VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC PHẠM HỒNG NAM MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA MÔĐUN LIÊN KẾT VỚI HỆ THAM SỐ HẦU P CHUẨN TẮC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội 2020 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ[.]
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC PHẠM HỒNG NAM MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA MÔĐUN LIÊN KẾT VỚI HỆ THAM SỐ HẦU P-CHUẨN TẮC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC PHẠM HỒNG NAM MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA MÔĐUN LIÊN KẾT VỚI HỆ THAM SỐ HẦU P-CHUẨN TẮC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Tập thể hướng dẫn: PGS.TS Đồn Trung Cường GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Hà Nội - 2020 i Tóm tắt Cho (R, m) vành giao hốn Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh Mục đích luận án nghiên cứu lớp hệ tham số đặc biệt môđun M gọi hệ tham số hầu pchuẩn tắc ứng dụng để tính tốn số đại lượng đặc trưng Euler-Poincaré phức Koszul, hệ số Hilbert, đa thức Hilbert xây dựng lớp bậc đối đồng điều Nội dung luận án chia thành chương Chương dành để nhắc lại số kiến thức sở môđun đối đồng điều địa phương, hệ số Hilbert, hệ tham số p-chuẩn tắc, dd-dãy đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao phức Koszul Trong Chương chúng tơi nghiên cứu số tính chất hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Cho x = x1 , , xd hệ tham số hầu p-chuẩn tắc M Xét ≤ i ≤ d − Λ ⊆ {i + 2, , d} Trước tiên chúng n i,Λ i+1 chứng minh môđun UM = (0 : xi+1 )M/(xnj :j∈Λ)M không j phụ thuộc vào ni+1 , , nd ≥ cách chọn hệ tham số hầu p-chuẩn tắc x Tiếp theo, sử dụng môđun thương bậc tương ứng với hệ số khác không hàm đa thức `(M/(xn1 , , xnd d )M ) không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số thu dãy bất biến quan trọng M Sử dụng bội môđun thương này, đưa cơng thức tính đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao phức Koszul χk (xn1 , , xnd d ; M ) hệ số Hilbert ei (xn1 , , xnd d ; M ) hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Từ đưa so sánh hệ số đa thức ứng với hàm độ dài `(M/(xn1 , , xnd d )M ), đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao hệ số Hilbert luỹ thừa hệ tham số hầu p-chuẩn tắc ii Trong Chương 3, cho I iđêan thực vành địa phương (R, m), hàm `(Hm0 (R/I n+1 )) hàm đa thức trường hợp I iđêan I iđêan sinh phần hệ tham số hầu p-chuẩn tắc Hơn nữa, trường hợp I iđêan I iđêan sinh phần hệ tham số chuẩn tắc vành CohenMacaulay suy rộng, đưa cơng thức tính hệ số đa thức qua độ dài môđun đối đồng địa phương số bội Phần cuối chương này, đưa ví dụ vành địa phương R iđêan I sinh phần hệ tham số hàm `(Hm0 (R/I n+1 )) không đa thức theo n Chương dành để trình bày ứng dụng hệ tham số hầu p-chuẩn tắc để xây dựng họ vô hạn bậc đối đồng điều R Chúng tơi có số so sánh bậc họ với bậc đồng điều Vasconcelos số lớp môđun đặc biệt iii Abstract Let (R, m) be a commutative Noetherian local ring and M be a finitely generated R-module The aim of this thesis is to study a class of systems of parameters of the module M called almost p-standard systems of parameters and their applications in computing the partial Euler-Poincaré characteristic of Koszul complex, Hilbert coefficients, Hilbert polynomial and in constructing a family of cohomological degree The thesis consists of four chapters In Chapter 1, we recall some basic results on local cohomology, Hilbert coefficients, p-standard systems of parameters, dd-sequences and partial Euler-Poincaré characteristic of Koszul complex In Chapter 2, we study several properties of almost p-standard system of parameters Let x = x1 , , xd be an almost p-standard of M Take ≤ i ≤ d and Λ ⊆ {i + 2, , d} Firstly, we prove that the n i,Λ i+1 subquotient module UM = (0 : xi+1 )M/(xnj :j∈Λ)M does not depend on j ni+1 , , nd ≥ and the choice of x By using theses subquotient modules we show that the degrees corresponding to the non-zero coefficients of the polynomial `(M/(xn1 , , xnd d )M ) does not depend on the choice of the system