Về một tính chất hữu hạn của qũy đạo dưới tác động của nhóm đại số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VÕ DUY HOÀNG VỀ MỘT TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA QUỸ ĐẠO DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 846010104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VÕ DUY HỒNG VỀ MỘT TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA QUỸ ĐẠO DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 846010104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Đào Phương Bắc Hà Nội-2019 Mục lục Lời mở đầu Bảng số ký hiệu Bảng số thuật ngữ Kiến thức chuẩn bị 1.1 Sơ lược đa tạp đại số affine 1.2 Sơ lược nhóm đại số tuyến tính 1.2.1 Nhóm đại số affine 1.2.2 Nhóm đại số tuyến tính 10 1.2.3 Tôpô Zariski, thành phần bất khả quy nhóm đại số 12 1.2.4 Định lý thứ hai Hilbert 15 1.3 Khai triển Jordan tự đồng cấu phần tử nhóm đại số 20 1.4 Đại số Lie nhóm đại số G 23 1.4.1 Cách xây dựng 23 1.4.2 Các ví dụ 25 1.4.3 Các tác động liên hợp phụ hợp 26 Nhóm reductive, nhóm nửa đơn, sơ lược hệ nghiệm 28 1.5.1 Định lý nhóm nửa đơn 28 1.5.2 Sơ lược hệ nghiệm 30 Quỹ đạo nhóm đại số 31 1.5 1.6 Một số phiên tính chất hữu hạn quỹ đạo 33 2.1 Định lý hữu hạn Richardson 33 2.2 Định lý hữu hạn Slodowy 39 2.3 Cặp reductive lớp liên hợp phần tử lũy đơn 41 i Một số ứng dụng tính chất hữu hạn lớp liên hợp 3.1 3.2 49 Ứng dụng vào đa tạp lũy đơn 49 3.1.1 Phần tử quy nhóm đại số 49 3.1.2 Lớp lũy đơn 54 Các câu hỏi Kulshammer tính hữu hạn số lớp biểu diễn 57 Kết luận 59 ii LỜI MỞ ĐẦU Các điều kiện, tính chất liên quan đến tính hữu hạn đóng vai trị quan trọng toán mang nhiều nội dung Đại số Có thể kể số tính chất, kết quan trọng như: tính chất Noether vành (mọi iđêan hữu hạn sinh), Định lý sở Hilbert nói vành đa thức hữu hạn biến trường ln Noether, tính hữu hạn số loại đối đồng điều (chẳng hạn, đối đồng điều Galois) Trong luận văn tác giả trình bày kết Richardson đề cập đến tính hữu hạn số quỹ đạo ứng với nhóm nhóm lớn xét tác động liên hợp, phiên khác Slodowy (khi xét tác động liên hợp đồng thời), số ứng dụng vào tồn phần tử quy lũy đơn câu hỏi Kulshammer lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn Cho G nhóm đại số với H nhóm cho (H, G) cặp reductive Ta xét tác động liên hợp G lên thơng qua tự đẳng cấu Tác động cảm sinh tác động phụ hợp G lên đại số Lie g tương ứng Cho phần tử x ∈ h, h ∈ H Ký hiệu G.x, G.h quỹ đạo x h hai tác động nói Thế Định lý hữu hạn Richardson (xem Định lý 2.1.2) khẳng định giao G.x ∩ h (tương ứng G.h ∩ H) gồm hữu hạn quỹ đạo H trường K có đặc số Hệ khẳng định chứng minh trước B Kostant nói rằng: K trường đặc số 0, đại số Lie g (tương ứng nhóm đại số G) nửa đơn chúng có hữu hạn lớp liên hợp phần tử lũy linh (tương ứng, lũy đơn) Thêm vào với đặc số trường K tùy ý cặp (H, GL(V )) cặp reductive định lý hữu hạn cịn (xem Định lý 2.1.4) Do G nhóm reductive xác định trường đặc số tốt (good characteristic, xem Định nghĩa 2.3.4), số lớp liên hợp phần tử lũy đơn hữu hạn Điều trả lời phần lớn cho giả thuyết tính hữu hạn số lớp lũy đơn R Steinberg đặt Đại hội Toán học giới năm 1966 (khơng có giới hạn hệ số) Sau giả thuyết chứng minh hồn toàn G Lusztig năm 1976 (xem Định lý 2.3.8) cách sử dụng công cụ lý thuyết đồng điều giao (intersection homology) Tiếp đến, thay cho tác động liên hợp thông thường, P Slodowy nghiên cứu câu hỏi tương tự G tác động lên Gn = G × ⋯ × G (tương ứng, gn = g × ⋯ × g) phép liên hợp (tương ứng, phụ hợp) đồng thời thu kết tương tự Richardson (xem [12]) Đặc biệt Hệ 2.2.2 khẳng định nhóm sinh phần tử h1 , , hn ∈ H tách G (nghĩa cấu xạ quỹ đạo G → G.(h1 , , hn ) tách), H ≤ G cặp reductive G.