Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững và ổn định hóa vững của các lớp hệ chuyển mạch tuyến tính, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov toàn phương chung và nguyên lý so sánh nghiệm nhằm đưa ra các tiêu chuẩn ổn định mũ và sử dụng chúng để đánh giá tính ổn định vững và ổn định hóa vững của hệ.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————–o0o——————– LÊ VĂN NGỌC MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 9460112.01 DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2020 Cơng trình hồn thành tại: Khoa Tốn-Cơ-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn GS TSKH Phạm Kỳ Anh Phản biện : Phản biện 2: Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Vào hồi ngày tháng năm 2020 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Lý thuyết ổn định điều khiển hệ động lực nghiên cứu từ năm 60 thể kỷ 20, cịn tốn tương tự cho hệ chuyển mạch nhà nghiên cứu lý thuyết ứng dụng đặc biệt quan tâm từ 50 năm trở lại Liberzon, 1973; Hespanha & More, 1998; Shorten & Narendra, 2000; Ge, Sun, 2003; Găocek, 2004; Lin, 2005; Liberzon & Trenn, 2009; Hệ chuyển mạch thuộc lớp hệ động lực lai gồm số hữu hạn hệ thời gian liên tục thời gian rời rạc quy tắc chuyển hệ Dưới biểu diễn toán học đơn giản, hệ thống thời gian liên tục mơ tả phương trình vi phân thay đổi theo thời gian dạng x(t) ˙ = fσ (x(t)), x ∈ Rn , t ≥ 0, σ ∈ Σ, (1) đó, F := {fk (x) : k ∈ N } họ hữu hạn trường véc tơ liên tục Lipschitz , N := {1, 2, , N } , Σ tập hợp hàm số khúc σ : [0, +∞)×Kn → N gọi tín hiệu chuyển mạch luật chuyển mạch Các hệ hệ liên tục hay rời rạc, khơng suy biến (chính quy) hay suy biến Tín hiệu chuyển mạch σ phụ thuộc vào biến thời gian t biến trạng thái x hai, hay chuyển mạch ngẫu nhiên với hàm phân phối cho trước Hệ chuyển mạch có nhiều ứng dụng lĩnh vực, chẳng hạn hệ thống khí, ngành cơng nghiệp ô tô, điều khiển máy bay, chuyển đổi lượng (xem sách Liberzon 2003 Sun 2011) Một toán quan trọng nghiên cứu hệ chuyển mạch tìm điều kiện để hệ chuyển mạch ổn định với luật chuyển mạch ổn định hóa luật chuyển mạch thỏa mãn ràng buộc cho trước Các phương pháp sử dụng nhiều phương pháp hàm Lyapunov, nguyên lý so sánh nghiệm, bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) đại số Lie Dưới xin dẫn vài kết tiêu biểu cho trường hợp hệ tuyến tính Xét hệ chuyển mạch tuyến tính Kn dạng x(t) ˙ = Aσ(t) x(t), x ∈ Kn , t ≥ 0, σ ∈ Σ, (2) đó, σ(·) : [0, +∞) → N hàm khúc, liên tục phải, Aσ(t) ∈ A := {Ak ∈ Kn×n , k ∈ N }, t ≥ tập hữu hạn cho trước ma trận cấp n trường số K, với K = R C Khi nghiệm x = hệ chuyển mạch (2) ổn định mũ với tín hiệu chuyển mạch tất hệ x(t) ˙ = Ak x(t), t ≥ 0, k ∈ N , có chung hàm Lyapunov toàn phương dạng V (x) = x P x, P ma trận đối xứng xác định dương Các trường hợp riêng kết tất ma trận Ak hệ ổn định Hurwitz (tức tất giá trị riêng chúng nằm nửa bên trái mặt phẳng phức) giao hốn đơi (được đưa Narendra) chuẩn tắc (xem Zhai) đưa dạng ma trận tam giác (tức tồn ma trận không suy biến T cấp n cho tất ma trận T −1 Ak T, k ∈ N ma trận tam giác xem Mori) điều kiện đại số dựa đại số Lie tạo ma trận hệ Ak , k ∈ N (theo Agrachev) Tuy nhiên điều kiện đủ Một điều kiện cần đủ để hệ chuyển mạch tuyến tính ổn định mũ với tín hiệu chuyển mạch Monchanov Pyatnitskii đưa tồn hàm Lyapunov V (x) chung, V hàm lồi chặt bậc biến x Bên cạnh hướng nghiên cứu hệ chuyển mạch, khía cạnh ổn định vững cho hệ không chắn chứa tham số nhiễu nhận quan tâm đáng kể lý thuyết hệ thống điều khiển thập kỷ qua Với hệ ổn định tiệm cận x(t) ˙ = A0 x(t), t ≥ người ta đo độ vững tính ổn định tiệm cận cho hệ khái niệm bán kính ổn định, định nghĩa số δ0 ≥ lớn cho hệ nhiễu x(t) ˙ = (A0 + ∆)x(t), t ≥ ổn định tiệm cận với n nhiễu ∆ ∈ K thỏa mãn ∆ < δ0 Trong trường hợp K = C, cơng thức thuật tốn tính bán kính ổn định phức Hinrichsen Pritchard đưa năm 1986 Bài tốn tương tự cho bán kính ổn định thực phức tạp nhiều nghiên cứu năm 1995 Qiu cộng Về mặt hình học, bán kính ổn định khoảng cách từ tập ổn định đến tập không ổn định hệ thống Xuất phát từ quan điểm lý thuyết thực tiễn, vấn đề mơ tả tính tốn bán kính ổn định có tầm quan trọng lớn, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Đáng ý vấn đề tương tự xem xét nhiễu tổng qt hơn, ví dụ: nhiễu có cấu trúc A0 → A0 + D∆E N đa nhiễu A0 → A0 + Di ∆i Ei cho nhiều loại hệ động lực tuyến tính khác, bao gồm i=1 hệ khơng dừng hệ có trễ, hệ ẩn, hệ dương hệ tuyến tính khơng gian vơ hạn chiều, thời gian liên tục rời rạc Những người quan tâm đến toán ổn định vững hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu tìm đọc chun khảo Hinrichsen Pritchard năm 2005, ngồi kết tốn học thú vị cịn có danh mục tài liệu tham khảo phong phú chủ đề Một câu hỏi đặt liệu người ta xác định thước đo độ vững (bán kính ổn định) cho hệ chuyển mạch tuyến tính hay khơng? Hơn nữa, làm để mơ tả tính tốn bán kính ổn định đó? Theo hiểu