BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ ANH TUẤN MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành Toán Giải tích Mã số 9 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ ANH TUẤN MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Nguyễn Huy Chiêu NGHỆ AN - 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án tiến sĩ “Một số vấn đề giải tích biến phân bậc hai ứng dụng” cơng trình nghiên cứu riêng tôi, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Huy Chiêu Các kết viết chung với tác giả khác đồng ý đồng tác giả đưa vào luận án Các kết trình bày luận án chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu từ trước đến Tác giả Hà Anh Tuấn LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Huy Chiêu Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn - Người đặt toán, định hướng nghiên cứu Thầy dành nhiều cơng sức, kiên nhẫn, tận tình bảo, dẫn dắt, giảng dạy cho kiến thức, kinh nghiệm tư người làm Tốn Tơi xin cảm ơn Trường đại học Vinh, Khoa Tốn học, phịng Đào tạo Sau đại học, phịng chức Nhà trường, quý thầy cô Bộ mơn Tốn Giải tích, Hội đồng khoa học Khoa Tốn cho môi trường học tập nghiên cứu lý tưởng tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận án Tơi xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Cơ bản, anh chị em bạn bè đồng nghiệp Trường Đại học Giao thông Vận tải TP Hồ Chí Minh Xin chân thành cảm ơn TS Trần Thái An Nghĩa (Đại học Oakland, Mỹ) TS Lê Văn Hiển (Đại học Hà Tĩnh) có trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm nghiên cứu đóng góp nhiều ý kiến q báu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Bố Mẹ, cảm ơn anh, chị, em người thân gia đình, người động viên, kiên nhẫn mong đợi kết học tập Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn tới vợ tơi Hồng Yến Huy Hồng, Bá Dương, người ln hy sinh nhiều, lo lắng mong mỏi tiến ngày Tôi xin dành tặng luận án cho người mà yêu thương Nghệ An, ngày 10 tháng 03 năm 2022 Tác giả Hà Anh Tuấn MỤC LỤC Mở đầu Chương Một số kết phép tính vi phân suy rộng giải tích biến phân 1.1 Các khái niệm tính chất bổ trợ 15 15 1.2 Hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng 26 1.3 Kết luận Chương 59 Chương Điều kiện tăng trưởng bậc hai tính quy mêtric mạnh vi phân 60 2.1 Điều kiện tối ưu cho hàm thường nửa liên tục dựa vào đạo hàm đồ thị gradient 60 2.2 Quan hệ tương đương điều kiện tăng trưởng bậc hai tính quy mêtric mạnh vi phân 76 2.3 Kết luận Chương 92 Chương Điều kiện tối ưu bậc hai cho lớp tốn quy hoạch nón 93 3.1 Điều kiện cần tối ưu bậc hai 93 3.2 Đặc trưng cực tiểu địa phương mạnh 105 3.3 Kết luận Chương 113 Kết luận chung kiến nghị 114 Danh mục cơng trình NCS có liên quan đến luận án 116 Tài liệu tham khảo 117 MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN ∃x tồn phần tử x ∀x với phần tử x f :X→Y ánh xạ đơn trị từ X vào Y F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y gphF đồ thị ánh xạ F : X ⇒ Y domF miền hữu hiệu ánh xạ F : X ⇒ Y rgeF ảnh ánh xạ F : X ⇒ Y Br (x) hình cầu đóng tâm x bán kính r > B hình cầu đơn vị đóng ∇f (x) đạo hàm ánh xạ f