of parameters and obtain a sequence of important numerical invariants of M Using multiplicities of these subquotients, we give precise formulas to compute all the partial Euler-Poincaré characteristics χk (xn1 , , xnd d ; M ) of the Koszul complex and the Hilbert coefficients ei (x1n1 , , xnd d ; M ) of the module with respect to an almost p-standard system of parameters The formulas anable us to establish some comparision between coefficients of the polynomials associated to the length function `(M/(xn1 , , xnd d )M , the partial Euler-Poincaré characteris- iv tics and the Hilbert coefficients with respect to powers of an almost p-standard system of parameters In Chapter 3, for an ideal I we show that the function `(Hm0 (R/I n+1 )) is a polynomial for n big enough if either I is a principle ideal or I is generated by part of an almost p-standard system of parameters Furthermore, we are able to compute the coefficients of this polynomial in terms of length of certain local cohomology modules and usual multiplicity if either I is principal or I is generated by part of a standard system of parameters in a generalized Cohen-Macaulay ring We also give an example of an ideal generated by part of a system of parameters such that the function `(Hm0 (R/I n+1 )) is not a polynomial for n Chapter is used for an application of almost p-standard system of parameters in a construction of an infinite family of cohomological degrees of R We also compare the cohomological degrees in this family with the homological degree of Vasconcelos for special classes of modules v Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Phạm Hồng Nam vi Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cơ tơi: PGS.TS Đồn Trung Cường GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Thầy dành nhiều công sức kiên nhẫn để không dẫn dắt, giảng dạy cho kiến thức, kinh nghiệm tư người làm Tốn, mà cịn ln bảo cho tơi cách thức nhìn nhận người làm Tốn sống Thầy tạo điều kiện thuận lợi học tập, nghiên cứu cho hội giao lưu với cộng đồng Đại số giao hốn Điều giúp tự tin bước nghiên cứu khoa học Được làm việc hướng dẫn Thầy may mắn lớn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến GS Lê Thị Thanh Nhàn Sự tận tình dạy dỗ bảo Cô từ lúc học Đại học giúp tơi có sở để có thêm hồi bão khoa học Nhờ định hướng, dẫn Cô mà may mắn học tập nghiên cứu điều kiện tốt Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến Thầy, Cơ Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ sâu sắc đến GS TSKH Nguyễn Tự Cường nhóm nghiên cứu Thầy tạo điều kiện thuận lợi để tơi có hội tham gia hội thảo quan trọng, buổi học vấn đề Với lịng mình, tơi xin trân trọng cảm ơn Thầy Tôi trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, phịng chức Viện Tốn học cho môi trường học tập nghiên cứu lý tưởng để tơi hồn thành luận án Tơi trân trọng cảm ơn phịng Đại số Lý thuyết số tạo điều kiện thuận lợi để tham gia sinh hoạt khoa học liên phịng vii Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, đồng nghiệp trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi nhất, phù hợp để tơi vừa hồn thành việc học tập, vừa đảm bảo cơng việc giảng dạy Trường Tôi xin cảm ơn anh, chị học tập nghiên cứu Phòng Đại số Lý thuyết số trao đổi, chia sẻ hỗ trợ khoa học sống Tôi xin bày tỏ biết ơn vô hạn tới Bố, Mẹ, Dì anh chị em gia đình động viên, kiên nhẫn, chờ đợi kết học tập Đặc biệt vợ: Phương Thảo hai nhỏ: Khôi Nguyên Bảo Ngọc, người hy sinh nhiều, lo lắng, mong mỏi tiến ngày Luận án xin dành tặng cho người mà yêu thương Tác giả Phạm Hồng Nam Bảng kí hiệu N tập số tự nhiên 1,2,3 R tập số thực Ann(M ) iđêan linh hóa tử môđun M Ass(M ) tập iđêan nguyên tố liên kết M depth(M ) độ sâu M dim(M ) chiều M e(I; M ) số bội M iđêan I e(M ) số bội M iđêan cực đại m ei (I; M ) hệ số Hilbert thứ i M iđêan I HIi (M ) môđun đối đồng điều địa phương thứ i M với giá I hdeg bậc đồng điều I(M ) số Buchsbaum M `(−) hàm độ dài ModR phạm trù R-môđun hữu hạn sinh R(I) vành Rees R iđêan I Supp(M) giá mơđun M udeg bậc khơng trộn lẫn µ(M ) số phần tử sinh tối tiểu M viii