định lí skolem noether và định lí tâm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Phương Dung ĐỊNH LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Phương Dung ĐỊNH LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN THÌN Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy Nguyễn Văn Thìn, người tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể thầy cô khoa ToánTin học, trường Đại học Sư phạm TP.HCM dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Cuối cùng, xin gửi đến gia đình, bạn bè lòng biết ơn chân thành động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2013 Tác giả Phan Phương Dung MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành đơn, vành Artin, môđun Artin 1.2 Một vài kết tích tenxơ môđun 1.3 Một vài kết tích tenxơ đại số 1.4 Tích tenxơ lí thuyết trường 11 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM 14 2.1 Định lí Skolem-Noether 14 2.2 Định lí tâm 18 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM 31 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 BẢNG KÍ HIỆU , ,  tập hợp số, A ⊗R B tích tenxơ A , B R , Mn (R) tập hợp tất ma trận vuông cấp n R , Aop vành đối vành A , Z ( A) tâm vành A , A: K số K A , A≅ B A đẳng cấu với B , L/K L mở rộng trường K , N L/ K chuẩn mở rộng Galois L / K , dim K L số chiều L K , K [ x] vành đa thức biến K , ZB ( M ) tâm M B , M A vành A sinh M , End R ( A) vành tự đồng cấu R − môđun A , B: AR bậc phải B A , Gal ( L / K ) nhóm Galois mở rộng Galois L / K , σ nhóm sinh σ , φ|L thu hẹp φ L , FixL (σ ) nhóm bất biến σ L LỜI NÓI ĐẦU Định lí Skolem-Noether Định lí tâm hai định lí tảng đại số Chúng sử dụng phần sở toán học cho nhiều công trình nghiên cứu Việc tìm hiểu hai định lí ứng dụng chúng cần thiết Do đó, chọn “Định lí SkolemNoether Định lí tâm” làm đề tài luận văn Luận văn chia làm chương Nội dung luận văn chương chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức sở Phần lớn kết chương không chứng minh, thay vào nguồn trích dẫn tham khảo chúng Chương Định lí Skolem-Noether Định lí tâm Định lí Skolem-Noether Định lí tâm phát biểu chứng minh Chương Một số ứng dụng định lí Skolem-Noether định lí tâm Một vài ứng dụng hai định lí trên, đặc biệt kết liên quan tới lí thuyết trường trình bày chương Phần lớn kết nêu luận văn tham khảo từ “Skew Fields” P.K Draxl Trong khả mình, xếp chúng cách logic, trình bày rõ ràng chi tiết hóa chứng minh Dù có nhiều cố gắng, hẳn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý độc giả để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, kiến thức sở nhằm chuẩn bị cho việc trình bày Định lí Skolem-Noether, Định lí tâm