biết tốt chúng tôi, câu hỏi chưa giải quyết, khía cạnh phân tích ổn định vững lớp hệ chuyển mạch nghiên cứu số tác giả Liberzon, Y Sun, Letel, Bagherzadeh, Zhang Bản luận án trả lời phần cho câu hỏi Phần đầu Chương 2, đưa định nghĩa bán kính ổn định cho hệ chuyển mạch tuyến tính (2) với giả thiết ma trận hệ chịu nhiễu Ak → Ak + Dk ∆k Ek , k ∈ N thiết lập số cận cận cho bán kính ổn định Trong số trường hợp đặc biệt, cận cho ta cơng thức bán kính ổn định cho số hệ chuyển mạch tuyến tính chịu nhiễu khơng có cấu trúc Chúng muốn nhấn mạnh hầu hết cơng trình biết ổn định vững hệ chuyển mạch giả thiết ma trận nhiễu ∆i bị ràng buộc Các kết luận án không u cầu giả thiết nói trên, địi hỏi cách tiếp cận khác biệt Tiếp theo, Chương Luận án nghiên cứu toán ổn định vững hệ chuyển mạch mô tả hệ phương trình vi phân có trễ Trong đó, tốc độ thay đổi trạng thái không phụ thuộc vào trạng thái hệ thống mà phụ thuộc vào trạng thái khứ Cho đến nay, hầu hết cơng trình lĩnh vực tập trung vào phân tích độ ổn định cho hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ rời rạc dạng x(t) ˙ = A0σ(t) x(t) + A1σ(t) x(t − h), t ≥ 0, σ ∈ Σ, (3) h > thời gian trễ Hiện việc nghiên cứu tính ổn định hệ có trễ phương pháp hàm Lyapunov toàn phương chung cổ điển thay hàm Lyapunov-Krassovski Để xây dựng hàm Lyapunov-Krassovski chung cho hệ có trễ dạng tổng quát khó Tuy nhiên, trường hợp hệ chuyển mạch tuyến tính dương có trễ, người ta xây dựng hàm Lyapunov đồng dương tuyến tính chung (tức V (x) = v x, v ∈ Rn , v 0) Ngồi ra, tính chất phổ ma trận không âm kết từ lý thuyết hệ dương sử dụng hiệu để nghiên cứu tính ổn định hệ chuyển mạch dương tuyến tính Phần cuối chương 2, dựa cách tiếp cận trên, đưa số tiêu chuẩn ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng qt mơ tả phương trình vi phân phiếm hàm (FDE) tuyến tính x(t) ˙ = A0σ(t) x(t) + Lσ(t) xt , t ≥ 0, σ ∈ Σ, (4) đó, với t ≥ 0, xt (θ) := x(t + θ), θ ∈ [−h, 0] Lσ(t) tốn tử tuyến tính bị chặn từ C([−h, 0], Rn ) vào Rn Các tiêu chuẩn thu bao gồm nhiều kết biết (liên quan đến ổn định tiệm cận hệ thống chuyển mạch có nhiều độ trễ rời rạc độ trễ phân phối) trường hợp đặc biệt Áp dụng kết này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng qt dạng (4) liệu hệ A0σ , Lσ chịu nhiễu cấu trúc đưa số ước lượng cho bán kính ổn định Mặc dù có số kết tương tự trường hợp riêng đưa Li theo hiểu biết chúng tơi, nay, tốn ổn định vững cho hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ dạng tổng quát nghiên cứu lần luận án Song song với hướng nghiên cứu tốn ổn định vững hệ chuyển mạch với tín hiệu chuyển mạch, toán ổn định vững lớp tín hiệu chuyển mạch thỏa mãn điều kiện ràng buộc, đặc biệt hệ chuyển mạch tuần hoàn nghiên cứu nhiều Trong thực tế, hệ chuyển mạch tuần hồn đóng vai trị quan trọng chẳng hạn mạch điện, điều khiển, lọc chuyển đổi hộp số xe đưa Bolzern, Tokarzewski Mơ hình tốn học hệ chuyển mạch tuần hoàn biểu diễn dạng hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = Ak x(t); tk−1 + T ≤ t < tk + T ; k ∈ N , (5) x(t0 ) = x0 ; = 0, 1, ; t ≥ t0 Hệ (5) biểu diễn dạng hệ chuyển mạch (2) với tín hiệu chuyển mạch σ hàm tuần hoàn, khúc từ tập [0, +∞) vào tập số N xác định σ(t) = k với t ∈ [tk−1 + T, tk + T ), k = 1, , N ; = 0, 1, Một số tác giả nghiên cứu hướng ny, chng hn Anh, Dai, Gă okcek, Shorten ú phân tích tính ổn định ổn định hóa hệ chuyển mạch tuyến tính thời gian liên tục thời gian rời rạc tuần hoàn Đến năm 2009, Liberzon Trenn có kết hệ chuyển mạch suy biến dạng Eσ(t) x(t) ˙ = Aσ(t) x(t), Eσ(t) tập hữu hạn ma trận suy biến Trong Chương 3, luận án đưa khái niệm bán kính ổn định cho lớp hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính thiết lập số ước lượng cho bán kính ổn định tác động nhiễu lên hệ thống thời điểm chuyển mạch Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững ổn định hóa vững lớp hệ chuyển mạch tuyến tính, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov tồn phương chung nguyên lý so sánh nghiệm nhằm đưa tiêu chuẩn ổn định mũ sử dụng chúng để đánh giá tính ổn định vững ổn định hóa vững hệ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu tính ổn định số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính thời gian liên tục chịu nhiễu cấu trúc afin sau đây: • Hệ chuyển mạch tuyến tính x(t) ˙ = Aσ(t) x(t), t ≥ 0, σ ∈ Σ, Aσ(t) ∈ A := {Ak ∈ Kn×n , k ∈ N }, t ≥ • Hệ chuyển mạch tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc x(t) ˙ = Aˆσ(t) x(t), t ≥ 0, σ ∈ Σ, Aˆσ(t) ∈Aˆ := {Ak +Dk ∆k Ek , ∆k ∈ Klk ×qk , k ∈ N }, t ≥ • Hệ chuyển mạch có trễ tổng qt mơ tả phương trình vi phân phiếm hàm tuyến tính tổng quát x(t) ˙ = A0σ(t) x(t) + d[ησ(t) (θ)]x(t + θ), t ≥ 0, σ ∈ Σ −h • Hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng quát chịu nhiễu cấu trúc x(t) ˙ = A0σ(t) x(t) + A0σ(t) ∈ A := d[ησ(t) (θ)]x(t + θ), t ≥ 0, σ ∈ Σ, −h A0k := A0k + Dk0 ∆k Ek0 , ∆k ∈ Rrk ×qk , k ∈ N , ησ(t) (·) ∈ Γ := ηk := ηk +Dk1 δk (·)Ek1 , δk ∈ N BV ([−h, 0], Rsk ×pk ), k ∈ N • Hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính x(t) ˙ = Ak x(t); tk−1 + T ≤ t < tk + T ; k ∈ N , x(t0 ) = x0 ; = 0, 1, ; t ≥ t0 • Hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc hệ thống x(t) ˙ = (Ak + Dk ∆k Ek )x(t); tk−1 + T ≤ t < tk + T ; k ∈ N , x(t0 ) = x0 ; = 0, 1, ; t ≥ t0 • Hệ chuyển mạch tuần hoàn chịu nhiễu hệ thống thời điểm chuyển mạch x(t) ˙ = (Ak + Dk ∆k Ek )x(t); tk−1 + δtk−1 + T ≤ t < tk + δtk + T ; k ∈ N , x(t0 ) = x0 ; = 0, 1, ; t ≥ t0 Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng phương pháp lý thuyết ổn định phương trình vi phân (lý thuyết hàm Lyapunov, nguyên lý so sánh nghiệm, lý thuyết Floquet), phương pháp giải tích, giải tích hàm đại số tuyến tính (lý thuyết Perron -Frobenius, định lý Hahn-Banach, biểu diễn Riesz, ) Kết luận án Luận án nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững ổn định hóa vững cho hệ chuyển mạch tuyến tính thu kết sau: • Đưa khái niệm bán kính ổn định cấu trúc hệ chuyển mạch tuyến tính với tín hiệu chuyển mạch Đánh giá bán kính ổn định hệ dựa hàm Lyapunov toàn phương chung nguyên lý so sánh nghiệm • Chứng minh số điều kiện đủ ổn định mũ cho hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng qt mơ tả phương trình vi phân phiếm hàm sử dụng điều kiện thu để đánh giá độ ổn định vững hệ ma trận chịu nhiễu cấu trúc affine • Đưa khái niệm bán kính ổn định cấu trúc, đánh giá cận bán kính ổn định ổn định hóa vững cho hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính Các kết luận án báo cáo tại: - Xêmina mơn Tốn học tính tốn Tốn ứng dụng, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội - Các hội thảo Tối ưu Tính tốn khoa học lần thứ 13 (Ba Vì, Hà Nội, 2325/4/2015), lần thứ 14 (Ba Vì, Hà Nội, 21-23/4/2016), lần thứ 15 (Ba Vì, Hà Nội, 20-22/4/2017) lần thứ 17 (Ba Vì, Hà Nội, 18-20/4/2019) - The second Vietnam International Applied Mathematics Conference, HCM City, 12-2017 -Hội nghị Tốn học tồn quốc lần thứ 9, Nha Trang, 8-2018 Các kết luận án đăng tạp chí Applied Mathematics and Computation (xem [CT1]), IET Control Theory & Applications (xem [CT2])) gửi đăng (xem [CT3]) Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận kiến nghị, danh mục cơng trình cơng bố danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm khơng gian định chuẩn, chuẩn tốn tử tuyến tính số kết bổ trợ khác; lý thuyết ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân tổng qt, hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ chuyển mạch tổng quát hệ chuyển mạch tuyến tính; tốn ổn định vững hệ chịu nhiễu hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ phương trình vi phân có trễ Chương Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov toàn phương nguyên lý so sánh nghiệm thiết lập điều kiện ổn định mũ Tiếp theo, sử dụng điều kiện ổn định mũ thu đo độ ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ Chương Tính ổn định vững ổn định hóa vững hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính Chúng tơi đưa định nghĩa bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuần hồn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống nhiễu hệ thống thời điểm chuyển mạch Từ đó, chúng tơi đưa đánh giá cận trên/dưới cho bán kính ổn định Tiếp theo đưa khái niệm định lý ổn định hóa nhanh ổn định hóa chậm hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc hệ thống Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong Chương này, trình bày lại số khái niệm kết biết lý thuyết ổn định hệ động lực nói chung, tốn ổn định vững hệ tuyến tính mơt số kết bổ trợ sử dụng luận án 1.1 Véc tơ ma trận Cho hai ma trận thực cỡ l × q A = (aij ) B = (bij ) bất đẳng thức A ≥ B có nghĩa aij ≥ bij với i ∈ l, j ∈ q Đặc biệt aij > bij với i ∈ l, j ∈ q ta viết A B thay cho A ≥ B Với x = (x1 , x2 , , xm ) ∈ Rm P = (pij ) ∈ Rl×q ta định nghĩa giá trị tuyệt đối véc tơ ma trận sau |x| = (|xi |) |P | = (|pij |) Định nghĩa 1.1 Cho X không gian véc tơ trường K Ánh xạ · : X → R gọi chuẩn X thỏa mãn điều kiện với ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K: i) x ≥ 0, x = ⇔ x = 0; ii) λx = |λ| x ; iii) x + y ≤ x + y Cho ma trận A ∈ Kn×n ta định nghĩa kí hiệu hồnh độ phổ, bán kính phổ A µ(A) := max{ λ : λ ∈ σ(A)}, ρ(A) := max{|λ| : λ ∈ σ(A)} σ(A) := {z ∈ C : det(zIn − A) = 0} phổ ma trận A n×n Bổ đề 1.1 Cho trước B Rnìn Khi ú, |C| B à(A+C) ≤ µ(A+B) + ,C ∈C Định nghĩa 1.2 (Chuẩn tốn tử ma trận) Cho ma trận M ∈ Kl×q chuẩn tốn tử tuyến tính M : Kq → Kl , x → M x xác định M := max Mxx = x=0 max x =1 Mx , gọi chuẩn toán tử ma trận M Định nghĩa 1.3 Một ma trận thực cấp n gọi ma trận Metzler phần tử nằm ngồi đường chéo khơng âm Điều có nghĩa ma trận A := (aij ) ∈ Rn×n , i, j ∈ n gọi ma trận Metzler aij ≥ với i, j ∈ n, i = j Định lý 1.1 (Định lý Perron-Frobenius ) Giả sử A ∈ Rn×n ma trận Metzler