BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LIÊN VƯƠNG LÂM THÁC TRIỂN PHÂN HÌNH CỦA MỘT SỐ LỚP HÀM PHÂN HÌNH YẾU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QU[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LIÊN VƯƠNG LÂM THÁC TRIỂN PHÂN HÌNH CỦA MỘT SỐ LỚP HÀM PHÂN HÌNH YẾU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LIÊN VƯƠNG LÂM THÁC TRIỂN PHÂN HÌNH CỦA MỘT SỐ LỚP HÀM PHÂN HÌNH YẾU Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 62.46.01.02 Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Quang Diệu Phản biện 2: PGS TS Kiều Phương Chi Phản biện 3: TS Trịnh Đức Tài NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Thái Thuần Quang BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Thái Thuần Quang Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố trước Tác giả Liên Vương Lâm LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình khoa học Thầy Thái Thuần Quang Thầy người giảng dạy, hướng dẫn suốt bậc học: Đại học, Cao học Nghiên cứu sinh Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy gia đình Tác giả xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Khoa Tốn, Trường Đại học Quy Nhơn, nơi tơi bắt đầu học tập, hướng dẫn nhận nhiều quan tâm, động viên khích lệ Xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy, Cơ giáo Khoa Tốn giảng dạy tơi năm tháng học tập, nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Văn Đại, TS Huỳnh Minh Hiền, TS Nguyễn Khắc Tín, TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương có góp ý q báu q trình tơi học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn đến q Thầy, Cơ Tổ Tốn, Trường Đại học Phạm Văn Đồng tạo điều kiện thời gian, gánh vác công việc cho tôi, để yên tâm học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin dành tình cảm đặc biệt đến gia đình, người thân người bạn tác giả, người mong mỏi, động viên tiếp sức cho tác giả để hoàn thành luận án DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU H pD, F q Hs pT, F q : Khơng gian hàm chỉnh hình D nhận giá trị F : Không gian hàm chỉnh hình tách biến T nhận giá trị F M pD, F q Ms pT, F q H pD, F q Hb pE, F q : Khơng gian hàm phân hình D nhận giá trị F : Không gian hàm phân hình tách biến T nhận giá trị F : Không gian tất hàm bị chặn H pD, F q : Không gian tất hàm chỉnh hình từ E vào F mà bị chặn tập bị chặn E HLB pD, F q : Khơng gian hàm chỉnh hình bị chặn địa phương D H W pD, F q : Khơng gian hàm pF, W q-chỉnh hình W Hloc pD, F q : Không gian hàm pF, W q-chỉnh hình địa phương H W,8 pD, F q : Khơng gian hàm pF, W q-chỉnh hình bị chặn W,8 Hloc W M pD, F q pD, F q : Khơng gian hàm pF, W q-chỉnh hình bị chặn địa phương : Không gian hàm pF, W q-phân hình Dfh : Miền tồn hàm chỉnh hình f Dfm : Miền tồn hàm phân hình f p K P SH pDq : Bao đa điều hòa K D ∆nr pz0 q : tz P Cn : }z z0} ru ∆1r pz0 q ∆nr p0q ∆r pz0 q : ∆nr : ∆n : ∆n1 ∆ : ∆1 Hnt prq : Miền Hartogs Cn B pE q K pE q Uk P SH pΩq U pK, Ωq hK,Ω pz q hK,Ω : Tập tất tập lồi, cân, đóng, bị chặn E : Tập tất tập compact, lồi, cân E : tx P E : }x}k 1u : Tập hàm đa điều hòa Ω : tu P P SH pq : u Ô 1, uK : suptupz q : u P U pK, qu Ô 0u : Hàm cực trị tương đối cặp pK, Ωq Mục lục Danh mục ký hiệu ii Mở đầu Chương Miền tồn hàm phân hình giá trị véctơ 1.1 1.2 1.3 10 Kiến thức tổng quan không gian lồi địa phương 10 1.1.1 Một số lớp không gian lồi địa phương 11 1.1.2 Các tập tách điểm 11 Hàm chỉnh hình, hàm phân hình 12 1.2.1 Khái niệm hàm chỉnh hình 12 1.2.2 Khái niệm hàm phân hình 14 1.2.3 Các tập đa cực, đa quy, hàm cực trị tương đối 14 1.2.4 Các hàm chỉnh hình, phân