Luận Án Thác Triển Phân Hình Của Một Số Lớp Hàm Phân Hình Yếu.pdf

Mục lục Danh mục ký hiệu ii Mở đầu Chương Miền tồn hàm phân hình giá trị véctơ 1.1 1.2 1.3 10 Kiến thức tổng quan không gian lồi địa phương 10 1.1.1 Một số lớp không gian lồi địa phương 11 1.1.2 Các tập tách điểm 11 Hàm chỉnh hình, hàm phân hình 12 1.2.1 Khái niệm hàm chỉnh hình 12 1.2.2 Khái niệm hàm phân hình 14 1.2.3 Các tập đa cực, đa quy, hàm cực trị tương đối 14 1.2.4 Các hàm chỉnh hình, phân hình tập chữ thập 16 Miền tồn hàm phân hình giá trị véctơ 19 Chương Định lý thác triển Levi hàm phân hình yếu 26 2.1 Các hàm p, W q-chỉnh hình hàm p, W q-phân hình 26 2.2 Định lý thác triển Levi hàm nhiều biến giá trị véctơ 27 2.2.1 27 34 36 Một số nhận xét ví dụ 37 2.2.2 2.2.3 2.3 € F xác định tính bị chặn Trường hợp W € F tách điểm Trường hợp W  F Trường hợp W i 2.4 Định lý thác triển Levi hàm giá trị véctơ vô hạn chiều 46 2.4.1 Bất biến tơpơ tuyến tính 46 2.4.2 Thác triển chỉnh hình hàm p, W q-chỉnh hình 48 2.4.3 Định lý thác triển Levi hàm giá trị véctơ 59 Chương Định lý chữ thập hàm p, W q-phân hình 62 3.1 Định lý Rothstein cho hàm p, W q-phân hình 62 3.2 Tổng quát hóa định lý Kazarian 65 3.3 Định lý chữ thập cho hàm p, W q-phân hình với kỳ dị đa cực 69 Chương Thác triển phân hình hàm p, W q-phân hình 76 4.1 Tính chất (BB)-Zorn thác triển chỉnh hình 76 4.2 Thác triển phân hình hàm p, W q-phân hình từ tập gầy 82 4.3 Miền phân hình hàm p, W q-phân hình 88 4.4 Thác triển hàm p, W q-phân hình qua tập giải tích 91 Kết luận 93 Danh mục cơng trình tác giả 95 Tài liệu tham khảo 96 Chỉ mục 104 ii Mở đầu Không gian lồi địa phương xuất nhiều lĩnh vực giải tích tốn học lý thuyết độ đo tích phân, giải tích phức, phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ Các không gian dãy, khơng gian hàm chỉnh hình, khơng gian hàm đo có tơpơ lồi địa phương Lý thuyết đối ngẫu khơng gian lồi địa phương đóng vai trị quan trọng chuyển tốn khơng gian lồi địa phương nghiên cứu phiếm hàm tuyến tính liên tục Giải tích phức khơng gian lồi địa phương kết hợp Giải tích phức Giải tích hàm Đầu tiên, kể đến kết tác giả Nachbin, Noverraz, Colombeau, Mujica, Dineen, Ở Việt Nam, từ năm 1970 có kết ban đầu Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái lĩnh vực Bài tốn tính chỉnh hình hàm giá trị véctơ quan tâm nhà toán học từ sớm Trong thực hành người ta giải thơng qua tính chỉnh hình Đ F, với F không gian lồi địa phương Hausdorff, gọi chỉnh hình yếu u  f chỉnh hình với u P F , không gian yếu Ở đây, hàm f : D đối ngẫu F Các kết bước đầu kể đến Dunford [24] vào năm 1938 Grothendieck [31] vào năm 1955 Mở rộng toán này, người ta đặt vấn đề “làm nhỏ” không gian chứa phiếm hàm tuyến tính u mà đảm bảo tính chỉnh hình hàm f Các kết xem xét trường hợp u P W € F 1, với W tập tách điểm, xác định tính bị chặn, giới thiệu cơng trình Grosse-Erdmann [28], Arendt Nikolski [7] Trong thập niên gần đây, toán thu hút quan tâm nhiều nhóm nghiên cứu giới Năm 2003, Hải [32] mở