t ∈ R Khi i) µ(A) giá trị riêng A tồn véc tơ không âm x ∈ Rn+ , x = cho Ax = µ(A)x ii) Giả sử α ∈ R cho trước Khi đó, tồn véc tơ không âm x ∈ Rn , x = 0, cho Ax ≥ αx µ(A) ≥ α iii) (tIn − A)−1 tồn không âm t > µ(A) Định lý 1.2 Cho A ∈ Rn×n ma trận Metzler Những điều kiện sau tương đương: i) µ(A) < 0; ii) Tồn p ∈ Rn+ , p cho Ap 0; iii) A khả nghịch −A−1 ≥ Bổ đề 1.2 Cho ma trận A ∈ R n×n A e = ∞ k=0 Ak Khi k! eA ≤ e A+A∗ Bổ đề 1.3 Cho A, B ma trận Hermit Khi i) λmax (A+B) ≤ λmax (A)+λmax (B); ii) −λmax (A) ≤ λmax (−A); iii) eA = eλmax (A) Bổ đề 1.4 Cho α, β, γ số dương ω = max{α, β} thỏa mãn Ω := (x, y) ∈ R2 : xy + αx + βy − γ ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ √ αβ + γ − (α + β) αβ + γ > ω , γ αβ + γ ≤ ω ω = β > α, Khi đó, {x + y} = β (x,y)∈Ω γ αβ + γ ≤ ω ω = α > β α 1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov Xét hệ động lực mô tả hệ phương trình vi phân x˙ = f (x), x ∈ Rn , t ≥ 0, (1.1) f : D → Rn hàm Lipschitz địa phương tập mở D, ∈ D, f (0) = thỏa mãn điều kiện cho với x0 ∈ D (1.1) có nghiệm, kí hiệu x(t) := x(t, x0 ) thỏa mãn x(0) = x0 xác định toàn [0, +∞) Định nghĩa 1.4 i) Nghiệm x = hệ (1.1) gọi ổn định (ổn định Lyapunov) ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, x0 ) > : x0 < δ ⇒ x(t) < ε, ∀t ≥ ii) Nghiệm x = hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận (địa phương) nghiệm ổn định ∃δ = δ(ε, x0 ) > : x0 < δ lim x(t) = t→+∞ iii) Nghiệm x = hệ (1.1) gọi ổn định mũ (địa phương) ∃α > 0, β > ∃δ = δ(ε, x0 ) > : x0 < δ x(t) ≤ α x0 e−βt , ∀t ≥ cho hệ nhiễu (A, ηδ ) không ổn định mũ (1.9) Xét hàm truyền Gij (s) = Ei H(s)−1 Dj , i, j ∈ M với H(s) = sIn − A − sθ −h e d[η(θ)] Định lý 1.6 Giả sử hệ (1.7) ổn định mũ chịu nhiễu cấu trúc affine dạng (1.8) 1 ≤ rC (A, η) ≤ Hơn nữa, D0 = đó, maxi,j∈M ; ω∈R Gij (ıω) maxi∈M ; ω∈R Gii (ıω) D1 E0 = E1 cơng thức bán kính ổn định phức rC (A, η) = maxi∈M ; ω∈R Gii (ıω) Định nghĩa 1.6 Hệ (1.7) gọi dương với hàm giá trị ban đầu ϕ ∈ C([−h, 0], Rn+ ) nghiệm hệ (1.7) thỏa mãn x(t, ϕ) ∈ Rn+ với t ≥ Định lý 1.7 Các mệnh đề sau tương đương : i) Hệ (1.7) hệ dương; ii) A ∈ Rn×n ma trận Metzler L tốn tử dương; iii) A ∈ Rn×n ma trận Metzler η(·) đơn điệu tăng Định lý 1.8 Hệ dương (1.7) ổn định mũ µ(A + η(0)) < Giả sử (1.7) hệ dương ổn định mũ chịu nhiễu cấu trúc dạng (1.8) với ma i q i ×n trận cấu trúc Di ∈ Rn×l , i ∈ M = {0, 1} ta có định nghĩa bán + , Ei ∈ R+ kính ổn định hệ r+ (A, η) := inf ∆ ; ∆ := [∆, δ] ∈ D+ , cho hệ nhiễu(A, ηδ ) khơng ổn định mũ 0 l ×q đó, D+ = ∆ := [∆, δ], ∆ ∈ R+ , δ ∈ N BV ([−h, 0], Rl ×q ) ηδ hàm tăng Định lý 1.9 Giả sử hệ dương (A, η) mô tả phương trình vi phân phiếm hàm i (1.7) ổn định mũ chịu nhiễu cấu trúc affine dạng (1.8) Di ∈ Rn×l + , Ei ∈ i Rq+ ×n , i ∈ M = {0, 1} Nếu D0 = D1 E0 = E1 rC (A, η) = rR (A, η) = r+ (A, η) = 1 = max Gii (0) max Ei (−A − η(0))−1 Di i∈M 1.4 i∈M Kết luận chương Trong Chương này, nhắc lại số khái niệm véc tơ ma trận; khơng gian định chuẩn, chuẩn tốn tử tuyến tính số bổ trợ; lý thuyết ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân tổng qt, hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ chuyển mạch đưa khái niệm ổn định hàm Lyapunov; toán ổn định vững hệ chịu nhiễu hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ phương trình vi phân có trễ 11 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH BẤT KỲ TUYẾN TÍNH Kết chương đăng báo [CT2] [CT3] gửi đăng 2.1 2.1.1 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính Nghiên cứu tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính sử dụng hàm Lyapunov tồn phương Xét hệ chuyển mạch tuyến tính Kn có dạng x(t) ˙ = Aσ(t) x(t), t ≥ 0, σ ∈ Σ, Aσ(t) ∈ A := {Ak ∈ Kn×n , k ∈ N }, t ≥ 0, (2.1) Nghiệm không hệ thống (2.1) ổn định mũ với tín hiệu chuyển mạch tất hệ thống (2.2) x(t) ˙ = Ak x(t), t ≥ 0, k ∈ N , có hàm Lyapunov tồn phương chung dạng V (x) = x P x P ma trận đối xứng xác định dương thỏa mãn hệ bất P Ak + Ak P < với k = 1, 2, , N Trước tiên ta nghiên cứu lý thuyết ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân tuyến tính thường dạng x(t) ˙ = Ax(t), x ∈ Kn , t ≥ 0, (2.3) với ma trận A ∈ Kn×n xác định tốn tử tuyến tính LA : Hn → Hn cho công thức LA (P ) = −(P A + A∗ P ), Hn tập ma trận Hermit ma trận P ∈ Hn Gọi UA tập hợp tất hàm Lyapunov toàn phương hệ (2.3) (tức V˙ (x(t)) < ∀t ≥ , x(t) nghiệm (2.3) cho x(0) = x0 = 0) Gọi Hn+ tập ma trận Hermit xác định dương hệ phương trình tuyến tính (2.3) ổn định Hurwitz tập UA := {P ∈ Hn+ : LA (P ) ∈ Hn+ } khác rỗng Giả thiết hệ (2.3) ổn định Hurwitz ma trận P ∈ UA = ∅ điều tương đương P ∈ Hn+ LA (P ) ∈ Hn+ Vì ánh xạ LA phụ thuộc liên tục vào ma trận A nón Hn+ 12 mở, LA+D∆E (P ) ∈ Hn+ , với nhiễu đủ nhỏ ∆ ∈ Kl×q D ∈ Kn×l , E ∈ Kq×n ma trận xác định cấu trúc nhiễu Với ma trận P ∈ UA ta đo chất lượng hàm Lyapunov VP (x) = x∗ P x đại lượng dK (A, P, D, E) := inf{ ∆ : ∆ ∈ Kl×q , LA+D∆E (P ) ∈ Hn+ } (2.4) Định lý 2.1 Nếu hệ (2.3) ổn định Hurwitz VP (x) = x∗ P x, P ∈ UA hàm QLF hệ độ vững dK (A, P, D, E) VP (x) theo công thức (2.4) thỏa mãn λmin (LA (P )) dK (A, P, D, E) ≥ D E λmax (P ) Ta đo mức độ tốt hàm Lyapunov hệ (2.3) d¯K (A, D, E) := supP ∈U dK (A, P, D, E) A Định lý 2.2 Nếu hệ (2.3) ổn định Hurwitz D ≤ d¯K (A, D, E) ≤ rK (A, D, E), E λmax (PI ) (2.5) rK (A, D, E) bán kính ổn định có cấu trúc A PI = L−1 (I) nghiệm phương trình Lyapunov LA (P ) = −(P A + A∗ P ) = I Xét hệ chuyển mạch (2.1) Kn với x0 ∈ Kn tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ hệ chuyển mạch (2.1) có nghiệm x(t, x0 , σ), t ≥ thỏa mãn x(0) = x0 Định nghĩa 2.1 Hệ chuyển mạch tuyến tính (2.1) gọi ổn định mũ tồn số dương M, β cho nghiệm hệ phương trình (2.1) thỏa mãn x(t, x0 , σ) ≤ M e−βt x0 , ∀t ≥ 0, (2.6) với x0 ∈ Kn tín hiệu chuyển mạch σ ∈ Σ Giả sử hệ chuyển mạch tuyến tính (2.1) ổn định mũ ma trận Ak , k ∈ N chịu nhiễu cấu trúc dạng Ak → Aˆk := Ak + Dk ∆k Ek , k ∈ N , (2.7) đó, Dk ∈ Kn×lk , Ek ∈ Kqk ×n ma trận xác định cấu trúc nhiễu ∆k ∈ Klk ×qk , k ∈ N ma trận nhiễu chưa biết Khi hệ chuyển mạch chịu nhiễu mô tả sau: x(t) ˙ = Aˆσ(t) x(t), t ≥ 0, σ ∈ Σ, (2.8) Aˆσ(t) ∈Aˆ := {Ak +Dk ∆k Ek , ∆k ∈ Klk ×qk , k ∈ N }, t ≥ Để đơn giản ta đặt D := {Dk ; Dk ∈ Kn×lk , k ∈ N }, E := {Ek ; Ek ∈ Kqk ×n , k ∈ N } Ta đo kích thước nhiễu ∆ := (∆1 , ∆2 , , ∆N ) ∈ Kl1 ×q1 × Kl2 ×q2 × × KlN ×qN ∆ max := maxk∈N ∆k Giả sử hệ chuyển mạch (2.1) ổn định mũ có QLF chung, tức UA := ∩k∈N UAk = ∅, nón UAk tập hàm Lyapunov tồn phương hệ Cho ma trận P ∈ UA , ta đặt α(P ) := smin (LAk (P )) k∈N 13 (2.9) Định lý 2.3 Nếu hệ chuyển mạch (2.1) ổn định mũ có hàm QLF chung hệ chuyển mạch chịu nhiễu (2.8) cịn ổn định mũ với nhiễu cấu trúc dạng (2.7) α(P ) thoản mãn ∆ max < 2M supP ∈UA λmax (P ) , M := max Dk Ek (2.10) k∈N Định nghĩa 2.2 Giả sử hệ chuyển mạch tuyến tính (2.1) ổn định mũ hệ thống chịu nhiễu cấu trúc Ta định nghĩa bán kính ổn định sau: rK (A,D, E) := inf ∆ max ; ∆ = (∆1 , , ∆N ), ∆k ∈ Klk ×qk , ∃σ ∈ Σ cho (2.8) không ổn định mũ , (2.11) Định lý 2.4 Nếu hệ chuyển mạch tuyến tính (2.1) ổn định mũ có UA = ∅ bán kính ổn định có cấu trúc với nhiễu affine thỏa mãn α(P ) sup ≤ rK (A, D, E) ≤ min{rK (Ak , Dk , Ek )}, k∈N 2M P ∈ UA smax (P ) (2.12) k ∈ N , rK (Ak , Dk , Ek ) bán kính ổn định có cấu trúc hệ (2.2) Hệ 2.1 Hệ chuyển mạch tuyến tính khơng chắn (2.8) ổn định mũ với tín hiệu chuyển mạch, tồn ma trận Hermit P xác định dương cho điều kiện sau thỏa mãn LAk (P ) = −(P Ak + A∗k P ) xác định dương với k ∈ N , α(P ) ∆ max < , 2M λmax (P ) ∆ max (2.13) (2.14) := max ∆k , α(P ), M xác định tương ứng (2.9) (2.10) k∈N Hệ sau trường hợp cận trên, cận cho cơng thức bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính Hệ 2.2 Nếu ma trận Ak ∈ Cn×n , k ∈ N chuẩn tắc (tức Ak A∗k = A∗k Ak ) ổn định Hurwitz chịu nhiễu không cấu trúc dạng Ak → Aˆk := Ak + ∆k , k ∈ N bán kính ổn định hệ (2.1) thỏa mãn smin (−(Ak +A∗k )) ≤ rK (A) ≤ Re smin (−Ak ) k∈N k∈N (2.15) Hơn nữa, Ak ∈ Cn×n , k ∈ N ma trận Hermit ổn định bán kính thực bán kính phức với nhiễu khơng cấu trúc (2.1) rR (A) = rC (A) = smin (−Ak ) k∈N 14 2.1.2 Nghiên cứu tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính sử dụng nguyên tắc so sánh nghiệm Bổ đề 2.1 Xét hệ chuyển mạch tuyến tính (2.1) với K = R Nếu tồn véc tơ ξ ∈ Rn+ , ξ cho M(Ak )ξ 0, ∀k ∈ N , (2.16) hệ chuyển mạch (2.1) ổn định mũ với tín hiệu chuyển mạch Hệ 2.3 Nếu tồn ma trận ổn định Hurwitz A0 ∈ Rn×n cho M(Ak ) ≤ A0 , ∀k ∈ N , hệ (2.1) ổn định mũ với σ ∈ Σ Xét nón lồi mở GA = ∩k∈N GAk GAk = {ξ ∈ Rn+ : ξ M(Ak )ξ k k k ξ ∈ GA k ∈ N , ta có M(Ak )ξ = −(β1 (ξ), β2 (ξ), , βn (ξ)) Nếu (2.16) thỏa mãn βik (ξ) > với k ∈ N , i ∈ n, ta đặt β(ξ) := βik (ξ), 0} Với (2.17) k∈N ,i∈n Định lý 2.5 Giả sử không gian véc tơ trang bị chuẩn · γ , γ = γ = ∞ Giả sử hệ chuyển mạch tuyến tính (2.1) ổn định mũ chịu nhiễu cấu trúc (2.7) Ngoài ra, điều kiện (2.16) thỏa mãn, nghĩa GA = ∅ bán kính ổn định thỏa mãn bất đẳng thức β(ξ) (2.18) sup ≤ rK (A, D, E) ≤ min{rK (Ak , Dk , Ek )}, k∈N M ξ∈ GA ξ M, β(ξ) xác định (2.10) (2.17) Định lý 2.6 Giả sử không gian véc tơ trang bị chuẩn · giả thiết Định lý 2.5 thỏa mãn Khi bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính (2.1) chịu nhiễu cấu trúc (2.7) thỏa mãn bất đẳng thức rK (A, D, E) ≥ β(ξ) sup nM ξ∈ GA ξ (2.19) Định lý 2.7 Cho K = R Rn trang bị chuẩn · γ , với γ = γ = ∞ Giả sử hệ chuyển mạch (2.1) ổn định mũ hệ nhiễu cấu trúc với lk = l0 , qk = q0 với k ∈ N Hơn nữa, giả sử tồn ma trận Metzler ổn định Hurwitz A0 ∈ Rn×n q0 ×n cho ma trận khơng âm D0 ∈ Rn×l + , E0 ∈ R+ M(Ak ) ≤ A0 , |Dk | ≤ D0 , |Ek | ≤ E0 , ∀k ∈ N Khi bán kính ổn định thực hệ (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức rR (A, D, E) ≥ D0 E0 A−1 q0 15 , q0 := 1n := (1, 1, · · · , 1) Định lý 2.8 Trong không gian véc tơ trang bị chuẩn · giả thiết Định lý 2.7 thỏa