số ứng dụng chúng tóm tắt (không chứng minh) Trong luận văn này, ta quy ước vành có đơn vị ≠ , kí hiệu phần tử đơn vị vành 1.1 Vành đơn, vành Artin, môđun Artin Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành Một R − môđun phải M gọi Artin phải dãy giảm R − môđun phải M dừng Một vành A gọi Artin phải A − môđun phải Artin Từ trở sau, trường hợp không dẫn đến nhầm lẫn, ta quy ước viết gọn cụm từ “Artin phải” “Artin” Định nghĩa 1.1.2 Một vành R gọi đơn iđêan hai phía thực Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành Một iđêan phải khác không R gọi tối tiểu không chứa thật iđêan phải khác không R Định lí 1.1.4 [3, tiết 3, Định lí 1, trang 13] Cho A vành đơn r iđêan phải tối tiểu A n Nếu M ≠ {0} A − môđun phải Artin tồn n ∈  cho M ≅ ⊕ r i =1 A − môđun phải Định nghĩa 1.1.5 Cho A R − môđun tự Khi đó, ta gọi số vectơ sở A R hạng A R 1.2 Một vài kết tích tenxơ môđun Cho R , S vành Định lí 1.2.1 [3, tiết 4, Định lí 3, trang 19] Cho ( Ai )i∈I họ R − môđun phải giả sử P ⊗ R Ai tồn với i ∈ I Khi đó, ( ) i) P ⊗ R ⊕ Ai tồn ii) Tồn đẳng cấu  − môđun i∈I ( ) P ⊗ R ⊕ Ai ≅ ⊕ ( P ⊗ R Ai ) i∈I i∈I xác định p ⊗ ∑  ∑ p ⊗ i i Định nghĩa 1.2.2 (Song môđun) Cho M vừa R − môđun trái, vừa S − môđun phải Nếu r ( ms ) = ( rm ) s , với r ∈ R , m ∈ M , s ∈ S ta gọi M ( R − S ) − song môđun Trong trường hợp R = S , ta gọi cách ngắn gọn ( R − R ) − song môđun R − song môđun Định lí 1.2.3 [3, tiết 4, Bổ đề 3, trang 22] Cho A R − môđun phải, M ( R − S ) − song môđun P S − môđun trái Khi đó, A ⊗ R M S − môđun phải với phép nhân a ms , ∀a ∈ A, m ∈ M , s ∈ S ; ( a ⊗ m ) s =⊗ M ⊗ S P R − môđun trái với phép nhân r ( m ⊗ p ) = rm ⊗ p , ∀r ∈ R, m ∈ M , p ∈ P Hơn nữa, tồn đẳng cấu nhóm aben ( A ⊗R M ) ⊗S P ≅ A ⊗R ( M ⊗S P ) xác định ( a ⊗ m ) ⊗ p  a ⊗ ( m ⊗ p ) , ∀a ∈ A, m ∈ M , p ∈ P Định lí 1.2.4 [3, tiết 4, Bổ đề 4, trang 23] Cho A , B R − môđun Khi đó, tồn đẳng cấu R − môđun A ⊗ R B ≅ B ⊗ R A xác định a ⊗ b  b ⊗ a 1.3 Một vài kết tích tenxơ đại số Cho R vành giao hoán Định nghĩa 1.3.1 Một R − môđun A gọi R − đại số A có phép toán “ × ” thỏa mãn i) ( A, +, ×) vành ii) Với r ∈ R , a, b ∈ A , r ( a × b ) = ( ) × b = a × ( rb ) Hơn nữa, ( A, +, × ) vành đơn A gọi R − đại số đơn Để đơn giản cách viết, phép “ × ” viết thành “ ⋅ ” hay bỏ qua nhầm lẫn Định nghĩa 1.3.2 (( B ⊗ L ) Z A ( B )) ⊗L M r ( L ) ⊗L M s ( L ) = ( B ⊗L Z A ( B )) ⊗L ( M r ( L ) ⊗L M s ( L )) ≅ ( B ⊗ L Z A ( B ) ) ⊗ L M n ( L ) (Định lí 1.3.9) ≅ B ⊗ L ( Z A ( B ) ⊗ L M n ( L ) ) (Định lí 1.2.3) ( ) ≅ B ⊗ L Z A ( B ) ⊗ L ( L ⊗ K M n ( K ) ) (do M n ( L ) ≅ L ⊗ K M n ( K ) ) ≅ B ⊗ L ( Z A ( B ) ⊗ K M n ( K ) ) (Định lí 1.2.3 