hình tập chữ thập 16 Miền tồn hàm phân hình giá trị véctơ 19 Chương Định lý thác triển Levi hàm phân hình yếu 26 2.1 Các hàm p, W q-chỉnh hình hàm p, W q-phân hình 26 2.2 Định lý thác triển Levi hàm nhiều biến giá trị véctơ 27 2.2.1 27 34 36 Một số nhận xét ví dụ 37 2.2.2 2.2.3 2.3 F xác định tính bị chặn Trường hợp W F tách điểm Trường hợp W F Trường hợp W i 2.4 Định lý thác triển Levi hàm giá trị véctơ vô hạn chiều 46 2.4.1 Bất biến tơpơ tuyến tính 46 2.4.2 Thác triển chỉnh hình hàm p, W q-chỉnh hình 48 2.4.3 Định lý thác triển Levi hàm giá trị véctơ 59 Chương Định lý chữ thập hàm p, W q-phân hình 62 3.1 Định lý Rothstein cho hàm p, W q-phân hình 62 3.2 Tổng quát hóa định lý Kazarian 65 3.3 Định lý chữ thập cho hàm p, W q-phân hình với kỳ dị đa cực 69 Chương Thác triển phân hình hàm p, W q-phân hình 76 4.1 Tính chất (BB)-Zorn thác triển chỉnh hình 76 4.2 Thác triển phân hình hàm p, W q-phân hình từ tập gầy 82 4.3 Miền phân hình hàm p, W q-phân hình 88 4.4 Thác triển hàm p, W q-phân hình qua tập giải tích 91 Kết luận 93 Danh mục cơng trình tác giả 95 Tài liệu tham khảo 96 Chỉ mục 104 ii Mở đầu Không gian lồi địa phương xuất nhiều lĩnh vực giải tích tốn học lý thuyết độ đo tích phân, giải tích phức, phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ Các không gian dãy, không gian hàm chỉnh hình, khơng gian hàm đo có tơpơ lồi địa phương Lý thuyết đối ngẫu khơng gian lồi địa phương đóng vai trị quan trọng chuyển tốn khơng gian lồi địa phương nghiên cứu phiếm hàm tuyến tính liên tục Giải tích phức khơng gian lồi địa phương kết hợp Giải tích phức Giải tích hàm Đầu tiên, kể đến kết tác giả Nachbin, Noverraz, Colombeau, Mujica, Dineen, Ở Việt Nam, từ năm 1970 có kết ban đầu Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái lĩnh vực Bài tốn tính chỉnh hình hàm giá trị véctơ quan tâm nhà toán học từ sớm Trong thực hành người ta giải thông qua tính chỉnh hình Đ F, với F khơng gian lồi địa phương Hausdorff, gọi chỉnh hình yếu u f chỉnh hình với u P F , không gian yếu Ở đây, hàm f : D đối ngẫu F Các kết bước đầu kể đến Dunford [24] vào năm 1938 Grothendieck [31] vào năm 1955 Mở rộng toán này, người ta đặt vấn đề “làm nhỏ” không gian chứa phiếm hàm tuyến tính u mà đảm bảo tính chỉnh hình hàm f Các kết xem xét trường hợp u P W F 1, với W tập tách điểm, xác định tính bị chặn, giới thiệu cơng trình Grosse-Erdmann [28], Arendt Nikolski [7] Trong thập niên gần đây, toán thu hút quan tâm nhiều nhóm nghiên cứu giới Năm 2003, Hải [32] mở rộng kết Arendt Nikolski trường hợp không gian Fréchet với bất biến tơpơ tuyến tính Năm 2013, Quang, Lâm Đại [75] xem xét toán cho trường hợp E, F không gian Fréchet-Schwartz hàm f xác định tập mở D E mà f bị chặn tập bị chặn Hàm phân hình tập mở C nhận giá trị không gian Banach nghiên cứu nhiều nhà toán học [52,92] Đến năm 1982, Khuê [48] nghiên cứu hàm phân hình đa tạp phức nhận giá trị không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy Cụ thể, Khuê chứng minh tập cực hàm phân hình giá trị lồi địa phương rỗng tập giải tích có đối chiều [48, Corollary 1.1] Cho E, F không gian lồi địa phương hàm f xác định tập mở, trù mật D0 tập mở D E, phân hình P D tồn lân cận Uz E hUz |U XD , hUz , σUz hàm f có biểu diễn địa phương f |Uz XD0 σUz z hàm chỉnh hình nhận giá trị tương ứng F C Vấn đề đặt tìm D, nhận giá trị F Khi đó, với z điều kiện không gian E, F để tồn hàm h P H pD, F q σ P H pDq h cho f D Khi ta nói f có biểu diễn tồn cục Đa tạp phức mà σ hàm phân hình có biểu diễn tồn cục gọi có dạng Poincaré [46] Tiếp tục nghiên cứu vấn đề với hàm phân hình