mãn Khi bán kính ổn định hệ (2.1) chịu nhiễu cấu trúc , thỏa mãn rR (A, D, E) ≥ n D0 E0 A−1 q0 Hệ 2.4 Giả sử ma trận Ak ∈ Rn×n , k ∈ N ổn định Hurwitz hệ chịu nhiễu không cấu trúc dạng Ak → Aˆk := Ak + ∆k , k ∈ N Hơn nữa, giả sử tồn ma trận Metzler ổn định Hurwitz A0 cho M(Ak ) ≤ A0 , k ∈ N Khi đó, bán kính ổn định hệ chuyển mạch (2.1) thỏa mãn rR (A) ≥ chuẩn véc tơ 2.2 2.2.1 · ∞ · Nếu theo chuẩn véc tơ · , theo A−1 n rR (A) ≥ −1 n A0 1n Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ Điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ Xét hệ chuyển mạch tuyến tính với trễ tổng quát dạng x(t) ˙ = A0σ(t) x(t) + d[ησ(t) (θ)]x(t + θ), t ≥ 0, σ ∈ Σ, (2.20) −h A0σ(t) ∈ A ∈ Rn×n ησ(t) ∈ Γ := {ηk , k ∈ N } ∈ N BV ([−h, 0], Rn×n ) Mỗi tín hiệu σ xác định luật chuyển mạch với thời gian dừng τ (σ) N hệ tuyến tính có trễ dạng x(t) ˙ = A0k x(t) d[ηk (θ)]x(t + θ), t ≥ 0, k ∈ N + (2.21) −h Sử dụng kết từ Hale-Lunel với ϕ ∈ C([−h, 0], Rn ) với σ ∈ Σ hệ chuyển mạch (2.20) có nghiệm x(t) = x(t, ϕ, σ), t ≥ −h, thỏa mãn điều kiện ban đầu x(θ) = ϕ(θ), θ ∈ [−h, 0] Định nghĩa 2.3 Hệ chuyển mạch (2.20) gọi ổn định mũ với tín hiệu chuyển mạch tồn số dương M, β cho với ϕ ∈ C([−h, 0], Rn ), σ ∈ Σ, nghiệm x(t, ϕ, σ) hệ (2.20) thỏa mãn x(t, ϕ, σ) ≤ M e−βt ϕ , ∀t ≥ Định lý 2.9 Xét hệ chuyển mạch có trễ (2.20) Nếu tồn véc tơ ξ ∈ Rn+ , ξ cho (M(A0k ) + V (ηk ))ξ 0, ∀k ∈ N , (2.22) đó, M(A0k ) ma trận Metzler, V (ηk ) := (V ar[−h,0] (δij )) ∈ Kp×q ma + trận khơng âm, hệ chuyển mạch có trễ (2.20) ổn định mũ với tín hiệu chuyển mạch 16 Hệ 2.5 Giả sử tồn ma trận Metzler A0 ∈ Rn×n hàm tăng η0 (·) ∈ N BV ([−h, 0], Rn×n ) cho M(A0k ) ≤ A0 , V (ηk ) ≤ V (η0 ), ∀k ∈ N , hệ tuyến tính có trễ d[η0 (θ)]x(t + θ), t ≥ 0, x(t) ˙ = A0 x(t) + (2.23) −h ổn định mũ Khi hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ (2.20) ổn định mũ với tín hiệu chuyển mạch Hệ chuyển mạch (2.20) (nếu cần thêm ma trận không) tương đương với hệ m x(t) ˙ = A0σ(t) x(t)+ Aiσ(t) x(t−hiσ(t) )+ i=1 Bσ(t) (θ)x(t+θ)dθ, t ≥ 0, σ ∈ Σ Hệ 2.6 Xét hệ chuyển mạch có trễ (2.24) Nếu tồn ξ ∈ Rn+ , ξ M(A0k ) + m i=1 |Aik |+ −h |Bk (s)|ds (2.24) −h thỏa mãn 0, ∀k ∈ N , hệ ổn định mũ với tín hiệu ξ chuyển mạch 2.2.2 Cận bán kính ổn định hệ chuyển mạch có trễ Giả thiết hệ chuyển mạch tuyến tính (2.20) ổn định mũ với tín hiệu chuyển mạch ma trận Ak , ηk (·), k ∈ N hệ (2.21) chịu nhiễu cấu trúc dạng A0k → A0k := A0k + Dk0 ∆k Ek0 , k ∈ N , ηk (·) → ηk (·) := ηk (·) + Dk1 δk (·)Ek1 , k ∈ N , (2.25) đặt D := {(Dk0 , Dk1 ); Dk0 ∈ Rn×rk , Dk1 ∈ Rn×sk , k ∈ N }, E := {(Ek0 , Ek1 ); Ek0 ∈ Rqk ×n , Ek1 ∈ Rpk ×n , k ∈ N } Hệ chịu nhiễu cấu trúc mô tả phương trình vi phân x(t) ˙ = A0σ(t) x(t) + d[ησ(t) (θ)]x(t + θ), t ≥ 0, σ ∈ Σ, (2.26) −h A0σ(t) ∈ A := A0k := A0k + Dk0 ∆k Ek0 , ∆k ∈ Rrk ×qk , k ∈ N , ησ(t) (·) ∈ Γ := ηk := ηk +Dk1 δk (·)Ek1 , δk ∈ N BV ([−h, 0], Rsk ×pk ), k ∈ N Chúng tơi đo kích thước nhiễu ∆ := {[∆k , δk (·)], k ∈ N }, với ∆k ∈ Rrk ×qk , δk (·) ∈ N BV ([−h, 0], Rsk ×pk ), giá trị sau ∆ max := maxk∈N ( ∆k + δk ) Ta định nghĩa bán kính ổn định thực có cấu trúc theo cơng thức sau rR (A,Γ,D,E) := inf ∆ max : ∃σ ∈ Σ cho hệ (2.26) không ổn định mũ (2.27) 17 Xét nón lồi mở khác rỗng GA,Γ = ξ ∈ Rn+ : ξ M(A0k ) + V (ηk ) ξ 0, k ∈ N (2.28) Với véc tơ ξ ∈ GA,Γ k ∈ N , ký hiệu M(A0k )+V (ηk ) ξ = −(β1k (ξ), β2k (ξ), , βnk (ξ)) định nghĩa β(ξ) := mink∈N ,i∈n βik (ξ) Định lý 2.10 Giả sử không gian véc tơ trang bị chuẩn · γ , γ = or ∞ Nếu GA,Γ = ∅ bán kính ổn định hệ (2.20) chịu nhiễu cấu trúc thỏa mãn bất đẳng thức β(ξ) sup ≤ rR (A, Γ, D, E) ≤ rR (A0k , ηk , Dk , Ek ), (2.29) k∈N M ξ∈ GA,Γ ξ đó, M := max{ Dk0 Ek0 ; Dk1 k∈N Ek1 } Định lý 2.11 Giả sử tất không gian véc tơ trang bị chuẩn · giả thiết Định lý 2.10 thỏa mãn Khi đó, bán kính ổn định hệ có trễ (2.20) chịu nhiễu cấu trúc thỏa mãn β(ξ) sup ≤ rR (A, Γ, D, E) ≤ rR (A0k , ηk , Dk , Ek ), k∈N nM ξ∈ GA,Γ ξ (2.30) Định lý 2.12 Giả sử Rn trang bị chuẩn · γ với γ = ∞ Giả sử hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ (2.20) chịu nhiễu cấu trúc với rk = r0 , qk = q0 , sk = s0 , pk = p0 , ∀k ∈ N Hơn nữa, tồn ma trận Metzler A0 ∈ Rn×n , hàm ma trận tăng η0 (·) ∈ N BV ([−h, 0], Rn×n ) ma trận khơng âm D0 ∈ Rn×r , E0 ∈ Rq+0 ×n , D1 ∈ + p0 ×n Rn×s , E1 ∈ R+ , cho A0 + η0 (0) ổn định Hurwitz M(A0k ) ≤ A0 , V (ηk ) ≤ + V (η0 ), |Dk0 | ≤ D0 , |Ek0 | ≤ E0 , |Dk1 | ≤ D1 , |Ek1 | ≤ E1 , với k ∈ N Khi bán kính thực hệ có trễ (2.20) thỏa mãn rR (A, Γ, D, E) ≥ , M0 (A0 + η0 (0))−1 1n M0 := max{ D0 E0 ; D1 E1 } 1n := (1, 1, · · · , 1) Định lý 2.13 Giả sử không gian véc tơ trang bị chuẩn · tất giả thiết Định lý 2.12 thỏa mãn Khi bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ (2.20) chịu nhiễu cấu trúc (2.25) thỏa mãn bất đẳng thức rR (A, Γ, D, E) ≥ M0 := max{ D0 E0 ; D1 , nM0 (A0 + η0 (0))−1 1n (2.31) E1 } 1n := (1, 1, · · · , 1) Hệ 2.7 Giả sử hệ dương tuyến tính m x(t) ˙ = A00 