1.3.4) ≅ B ⊗ L ( A ⊗ K B op ) (do (i)) ≅ B ⊗ L ( ( A ⊗ K L ) ⊗ L B op ) (Định lí 1.3.4) ≅ ( A ⊗ K L ) ⊗ L ( B ⊗ L B op ) (Định lí 1.2.4) ≅ ( A ⊗ K L ) ⊗ L M s ( L ) (Định lí 1.3.11) Từ kết này, theo Định lí 1.2.4 Định lí 1.3.8, ta suy A ⊗K L ≅ ( B ⊗L Z A ( B ) ) ⊗L M r ( L ) ≅ M r ( L ) ⊗L ( B ⊗L Z A ( B ) ) ≅ M r ( B ⊗L Z A ( B ) ) (vi) Ta chứng minh A Z A ( B ) -môđun tự trái (phải) có hạng n Trước hết, ta xét bổ đề sau: Bổ đề 2.2.11 Cho A vành đơn Artin vành R Khi đó, R A − môđun trái (phải) tự có hạng trái (phải) (có thể vô hạn) Chứng minh 28 n Lấy r iđêan phải tối tiểu A Khi đó, theo Định lí 1.1.4, A ≅ ⊕ r i =1 A − môđun phải Vì R A − song môđun (nhờ phép nhân R ), ta xem r ⊗ A R A − môđun phải Chứng minh tương tự Định lí 1.1.4 [3, tiết 3, chứng minh định lí 1, trang 13], ta có đẳng cấu r ⊗ A R ≅ ⊕ r Ở đây, J không thiết j∈J hữu hạn xác định Điều kéo theo n n n n R ≅ A ⊗ A R ≅  ⊕ r  ⊗ A R ≅ ⊕ ( r ⊗ A R ) ≅ ⊕ ⊕ r ≅ ⊕ ⊕ r ≅ ⊕ A i =1 i =1 j∈J j∈J i =1 j∈J  i =1  A − môđun, suy R A − môđun phải tự có hạng xác định Vì A vành đơn Artin nên không gian vector hữu hạn chiều vành chia Do đó, hạng A Suy hạng R xác định Trường hợp xét R A − môđun trái chứng minh hoàn toàn tương tự  Ta chứng minh (vi) Theo (ii), Z A ( B ) vành đơn Artin Theo Bổ đề vừa chứng minh, A Z A ( B ) -môđun trái (phải) tự có hạng Theo Định lí 1.2.1, n Z A ( B ) ⊗ K M n ( K ) ≅ Z A ( B ) ⊗ K  ⊕ B op   i =1  n n ≅ ⊕ ( Z A ( B ) ⊗ K B op ) ≅  ⊕ Z A ( B )  ⊗ K B op =i = i  n Điều (i) kéo theo A ≅ ⊕ Z A ( B ) , hay hạng A n i =1 (vii) Theo (ii), Z A ( B ) vành đơn Theo (iii), Z ( Z A ( B ) ) = Z ( B ) trường Ta có = K Z ( A) ⊂ Z ( Z A ( B ) ) dãy mở rộng trường 29 Do A : K hữu hạn nên Z A ( B ) : K hữu hạn Áp dụng (vi) cho A, Z A ( B ) ta có A Z A ( Z A ( B ) ) − môđun tự trái (phải) có hạng ZA (B) : K = Theo (iv), Z A ( Z A ( B ) ) = B  30 m n CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ SKOLEMNOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM Bổ đề 3.1 Cho B vành đơn Artin vành chia D Khi đó, B Z D ( B ) vành chia Chứng minh Do B vành đơn Artin nên B ≅ M n ( E ) với E vành chia Mặt khác, B vành vành chia D nên B ước không khác Điều kéo theo M n ( E ) ước không khác Do đó, n = Ta có B ≅ E Mà E vành chia nên B vành chia Z D ( B ) vành Hơn nữa, với α ∈ Z D ( B ) , D vành chia nên tồn α −1 Mặt khác, với b ∈ B , α b = bα kéo theo α −1b = bα −1 , ta suy α −1 ∈ Z D ( B ) Vậy Z D ( B ) vành chia  Định nghĩa 3.2 Nếu R A − môđun phải (trái) tự có hạng phải (trái) nhất, ta gọi hạng bậc phải (trái) R A Tương tự trường hợp bậc mở rộng trường, có công thức tháp bậc Bổ đề 3.3 Nếu A, B vành đơn Artin