rộng kết Arendt Nikolski trường hợp không gian Fréchet với bất biến tơpơ tuyến tính Năm 2013, Quang, Lâm Đại [75] xem xét toán cho trường hợp E, F không gian Fréchet-Schwartz hàm f xác định tập mở D E mà f bị chặn tập bị chặn Hàm phân hình tập mở C nhận giá trị không gian Banach nghiên cứu nhiều nhà toán học [52,92] Đến năm 1982, Khuê [48] nghiên cứu hàm phân hình đa tạp phức nhận giá trị không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy Cụ thể, Khuê chứng minh tập cực hàm phân hình giá trị lồi địa phương rỗng tập giải tích có đối chiều [48, Corollary 1.1] Cho E, F không gian lồi địa phương hàm f xác định tập mở, trù mật D0 tập mở D E, phân hình P D tồn lân cận Uz E hUz |U XD , hUz , σUz hàm f có biểu diễn địa phương f |Uz XD0  σUz z hàm chỉnh hình nhận giá trị tương ứng F C Vấn đề đặt tìm D, nhận giá trị F Khi đó, với z điều kiện không gian E, F để tồn hàm h P H pD, F q σ P H pDq h cho f  D Khi ta nói f có biểu diễn tồn cục Đa tạp phức mà σ hàm phân hình có biểu diễn tồn cục gọi có dạng Poincaré [46] Tiếp tục nghiên cứu vấn đề với hàm phân hình nhận giá trị lồi địa phương đầy đủ theo dãy, năm 1982, Khuê chứng minh hàm phân hình đa tạp Stein nhận giá trị không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy có biểu diễn tồn cục [48, Theorem 2.1] Chúng ta biết hàm phân hình yếu nhận giá trị CN khơng phân hình Vì vậy, nghiên cứu tính phân hình hàm phân hình yếu người ta cần ý đến tính chất không gian F Năm 1997, Đông Hải [23] chứng minh hàm phân hình yếu f : X Đ F, X tập mở Cn (tương ứng L-chính quy compact) F khơng gian Fréchet có nửa chuẩn liên tục (tương ứng có tính chất pDN q) phân hình Bài tốn thác triển chỉnh hình thác triển phân hình nghiên cứu nhiều nhà tốn học Grosse-Erdmann [28], Arendt Nikolski [7], Bonet, Frerick Jordá [13], Năm 1969, Bogdanowicz [11] chứng minh D1 € D2 € C miền F không gian phức lồi địa phương Hausdorff, đầy đủ theo dãy f : D1 ÑF hàm cho u  f có thác triển chỉnh hình đến D2 với u P F f có thác triển chỉnh hình đến D2 Năm 2004, Grosse-Erdmann mở rộng kết hàm nhận giá trị Fréchet từ tập € Ω xác định hội tụ địa phương H pΩq, với Ω miền C Trong trường hợp này, hàm f xác định M thác triển đến Ω u  f có thác triển chỉnh hình đến Ω, với u P W , W tập tách điểm F f bị chặn M X K với K tập compact tùy ý Ω M Trong [33], Hải, Khuê Nga giới thiệu phiên định lý Bogdanowicz hàm phân hình trường hợp hàm f xác định tập € G € Cn nhận giá trị không gian Banach F Nếu với u P F mà hàm u  f có thác triển phân hình đến G f thác triển phân hình đến mở X G [33, Theorem 1] Ngồi ra, tác giả cịn chứng tỏ kết F không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy thỏa mãn F không gian Baire [33, Remark 1] Tiếp tục nghiên cứu toán trường hợp hàm biến nhận giá trị lồi địa phương, năm 2005, Jordá [45] chứng minh hàm f : Ω1 Đ E, E khơng gian lồi địa phương đầy đủ địa phương với đối ngẫu mạnh siêu thùng, có thác triển phân hình đến Ω2 hàm u  f có thác triển phân hình đến Ω2 với u P