x(t) Ai0 x(t − hi0 ) + + i=1 18 B0 (θ)x(t + θ)dθ, t ≥ 0, −h (2.32) (trong hi0 ≥ 0, h := max{hi0 , i ∈ m}) ổn định mũ Khi đó, với ba ma trận (A0k , Aik , Bk (·)) ∈ Rn×n × Rn×n × C([−h, 0], Rn×n + + ), i ∈ m, k ∈ N thỏa mãn M(A0k ) = A0k ≤ A00 , Aik ≤ Ai0 , ∀i ∈ m, Bk (θ) ≤ B0 (θ), ∀θ ∈ [−h, 0], (2.33) hệ chuyển mạch dương tuyến tính có trễ m x(t) ˙ = A0σ(t) x(t) Aiσ(t) x(t + i=1 − hi0 ) Bσ(t) (θ)x(t + θ)dθ, t ≥ 0, σ ∈ Σ, + (2.34) −h ổn định mũ với tín hiệu chuyển mạch Hơn nữa, Rn trang bị chuẩn · = · ∞ bán kính ổn định thực khơng cấu trúc hệ chuyển mạch (2.34) chịu nhiễu không cấu trúc dạng A0k → A0k = A0k + ∆0k , Aik → Aik = Aik + ∆ik , i ∈ m, k ∈ N , Bk (θ) → Bk (θ) = Bk (θ) + Ck (θ), θ ∈ [−h, 0], k ∈ N (2.35) 1 ≤ r (A, Γ) ≤ , R H0−1 maxk∈N Hk−1 m i i=0 Ak + −h Bk (θ)dθ, k = 0, 1, , N thỏa mãn bất đẳng thức Hk := 2.3 Kết luận chương Trong chương này, đưa định nghĩa bán kính ổn định, đánh giá cận bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính với tín hiệu chuyển mạch sử dụng hàm Lyapunov toàn phương chung nguyên lý so sánh nghiệm Đặc biệt trường hợp ma trận ma trận Hermit ổn định ta thu cơng thức bán kính ổn định Tiếp theo, thu số tiêu chuẩn ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ mơ tả phương trình vi phân phiếm hàm với tín hiệu chuyển mạch sử dụng tính chất ma trận Metzler nguyên lý so sánh nghiệm Bằng cách đưa khái niệm bán kính ổn định có cấu trúc đánh giá cận bán kính đó, luận án thu kết tính vững hệ chuyển mạch có trễ chịu nhiễu tham số Trong trường hợp hệ chuyển mạch tuyến tính đa trễ rời rạc trễ phân phối, luận án thu kết mở rộng trường hợp riêng biết thiết lập đánh giá đơn giản cho bán kính ổn định 19 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG VÀ ỔN ĐỊNH HĨA VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUẦN HỒN TUYẾN TÍNH Chương trình bày tính ổn định vững, ổn định hóa vững hệ chuyển mạch tuyến tính chịu nhiễu hệ thống thời điểm chuyển mạch Nội dung chương đăng báo [CT1] 3.1 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính Xét hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính x(t) ˙ = Ak x(t); tk−1 + lT ≤ t < tk + lT ; k ∈ N x(t0 ) = x0 ; l = 0, 1, ; t ≥ t0 (3.1) Với x0 ∈ Rn chu kỳ T > 0, hệ (3.1) có nghiệm x(t; t0 , x0 ; T ) Định nghĩa 3.1 Hệ chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính (3.1) gọi ổn định mũ tồn số α, K > cho x(t; t0 , x0 ; T ) ≤ Ke−α(t−t0 ) , t ≥ t0 Cho ma trận Bk ∈ Kn×n , k = 1, , N xét ma trận khối chéo B = N Bk định k=1 N nghĩa tập ma trận UR := B = Bk : ρ(R) ≥ 1; R = k=1 3.1.1 N Bk ∆tk k=1 e Hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc hệ thống Xét hệ chuyển mạch tuần hoàn (3.1) với nhiễu cấu trúc dạng x(t) ˙ = (Ak + Dk ∆k Ek )x(t); tk−1 + lT ≤ t < tk + lT, x(t0 ) = x0 ; l = 0, 1, ; t ≥ t0 ; k ∈ N (3.2) Dk ∈ Kn×l , Ek ∈ Kq×n ma trận xác định cấu trúc nhiễu N ∆ = ∆k := diag(∆1 , , ∆N ); ∆k ∈ Kl×q ma trận nhiễu chưa biết k=1 trang bị chuẩn ∆ ∗ := N k=1 ∆tk ∆k 20 Định nghĩa 3.2 Giả sử (3.1) ổn định mũ bán kính ổn định hệ (3.1) chịu nhiễu cấu trúc dạng (3.2) xác định rCD,E (A) := inf{ ∆ N với D∆E = ∗ : A + D∆E ∈ UR }, N eAk ∆tk hệ (3.1) Dk ∆k Ek ma trận R = k=1 (3.3) k=1 N Định lý 3.1 Nếu hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính (3.1) với A = Ak ổn k=1 định mũ bán kính ổn định thỏa mãn bất đẳng thức rCD,E (A) N ≥− max Dj j∈N Nói cách khác, N k=1 ∆tk ∆k < − ∆tk λmax (Ak + A∗k ) Ej k=1 max Dj Ej N k=1 ∆tk λmax (Ak + A∗k ) j∈N hệ nhiễu (3.2) ổn định mũ Hệ 3.1 Nếu hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính (3.1) thỏa mãn N k=1 ∆tk λmax (Ak + A∗k ) < hệ ổn định mũ N Hệ 3.2 Nếu hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính (3.1) với A = Ak ổn k=1 N định mũ bán kính ổn định thỏa mãn bất đẳng thức k=1 ∆tk Ak ≥ rC (A) ≥ N ∆tk λmax (Ak + A∗k ) Hơn nữa, Ak , ∀k ∈ N ma trận Hermit, ổn định − k=1 Hurwitz thỏa mãn k∈N ker(Ak − λmax (Ak )I) = {0} N rC (A) = − ∆tk λmax Ak k=1 3.1.2 Hệ chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính chịu nhiễu hệ thống thời điểm chuyển mạch Xét hệ chuyển mạch (3.1) chịu nhiễu dạng (A + D ∆ E )x(t), t k k k k k−1 + δtk−1 + lT ≤ t < tk + δtk + lT, x(t) ˙ = x(t0 ) = x0 ; l = 0, 1, ; t ≥ t0 , k ∈ N (3.4) với ∆tk = tk − tk−1 , δtk = δtk − δtk−1 , ∀k ∈ N Đặt N e(∆tk +δtk )Hk VR := H := diag(H1 , , HN , δt1 I, δt2 I, , δtN −1 I) : ρ(R) ≥ 1; R = k=1 21 Giả thiết A = diag(A1 , , AN , O1 , O2 , , ON −1 ), Ok , k = , N − 1, ổn định mũ A ∈ / VR Nhiễu ∆ := diag(∆1 , , ∆N , δt1 I, , δtN −1 I) trang bị |δtj | |δtj−1 | N , Ta đưa định nghĩa bán chuẩn ∆ ∗ := k=1 ∆tk ∆k + max max j∈N ∆tj ∆tj kính ổn định cho hệ chuyển mạch (3.1) với nhiễu cấu trúc (3.4) rCD,E (A) := inf{ ∆ ∗ : A + D∆E ∈ VR }, (3.5) với D∆E := diag(D1 ∆1 E1 , , DN ∆N EN , δt1 I, , δtN −1 I) Đặt N a= N k=1 ∆tk max Dj j∈N Ak , c = max{1, a}, b = Ej − k=1 ∆tk λmax (Ak + A∗k ) max Dj Ej j∈N Định lý 3.2 Nếu hệ (3.1) với