vành R cho A ⊂ B R : B R B : A R = R : A R (tương tự cho bậc bên trái) Chứng minh 31 Giả sử R : B R = m , B : A R = n Khi đó, tồn sở {u1 , u2 , , um } R B sở {v1 , v2 , , } B A Ta {ui v j / ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} sở R A Thật vậy, R = u1 B + u2 B + + um B B = v1 A + v2 A + + A nên R = ∑ ui v j A Suy {ui v j / ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} hệ sinh A − môđun tự R Bây giờ, giả sử =  = a u v ∑ ∑a v ∑ ij i j i ∑a v ij j  ij j  j  ui Do {u1 , u2 , , um } sở R B nên  = Tiếp theo, {v1 , v2 , , } sở B A nên aij = , với i ≤ i ≤ m , ≤ j ≤ n Vậy hệ {ui v j / ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} độc lập tuyến tính A Suy hệ sở A − môđun tự R Ta có R : A R = mn Công thức tháp bậc cho bậc bên trái chứng minh tương tự  Định lí 3.4 , K Z ( A) ⊂ L L : K hữu hạn Cho L trường vành đơn Artin A= Khi đó, L = Z A ( L ) L : K = A : K Chứng minh Điều kiện cần Giả sử Z A ( L ) = L Do K , L vành đơn Artin vành A , K ⊂ L , nên theo Bổ đề 3.3, A: K R = A: L R L : K R Mặt khác, L trường nên Z ( L ) = L Ta suy = K Z ( A) ⊂ Z ( L ) n = L : K hữu hạn Theo (vi) Định lí tâm, A Z A ( L ) -môđun có hạng n Do Z A ( L ) = L nên A L -môđun có hạng n Vậy A : K = L : K 32 Điều kiện đủ Giả sử L : K = A : K Do L giao hoán nên L ⊂ Z A ( L ) Mặt khác, áp dụng (vii), Định lí tâm với B = L , ta có A: K = L: K L: K Z A ( L= ): K Vậy Z A ( L ) = L  Định lí 3.5 Cho D vành chia K trường D Khi đó, tồn trường tối đại L D chứa K Hơn nữa, L trường D L tối đại D L: K = D: K Chứng minh Đặt α tập tất trường D chứa K α khác rỗng (do K ∈ α ) α thứ tự phận với quan hệ bao hàm Với dây chuyền β ⊂ α bất kì, đặt H =  H , ta có H ∈ α H cận β Theo Bổ đề Zorn, α chứa phần tử tối H ∈β đại L Nói cách khác, tồn trường tối đại L D chứa K Điều kiện cần Giả sử L trường tối đại D , theo (11) Nhận xét 2.2.2, Z D ( L ) = L Theo Định lí 3.4, L : K = D : K Điều kiện đủ Giả sử L : K = D : K Theo Định lí 3.4, Z D ( L ) = L Theo (11) Nhận xét 2.2.2, L trường tối đại D  Tiếp theo, ta đưa vài ứng dụng Định lí tâm trường hợp đặc biệt Định lí 3.6 Cho A vành đơn Artin, L trường A cho = K Z ( A) ⊂ L ⊂ A, n = L : K B = Z A ( L ) 33 Khi đó, L / K mở rộng Galois tồn phần tử ei ∈ A* cho n Bei = ei B , với i = 1, , n ⊕ Bei = A ( e1 = ) i =1 Chứng minh Điều kiện đủ Theo giả thiết, ei Bei −1 = B ; mà theo (iii) Định lí tâm, L = Z ( B ) Với i ∈ {1,2, , n} , ta định nghĩa σ i : L → L xác định σ i ( x ) = ei xei −1 , với x ∈ L Kiểm tra trực tiếp, ta có σ i tự đẳng cấu L Giả sử σ i = σ j với i ≠ j Khi đó, với x ∈ L , ei xei −1 = e j xe j −1 , suy e j −1ei x = xe j −1ei ; tức e j −1ei ∈ Z A ( L ) = B Điều kéo theo ei ∈ e j B (mâu thuẫn với ei B ∩ e j B = {0} ) Vậy Γ ={σ , σ , , σ n } tập n tự đẳng cấu K − đại số phân biệt L Vì L : K = n , ta suy L / K mở rộng Galois với Γ =Gal ( L / K ) Điều kiện cần Đặt Γ =Gal ( L / K ) , ta có= Γ L= : K n , cụ thể Γ ={σ , , σ n } Ta có, K = Z ( A) ⊂ Z ( L ) = L A : K hữu hạn Với i ∈ {1,2, , n} , ánh xạ nhúng iL : L → A ánh xạ hợp σ i ' = iL  σ i đồng cấu K − đại số Theo Định lí ei xei −1 , với x ∈ L Suy ra, L = ei Lei −1 Skolem-Noether , tồn ei ∈ A* : σ ( x ) = Ta chứng minh ei B = Bei Thật vậy, đặt µ : A → A xác định µ ( x ) = ei−1 xei Ta có µ tự đẳng cấu A Theo (12) Nhận xét 2.2.2, µ ( B ) = B ; suy ei B = Bei Tiếp theo, ta chứng minh họ {ei / i = 1,2, , n} độc lập tuyến tính trái B quy nạp 34 Với i từ đến n , ei ∈ A* nên ei độc lập tuyến tính trái B Giả sử với < t ≤ n =Γ , gồm ( t − 1) phần tử ei độc lập tuyến tính trái B Lấy T ⊂ Γ gồm t phần tử Đặt I = {i ∈ {1,2, , n} : τ i ∈ T } Cố định i0 ∈ I Lấy x ∈ L cho τ i0 ( x ) ≠ τ i ( x ) , ∀i0 ≠ i ∈ I Ta có ∑ be i0 ≠ i∈I = i i0 xei0 −1ei = −ei0 xei0 −1bi0 ei0 = −bi0 ei0 xei0 −1ei0 = −bi0 ei0 x ∑ ei0 xei0 −1bi ei = i0 ≠ i∈I b e x ∑ b e xe = ∑ i0 ≠ i∈I i i i0 ≠ i∈I i i i −1 ei Suy ∑ b (e i0 ≠i∈I i i0 ) ( ) xei0 −1 − ei xei −1 ei = hay ∑ bi τ i0 ( x ) − τ i ( x ) ei = i0 ≠i∈I Theo giả thiết quy nạp, ( ) bi τ i0 ( x ) − τ i ( x ) = , với i0 ≠ i ∈ I Do τ i0 ( x ) − τ i ( x ) ≠ nên bi = , với i0 ≠ i ∈ I Do đó, bi0 = Vậy bi = , với i ∈ I Điều cho thấy {ei }i∈I độc lập tuyến tính trái B Theo quy nạp, ta có {ei / i = 1,2, , n} độc lập tuyến tính trái B n Cuối cùng, ta chứng minh A = ⊕ Bei i =1 n Hiển nhiên ⊕ Bei ⊂ A Mặt khác, tổng trực tiếp bên vế phải không gian vector trái i =1 n hữu hạn chiều vành chia chiều với A , A = ⊕ Bei  i =1 35 Ta kết thúc viết ứng dụng Định lí tâm lý thuyết trường Bổ đề 3.7 Cho L / K mở rộng xyclic, n = = L : K , Γ Gal = (L / K ) σ , B vành đơn với tâm L , φ tự đồng cấu vành B cho φ |L = σ a ∈ B* thỏa mãn φ ( a ) = a φ n ( b ) = aba −1 , với b ∈ B (**) n −1 Khi đó, A = ⊕ Bei với phép nhân i =0 e n = a , eb = φ ( b ) e vành đơn với tâm K cho B = Z A ( L ) Vì vậy, A ⊗ K L ≅ M n ( B ) Chứng minh Với phép nhân định nghĩa trên, A vành với phần tử đơn vị eo = Qua phép nhúng b  be0 = b1 , B xem tập A Ta chứng minh B = Z A ( L ) Do L = Z ( B ) nên B ⊂ Z A ( L ) Chọn phần tử x ∈ L cho σ i x ≠ x , với i ∈ {1,2, , n − 1} Với = z n −1 ∑ b e ∈ Z ( L ) , i i i =0 n −1 A n −1 = ∑ xbi e= ∑ bi e x i i x ∈ L , z ∈ Z A ( L ) nên xz = zx ; ta có n −1 n −1 n −1 = bφ ( x)e ∑ = φ ( x ) b e ∑σ ∑ i i i i i i = = = i i i 0=i 0=i suy n −1 ∑( x − σ ) b e i i =0 x suy 36 i i = 0, i b