E [45, Theorem 12] Nhận xét rằng, khơng gian Baire siêu thùng [16, Observation 9.1.23] nên kết Jordá mở rộng [33, Remark 1] Sử dụng kết [45, Theorem 12], Jordá chứng minh hàm f có thác triển phân hình đến Ω2 trường hợp E không gian Fréchet tách biệt (distinguished) với Eβ2 có chuẩn liên tục E không gian Schwartz thùng đầy đủ không chứa CN [45, Theorems 16,17 ] Bài toán xác định bao chỉnh hình, bao phân hình đặc trưng miền chỉnh hình, phân hình quan tâm nhiều nhà toán học Okuda Sakai [61], Siciak [83], Zeriahi [93], Năm 1910, Levi [53] chứng minh hàm f pz, wq phân hình D  p∆r z∆q, với D tập mở liên thông Cn , ∆r  tλ P C : |λ|   ru, ∆1  ∆ với r ¡ 1, có thác triển phân hình đến D  ∆r giả thiết thêm f pz, q có thác triển phân hình đến ∆r với z P A, với A tập béo D Định lý Levi mở rộng Kneser [50] vào năm 1932 chứng minh đầy đủ Okuda Sakai [61] vào năm 1957 Định lý đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu đặc trưng miền phân hình Năm 1963, Fuks [27] chứng minh miền phân hình Cn giả lồi theo nghĩa Hartogs Năm 1967, Kajiwara Sakai [46] chứng minh bao phân hình miền đa tạp Stein tương ứng với họ hàm phân hình pτ -lồi theo nghĩa Docquier Grauert [22], đa tạp Stein [46, Lemma 5] Trong trường hợp vơ hạn chiều, Harita [35] có kết tương tự tích Descartes họ đếm miền mặt phẳng phức Aurich [8, 9] chứng minh bao phân hình khơng gian Banach phức giả lồi Cho Ω không gian tôpô liên thông ϕ đồng cấu địa phương từ Ω vào E Khi ta nói cặp pΩ, ϕq miền E Trong [36], Harita chứng minh bao phân hình miền pΩ, ϕq không gian lồi địa phương Hausdorff đầy đủ theo dãy C miền giả lồi Schottenloher [80,81] giải toán Levi miền trờn khụng gian li a phng Lindelăof vi biu din Schauder hữu hạn Đặc biệt, miền giả lồi không gian Fréchet với sở Schauder miền chỉnh hình Do bao phân hình miền pΩ, ϕq không gian Fréchet phức E với sở Schauder miền chỉnh hình Đặc biệt, miền phân hình E trùng với miền chỉnh hình Bài tốn xác định tính chỉnh hình, miền chỉnh hình, phân hình tập chữ thập (cross sets) quan tâm nhiều nhà toán học Hartogs [37], Siciak [83], Shiffman [86], Kết vấn đề định lý Hartogs cổ điển [37] Các nhà toán học Siciak [82], Vân Zeriahi [57], Shiffman [86] nghiên cứu tập đặc biệt Cm n Sau đó, Siciak [83], Vân Zeriahi [58] có kết cho hàm giải tích thực M rng trờn, cỏc nh toỏn ă hc quan tâm đến định lý chữ thập có kỳ dị, Oktem [62, 63] với kỳ dị giải tích, sau Jarnicki Pflug tổng qt vào năm 2000, 2001 [41, 42] Tiếp theo, người ta quan tâm đến định lý chữ thập có kỳ dị tổng quát kỳ dị đa cực, kỳ dị giải tích, cơng trình Jarnicki, Pflug Anh [2–6, 43, 65–69] Đối với hàm phân hình, năm 1950, Rothstein [77] chứng minh định lý dạng Hartogs cho hàm phân hình vơ hướng, điều kiện để hàm phân hình xác định Ω  ∆ thác triển phân hình đến Ω  ∆r , với r ¡ Sau đó, Kazarian [47] Shiffman [85] mở rộng kết Rothstein trường hợp tập đặc biệt Cn m Năm 1970, cách sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak [82] thiết lập bao phân