i TÓM TẮT Luận án nghiên cứu số học của nhóm đại số trong mối liên quan đến các tính chất địa phương toàn cục được xét trong những lớp các đa tạp đặc biệt như nhóm đại số trong mối quan hệ với các nhó[.]
i TÓM TẮT Luận án nghiên cứu số học nhóm đại số mối liên quan đến tính chất địa phương-toàn cục xét lớp đa tạp đặc biệt nhóm đại số mối quan hệ với nhóm chúng không gian liên quan Luận án bao gồm bốn chương Trong chương 1, chúng tơi trình bày lại số kiến thức sở dạng toàn phương, dạng hecmit nguyên lý địa phương-toàn cục cho dạng Đồng thời, nêu lại số khái niệm số kết biết nhóm đại số trường khơng đóng đại số phân loại nhóm đơn Trong chương 2, chúng tơi trình bày nghiên cứu ngun lý địa phươngtồn cục liên quan đến tính chất phân rã nhóm đại số tuyến tính liên thơng trường tồn cục Kết chương tính đắn ngun lý địa phương-tồn cục cho tính chất phân rã nhóm đại số tuyến tính liên thơng trường tồn cục Trong chương 3, chúng tơi nghiên cứu ngun lý địa phương-tồn cục cho khơng gian trường tồn cục Kết chương nguyên lý Hasse cho không gian xạ ảnh nhóm reductive liên thơng trường hàm toàn cục Như áp dụng, ta nhận ngun lý địa phương-tồn cục cho tính chất tựa phân rã nhóm reductive liên thơng trường Trong chương 4, chúng tơi trình bày nghiên cứu mở rộng số nguyên lý Hasse kinh điển cho trường hợp mở rộng đại số vô hạn trường tồn cục Kết chương thiết lập nguyên lý Hasse cho dạng hecmit (phản hecmit) mở rộng đại số vô hạn trường toàn cục ii ABSTRACT In this thesis, we study arithmetic properties of algebraic groups in their relation with certain local-global principles originated from some splitting problems for connected linear algebraic groups over global fields The thesis consists of four chapters Chapter presents some background of quardratic forms, hermit forms and some classical local-global principles for such forms Further, some background of algebraic groups defined over non-algebraicaly closed fields and some related known results are given In Chapter 2, we present some local-global principles related with some splitting problems for connected linear algebraic groups over global fields The main result in this chapter is the validity of some local-global principles related with some splitting problems for connected linear algebraic groups over global fields In Chapter 3, we consider local-global principles for homogeneous spaces of connected linear algebraic groups over global fields The main result in this chapter is the local-global principles for homogeneous spaces of connected redutive groups over global function fields As an application, we deduce a local-global principle for the property of a reductive group being quasi-split over such fields In Chapter 4, we extend some known classical local-global principles for (skew-) hermitian forms to the case of infinite algebraic extensions of global fields The main result of this chapter is the validity of the Hasse principle for (skew-)hermitian forms defined over such fields iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Quốc Thắng Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án kết chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Ngơ Thị Ngoan iv LỜI CẢM ƠN Mỗi nhìn chặng đường học tập, nghiên cứu qua, tơi lại dâng trào thật nhiều tình cảm cảm xúc khó tả Trong suốt chặng đường gian nan nhiều thử thách ấy, có người thầy ln dõi theo tơi, động viên, giám sát, giúp đỡ không cho phép tơi nản chí; người thầy vơ kính u chúng tôi, người hướng dẫn thực Luận án này: GS TS Nguyễn Quốc Thắng Thật không lời kể hết cơng lao thầy tơi tơi Tơi nói rằng, khó khăn cơng việc nghiên cứu tơi, đồng hành với vất vả, nghiêm khắc kiên trì thầy Thầy ln dành nhiều thời gian công sức để hướng dẫn Thầy giảng giải, dẫn cho tơi buổi, ngày, nhiều ngày: tận tâm không mệt mỏi! Sự tận tâm ấy, cộng với niềm tin thầy dành cho trở thành động lực mạnh mẽ, giúp tơi vượt qua khó khăn để trưởng thành Thời gian trôi qua nhanh, nhận mái tóc thầy hơm thêm nhiều sợi bạc, có lẽ tơi Luận án hồn thành dày cơng hướng dẫn GS TS Nguyễn Quốc Thắng Từ sâu thẳm trái tim, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy! Và cố gắng phấn đấu thật nhiều để xứng đáng với niềm tin thầy! Tơi xin trân trọng cảm ơn Viện Tốn học - Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, phòng chức năng, Trung tâm Đào tạo sau đại học tạo điều kiện tốt giúp học tập, nghiên cứu tham gia cách hiệu buổi sinh hoạt khoa học Viện Tôi xin chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Đông Yên, TS Nguyễn Chu Gia Vượng, ThS Trần Thị Phương Thảo quan tâm sát đến nghiên cứu sinh, học viên Viện Tốn học Nơi đây, tơi nhận thấy giá trị cao đẹp say mê nghiên cứu tinh thần tận tụy cho cơng việc Bằng kính trọng vơ bờ bến, tơi xin chân thành cảm ơn giáo sư, anh chị thuộc phòng Đại số, phòng Lý thuyết Số Viện Tốn học ln coi trọng việc rèn giũa nơi, lúc Đặc biệt GS TSKH Phùng Hồ Hải, TS Nguyễn Chu Gia Vượng, TS Đồn Trung Cường tổ chức nhiều khóa học thực bổ ích cho chúng tơi, TS Nguyễn Duy Tân, TS Đào Phương Bắc kiên nhẫn lắng nghe giải thích cho tơi điều vướng mắc, PGS TSKH Tạ Thị Hồi An ln có cách giúp tơi bình tâm trở lại trước khó khăn, Tơi xin chân thành cảm ơn GS TSKH Phùng Hồ Hải, GS TSKH Hà Huy Khối đọc góp ý tận tình cho Luận án Tơi xin chân thành cảm ơn GS TSKH Ngô Việt Trung, GS TSKH Nguyễn Tự Cường, GS TSKH Lê Tuấn Hoa v nghiêm khắc khoa học bao dung đời thường Chính nghiêm khắc bao dung tạo thành động lực mạnh mẽ cho tơi q trình học tập nghiên cứu thân Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán trường Đại học Sư phạm - ĐHTN; Khoa Toán-Cơ-Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN trang bị cho kiến thức Tốn học Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học ln khuyến khích đội ngũ giảng viên phấn đấu học tập nghiên cứu; xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Tin tạo điều kiện thuận lợi vật chất tinh thần cho tơi q trình cơng tác, học tập nghiên cứu Tôi xin cảm ơn Quỹ phát triển Khoa học Cơng nghệ Quốc gia tài trợ kinh phí cho tơi suốt q trình tơi thực luận án Tôi xin cảm ơn anh chị em học tập nghiên cứu Viện toán học, anh chị em bạn bè đồng nghiệp trao đổi, hỗ trợ chia sẻ khoa học sống Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ, anh