ei , x i , với i ∈ {1, , n − 1} ( x − σ ) b = i x i Mà x ≠ σ i x nên bi = , với i ∈ {1, , n − 1} Vì vậy, = z b0 e= b0 ∈ B Do z chọn tùy ý Z A ( L ) nên Z A ( L ) ⊂ B Vậy B = Z A ( L ) Ta chứng minh K = Z ( A) Do L = Z ( B ) , K ⊂ L nên K ⊂ Z ( B ) Mặt khác, = eK φ= ( K ) e σ= ( K ) e Ke Suy K ⊂ Z ( A) Do Z ( A) = Z A ( A) ⊂ Z A ( L ) = B , suy Z ( A) ⊂ Z ( B ) = L Với x ∈ Z ( A) , xe = ex Do x ∈ L nên = ex = φ ( x )= xe e σ ( x )= e σ xe Suy x = σ ( x ) , suy x ∈ FixL ( Γ ) =K Vậy K = Z ( A) Tiếp theo, ta chứng minh A iđêan hai phía thật Với = y n −1 ∑ b e ∈ A , đặt i i =0 i Iy = {i ∈ {0,1, , n − 1} : bi ≠ 0} Khi ta viết y = ∑ bi ei i∈I y Với iđêan hai phía ≠ α ⊂ A , lấy phần tử y ∈ α Lúc có hai khả Khả 1: I y = 37 Khả 2: I y ≥ Chọn phần tử j , r ∈ I y x ∈ L cho φ j ( x) = σ jx ≠ σ rx = φr ( x) (Ta chọn x σ j ≠ σ r L) Xét phần tử y =' y − φ j ( x ) yx , ta có y ' ∈ α −1 ( ) y' = ∑ bi ei − ∑φ j ( x ) bi ei x = ∑ bi − φ j ( x ) φ i ( x ) bi ei = ∑ b 'i e i , −1 i∈I y i∈I y i∈I y −1 i∈I y b 'r ≠ (do cách chọn x ) b j = Vậy ≤ I y ' < I y Tiếp tục làm vậy, sau số hữu hạn bước ta thu y0 ∈ α cho I y0 = Cả hai trường hợp đưa đến kết luận α chứa phần tử y có I y = , tức y = b j e j với j thuộc {0,1, , n − 1} Theo (**) , ei khả nghịch ( ei ) = a −1 e n −1 Do α −1 iđêan A nên j = bj bje= ( e j ) y ( e j ) ∈ α , −1 −1 suy ∈ B ⊂ α (Do B đơn nên b j = B )  Định lí 3.8 = = hạn, Γ Gal Cho L / K mở rộng xyclic hữu (L / K ) σ B vành đơn Artin có tâm L Nếu σ mở rộng thành đồng cấu vành φ B tồn vành đơn A với tâm K cho B = Z A ( L ) Khi đó, A ⊗ K L ≅ M n ( B ) Chứng minh n Vì φ n= |L σ= Id L nên φ n đồng cấu L − đại số 38 Theo Định lí Skolem-Noether, tồn a0 ∈ B* cho φ n ( b ) = a0ba0 −1 , với b ∈ B (1) ( a0 xác định φ sai khác nhân tử L* ) Từ đây, ta có n +1 a0φ (= b ) a0 −1 φ= ba0 −1 ) φ ( a0 ) φ ( b ) φ ( a0 −1 ) , với b ∈ B ( b ) φ ( a0= Điều kéo theo φ ( a0 ) a0φ ( b ) = φ ( b ) φ ( a0 ) a0 −1 −1 Đặt t0 = φ ( a0 ) a0 , ta có t0 ∈ Z ( B ) = L* −1 * Vì φ= φ ( a0 ) a0 φ ( a0 ) ( a0 ) t0 a0 t0= −1 −1 −1 (a φ ( a ) ) a , −1 0 nên a0φ ( a0 ) = t0= φ ( a0 ) a0 −1 −1 Do đó, N L= / K ( t0 ) n −1 σ i t0 = ∏ ) a) ∏ φ (φ ( a = n −1 −1 i =i 0=i 0 Theo Định lí 1.4.6, tồn t ∈ L* cho φ ( a0 ) a0= t0= σ t t −1= σ ( t ) t −1= φ ( t ) t −1 −1 Từ đẳng thức ta có φ ( a0t ) = a0t ( t ∈ L* ) Đặt a = a0t , ta có φ ( a ) = a φ n ( b ) = aba −1 39 Áp dụng Bổ đề 3.7, tồn vành đơn Artin A với tâm K cho B = Z A ( L ) Theo (v) Định lí tâm, ta có A ⊗ K L ≅ M n ( B ) , n = L : K  40 KẾT LUẬN Luận văn trình bày Định lí Skolem- Noether, Định lí tâm số ứng dụng chúng Luận văn không đưa kết mới, nhiên kết luận văn trình