(h1 , h2 , , hn ) ∩ H n gồm hữu hạn quỹ đạo H Gần trường hợp nhóm sinh phần tử h1 , , hn ∈ H không tách G nhiều quan tâm số ví dụ (khá phức tạp) cho việc G.(h1 , h2 , , hn ) ∩ H n gồm vô hạn lớp liên hợp đồng thời H tìm [1], [17] (xem Ví dụ 2.2.4, Định lý 2.2.5) Tuy xét lớp liên hợp bình thường (khi n = 1), số lớp liên hợp H hữu hạn theo kết R Guralnick (xem Định lý 2.2.6) Một ứng dụng quan trọng tính chất hữu hạn lớp liên hợp phần tử lũy đơn tồn phần tử quy lũy đơn (xem Định lý 3.1.8) Từ dẫn đến tốn tìm hiểu đa tạp lũy đơn (nói chung có kỳ dị), giải kỳ dị (phép giải Springer (Springer’s resolution)) mà nội dung phạm vi luận văn Ứng dụng thứ hai mà luận văn đề cập đến hai câu hỏi Kulshammer tính hữu hạn số lớp biểu diễn nhóm hữu hạn vào nhóm đại số tuyến tính (khơng thiết nhóm GL(V )) Trong luận văn tác giả trình bày việc đọc hiểu viết lại chi tiết số kết nói Ngồi đơi chỗ tác giả có bổ sung thêm chứng minh ví dụ (chẳng hạn Nhận xét 2.3.9, hay Ví dụ 2.3.10) Luận văn gồm chương Chương đầu chương kiến thức chuẩn bị Định lý quan trọng tác giả trình bày chi tiết chứng minh Định lý thứ hai Hilbert (gọi theo R Steinberg) nói ảnh tập dày (xem Định nghĩa 1.2.14) qua cấu xạ tập dày (xem Mệnh đề 1.2.15) Ngồi tác giả trình bày số kiến thức nhóm đại số, phần tử nửa đơn, lũy đơn nhóm đại số, sơ lược cấu trúc nhóm reductive, đại số Lie nhóm đại số, quỹ đạo nhóm đại số Đặc biệt luận văn trình bày cách dùng Định lý thứ hai Hilbert để rút kết quan trọng quỹ đạo nhóm đại số: quỹ đạo mở bao đóng (xem Định lý 1.6.1) Trong Chương tác giả trình bày Định lý hữu hạn Richardson số ví dụ ứng dụng Điểm mấu chốt chứng minh số tính tốn Đại số Lie nhóm đại số không gian tiếp xúc quỹ đạo Sau tác giả trình bày phiên P Slodowy xét tác động liên hợp đồng thời Vì điều kiện cặp reductive đưa Richardson quan trọng, nên tác giả dành mục chương cho việc tìm hiểu kỹ cặp reductive ứng dụng Định lý hữu hạn Richardson rút số lớp liên hợp phần tử lũy đơn hữu hạn đặc số k tốt Trong phần này, tác giả trình bày thêm ví dụ cặp khơng reductive (Ví dụ 2.3.10) Trong Chương cuối (Chương 3), tác giả trình bày ứng dụng kết nói việc khẳng định tồn phần tử quy lũy đơn đặc số char.k tốt, ứng dụng việc tìm hiểu hai câu hỏi Kulshammer tính hữu hạn lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn vào nhóm đại số cho trước Cụ thể hơn, cho K trường đóng đại số, Γ nhóm hữu hạn thỏa mãn (char.K, ∣Γ∣) = 1, G nhóm đại số tuyến tính Câu hỏi hỏi liệu tồn hay không số hữu hạn biểu diễn ρ ∶ Γ → G sai khác liên hợp G Bên cạnh đó, câu hỏi hỏi liệu tồn hay không số hữu hạn biểu diễn ρ ∶ Γ → G cho hạn chế xuống nhóm Sylow cho trước Γp thuộc vào lớp cho Khi G = GLn , tính hữu hạn câu hỏi suy từ định cổ điển Maschke lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn Cả hai câu hỏi có cách tiếp cận Slodowy thơng qua khảo sát lớp liên hợp đồng thời, nhiên luận văn có điều kiện trình bày câu hỏi thứ nhất, câu hỏi thứ hai dừng mức độ giới thiệu Đề tài “Về Một Tính Chất Hữu Hạn Của Quỹ Đạo Dưới Tác Động Của Nhóm Đại Số” nội dung tác giả chọn để nghiên cứu làm luận văn tốt nghiệp sau hai năm theo học chương trình cao học chuyên ngành Đại Số Và Lý Thuyết Số trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên-ĐHQGHN Để hoàn thành q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn này, lời tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến TS Đào Phương Bắc, cán khoa Toán-Cơ-Tin Học– trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên-ĐHQGHN Thầy trực tiếp bảo hướng dẫn tác giả suốt trình nghiên cứu để tác giả hoàn thiện luận văn Ngoài tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, khoa Tốn-Cơ-Tin Học đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn Nhân dịp này, tác giả xin cảm ơn Khoa-Cơ-Tin