chị em, cháu hai bên gia đình nội ngoại Đặc biệt xin cảm ơn chồng trai u q, người tơi mà phải chịu nhiều thiệt thịi vất vả; ln cảm thông sẻ chia gánh nặng suốt năm tháng qua để tơi hồn thành luận án Tác giả Ngô Thị Ngoan Mục lục Trang Tóm tắt i Abstract ii Lời cam đoan iii Lời cảm ơn v Mục lục vi Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Dạng tồn phương trường có đặc số khác Dạng toàn phương trường địa phương toàn cục 1.3 Dạng hecmit thể trường 1.4 Dạng hecmit (phản hecmit) thể trường địa phương trường toàn cục 12 1.5 1.6 Nhóm đại số trường khơng đóng đại số 14 Phân loại nhóm đơn 22 1.7 Đối đồng điều Galoa đối đồng điều phẳng 25 vi vii Chương cục Một số tính chất phân rã nguyên lý địa phương-toàn 30 2.1 Nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất phân rã nhóm giải 2.2 30 Nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất phân rã nhóm reductive 32 2.3 Ngun lý địa phương-tồn cục cho tính chất phân rã nhóm đại số tuyến tính liên thơng 39 2.4 Nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất tựa phân rã nhóm đại số tuyến tính liên thơng 40 Chương Nguyên lý Hasse cho không gian trường tồn cục 3.1 Ngun lý Hasse cho khơng gian xạ ảnh Chứng minh thứ 44 44 3.2 3.3 Chứng minh thứ hai Định lý 3.1.5 47 Một số áp dụng Định lý 3.1.5 51 3.4 Nguyên lý Hasse cho không gian 59 Chương Nguyên lý Hasse trường tồn cục vơ hạn cho dạng 66 4.1 Dạng tồn phương trường địa phương hóa tồn cục vô hạn 66 4.2 4.3 Định lý Hasse chuẩn Định lý Hasse-Brauer-Noether 70 Lý thuyết địa phương dạng hecmit phản hecmit 74 4.4 Nguyên lý Hasse phân loại toàn cục 80 4.5 Nguyên lý Hasse yếu 82 Kết luận luận án 86 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 87 Tài liệu tham khảo 88 viii Một số ký hiệu quy ước viết tắt C trường số phức R trường số thực Q trường số hữu tỉ f ∼ f0 hai dạng toàn phương (hoặc hecmit) tương đương Fq trường có q phần tử Qp trường p-adic Fq (t) trường hàm hữu tỉ Fq d(q) định thức dạng toàn phương (hoặc hecmit) q (a, b/k) đại số quaternion trường k M(m, R) đại số ma trận vành R NrdA/k (a) chuẩn thu gọn phần tử a đại số đơn tâm A/k TrdA/k (a) vết thu gọn phần tử a đại số đơn tâm A/k disc(h) biệt thức h Br(k) nhóm Brauer trường k Ru (G) lũy đơn nhóm G R(G) giải (căn) nhóm G Ad biểu diễn phụ hợp Ga nhóm cộng Gm nhóm nhân Tn nhóm ma trận tam giác khả nghịch Un nhóm ma trận tam giác lũy đơn Dn nhóm ma trận đường chéo khả nghịch GLn nhóm tuyến tính tổng qt SLn nhóm tuyến tính đặc biệt X(G) nhóm đặc trưng G Z(G) tâm nhóm G Mở đầu Một kết quan trọng Lý thuyết Số Định lý Hasse-Minkowski, phát biểu sau: "Cho V tập tất chốn trường số hữu tỉ Q, f dạng toàn phương n biến Q Với v ∈ V , Qv ký hiệu cho trường đầy đủ Q v Khi đó, f biểu diễn không tầm thường Q f biểu diễn không tầm thường địa phương khắp nơi (trên bao đầy đủ Qv )" Định lý sau có tên gọi khác nguyên lý Hasse mạnh hay nguyên lý địa phương-toàn cục mạnh cho dạng toàn phương Như hệ quả, người ta chứng minh rằng, f, g hai dạng toàn phương Q, tương đương khắp nơi bao đầy đủ Qv chúng tương đương Q Định lý gọi nguyên lý Hasse yếu cho dạng toàn phương Nguyên lý Hasse (mạnh, yếu) đóng