bày lại cách rõ ràng, hệ thống chứng minh chi tiết 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Thìn (2012), Nhập môn lý thuyết vành môđun, Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh Lê Tuấn Hoa (2005), Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Draxl, P K (1983), Skew fields, Cambridge university press, London Lam, T Y (1991), A First Course in Noncommutative Rings, Springer-Verlag, New York 42 [...]... FixL (σ ) = x} Dễ thấy FixL (σ ) là một trường, {x ∈ L / σ ( x ) = gọi là trường cố định của σ trong L Đặt FixL ( Γ ) = ∩ FixL (σ ) Khi đó, FixL ( Γ ) cũng là một trường, gọi là trường cố σ ∈Γ định của Γ trong L 12 13 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ SKOLEM- NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM 2.1 Định lí Skolem- Noether Định lí 2.1.1 Cho R là một vành giao hoán, A, B là các R − đại số, f : A → B là một đồng cấu R − đại số Khi... DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ SKOLEMNOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM Bổ đề 3.1 Cho B là một vành con đơn Artin của vành chia D Khi đó, B và Z D ( B ) cũng là vành chia Chứng minh Do B là vành đơn Artin nên B ≅ M n ( E ) với E là vành chia nào đó Mặt khác, do B là vành con của vành chia D nên B không có ước của không khác 0 Điều này kéo theo M n ( E ) không có ước của không khác 0 Do đó, n = 1 Ta có B ≅ E Mà E là vành chia... sao cho = d ' b= ϕ ( d ') b −1 bdb −1  2.2 Định lí tâm Định nghĩa 2.2.1 Cho A là một vành, B là một vành con của A và M là một tập con của A Ta định nghĩa tâm của M trong B là tập Z B ( M ) = {b ∈ B / bm = mb, ∀ m ∈ M } Nhận xét 2.2.2 Dựa vào định nghĩa, ta có các kết quả (1) Z B ( M ) là vành con của B , do đó nó cũng là vành con của A ; (2) Nếu C ⊂ B là vành con của A thì Z C ( M ) ⊂ Z B ( M ) ;... ⊗ L M n ( L ) (Định lí 1.3.9) ≅ B ⊗ L ( Z A ( B ) ⊗ L M n ( L ) ) (Định lí 1.2.3) ( ) ≅ B ⊗ L Z A ( B ) ⊗ L ( L ⊗ K M n ( K ) ) (do M n ( L ) ≅ L ⊗ K M n ( K ) ) ≅ B ⊗ L ( Z A ( B ) ⊗ K M n ( K ) ) (Định lí 1.2.3 và 1.3.4) ≅ B ⊗ L ( A ⊗ K B op ) (do (i)) ≅ B ⊗ L ( ( A ⊗ K L ) ⊗ L B op ) (Định lí 1.3.4) ≅ ( A ⊗ K L ) ⊗ L ( B ⊗ L B op ) (Định lí 1.2.4) ≅ ( A ⊗ K L ) ⊗ L M s ( L ) (Định lí 1.3.11) Từ kết... 2.2.2, Z D ( L ) = L Theo Định lí 3.4, L : K = D : K 2 Điều kiện đủ Giả sử L : K = D : K Theo Định lí 3.4, Z D ( L ) = L Theo (11) của 2 Nhận xét 2.2.2, L là trường con tối đại của D  Tiếp theo, ta đưa ra một vài ứng dụng của Định lí tâm trong các trường hợp đặc biệt Định lí 3.6 Cho A là một vành đơn Artin, L là một trường con của A sao cho = K Z ( A) ⊂ L ⊂ A, n = L : K và B = Z A ( L ) 33 Khi... : A ' → B