Học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, lãnh đạo khoa anh chị công tác trường tạo điều kiện thời gian cho tác giả suốt trình nghiên cứu Tác giả xin cám ơn đề tài QG.18.01 TS Đào Phương Bắc chủ trì có hỗ trợ mặt tài Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn người thân, bạn bè bên tác giả, động viên tác giả hồn thành khóa học luận văn Trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2019 Học Viên Võ Duy Hoàng Bảng số ký hiệu LieG, g Đại số Lie nhóm G Greg Tập điểm quy G Greg,ss Tập điểm quy, nửa đơn G R Trường số thực C Trường số phức Fq Trường hữu hạn gồm q phần tử k Bao đóng đại số trường k ks Bao tách trường k Gal(L/K) Nhóm Galois mở rộng Galois L/K #A Số phần tử tập A GL(V ) Nhóm tuyến tính tổng qt SL(V ) Nhóm tuyến tính đặc biệt SO(V ) Nhóm trực giao đặc biệt Sp(V ) Nhóm sympletic char.k Đặc số trường k G0 Thành phần liên thơng chứa đơn vị nhóm G Ga Nhóm cộng tính Gm Nhóm nhân tính k[X] Đại số hàm quy đa tạp X với hệ số k diag(a1 , , an ) Ma trận chéo với phần tử đường chéo a1 , , an Bảng số thuật ngữ Cấu xạ Morphism Đa tạp đại số Algebraic Variety Đặc số tốt Good characteristic Đẳng giống Isogeny Hàm lớp Class function Ngăn (tế bào) Cell Nhóm đại số tuyến tính Linear algeraic group Nhóm reductive Reductive group Nhóm nửa đơn Semisimple group Nhóm hầu đơn Almostsimple group Nhóm lũy đơn Unipotent group Phần tử quy Regular element Phần tử nửa đơn Semisimple element Phần tử lũy đơn Unipotent element Quỹ đạo Orbit Tác động liên hợp Conjugate action Tác động đa liên hợp Multi-conjugate action Tác động phụ hợp Adjoint action Tác động liên hợp đồng thời Simultaneously conjugate action Tập đại số Algebraic Set Tập dày Epais Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương xuyên suốt luận văn, khơng giả thiết thêm ta ln xét k trường đóng đại số Điều kiện đặc số lưu ý thêm cần 1.1 Sơ lược đa tạp đại số affine Về trực giác, tập V k n gọi tập đại số tập nghiệm họ hữu hạn đa thức k[x1 , , xn ] Ví dụ, tập nghiệm đa thức F (x, y) = x2 + y − C2 , có điểm thực đường trịn đơn vị Một cách tự nhiên ta định nghĩa đa tạp affine tập đại số Tuy nhiên, khái niệm chưa có tính nội Chẳng hạn, đa tạp affine quan trọng GLn (k) (nhóm ma trận vuông khả nghịch cấp n) không xác định tập nghiệm Matn (k), lại xem tập đại số Matn (k) × k Vì ta cần định nghĩa đa tạp đại số (affine) cách xác sau Định nghĩa 1.1.1 (xem [16]) Một đa tạp đại số cặp (V, A) V tập hợp, A k-đại số hàm V với giá trị k Cặp thỏa mãn tính chất sau : A hữu hạn sinh k-đại số A có tính chất tách điểm V , tức với x ≠ y ∈ V , tồn f ∈ A cho f (x) ≠ f (y) Mọi đồng cấu k-đại số ϕ ∶ A → k định giá ex điểm x ∈ V , tức là, ϕ(f ) = f (x), với f ∈ A tổng trực tiếp biểu diễn bất khả quy Nói riêng, biểu diễn phụ hợp Ad ∶ H → GL(g), g phân tích thành tổng H-mơđun bất khả quy: g = g1 ⊕ ⋯ ⊕ gn Vì h H-ổn định, nên gi chứa h, gi ∩ h = Do ta cần lấy tổng H-mơđun gi mà có giao với h thu môđun m H-ổn định (2): Đã chứng minh Mệnh đề 2.3.3 (3): Đã đề cập Mệnh đề 2.3.3 (4): Theo giả thiết (K ≤ H) cặp reductive, suy tồn phần bù k′ đại số Lie k h k′ Ad-ổn định: h = k ⊕ k′ Tương tự, tồn phần bù h′ Ad(H)-ổn định: g = h ⊕ h′ Từ suy k′ ⊕ h′ phần bù k Ad(K)-ổn định Do (K ≤ G) cặp reductive (5): Từ giả thiết cho m (tương ứng, m′ ) phần bù trực tiếp h (tương ứng, h′ ) g (tương ứng, g′ ) Thế m ⊕ m′ phần bù trực tiếp h ⊕ h′ Ad(H × H ′ )-ổn định Từ suy H × H ′ ≤ G × G′ cặp reductive (6): Từ giả thiết suy đại số Lie h toàn g Khi ta lấy phần bù m g Do (H ≤ G) cặp reductive (7): Thật vậy, từ giả thiết ta có h = ⊕ni=1 Hom(Wi , Wi ) Vậy m = ⊕i≠j Hom(Wi , Wj ) phần bù trực tiếp cần tìm (8): Thật đại số Lie H h = Hom(W1 , W1 )⊕⋯⊕Hom(Wn , Wn ), Wi = W Vậy m = ⊕i≠j Hom(Wi , Wj ) phần bù trực tiếp cần tìm Ví dụ 