vai trị thực quan trọng Lý thuyết số, đặc biệt lý thuyết số học dạng (toàn phương, dạng hecmit phản hecmit) (xem tài liệu kinh điển [28, 33, 18, 36]) Chuyển sang ngơn ngữ hình học, Định lý Hasse-Minkovski nói siêu mặt xạ ảnh xác định dạng tồn phương hạng ≥ có điểm hữu tỉ Q có điểm hữu tỉ tất bao đầy đủ Q Nói cách khác, ngun lý Hasse (ngun lý địa phương-tồn cục) cho siêu mặt xạ ảnh bậc hai Q Một cách tổng quát, với đa tạp đại số X xác định trường toàn cục k, ta nói nguyên lý Hasse cho X ta có khẳng định: X(k) 6= ∅ X(kv ) = ∅ với chốn v k Tổng quát hơn, cho đối tượng X xác định k P tính chất X Ta nói ngun lý địa phương-tồn cục X tính chất P X có tính chất P k X có tính chất P kv với chốn v k Khẳng định tương tự thiết lập cho nhóm Brauer lý thuyết đại số đơn tâm chứng minh Brauer-Hasse-Noether (xem [33, 22]) trở thành kết quan trọng Lý thuyết số đại Một lý tính hiệu nguyên lý địa phương toàn cục trường địa phương, ta sử dụng nhiều cơng cụ khác (đại số, hình học, tơ pơ, giải tích) để nghiên cứu đối tượng Đồng thời, nhiều trường hợp việc tìm lời giải cho tốn trường địa phương thuận lợi nhiều so với việc tìm lời giải chúng trường tồn cục Vì việc nghiên cứu tính đắn nguyên lý địa phương-toàn cục số học đa tạp đại số nói chung nhóm đại số nói riêng quan trọng Việc nghiên cứu mở rộng đại số vơ hạn trường địa phương hay tồn cục đóng vai trị quan trọng Chẳng hạn việc nghiên cứu mở rộng không rẽ nhánh cực đại trường địa phương cho, hay mở rộng abel cực đại trường tồn cục cho Đó mở rộng đại số vô hạn trường tương ứng Nói chung, số học mở rộng đại số vô hạn trường địa phương tồn cục có bí hiểm (theo cách nói Tsfasman Vladuts) quan tâm nghiên cứu Một nguyên lý địa phương-toàn cục tiếng kết quan trọng Lý thuyết Số Định lý Hasse-Minkowski Việc nghiên cứu kết tương tự Định lý Hasse-Minkowski cho dạng toàn phương mở rộng đại số vô hạn trường toàn cục đề cập đến lần đầu cơng trình K Koziol M Kula ([17]) Luận án đặt mục tiêu khảo sát số ngun lý địa phương-tồn cục liên quan đến tính chất phân rã nhóm đại số trường tồn cục liên quan đến không gian xạ ảnh chúng Đồng thời, luận án đặt mục tiêu khảo sát nguyên lý địa phương-toàn cục cho dạng (toàn phương, hecmit, phản hecmit) xác định trường tồn cục vơ hạn Một tính chất quan trọng nhóm đại số G tính chất phân rã (hoặc tựa phân rã) G Từ lâu, tính chất phân rã định nghĩa cho nhóm đại số tuyến tính giải Sau đó, tính chất phân rã tựa phân rã định nghĩa cho nhóm liên thơng reductive Trong luận án này, chúng tơi đưa khái niệm tính chất phân rã tựa phân rã cho nhóm đại số tuyến tính liên thông, chúng kế thừa kết hợp khái niệm tính chất (tựa-)phân rã hai lớp nhóm Tính chất phân rã tựa phân rã nhóm đại số thể tính đơn giản mặt cấu trúc chúng Do đó, vấn đề đặt khảo sát tính chất thơng qua cách tiếp cận địa phương-tồn cục Việc nghiên cứu tính chất (tựa-)phân rã nhóm có liên quan mật thiết với việc nghiên cứu tính chất số học nguyên lý Hasse số đối tượng hình học (cụ thể khơng gian nhóm đại số) Trong lý thuyết nhóm đại số, nhóm kinh điển (nhóm tự đẳng cấu dạng toàn phương, hecmit, phản hecmit) đóng vai trị quan trọng Để nghiên