x R tập hợp số thực R− tập hợp số thực không dương R+ tập hợp số thực không âm R tập số thực mở rộng R ∪ {±∞} Rn không gian Ơclit thực n chiều Rn+ tập hợp phần tử Rn có tọa độ khơng âm Rn− tập hợp phần tử Rn có tọa độ không dương ∅ tập hợp rỗng x∈X x phần tử không gian X Ω⊂X Ω tập hợp X h., i tích vô hướng không gian Rn k.k chuẩn sinh tích vơ hướng h., i Rn p tức kxk = hx, xi với x ∈ Rn AT ma trận chuyển vị ma trận A intΩ phần tập hợp Ω convΩ bao lồi tập hợp Ω Ω⊥ phần bù trực giao tập hợp Ω Rn Ωo nón cực Ω Rn clΩ bao đóng tập Ω {xi } dãy phần tử Rn ϕ x → x¯ ϕ(x) → ϕ(¯ x) Ω x → x¯ x → x¯ x ∈ Ω ε↓0 ε → ε ≥ d(x, Ω) khoảng cách Ơclit từ phần tử x đến tập hợp Ω δΓ hàm tập Γ o(t) vô bé bậc cao t o(t2 ) vô bé bậc cao t2 P := Q P định nghĩa Q kết thúc chứng minh lim inf ψ giới hạn hàm số ψ lim sup ψ bΩ (x) N giới hạn hàm số ψ NΩ (x) nón pháp tuyến qua giới hạn tập hợp Ω x TΩ (x) nón tiếp tuyến tập Ω x DF đạo hàm đồ thị ánh xạ F D(∂f ) b ∂f đạo hàm đồ thị gradient hàm f ∂f vi phân qua giới hạn hàm số f ∂p f vi phân gần kề hàm số f σ ·, Ω hàm tựa tập hợp Ω x → x¯ nón pháp tuyến quy tập hợp Ω x vi phân quy hàm số f Λ(x, x∗ ) tập hợp nhân tử Lagrange tương ứng với (x, x∗ ) ΛG (¯ x) tập hợp nhân tử Lagrange mở rộng Λ(x, x∗ ; v) tập hợp nhân tử theo hướng v KΓ (x, x∗ ) nón tới hạn tập hợp Γ (x, x∗ ) Kf (x, x∗ ) nón tới hạn hàm f (x, x∗ ) L(x, λ) hàm Lagrange LG (x, α, λ) hàm Lagrange mở rộng Pu toán tối ưu phụ thuộc vào tham số u Du toán đối ngẫu tốn Pu subregF (¯ x|¯ y) mơđun tính quy mêtric ánh xạ F (¯ x, y¯) QG(f, x ¯) mơđun xác điều kiện tăng trưởng bậc hai x ¯ DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT MFCQ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz MSCQ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc quy mêtric RCQ điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson MỞ ĐẦU Giải tích biến phân lĩnh vực tốn học hình thành phát triển nhu cầu nghiên cứu toán tối ưu, cân điều khiển, phép tính vi phân suy rộng nằm vị trí trung tâm [32, 46] Tên gọi “Giải tích biến phân” cho lĩnh vực toán học đề xuất năm 1998 Rockafellar Wets [46] sau chấp nhận rộng rãi Tuy nhiên, khái niệm bản, ý tưởng nhiều kết quan trọng giải tích biến phân tồn từ lâu [21, 32, 46] Giải tích biến phân bậc hai phận giải tích biến phân, nghiên cứu cấu trúc vi phân suy rộng bậc hai vấn đề liên quan Những cấu trúc xuất cách tự nhiên khảo sát hệ biến phân mô tả thông qua vi phân nón pháp tuyến [9, 25] Cấu trúc vi phân suy rộng bậc hai xuất nghiên cứu tốn tối ưu khơng trơn tối ưu có ràng buộc [9, 33, 45, 46] Những năm gần đây, giải tích biến phân bậc hai ln thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học có nhiều kết thú vị theo hướng thiết lập [4, 9, 23, 32, 33, 46] Phép tính vi phân suy rộng có nhiều ứng dụng lý thuyết tối ưu tối ưu số [29, 32, 33, 37, 46] Đặc biệt, giúp mở rộng hợp điều kiện cực trị cho nhiều lớp toán tối ưu [33] Chẳng hạn, vi phân bậc dùng để thiết lập quy tắc Fermat suy rộng Từ đó, nhờ hệ thống quy tắc tính tốn, người ta dẫn quy tắc nhân tử Lagrange suy rộng [32, 33, 46] Tương tự cấu trúc vi