2.3.10 (Cặp khơng reductive) Ta xét cặp nhóm: ⎛1 b ⎞ ⎛a b ⎞ H ={ ∣ b ∈ K}≤ G = { ∣ ad = 1} ⎝0 1⎠ ⎝0 d⎠ Thế cặp (H, G) khơng reductive Thật ⎛0 B ⎞ ⎛A B ⎞ h={ ∣ B ∈ K}⊆ g = { ∣ A + D = 0} ⎝0 ⎠ ⎝ D⎠ 47 Giả sử ngược lại ⎧ ⎪ ⎪ ⎪g = h ⊕ m, ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩m Ad(H)-ổn định Chọn ma trận 0≠ ⎛A B ⎞ ∈ m, ⎝ D⎠ kéo theo A, D ≠ Ta có: Ad(H) ⎛1 b ⎞ ⎛A B ⎞ ⎛1 −b⎞ ⎛A B ⎞ ={ ⎝0 1⎠ ⎝ D⎠ ⎝0 ⎠ ⎝ D⎠ ⎛A −Ab + B + bD⎞ ∣ b ∈ K} ={ ⎠ ⎝0 D ⎛A −2Ab + B ⎞ ={ ∣ b ∈ K} (vì A + D = 0.) ⎝0 ⎠ D Mặt khác dim m = 1, nên ⎛xA xB ⎞ m={ ∣ x ∈ K} ⎝ xD⎠ Vì A, D ≠ nên Ad(H) ⎛A B ⎞ ⊊ m ⎝ D⎠ Vậy (H ≤ G) không cặp reductive Nhận xét 2.3.11 Trong ví dụ nhóm H, G khơng reductive, nên cách tự nhiên cặp (H, G) khơng reductive Ví dụ nhóm reductive H G thỏa mãn cặp (H ≤ G) không reductive tồn đặc số trường sở khác không dễ Tác giả dẫn giảng B Martin cho ví dụ kiểu (xem [9, Example 4.7]) 48 Chương Một số ứng dụng tính chất hữu hạn lớp liên hợp Trong Chương này, phần đầu tác giả trình bày ứng dụng kết nói để khẳng định tồn phần tử quy lũy đơn đặc số char.k tốt Chúng ta thấy đa tạp phần tử lũy đơn (song song với đại số Lie đa tạp lũy linh) có tính chất hình học đẹp, đa tạp có lớp liên hợp phần tử quy lũy đơn, bao gồm toàn điểm trơn, điểm kỳ dị có số đối chiều ≥ 2, có giải kỳ dị tự nhiên mang tên Springer Tuy nhiên khuôn khổ luận văn tác giả trình bày chi tiết phần điều Phần cịn lại tác giả trình bày cách tiếp cận Slodowy thông qua tác động liên hợp đồng thời để tìm hiểu hai câu hỏi Kulshammer tính hữu hạn lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn vào nhóm đại số cho trước 3.1 3.1.1 Ứng dụng vào đa tạp lũy đơn Phần tử quy nhóm đại số Phần viết chủ yếu dựa theo [16, §3.5] Cho G nhóm reductive liên thơng Khi G đồng thời tâm G Ngồi giao hốn tử G′ = [G, G] nhóm nửa đơn xuyến cực đại T G có dạng tích hầu trực tiếp T = S ⋅ T ′, với S = Z(G) tâm G, T ′ xuyến cực đại G′ Định nghĩa 3.1.1 Phần tử x ∈ G gọi phần tử quy G tâm ZG (x) có số chiều nhỏ tâm hóa phần tử G, hay tương 49 đương, quỹ đạo (lớp liên hợp) G.x = {gxg −1 ∣ g ∈ G} có số chiều lớn Nhận xét 3.1.2 Do điều kiện số chiều, phần tử quy đương nhiên tồn Ta tìm hiểu điều kiện để phần tử quy lũy đơn, hay nửa đơn Mệnh đề 3.1.3 (xem [16, Prop 1, p 94]) Chiều nhỏ chung tâm hóa phần tử quy (ZG (x)) hạng G Chứng minh Ta cố định xuyến cực đại T G Khi tồn phần tử t ∈ T cho tâm hóa ZG (t) = ZG (T ) Do r = dim T = dim ZG (T ) lớn hay chiều nhỏ chung tâm hóa Bây ta với x ∈ G, số chiều dim ZG (x) ≥ r Nhận thấy x ∈ B nhóm Borel Xét phân tích B = T ⋅ U Khi [B, B] ⊆ U , kéo theo dim B/[B, B] ≥ dim T = r Do dim ZG (x) ≥ dim ZB (x) = dim B − dim B.x Mặt khác B.x ⊆ [B, B], nên dim B.x ≤ dim[B, B] ≤ dim U Từ suy dim B − dim(B.x) ≥ dim B − dim U = dim T = r Vậy từ hai bất đẳng thức suy dim ZG (x) ≥ r Từ ta có điều cần chứng minh Mệnh đề 3.1.4 (xem [16, Prop 2, p 95]) Cho G = GLn , SLn Khi đó: Một phần tử nửa đơn quy giá trị riêng khác đơi Một phần tử lũy đơn quy có khối dạng Jordan Các điều sau tương đương: (a) x quy (b) Đa thức cực tiểu x có bậc n (nói cách khác, đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng) (c) ZG (x) nhóm abel (d) k n mơđun cyclic 50 Chứng minh Trường hợp G = SLn khác với G = GLn chỗ cần thêm ràng buộc định thức tính tốn nên khơng tổng qt giả sử GLn (1): Vì x phần tử nửa đơn G, nên x liên hợp (đồng dạng) với ma trận chéo t = diag(t1 , , tn ), t1 , , tn giá trị riêng (kể bội) x Phần tử x quy tâm hóa ZG (t) T Nhận thấy có hai phần tử ti = tj tâm hóa chứa thực T Do x quy phần tử đường chéo t phân biệt, hay tương đương, giá trị riêng x phân biệt (2): Với u phần tử lũy đơn, u đồng dạng với tổng trực tiếp khối Jordan với phần tử đường chéo Với v khối Jordan: ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 v=⎜ ⎜ ⎜⋅ ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 ⋯ 0⎞ ⎟ 1 ⋯ 0⎟ ⎟ ⎟ ⋯ 0⎟ ⎟, ⎟ ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ ⋅⎟ ⎟ ⎟ 0 ⋯ 1⎟ ⎟ 0 ⋯ 1⎠ tâm hóa ZG (v) họ ma trận có dạng: ⎛x1 x2 x3 ⎜ ⎜ x1 x2 ⎜ ⎜ ⎜ 0 x1 ⎜ ⎜ ⎜⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎝0 0 ⋯ xn−1 ⋯ xn−2 ⋯ xn−1 ⋯ ⋅ ⋯ x1 ⋯ xn ⎞ ⎟ xn−1 ⎟ ⎟ ⎟ xn−2 ⎟ ⎟ ⎟ ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ x2 ⎟ ⎟ x1 ⎠ Vậy u gồm khối Jordan, số chiều tâm hóa n, dẫn u phần tử quy Nếu u gồm nhiều khối Jordan, tâm hóa có số chiều lớn n Do vậy, phần tử lũy đơn G quy có khối Jordan (3): Ta chứng minh “(a) ⇔ (b)”, tương đương cịn lại khơng thực cần nên ta cơng nhận Vì x ∈ GLn phần tử quy ma trận đồng dạng với (nói riêng dạng chuẩn Jordan J(x)) phần tử quy Mặt khác x quy dim Gx đạt giá trị nhỏ n chiều xuyến cực 51 đại Thế dim ZG (J(x)) = n Do khơng có hai khối Jordan có phần tử đường chéo nhau, nghĩa đa thức tối tiểu đa thức đặc trưng, có bậc n Mệnh đề 3.1.5 (xem [16, Prop 3, p 96]) Cho t phần tử nửa đơn Các khẳng định sau tương đương: (a) Phần tử t quy (b) ZG (t)0 xuyến cực đại (c) Phần tử t chứa xuyến cực đại G (d) ZG (t) gồm toàn phần tử nửa đơn (e) α(t) ≠ với nghiệm α mọi, với một, xuyến cực đại chứa t Chứng minh Ta chọn xuyến T nhóm Bored B cho t ∈ T B = T ⋊ U phân tích thành tích nửa trực tiếp (a) ⇒ (b): Ta có T ⊆ ZG (t)0 Vì t phần tử quy, nên dim(T ) = r = dim(ZG (t)0 Vậy T = ZG (t)0 , hay ZG (t)0 xuyến cực đại (b) ⇒ (c): Cho t ∈ T ′ xuyến cực đại Thế T ′ ⊆ ZG (t)0 thân ZG (t)0 xuyến cực đại G Do T ′ = ZG (t)0 Vì t thuộc xuyến cực đại G (c) ⇒ (b): Giả sử t ∈ T ⊆ ZG (t)0 Với g ∈ ZG (t)0 , ta có gtg −1 = t, kéo theo gT g −1 chứa t Vì chi có xuyến cực đại chứa T , nên ta có gT g −1 = T Vì g chuẩn hóa T , hay ZG (t)0 ⊆ NG (T )0 , nhóm liên thơng Theo định lý cứng (Rigidity, xem [16, §2.7, p 43]), ta có NG (T )0 = ZG (T )0 = T Vậy kết hợp với t ∈ T ⊆ ZG (t)0 , ta có ZG (t)0 = T (b) ⇒ (d): Theo Bổ đề trù mật (xem [16, Cor 4, p 71]), ta có tất phần tử lũy đơn ZG (t) nằm ZG (t)0 xuyến Mặt khác, phần tử ZG (t)0 nửa đơn, nên ZG (t)0 xuyến Do ZG (t)u = {e} Nếu x ∈ ZG (t), xs , xu giao hốn với t Do xu ∈ ZG (t)u = {e}, hay xu = x = xs , kéo theo x = xs nửa đơn, hay ZG (t) chứa phần tử nửa đơn (d) ⇒ (e): Cho R = Φ(T, G) hệ nghiệm T G Giả sử α(t) = với α ∈ R Thế txα (c)t−1 = xα (α(t).c), = xα (c) với c ∈ Ga 52 Vậy Uα ⊆ ZG (t), kéo theo mâu thuẫn với giả thiết ZG (t) chứa phần tử nửa đơn Vậy α(t) ≠ với nghiệm α (e) ⇒ (b): Đầu tiên ta chứng minh: ZG (t)0 ∩ U − B ⊆ T Chọn x ∈ ZG (t)0 ∩ U − B Khi x có dạng ∏ x−α (cα )t′ ∏ xα (dα ), α>0 α>0 cα , dα ∈ k, t′ ∈ T , x giao hoán với t Vậy x = txt−1 = t ( ∏ x−α (cα )) t′ ∏ xα (dα )t−1 , α>0 α>0 −1 = ∏ x−α (α(t) cα ))t′ ∏ xα (α(t)dα ) α>0 α>0 Từ tính biểu diễn, α(t)−1 cα = cα α(t)dα = dα với α > Vì α(t) ≠ với α ∈ R, nên cα = dα = với α Vì x = t′ ∈ T Mặt khác U − B mở G, nên ZG (t)0 ∩ U − B mở nhóm bất khả quy ZG (t)0 Ta lại vừa T ⊇ ZG (t)0 ∩ U − B ZG (t)0 bất khả quy, kéo theo ZG (t)0 ∩ U − B = T mở ZG (t)0 Vì ZG (t)0 bất khả quy, nên T = ZG (t)0 (b) ⇒ (a): Vì ZG (t)0 xuyến cực đại, nên dim Gt = rankG, kéo theo dim G.t có chiều cực đại Do t quy Chúng ta nêu khẳng định sau cho mơ tả đầy đủ tâm hóa phần tử nửa đơn chứa xuyến cực đại Mệnh đề 3.1.6 (xem [16, Prop 4, p 98]) Cho phần tử t ∈ T xuyến cực đại, Φ(T, G) hệ nghiệm T Thế thì: ZG (t) = G1 = ⟨T, Uα , nw ∣ α(t) = 1, w ∈ W (T, G), w(t) = t⟩ ZG (t)0 = ⟨T, Uα ∣ α(t) = 1, w ∈ W (T, G)⟩ nhóm reductive Hệ 3.1.7 Các phần tử quy nửa đơn G lập thành tập mở với phần bù có số đối chiều Chứng minh Cố định xuyến cực đại T Đặt R = Φ(T, G) hệ nghiệm ứng với T Xét đa thức f = ∏ (α − 1), α∈R hay f (x) = ∏α∈R (α(x) − x) Vì