hình hàm phân hình tách biến trường hợp tập chữ thập chứa tích miền C Sau đó, Quang Đại [71] mở rộng kết Siciak lớp hàm p, W q-chỉnh hình Năm 2003, Jarnicki Pflug [41] chứng minh định lý Rothstein hàm phân hình vơ hướng f xác định ∆p  ∆q Sử dụng định lý Rothstein [77] kết Siu [87], Jarnicki  ∆q thác triển phân hình đến lân cận mở tập chữ thập chứa ∆p  ∆q Pflug đưa điều kiện để hàm phân hình f xác định ∆p Chúng ta biết bao chỉnh hình miền Riemann Cn trùng với bao phân hình [40, Theorem 3.6.6] Vì vậy, [41], Jarnicki Pflug đặt câu hỏi vấn đề cịn khơng trường hợp hàm phân hình tách biến xác định X zM, X tập chữ thập M kỳ dị đa cực? Trước đó, vấn đề nghiên cứu trường hợp M  H Sakai [79] vào năm 1957, Kazarian [47] vào năm 1976 Shiffman [86] vào năm 1989 Theo dòng nghiên cứu này, chúng tơi quan tâm đến tốn thác triển phân hình số lớp hàm phân hình yếu Mục tiêu luận án là: • Giải tốn thác triển phân hình số trường hợp tổng quát, cụ thể thay việc xem xét D tập Cn D tập không gian Fréchet không gian F Fréchet, fz hàm pF, W q-phân hình • Mở rộng định lý Hartogs định lý chữ thập cho hàm p, W q-phân hình tách biến trường hợp hàm nhận giá trị véctơ • Nghiên cứu tốn thác triển phân hình hàm p, W q-phân hình Luận án, ngồi lời nói đầu, lời cảm ơn kết luận, gồm có chương tài liệu tham khảo Trong Chương 1, chúng tơi trình bày kiến thức chuẩn bị không gian lồi địa phương không gian tách điểm, khái niệm hàm chỉnh hình, hàm phân hình giá trị véctơ Mục đích chương nghiên cứu miền tồn hàm phân hình giá trị véctơ Ở đây, chúng tơi có kết tập Zfm : tu P F : Dfm  Dumf u trù mật F , Dfm miền tồn hàm phân hình f Ta nhận xét kết tương tự Hirschowitz [38] lớp hàm chỉnh hình Để chứng minh kết trên, cần số kết bổ trợ Bổ đề 1.3.2 trình bày thác triển hàm phân hình giá trị Fréchet qua tập S có đối ¥ Dựa vào Bổ đề 1.3.2, chứng minh hàm phân hình f pDzS q Y G nhận giá trị không gian Banach F thác triển phân hình đến D với S tập giải tích D với codim S  G tập mở D codim S cho nhánh bất khả quy với S có giao với G Trong Chương 2, dựa vào ý tưởng Arendt Nikolski [7], Grosse-Erdmann [28, 29], nghiên cứu thác triển phân miền phân hình lớp hàm p, W q-phân hình tách biến Để giải toán trên, trước hết mở rộng định lý thác triển Levi hàm nhận giá trị véctơ f pz, tq xác định D  p∆r z∆q có thác triển p, W q-phân hình theo biến phức t với z P D, tập trù mật D Sử dụng kết Frerick, Jordá Wengenroth [26] GrosseErdmann [29], cải tiến lập luận Siu [87], mở rộng kết định lý thác triển Levi hàm nhận giá trị không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy (hoặc đầy đủ địa phương) D tập mở Cn Chúng khảo sát mở rộng định lý thác triển Levi nhiều trường hợp khác tập W Trong trường hợp W không gian xác định tính bị chặn chúng tơi sử dụng kết Frerick, Jordá Wengenroth [26, Theorem 2.2] hàm chỉnh hình yếu giá trị véctơ từ tập tử địa phương mẫu địa phương hàm fz Điều tính bị chặn địa phương hàm thác triển u{  fz với u PW cần thiết Trong trường hợp W yếu hơn, cụ thể W tách điểm khơng xác định tính bị chặn chúng tơi cần thêm giả thiết họ tu{  fz uuPW thỏa mãn sup otpu{  f z q   8, ot pg q số nguyên không âm N cho pλ