nhận giá trị lồi địa phương đầy đủ theo dãy, năm 1982, Khuê chứng minh hàm phân hình đa tạp Stein nhận giá trị không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy có biểu diễn tồn cục [48, Theorem 2.1] Chúng ta biết hàm phân hình yếu nhận giá trị CN khơng phân hình Vì vậy, nghiên cứu tính phân hình hàm phân hình yếu người ta cần ý đến tính chất không gian F Năm 1997, Đông Hải [23] chứng minh hàm phân hình yếu f : X Đ F, X tập mở Cn (tương ứng L-chính quy compact) F khơng gian Fréchet có nửa chuẩn liên tục (tương ứng có tính chất pDN q) phân hình Bài tốn thác triển chỉnh hình thác triển phân hình nghiên cứu nhiều nhà tốn học Grosse-Erdmann [28], Arendt Nikolski [7], Bonet, Frerick Jordá [13], Năm 1969, Bogdanowicz [11] chứng minh D1 D2 C miền F không gian phức lồi địa phương Hausdorff, đầy đủ theo dãy f : D1 ÑF hàm cho u f có thác triển chỉnh hình đến D2 với u P F f có thác triển chỉnh hình đến D2 Năm 2004, Grosse-Erdmann mở rộng kết hàm nhận giá trị Fréchet từ tập Ω xác định hội tụ địa phương H pΩq, với Ω miền C Trong trường hợp này, hàm f xác định M thác triển đến Ω u f có thác triển chỉnh hình đến Ω, với u P W , W tập tách điểm F f bị chặn M X K với K tập compact tùy ý Ω M Trong [33], Hải, Khuê Nga giới thiệu phiên định lý Bogdanowicz hàm phân hình trường hợp hàm f xác định tập G Cn nhận giá trị không gian Banach F Nếu với u P F mà hàm u f có thác triển phân hình đến G f thác triển phân hình đến mở X G [33, Theorem 1] Ngồi ra, tác giả cịn chứng tỏ kết F không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy thỏa mãn F không gian Baire [33, Remark 1] Tiếp tục nghiên cứu toán trường hợp hàm biến nhận giá trị lồi địa phương, năm 2005, Jordá [45] chứng minh hàm f : Ω1 Đ E, E khơng gian lồi địa phương đầy đủ địa phương với đối ngẫu mạnh siêu thùng, có thác triển phân hình đến Ω2 hàm u f có thác triển phân hình đến Ω2 với u P E [45, Theorem 12] Nhận xét rằng, khơng gian Baire siêu thùng [16, Observation 9.1.23] nên kết Jordá mở rộng [33, Remark 1] Sử dụng kết [45, Theorem 12], Jordá chứng minh hàm f có thác triển phân hình đến Ω2 trường hợp E không gian Fréchet tách biệt (distinguished) với Eβ2 có chuẩn liên tục E không gian Schwartz thùng đầy đủ không chứa CN [45, Theorems 16,17 ] Bài toán xác định bao chỉnh hình, bao phân hình đặc trưng miền chỉnh hình, phân hình quan tâm nhiều nhà toán học Okuda Sakai [61], Siciak [83], Zeriahi [93], Năm 1910, Levi [53] chứng minh hàm f pz, wq phân hình D p∆r z∆q, với D tập mở liên thông Cn , ∆r tλ P C : |λ| ru, ∆1 ∆ với r ¡ 1, có thác triển phân hình đến D ∆r giả thiết thêm f pz, q có thác triển phân hình đến ∆r với z P A, với A tập béo D Định lý Levi mở rộng Kneser [50] vào năm 1932 chứng minh đầy đủ Okuda Sakai [61] vào năm 1957 Định lý đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu đặc trưng miền phân hình Năm 1963, Fuks [27] chứng minh miền phân hình Cn giả lồi theo nghĩa Hartogs Năm 1967, Kajiwara Sakai [46] chứng minh bao phân hình miền đa tạp Stein tương ứng với họ hàm phân hình pτ -lồi theo nghĩa Docquier Grauert [22], đa tạp Stein [46, Lemma 5] Trong trường hợp vơ hạn chiều, Harita [35] có kết tương tự tích Descartes họ đếm miền mặt phẳng phức Aurich [8, 9] chứng minh bao phân hình khơng gian Banach phức giả lồi Cho Ω không gian tôpô liên thông ϕ đồng cấu địa phương từ Ω vào E Khi ta nói cặp pΩ, ϕq miền E Trong [36], Harita chứng minh bao phân hình miền pΩ, ϕq không gian lồi địa phương Hausdorff đầy đủ theo dãy C miền giả lồi Schottenloher [80,81] giải toán Levi miền khụng gian li a phng Lindelăof vi biu din Schauder