phần tử nhóm Weyl w ∈ W hốn vị hệ nghiệm R nên f ∈ k[T ]W Theo [16, Theorem of 3.4], f0 thác triển cách lên 53 hàm lớp f ∈ C[G] (hàm lớp hàm lớp liên hợp) Ta với S ∶= {x ∈ f (x) ≠ 0} S tập phần tử quy, nửa đơn Greg,ss = S, tập phần tử quy nửa đơn G Thật với x ∈ Greg,ss , theo Mệnh đề 3.1.5 (phần (e)), ta có α(x) ≠ x với α ∈ R Do f (x) = ∏ (α(x) − x) ≠ 0, α∈R kéo theo x ∈ S Do ta có bao hàm thức Greg,ss ⊆ S Mặt khác, với x ∈ S, x thuộc nhóm Borel Vì f hàm lớp nhóm Borel liên hợp, nên ta giả sử x thuộc nhóm Borel cố định B chứa T Xét phân tích thành tích nửa trực tiếp B = U ⋊ T phân tích Jordan x ∈ s.u Theo cách xây dựng hàm lớp f ta có: f (x) = f (s) Thế f (s) ≠ 0, kéo theo ∏ (α − 1)(s) ≠ α∈R Do α(s) ≠ s với α ∈ R, kéo theo s quy (xem Mệnh đề 3.1.5) Do ZG (s) gồm phần tử nửa đơn Vì x ∈ ZG (s) nên x nửa đơn Do u = 1, x = s phần tử quy nửa đơn Vậy S = Greg,ss Do Greg,ss tập mở với phần bù tập không điểm f (x) = ∏α∈R (α(x) − x), kéo theo có đối chiều Từ ta có điều cần chứng minh 3.1.2 Lớp lũy đơn Mục đích phần tồn phần tử quy lũy đơn nhóm reductive tùy ý Khi char.K = 0, điều Dynkin-Kostant Khi char.K tùy ý, điều R Steinberg (xem [14]) T A Springer dùng phương pháp Đại số Lie tồn phần tử lũy đơn quy với hầu hết đặc số K Trong mục trình bày tồn phần tử quy lũy đơn ứng dụng định lý hữu hạn Richardson Ta biết Định lý hữu hạn Richardson suy giao lớp liên hợp với GLn g ∩ G gồm hữu hạn lớp liên hợp G trường sở có đặc số tốt (xem Mệnh đề 2.3.3) Thực tế sau ta biết tính hữu hạn lớp lũy đơn G reductive (xem Nhận xét 2.3.7) Thế 54 Định lý 3.1.8 (xem [16, Theorem 3, p 108]) Cho G nhóm reductive xác định trường đặc số tốt (hoặc thay giả thiết số lớp lũy đơn hữu hạn), ký hiệu V = Gu tập phần tử lũy đơn G Khi đó: (a) V đóng, bất khả quy G có số đối chiều r = rankG G (b) V chứa lớp phần tử lũy đơn quy Nói riêng, phần tử quy ln tồn trường sở có đặc số tốt Lớp mở, trù mật V có phần bù số đối chiều ≥ V Chứng minh Vì phần số đối chiều ≥ V cần hiểu biết vượt khỏi nội dung luận văn nên tác giả dẫn [16, Prop 2, p 133] Bây tác giả trình bày chứng minh phần lại (a): Xét biểu diễn trung thành G ↪ GLn Thế GLn,u = {A ∈ GLn ∣ (A − En )n = 0} Đây tập đóng GLn Do Gu = GLn,u ∩ G ≤ G tập đóng Cố định nhóm Borel B G Ta xét tập S ∶= {(gB, x) ∣ g −1 xg ∈ U } ⊆ G/B × G Khi S đóng ảnh cấu xạ: θ ∶G×U → G/B × U (g, u) ↦ (gB, gug −1 ) Do S bất khả quy Ta có sơ đồ sau: G×U  G/B × HG HH p HH HH HH H$ t tt tt t t ty t p1 θ G/B G, ⎧ −1 ⎪ ⎪ ⎪θ ∶ (g, u) ↦ (gB, gug ), ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩p1 , p2 phép chiếu theo tọa độ thứ thứ hai 55 Nhận thấy p1 (S) = G/B thớ p1 liên hợp với U nên có số chiều Do theo định lý tổng quát chiều (xem chẳng hạn [6, Theorem 4.5, p 34]) ta có: dim S = dim G/B + dim U = dim G − dim B + dim U = dim G − dim T = dim G − r Mặt khác theo phép chiếu thứ hai ta có ảnh p2 (S) = V = Gu Nhận thấy phần tử x = ∏ xα (cα ) ∈ U α∈∆ cho cα ≠ với nghiệm đơn α, ta có thớ p−1 (x) hữu hạn (Do dim p2 (S) = dim S có số đối chiều rankG.) Bây ta với x trên, g −1 xg ∈ U g ∈ B Thật vậy, g −1 = u.nw b, với u ∈ Uw , nên ta giả sử b = Vì g −1 xg ∈ U −1 ∈ U , kéo theo n xn−1 ∈ U Lại có n xn−1 ∈ nên unw xn−1 ∏α>0 Uw(α) nên w(α) > w w w u w w cα ≠ Do w(α) > với α nghiệm đơn Vậy w chuyển buồng (fundamental chamber) vào nó, kéo theo w = id, kéo theo phần tử đại diện nw ∈ T , hay g ∈ B Do phần (a) chứng minh (b): Vì G có hữu hạn lớp lũy đơn nên V = Gu hợp hữu hạn lớp liên hợp Do dim V số chiều lớp Giả sử lớp C0 có số chiều bằng: dim Gu = dim G − r Khi lớp C0 quy Vì lớp mở bao đóng nó, nên lớp C0 mở trù mật V = Gu Ngoài lớp khác V có số chiều nhỏ thực Vậy có điều cần chứng minh Ví dụ 3.1.9 (xem [16, p 129]) Với G = SL2 , ta có ⎛a b ⎞ Gu = { ∣ a + b = 2, ad − bc = 1} ⎝ c d⎠ ⎛a b ⎞ ={ ∣ (a − 1)2 = −bc} ⎝ c − a⎠ Đây mặt nón K với điểm kỳ dị (1, 0, 0), có hai lớp lũy đơn Gu lớp quy Gu ∖ {E2 } tập điểm đơn Gu Nhận xét 3.1.10 Như ta thấy đa tạp phần tử lũy đơn V có số đối chiều r = rankG G, nói chung có kỳ dị, tập điểm trơn lớp quy 56 phần tử lũy đơn, tập điểm kỳ dị có số đối chiều ≥ V T A Springer tìm phép giải kỳ dị đẹp cho đa tạp gọi giải Springer (xem [16, Theorem1, p 129]), giải kỳ dị lại mở nhiều nghiên cứu Hình học nhóm đại số 3.2 Các câu hỏi Kulshammer tính hữu hạn số lớp biểu diễn Trong mục tác giả đề cập câu hỏi Kulshammer tính hữu hạn số lớp biểu diễn nhóm hữu hạn Theo định lý cổ điển Maschke, ta biết (char.K, ∣Γ∣) = 1, biểu diễn ρ ∶ Γ → GL(V ) phân tích thành tổng trực tiếp biểu diễn bất khả quy Mặt khác nhóm hữu hạn có hữu hạn biểu diễn bất khả quy sai khác đẳng cấu, nên theo Bổ đề Schur, sai khác liên hợp GL(V ), có hữu hạn lớp biểu diễn ρ ∶ Γ → GL(V ) Trong [7], B Kulshammer đặt câu hỏi tương tự xét G nhóm đại số tùy ý thay cho GL(V ) Câu hỏi 3.2.1 (xem [12, Introduction, p 331]) Cho K trường đóng đại số, Γ nhóm hữu hạn thỏa mãn (char.K, ∣Γ∣) = 1, G nhóm đại số tuyến tính Liệu tồn hay không số hữu hạn biểu diễn ρ ∶ Γ → G sai khác liên hợp G? Ngoài B Kulshammer đặt câu hỏi thứ hai có liên quan sau Câu hỏi 3.2.2 (xem [12, Introduction, p 331]) Cho p = char.K, Γp p-nhóm Sylow Γ Liệu sai khác liên hợp G, có hữu hạn biểu diễn ρ ∶ Γ → G cho hạn chế xuống Γp thuộc vào lớp cho? Sau khái niệm hai biểu diễn tương đương nhóm hữu hạn nhóm đại số Định nghĩa 3.2.3 Cho Γ nhóm hữu hạn G nhóm đại số, ta nói biểu diễn đại số Γ G đồng cấu nhóm đại số ρ ∶ Γ → G Hai biểu diễn ρ, ρ′ ∶ Γ → G gọi tương đương tồn g ∈ G cho ρ′ (γ) = gρ(γ)g −1 với γ ∈ Γ Mặc dù Câu hỏi 3.2.1 đưa khoảng năm 1990 theo ý A Borel, câu hỏi có câu trả lời khẳng định A Weil từ năm 1964 (xem [19]) Cụ thể có khẳng định sau 57 Định lý 3.2.4 (xem [12, Theorem 2, p 334]) Giả sử (∣Γ∣, char.K) = 1, tồn số hữu hạn lớp tương đương đồng cấu ρ ∶ Γ → G Thực tế Định lý 3.2.4 chứng minh T A Springer, R Richardson thư từ trao đổi ông với Kulshammer Slodowy Sau chứng minh Định lý 3.2.4 cho trường hợp nhóm G chấp nhận phép nhúng ι ∶ G ↪ GL(V ) cho (G, GL(V )) cặp reductive Chứng minh Xem biểu diễn ρ ∶ Γ → G phần tử ρ = (ρ(γ) ∣ γ ∈ Γ) ∈ GΓ = Map(Γ, G) Hai biểu diễn ρ, ρ′ tương đương chúng nằm lớp liên hợp đồng thời G GΓ Giả sử phép nhúng ι ∶ G → GL(V ) cặp reductive tồn theo giả thiết Theo Định lý Maschke, tồn hữu hạn biểu diễn Γ → GL(V ) (∣Γ∣, char.K) = Do lớp biểu diễn xem GL(V )-quỹ đạo GL(V )Γ Mỗi lớp phân tích thành hữu hạn G-quỹ đạo sau lấy giao với GΓ theo Hệ 2.2.2 Do tồn hữu hạn biểu diễn sai khác đẳng cấu Để kết thúc luận văn tác giả giới thiệu định lý Slodowy cho câu hỏi thứ hai Kulshammer Định lý 3.2.5 (xem [12, Theorem 3, p 338]) Cho G nhóm reductive xác định trường đóng đại số K với đặc số p > cho p tốt G Cho Γ nhóm hữu hạn với p-nhóm Sylow Γp cố định lớp G-tương đương biểu diễn Γp → G Khi có hữu hạn lớp G-tương đương biểu diễn ρ ∶ Γ → G cho hạn chế ρ∣ thuộc vào lớp cho Γp Cách làm P Slodowy sử dụng câu trả lời khẳng định A Borel nhóm G = GL(V ), phiên Slodowy cho tính chất hữu hạn số kiến thức đối đồng điều nhóm Tác giả dẫn báo [2] [18] cho tiến gần nghiên cứu câu hỏi Kulshammer 58 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả thực số cơng việc sau: Trình bày số kết đa tạp đại số, nhóm đại số affine, quỹ đạo Nói riêng, chứng minh Định lý thứ hai Hilbert cấu xạ đa tạp đại số (xem Mệnh đề 1.2.15), từ chứng minh định lý quỹ đạo nhóm đại số (Định lý 1.6.1) Trình bày chứng minh định lý hữu hạn Richardson (Định lý 2.1.2), phiên Slodowy cho tác động liên hợp đồng thời (Định lý 2.2.1) Trình bày ví dụ cặp reductive (Nhận xét 2.3.9) dẫn tính hữu hạn lớp lũy đơn đặc số tốt (Định lý 2.3.6) Trình bày ví dụ cặp khơng reductive (Ví dụ 2.3.10) Trình bày ứng dụng tồn phần tử quy, lũy đơn, mơ tả đa tạp phần tử lũy đơn (Định lý 3.1.8) Giới thiệu ứng dụng phiên Slodowy tác động liên hợp đồng thời hai câu hỏi Kulshammer tính hữu hạn biểu diễn nhóm hữu hạn vào nhóm đại số tùy ý (Định lý 3.2.4, Định lý 3.2.5) 59 Tài liệu tham khảo [1] M Bate, B Martin, G Roehrle, R Tange: Complete reducibility and separability Trans Amer Math Soc 362 (2010), no 8, 4283–4311 [2] M Bate, B Martin, G Roehrle: On a question of Kulshammer for representations of finite groups in reductive groups Israel Journal of Mathematics 214 (1) (2016), 463–470 [3] A Borel: Linear Algebraic Groups Second edition Graduate Texts in Mathematics, 126 Springer-Verlag, New York, 1991 xii+288 pp ISBN: 0-387-97370-2 [4] D Dumas: Linear Algebraic Groups Minor thesis, Harvard 2000 [5] R M Guralnick: Intersections of conjugacy classes and subgroups of algebraic groups Proc Amer Math Soc 135 (2007), no 3, 689–693 [6] J E Humphreys: Linear Algebraic Groups Graduate Texts in Mathematics, 21 Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975 xiv+247 pp [7] B Kulshammer: Donovan’s Conjecture, Crossed Products and Algebraic group actions Israel J Math (1995), 1–12 [8] G Lusztig: On the finiteness of the number of unipotent classes Invent Math 34 (1976), no 3, 201–213 [9] B A Martin: Geometric Algebraic Approach, Groups and available G-complete at reducibility: https://www.ruhr-uni- bochum.de/imperia/md/content/mathematik/lehrstuhlvi/compred.pdf [10] J S Milne: Algebraic Groups: The Theory of Group Schemes of Finite Type over a Field, Cambridge University Press, 2017 doi:10.1017/9781316711736, ISBN 9781107167483, MR 3729270 60 [11] R W Richardson: Conjugacy classes in Lie algebras and algebraic groups Ann of Math (2) 86 (1967), 1–15 [12] P Slodowy: Two notes on a finiteness problem in the representation theory of finite groups With an appendix by G.-Martin Cram Austral Math Soc Lect Ser., 9, Algebraic groups and Lie groups, pp 331–348, Cambridge Univ Press, Cambridge, 1997 [13] T A Springer, R Steinberg: Conjugacy classes In: Seminar on Algebraic Groups and Related Finite Groups, pp 167–266 Lecture Notes in Mathematics, vol 131 Springer, Berlin, Heidelberg, 1970 [14] R Steinberg: Regular elements of semisimple algebraic groups Inst Hautes Etudes Sci Publ Math No 25 (1965), 49–80 [15] R Steinberg: Classes of elements of semisimple algebraic groups 1968 Proc Internat Congr Math (Moscow, 1966) pp 277–284 [16] R Steinberg: Conjugacy classes in algebraic groups Notes by Vinay V Deodhar Lecture Notes in Mathematics, Vol 366 Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974 vi+159 pp [17] T Uchiyama, Separability and complete reducibility of subgroups of the Weyl group of a simple algebraic group of type E7 J Algebra 422 (2015), 357–372 [18] T Uchiyama, Complete reducibility, Kulshammer’s question, conjugacy classes: a D4 example, Arxiv 2017 [19] A Weil: Remarks on the cohomology of groups Ann of Math (2) 80 (1964), 149–157 61 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VÕ DUY HOÀNG VỀ MỘT TÍNH CHẤT HỮU HẠN CỦA QUỸ ĐẠO DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: ... đề 1.2.15) Ngoài tác giả trình bày số kiến thức nhóm đại số, phần tử nửa đơn, lũy đơn nhóm đại số, sơ lược cấu trúc nhóm reductive, đại số Lie nhóm đại số, quỹ đạo nhóm đại số Đặc biệt luận văn... tài ? ?Về Một Tính Chất Hữu Hạn Của Quỹ Đạo Dưới Tác Động Của Nhóm Đại Số? ?? nội dung tác giả chọn để nghiên cứu làm luận văn tốt nghiệp sau hai năm theo học chương trình cao học chuyên ngành Đại Số