A = diag(A1 , , AN , O1 , O2 , , ON −1 ) ổn định mũ bán kính ổn định (3.5) thỏa mãn bất đẳng thức sau: a+1 a + 2b > c2 , 2(a + b) − b rCD,E (A) ≥ a + 2b ≤ a2 a > 1, a b a + 2b ≤ a < 3.2 Tính ổn định hóa vững hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính Định nghĩa 3.3 Hệ chuyển mạch (3.1) gọi ổn định hóa nhanh tồn T > đủ nhỏ khoảng thời gian kích hoạt ∆t1 , ∆t2 , , ∆tN cho hệ (3.1) ổn định mũ Ta xét giả thiết sau đây: N (H1) Tồn ζ1 > 0, ζ2 > 0, , ζN > với k=1 ζk = cho ma trận A1 ζ1 + A2 ζ2 + · · · + AN ζN := C ổn định Hurwitz Định lý 3.3 Giả sử hệ chuyển mạch tuần hoàn (3.1) thỏa mãn điều kiện (H1) chịu nhiễu cấu trúc hệ thống dạng (3.2) đó, N ∆k < k=1 max ζk k∈N max i,j∈N ; s≥0 Ei (sI − C)−1 Dj hệ chuyển mạch tuần hồn nhiễu (3.2) cịn ổn định hóa nhanh Tiếp theo ta xét hai giả thiết: (H2) Tồn ma trận ổn định Hurwitz A0 ζ1 > 0, , ζN > 0, cho M(A1 ζ1 + A2 ζ2 + · · · + AN ζN ) ≤ A0 ; 22 N k=1 ζk = p×n l×p + + (H3) Tồn ma trận Dk+ ∈ Rn×l cho |Dk | ≤ + , Ek ∈ R+ , ∆k ∈ R+ + + + Dk , |Ek | ≤ Ek , |∆k | ≤ ∆k , ∀k = 1, , N Định lý 3.4 Xét hệ chuyển mạch (3.1) với hệ nhiễu (3.2) thỏa mãn giả thiết (H2) − N (H3), k=1 ∆+ k < + hệ nhiễu (3.2) max ζk max Ei+ A−1 D j k∈N i,j∈N ổn định hóa nhanh Định nghĩa 3.4 Hệ chuyển mạch (3.1) gọi ổn định hóa chậm tồn T > đủ lớn khoảng thời gian kích hoạt ∆t1 , ∆t2 , , ∆tN cho hệ (3.1) ổn định mũ Để xét tính ổn định hóa chậm, ta đưa giả thiết: (H4) Tồn số ma trận A1 , A2 , , AN ổn định Hurwitz Để đo độ ổn định vững hệ chuyển mạch tuần hoàn ta xét hàm γk (Ak , Dk , Ek ) = µ(Ak ) < 0, ngược lại sup s≥0 Ek (sI − Ak )−1 Dk Định lý 3.5 Xét hệ chuyển mạch (3.1) với hệ nhiễu (3.2) thỏa mãn giả thiết (H4) N Khi đó, k=1 ∆k < max γk (Ak , Dk , Ek ) hệ nhiễu (3.2) cịn ổn định hóa k∈N chậm Cuối ta xét hai giả thiết: (H5) Tồn B0 ổn định Hurwitz cho M (Ak ) ≤ B0 , k ∈ S ⊂ N ; p×n l×p + + (H6) Tồn ma trận Dk+ ∈ Rn×l cho |Dk | ≤ + , Ek ∈ R+ , ∆k ∈ R+ + + + Dk , |Ek | ≤ Ek , |∆k | ≤ ∆k , k ∈ S Định lý 3.6 Giả sử hệ chuyển mạch (3.1) có hệ nhiễu cấu trúc hệ thống (3.2) thỏa N mãn giả thiết (H5) − (H6) Khi đó, ∆+ < max hệ k + k∈S E B −1 D + k=1 k k nhiễu (3.2) ổn định hóa chậm 3.3 Kết luận chương Trong Chương này, chúng tơi đưa khái niệm bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc hệ thống chịu nhiễu hệ thống thời điểm chuyển mạch thu ước lượng cận bán kính ổn định Trường hợp đặc biệt hệ nhiễu không cấu trúc ta cơng thức bán kính ổn định với ma trận Metzler, ổn định Hurvitz có véc tơ chung Cuối luận án đưa khái niệm ổn định hóa nhanh, ổn định hóa chậm Chúng tơi đánh giá nhiễu bị chặn để hệ chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính cịn ổn định hóa nhanh ổn định hóa chậm 23 KẾT LUẬN Trong luận án này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa vững số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính thu kết sau: • Đưa khái niệm bán kính ổn định cấu trúc hệ chuyển mạch tuyến tính với tín hiệu chuyển mạch Đưa đánh giá bán kính ổn định hệ dựa hàm Lyapunov toàn phương chung nguyên lý so sánh nghiệm • Chứng minh số điều kiện đủ ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng qt mơ tả phương trình vi phân phiếm hàm sử dụng điều kiện đánh giá độ ổn định vững hệ ma trận hệ chịu nhiễu cấu trúc affine • Đưa khái niệm bán kính ổn định cấu trúc cho hệ chuyển mạch tuần hoàn đưa đánh giá bán kính ổn định Hướng nghiên cứu • Mở rộng kết luận án cho hệ thống chuyển mạch mô tả phương trình sai phân, phương trình thang thời gian, phương trình vi phân đại số, phương trình sai phân suy biến hệ vô hạn chiều • Xây dựng đánh giá tính ổn định vững với giả thiết nhẹ lớp nhiễu tổng qt • Xây dựng thuật tốn đánh giá tính bán kính ổn định 24 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [CT 1] Thuan D.D., Ngoc L.V (2019), "Robust stability and robust stabilizability for periodically switched linear systems", Applied Mathematics and Computation,Vol 361, 15 November, pp 112-130 (SCIE-Q1) [CT 2] Son N.K., Ngoc L.V (2020), "On robust stability of switched linear systems", IET Control Theory & Applications, Vol.14, Iss.1, pp 19-29 (SCI-Q1) [CT 3] Son N.K., Ngoc L.V (2019), "On robust stability of time-delay switched systems described by linear functional differential equations" (submitted) ... độ ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ Chương Tính ổn định vững ổn định hóa vững hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính Chúng tơi đưa định nghĩa bán kính ổn định. .. n rR (A) ≥ −1 n A0 1n Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ Điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ Xét hệ chuyển mạch tuyến tính với trễ tổng quát dạng x(t) ˙ = A0σ(t)... ĐỊNH VỮNG VÀ ỔN ĐỊNH HĨA VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUẦN HỒN TUYẾN TÍNH Chương trình bày tính ổn định vững, ổn định hóa vững hệ chuyển mạch tuyến tính chịu nhiễu hệ thống thời điểm chuyển mạch Nội