tqN g pλq có thác triển chỉnh hình đến t P D cho tập cực uz f Chú ý rằng, kết cần giả thiết thêm với z tồn tập Pz € ∆r khơng có điểm giới hạn ∆r chứa Pz với u P W Tuy nhiên, điều kiện bỏ qua trường hợp W  F1 F thỏa mãn điều kiện: đầy đủ theo dãy cho Fβ1 siêu thùng; thùng Schwartz đầy đủ mà không chứa CN ; Fréchet tách biệt cho Fβ2 có chuẩn liên tục (Hệ 2.2.9 Hệ 2.2.10) Chúng tơi có điều hàm phân hình yếu tập mở khác rỗng C nhận giá trị khơng gian lồi địa phương F phân hình Ta nhắc lại hàm f : D gọi phân hình yếu u  f phân hình với u ĐF P F (xem [45]) Hơn nữa, chúng tơi xây dựng ví dụ để chứng tỏ tính bị chặn địa phương D  p∆r z∆q bỏ qua trường hợp không gian F đầy đủ địa phương không đầy đủ theo dãy (Ví dụ 2.3.2) Chúng tơi đưa ví dụ liên quan đến Định lý 2.2.6 trường hợp W tách điểm không xác định tính bị chặn (Mệnh đề 2.3.4) Áp dụng kết Mục 2.2, nghiên cứu định lý thác triển Levi hàm giá trị véctơ vô hạn chiều Một vài kết bổ trợ định lý Hartogs cho hàm p, W q-chỉnh hình tập chữ thập (Mệnh đề 2.4.6) thác triển chỉnh hình từ tập trù mật không gian Fréchet (Mệnh đề 2.4.7) nghiên cứu để chuẩn bị cho chứng minh kết mục Các định lý chữ thập hàm p, W q-phân hình tách biến quan tâm Chương Trong [41], Jarnicki Pflug mở rộng định lý Kazarian tập chữ thập xét định lý chữ thập kỳ dị đa cực Một bước quan trọng chứng minh định lý mở rộng chữ thập sử dụng định lý Rothstein Định lý Rothstein cổ điển nói hàm phân hình f xác định Ω  ∆, Ω miền Cn thác triển phân hình đến Ω  ∆r , với r ¡ với z P Ω fz thác triển phân hình đến ∆r tz u  ∆ chứa tập cực f Do đó, dựa vào kết Chương 2, xây dựng định lý mở rộng kết Rothstein (Định lý 3.1.1), Kazarian (Định lý 3.2.1) định lý chữ thập với kỳ dị đa cực cho lớp hàm p, W q-phân hình nhận giá trị không gian lồi địa phương đầy đủ địa phương Sử dụng kết này, mở rộng định lý chữ thập cho hàm phân hình tách biến với kỳ dị đa cực lớp hàm p, W q-phân hình tách biến Để thực điều đó, trước tiên chúng tơi mở rộng kết thác triển chỉnh hình hàm p, W q-chỉnh hình tập chữ thập với kỳ dị đa cực (Định lý 3.3.1 Định lý 3.3.2) Như [41], với trợ giúp kết này, nhận định lý chữ thập cho hàm p, W q-phân hình với kỳ dị đa cực (Định lý 3.3.4) Trong Chương 4, chúng tơi trình bày số điều kiện yếu để hàm p, W qphân hình phân hình nghiên cứu tốn thác triển phân hình cho lớp hàm Để chuẩn bị cho kết chương này, cần số kết tương tự định lý Zorn (ta gọi định lý kiểu Zorn) Định lý chứng minh vào năm 1945 Max Zorn, người tiếng Bổ đề Zorn Zorn chứng minh với tập mở D không gian Banach E, hàm chỉnh hình Gâteaux mà liên tục điểm D chỉnh hình D (Định lý Zorn) Định lý không nghiên cứu mở rộng thời gian dài, năm 1960 số nhà tốn học người Pháp cơng bố kết vấn đề không gian lồi địa phương Hơn nữa, nhóm tác giả cịn trình bày số ví dụ để trả lời câu hỏi liệu