Huệ - Lagi - Bình Thuận, nơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi vật chất tinh thần để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học viên, lời cảm ơn sâu sắc trân trọng Tôi thành thật cảm ơn Anh chị đồng nghiệp người thân giúp đỡ mặt Cảm ơn gia đình ln nguồn động viên to lớn cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Thái Nguyên Khang Chương ĐỊNH LÍ KREIN - RUTMAN CHO ÁNH XẠ DƯƠNG MẠNH 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón 1.1.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Banach trường số thực a) Tập K ⊂ X gọi nón thỏa điều kiện sau: H : K tập đóng, K ≠ ∅ , H : K + K ⊂ K , λ K ⊂ K , ∀λ ≥ 0, H : K (− K) = {θ} b) Nếu K nón thứ tự X sinh K định bởi: x ≤ y ⇔ y − x ∈K Mỗi x ∈K \ {θ} gọi dương Ví dụ i) K= [0, + ∞ ) nón = ii) K {(x1 , x ): x1 ≥ 0, x ≥ 0} nón 2 Mệnh đề 1.1.1 Giả sử “ ≤ ” thứ tự sinh nón Khi đó: a) Nếu x ≤ y x + z ≤ y + z , λ x ≤ λy, với z∈ X , với λ ≥ b) Nếu x n ≤ y n với n ∈* và= lim x n x= , lim y n y x ≤ y n →∞ n →∞ c) Nếu {x n } dãy tăng, hội tụ x x n ≤ x, với n∈* Chứng minh a) Ta có: ● ( y + z ) − ( x + z ) = y − x ∈ K , với z ∈ X nên x + z ≤ y + z ● λy − λx = λ (y − x)∈K , với λ ≥ nên λx ≤ λy b) Từ x n ≤ y n , với n ∈* suy y n − x n ∈ K Do (y n − x n ) → (y − x) ∈ K ( tính chất đóng K ).Vậy x ≤ y c) Giả sử { x n } tăng Khi x n ≤ x n+m (m, n ∈ * ), cho m → ∞ , ta được: x n ≤ x, với n ∈ * 1.1.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Nón K gọi nón chuẩn tồn N > cho θ≤ x ≤ y x ≤ N y Ví dụ: Nón K= {f ∈ C[ 0,1] } : f ≥ θ nón chuẩn C [0,1] Chứng minh Lấy f, g ∈ K thỏa điều kiện θ ≤ f g ≤ hay với t ∈ [0 ,1], ta có ≤ f(t) ≤ g(t) suy Sup f (t) ≤ Sup g(t) hay f ≤ g t∈[ 0,1] t∈[ 0,1] Vậy K nón chuẩn với số N = Mệnh đề 1.1.2 Cho K nón chuẩn X Khi đó: a) Nếu u ≤ v đoạn 〈 u , v〉 := {x ∈ X : u ≤ x ≤ v} bị chặn theo chuẩn b) Nếu x n ≤ yn ≤ z n , với n ∈* = lim x n n →∞ a, = lim z n n →∞ a lim y n = a n →∞ c) Nếu {x n } đơn điệu có dãy hội tụ a lim x n = a n →∞ Chứng minh a) Với x ∈ 〈 u, v〉 ta có θ≤ x − u ≤ v − u K nón chuẩn nên x − u ≤ N u − v suy x ≤ u + N u − v Vậy 〈 u, v〉 bị chặn theo chuẩn b) Ta có: θ≤ y n − x n ≤ z n − x n , với n ∈* K nón chuẩn nên y n − x n ≤ N z n − x n , với n ∈* Mà lim z n − x n = nên n →∞ lim y n − x n = Do lim y n =lim[(y n − x n ) + x n ] =0 + a Vậy lim y n = a n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ c) Giả sử {x n } tăng lim x n = a Vì x n ≤ x n (n ∈ * cố định, k đủ lớn) nên k →∞ k k x n ≤ a , với n ∈* Cho ε > 0, chọn k để x n − a < k0 ε ta có N ∀n ≥ n k ⇒ a − x n ≤ a − x n ⇒ a − x n ≤ N a − x n < ε K0 k0 Vậy lim x n = a n →∞ 1.1.3 Nón qui Định nghĩa 1.1.3 Nón K gọi nón qui dãy tăng bị chặn hội tụ Ví dụ 1) Trong C[a= ,K ,b ] {x: x(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a, b]} khơng qui t −a Vì ta có dãy x n (t) = giảm bị chặn không hội tụ b−a n 2) Trong Lp (Ω), (1 ≤ p < ∞) nón K = {x ∈ Lp (Ω):x(t) ≥ 0, h.k.n} qui Chứng minh Xét dãy {x n } ⊂ Lp thoả x n ≤ x n +1 ≤ u ∈ Lp Coi x n (t) ≤ x n +1 (t) ≤ u(t), với t ∈ Ω Đặt x (t) lim x n (t), t ∈ Ω = n →∞ Ta có: x ∈ Lp ( x n (t) đo nên x đo được, ∫ x 0p (t)dµ ≤ ∫ u p (t)dµ < ∞ ) Ω Ω 1/p x n −= x ∫ (x (t) − x n (t)) p dµ Ω → ( (x (t) − x n (t)) đơn điệu hội tụ h.k.n ) Mệnh đề 1.1.3 Nếu K nón qui K nón chuẩn Chứng minh Giả sử trái lại K khơng nón chuẩn, ta có: Với n∈* , tồn x n , y n : θ≤ x n ≤ y n , x n > n y n Đặt u n = Vì xn yn θ≤ u n ≤ v n ,= u n 1, v n < = , n xn xn ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ < ∞ nên tồn v : = ∑ Xét dãy S n : = u + u + + u n , ta có : • Sn ≤ v1 + v2 + + ≤ ∞ ∑v n =1 • Sn − Sn= −1 n = v ⇒ (S n ) n bị chặn u n ≥ θ (do u n ∈ K ) ⇒ (S n ) n tăng Vậy (S n ) n tăng, bị chặn mà K nón qui nên (S n ) n hội tụ Do lim u n = mâu thuẫn với u n = ( n∈* ) n →∞ 1.1.4 Nón sinh Định nghĩa 1.1.4 Nón K gọi nón sinh X= K − K hay với x ∈ X , tồn u , v ∈ K cho x= u − v Ví dụ a) Nón hàm khơng âm C(K), LP nón sinh b) Nếu nón K có điểm u ta có tồn r > cho : − r x u ≤ x ≤ r x u , với x ∈ X K nón sinh Chứng minh Ta có u ∈intK nên tồn ρ > : u + B(θ, ρ) ⊂ K Do u0 ± 1 ρ ρ x ∈B(u , ρ) ⊂ K ⇒ u ± x ∈K , ∀x ≠ θ ⇒ − x u ≤ x ≤ x u ρ ρ x x Đặt r = , ta − r x u ≤ x ≤ r x u x = ( x + r x x ) − r x x ∈K − K ρ Vậy K nón sinh Mệnh đề 1.1.4 Nếu K nón sinh tồn M > cho với x ∈ X , tồn u, v∈K : x= u − v, u ≤ M x , v ≤ M x Chứng minh i) Đặt C = K B(0,1) − K B(0,1) , ta chứng minh tồn r > 0: C ⊃ B ( θ , r) ∞ Ta có X = U nC Thật vậy, K nón sinh nên với x ∈X tồn u, v ∈ K n =1 cho x = u − v Do x ∈ nC với n ≥ max { u , v } Do định lí Baire nên tồn n , G mở, G ≠ ∅ cho n 0C ⊃ G Do C lồi , đối xứng nên C ⊃ 1 1 C − C suy C ⊃ G − G (mở, chứa θ ) 2 2n 2n Do tồn r > cho B(θ, r) ⊂ C r B ⊂ C ( B := B(0,1) ) ii) Ta chứng minh : n r r Lấy a ∈ B , ta xây dựng dãy {x n } thoả x n ∈ n C, n ∈ * , a − ∑ x k < n +1 2 k =1 Thật vậy, r r B ⊂ n C nên ∀x ∈ n B, ∀ε > 0, ∃y ∈ n C : x − y < ε n 2 2 Ta có : r r a ∈ B ⇒ ∃x1 ∈ C: a − x1 < , 2 a∈ r r B ⇒ ∃x ∈ C: (a − x1 ) − x < 2 2 Tiếp tục trình ta dãy {x n } có tính chất nêu Do x n ∈ Đặt u = 1 nên tồn : C x = u − v , u , v ≤ u , v ∈ K n n n n n n n 2n 2n ∞ ∞ u , v ∑v ∑= n = n 1= n ∞ n ( ∑u n =1 < +∞ nên n ∞ ∑u n =1 n hội tụ u tồn tại, tương tự v tồn ) Ta có : u, v∈ K, u , v ≤ , n a − ∑ xk < k =1 r n +1 ⇒a= ∞ ∑ xn = ∞ ∞ ∑ u n − ∑ = u − v ∈ C Vậy = n 1= n 1= n r B ⊂ C iii) Với x ≠ θ , ta có ⇒ r x r r r x r = nên ∈ B(θ,1) = B(θ, ) ⊂ C x 2 x 2 r x r x ∈ C ⇒ ∃u / , v / ∈ K ∩ B(θ,1) : = u / − v/ x x ⇒ ∃u, v ∈ K : x =u − v, u , v ≤ Vậy số M = 2 u = x , = x u/ , v x v/ r r r số cần tìm r 1.1.5 Nón liên hợp Định nghĩa 1.1.5 Cho X khơng gian Banach có thứ tự sinh nón K Khi K* = {f ∈ X * : f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K} gọi nón liên hợp K Mệnh đề 1.1.5 a) x ∈ K ⇔ f (x ) ≥ 0, ∀f ∈ K * Chứng minh ⇒) Theo định nghĩa K * ta có f (x) ≥ 0,f ∈ X* , ∀x ∈ K Do x ∈ K nên f (x ) ≥ , ∀f ∈ K * ⇐) Giả sử trái lại f (x ) ≥ , ∀f ∈ K * x ∉ K Do định lí tách tập lồi nên tồn f ∈ X* : f (x ) < f (x), với x ∈ K Cố định x ∈ K , ta có f (x ) < f (tx), với t > hay f (x) > f (x ) Cho t → ∞ ta có f (x) ≥ hay f ∈ K * Ta có t f (x ) < f (t.θ) =0 , điều mâu thuẫn với giả thiết f (x ) ≥ , ∀f ∈ K * b) Cho x ∈ K \ {θ} , tồn x * ∈ K * cho x * (x) > c) Cho int K ≠ ∅ Nếu x ∈ int K x * (x o ) > , với x * ∈ K * \ {θ} , trường hợp x o ∈ ∂K tồn x * ∈ K * \ {θ} cho x * (x o ) = ... hệ động lực vài mở rộng định lí này, có kết tìm gần 2 Luận văn có chương : Chương1 Trình bày định lý Krein – Rutman phương pháp hệ động học Chương2 Trình bày mở rộng định lý Krein – Rutman cho... Định lý Krein - Rutman giá trị riêng, vectơ riêng ánh xạ tuyến tính dương mạnh định lý tìm sớm mặt lý thuyết mặt ứng dụng lý thuyết Định lí mở rộng kết riêng quan trọng sau đây: - Định lí Perron,... việc tìm hiểu định lý mở rộng đề tài có ý nghĩa cho học viên cao học chun ngành Tốn giải tích Mục tiêu luận văn giới thiệu định lí Krien – Rutman ban đầu với phép chứng minh dựa vào phương pháp