là phép nhúng A ' vào B , i A : A → B là phép nhúng A vào B Áp dụng Định lí Skolem- Noether với g = i A 'ϕ và f = i A , ta được Hệ quả 2.1.6  17 Ứng dụng trực tiếp Hệ quả 2.1.6, ta được một kết quả khá quen thuộc và thú vị về mối quan hệ giữa các nghiệm khác nhau của một đa thức bất khả quy Ví dụ 2.1.7 Cho D là một vành chia, K = Z ( D ) ( D : K có thể vô hạn) và f ∈ K [ x ] là một đa thức... hữu hạn Khi đó, tồn tại đẳng cấu K − đại số 10 ϕ : A ⊗ K Aop → M n ( K ) Định lí 1.3.12 [3, tiết 5, Định lí 5, trang 30] Cho A , B là các K − đại số,= K Z ( A) ⊂ Z ( B ) là một trường và A : K hoặc B : K hữu hạn Khi đó, A ⊗ K B là vành đơn Artin khi và chỉ khi A , B là các vành đơn Artin 1.4 Tích tenxơ trong lí thuyết trường Định nghĩa 1.4.1 Cho L / K là một mở rộng Galois với nhóm Galois Γ Nếu Γ... Chứng minh Áp dụng Định lí 2.2.3 với= A ' A= , B' B  Định nghĩa 2.2.5 ( K − đại số đơn tâm) 22 Cho A là một vành đơn Artin Đặt K = Z ( A) Khi đó, K là một trường và A là một đại số trên K với phép nhân vô hướng cảm sinh từ phép nhân trên A Nếu A : K hữu hạn thì ta gọi A là K − đại số đơn tâm Hệ quả 2.2.6 Cho A , B là các vành đơn Artin Khi đó, A, B là các K − đại số đơn tâm khi và chỉ khi A ⊗ K B... là đơn cấu nên A ≅ L ( A ) Tương tự, Aop ≅ R ( A )  Định lí 2.2.10 ( Định lí tâm) Cho B là một vành con đơn Artin của vành đơn Artin A , = K Z ( A) ⊂ Z ( B ) và n = B : K hữu hạn Khi đó, (i) Z A ( B ) ⊗ K M n ( K ) ≅ A ⊗ K B op ; (ii) Z A ( B ) là một vành đơn Artin; (iii) Z ( Z A ( B )) = Z ( B ) ; (iv) Z A ( Z A ( B ) ) = B; (v) Đặt L = Z ( B ) và r = L : K , ta có A ⊗ K L ≅ M r ( B ⊗ L Z A ( B )... trở thành đẳng cấu C − đại số Định lí 1.3.6 [3, tiết 5, Định lí 3, trang 27] Cho P là một R − môđun, A là một R − đại số, X là một A − môđun trái và f : P → X là một đồng cấu R − môđun Khi đó, tồn tại duy nhất một đồng cấu A − môđun trái f A : P ⊗ R A → X sao cho p ⊗ a  af ( p ) Định nghĩa 1.3.7 Ta gọi f A trong Định lí 1.3.6 là mở rộng A − tuyến tính trái của f Định lí 1.3.8 [3, tiết 5, Bổ đề 4, ... thay vào nguồn trích dẫn tham khảo chúng Chương Định lí Skolem-Noether Định lí tâm Định lí Skolem-Noether Định lí tâm phát biểu chứng minh Chương Một số ứng dụng định lí Skolem-Noether định lí tâm. .. LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM 14 2.1 Định lí Skolem-Noether 14 2.2 Định lí tâm 18 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM ... trường cố định σ L Đặt FixL ( Γ ) = ∩ FixL (σ ) Khi đó, FixL ( Γ ) trường, gọi trường cố σ ∈Γ định Γ L 12 13 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ SKOLEM-NOETHER VÀ ĐỊNH LÍ TÂM 2.1 Định lí Skolem-Noether Định lí 2.1.1