kết cịn với khơng gian lồi địa phương hay không Không gian lồi địa phương E gọi có tính chất Zorn (khơng gian Zorn) khơng gian định lý Zorn thỏa mãn Trong [18], Dineen mở rộng định lý Zorn lớp không gian khác định nghĩa khác tính chỉnh hình Bên cạnh đó, Dineen giới thiệu không gian F -Zorn mạnh F -Zorn yếu mà hàm chỉnh hình Gâteaux giá trị véctơ thỏa mãn khơng thỏa mãn định lý Zorn Với kết này, Dineen nhiều ví dụ khơng gian thỏa mãn định lý Zorn Dineen mở rộng định lý Zorn tính liên tục điểm bất kỳ, mở rộng định lý Hartogs cho hàm chỉnh hình tách biến Bài tốn tính chất Zorn có tính hấp dẫn riêng, nhiên Chương chúng tơi nghiên cứu công cụ để giải vấn đề quan tâm luận án Chúng khảo sát định lý kiểu Zorn cho lớp hàm chỉnh hình Gâteaux mà chúng bị chặn tập bị chặn Không gian lồi địa phương E thỏa mãn tính chất gọi khơng gian BB-Zorn hay có tính chất BB-Zorn Trong Mục 4.1, giới thiệu không gian (BB)-Zorn trù mật không gian Fréchet Với không gian Fréchet-Schwartz E có sở Schauder P pΩr B q với B P KpE q, họ tất r P KpE q với B r B tập lồi, cân, compact E tồn tập khơng đa cực B cho pEBr , τE q có tính chất (BB)-Zorn (Định lý 4.1.5) Hơn nữa, khẳng r q thác định hàm chỉnh hình bị chặn tập bị chặn DpB tuyệt đối, chứng minh E triển chỉnh hình đến D, D miền khơng gian E Chúng tơi trình bày Mục 4.2 mở rộng kết Bonet, Jordá Maestre [14, Theorem 5] Grosse-Erdmann [29, Theorem 4] miền C Ở đây, nghiên cứu toán lớp hàm pF, W q-phân hình hai trường hợp bị chặn địa phương không bị chặn địa phương Cn , n ¥ 2, cách xem xét số điều kiện không gian F không gian W (Định lý 4.2.6) Dựa vào kết tính chất (BB)-Zorn pEB , τE q nghiên cứu tốn thác triển phân hình lên tồn miền D từ tập trù mật DpB q  D X EB cho hàm pF, W q-phân hình nhận giá trị khơng gian Fréchet F, E khơng gian Fréchet có chứa tập compact không đa cực (Định lý 4.2.8 Định lý 4.2.9) Trong trường hợp này, chúng tơi cần thêm vào tính chất “bị chặn tập bị chặn” hàm p, W q-phân hình Ở Mục 4.3, cách sử dụng công cụ bó đính, chúng tơi nghiên cứu miền phân hình hàm p, W q-phân hình Một số điều kiện không gian F tập W chúng tơi đưa để hàm pF, W q-phân hình thác triển phân hình từ miền Hartogs Cn đến bao chỉnh hình (Định lý 4.3.1) Tiếp đó, sở định lý này, chúng tơi nhận số lớp hàm p, W q-phân hình giá trị Fréchet miền Riemann không gian Fréchet E có r D trường hợp E thể thác triển phân hình đến bao chỉnh hình D ... cho hàm p, W q -phân hình với kỳ dị đa cực 69 Chương Thác triển phân hình hàm p, W q -phân hình 76 4.1 Tính chất (BB)-Zorn thác triển chỉnh hình 76 4.2 Thác triển phân hình hàm. .. dịng nghiên cứu này, chúng tơi quan tâm đến tốn thác triển phân hình số lớp hàm phân hình yếu Mục tiêu luận án là: • Giải tốn thác triển phân hình số trường hợp tổng quát, cụ thể thay việc xem... cho hàm p, W q -phân hình với kỳ dị đa cực (Định lý 3.3.4) Trong Chương 4, chúng tơi trình bày số điều kiện yếu để hàm p, W qphân hình phân hình nghiên cứu tốn thác triển phân hình cho lớp hàm