VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN HỮU SÁU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH SUY BIẾN CÓ TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI 2017 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ[.]
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC NGUYỄN HỮU SÁU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH SUY BIẾN CĨ TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2017 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC NGUYỄN HỮU SÁU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH SUY BIẾN CĨ TRỄ Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: GS TSKH VŨ NGỌC PHÁT PGS TS TRỊNH TUÂN HÀ NỘI - 2017 TĨM TẮT Luận án nghiên cứu tính ổn định mũ tính ổn định hóa dạng mũ cho số lớp hệ phương trình suy biến tuyến tính có trễ hai trường hợp hệ liên tục rời rạc Luận án gồm ba chương Chương Chúng giới thiệu số kiến thức sở tốn ổn định, tốn ổn định hóa cho hệ phương trình có trễ hai trường hợp hệ liên tục rời rạc Ngồi ra, chúng tơi trình bày lại số bổ đề kỹ thuật bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận án chương Chương Trong chương hai đưa điều kiện cần đủ đảm bảo hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hệ dương, tiếp đến dựa vào tính chất dương hệ chúng tơi đưa điều kiện đủ đảm bảo tính ổn định mũ hệ Bằng cách sử dụng hàm điều khiển ngược có nhớ (memory state feedback control), đưa tiêu chuẩn đảm bảo cho tính ổn định hóa dạng mũ hệ suy biến dương có trễ tương ứng Các điều kiện đưa dạng tốn quy hoạch tuyến tính qua giải số máy tính Chương Trong chương này, hệ rời rạc suy biến nghiên cứu: đưa điều kiện cần đủ đảm bảo tính chất dương hệ rời rạc suy biến với trễ biến thiên, đồng thời chứng minh điều kiện cần đủ cho toán ổn định hệ rời rạc suy biến dương có trễ biến thiên tương ứng Sử dụng hàm điều khiển ngược đưa số điều kiện đủ cho toán ổn định hóa hệ rời rạc suy biến dương có trễ, điều kiện biểu diễn dạng toán quy hoạch tuyến tính i ABSTRACT This thesis deals with the problem of stability and stabilization for linear singular positive systems with delay The thesis consists of three chapters Chapter In this chapter, we present problem statement of stability, stabilization for functional differential equations with delay Some technical propositions are presented for the proof of the main results in Chapter and Chapter Chapter We present a necessary and sufficient condition for positivity of linear singular continuous-time systems with delay Moreover, we establish some sufficient conditions for exponential stability By using memory state feedback control, we derive some criteria for exponential stabilization of linear singular positive continuous-time systems with delay The conditions are presented in terms of linear programming problem Chapter We first present a necessary and sufficient condition for positivity of linear singular discrete-time systems with time-varying delay, and then we establish necessary and sufficient conditions for exponential stability of such systems Moreover, we solve the exponential stabilization problem for the systems by using memoryless state feedback control The conditions are presented in terms of linear programming problem ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Vũ Ngọc Phát PGS TS Trịnh Tuân Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án kết chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận án Nguyễn Hữu Sáu iii LỜI CẢM ƠN Luận án Tiến sĩ thực Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn khoa học GS.TSKH Vũ Ngọc Phát PGS.TS Trịnh Tn Tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát người thầy tận tình hướng dẫn tơi từ tơi làm luận văn thạc sĩ luận án tiến sĩ Trong năm tháng nghiên cứu hoàn thành luận án tiến sĩ hướng dẫn thầy, nhận niềm đam mê nghiên cứu khoa học thầy, quan tâm, bảo tận tình thầy thơi thúc tơi cần cố gắng nhiều để hồn thiện thân Tơi xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Trịnh Tuân nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy, phịng Tối ưu Điều khiển ân cần bảo, dạy dỗ từ cịn học Cao học tơi làm nghiên cứu sinh Phịng Đồng thời, tơi chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp, nghiên cứu sinh thành viên Xêmina Tối ưu Điều khiển Viện Toán học quan tâm, trao đổi, góp ý cho tơi suốt q trình học tập làm luận án Trong trình học tập nghiên cứu, nhận nhiều giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi từ Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Khoa học bản, Trường Đại học Điện lực Tôi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ thầy cô Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học toàn thể cán viên chức Viện Toán học tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Đặc biệt, tơi thực thấy hạnh phúc tự hào họ bên tôi, chia sẻ động viên, động lực để tơi cố gắng hồn thành luận án bố, mẹ, vợ Tác giả Nguyễn Hữu Sáu iv Mục lục Mở đầu Chương Cơ sở toán học 10 1.1 Bài toán ổn định ổn định hóa hệ phương trình có trễ 10 1.1.1 Bài toán ổn định 1.1.2 Bài tốn ổn định hóa 10 12 1.1.3 Bài toán ổn định hệ rời rạc 1.1.4 Bài toán ổn định hóa hệ rời rạc 13 14 1.2 Hệ suy biến tuyến tính 1.2.1 Hệ suy biến 15 15 1.2.2 Công thức nghiệm phương trình vi phân suy biến có trễ 19 1.2.3 Cơng thức nghiệm phương trình rời rạc suy biến có trễ 21 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 22 Tính ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân suy biến dương có trễ 25 Chương 2.1 Tiêu chuẩn ổn định hệ phương trình vi phân suy biến dương có trễ 25 2.2 Tiêu chuẩn ổn định hóa hệ phương trình vi phân suy biến dương có trễ 34 2.3 Kết luận Chương 47 Tính ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình rời rạc suy biến dương có trễ 48 Chương 3.1 Tiêu chuẩn ổn định hệ rời rạc suy biến dương có trễ biến thiên 48 3.2 Tiêu chuẩn ổn định hóa hệ rời rạc suy biến dương có trễ 63 3.3 Kết luận Chương 74 v Kết luận luận án 75 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 76 Tài liệu tham khảo 77 vi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU C tập số phức R tập số thực N tập số tự nhiên Rn không gian Euclide n chiều Rn0,+ = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, ∀i = 1, n} Rn+ = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : xi > 0, ∀i = 1, n} Rn×r khơng gian ma trận thực kích thước n × r Ir ma trận đơn vị kích thước r × r λ(A) tập giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} A 0 ma trận chéo khối B 0 C diag(A, B, C) A = [aij ]m×n ma trận có phần tử aij , i = 1, m, j = 1, n A Hurwitz ma trận vuông, giá trị riêng ma trận A có phần thực âm A Monomial ma trận vuông, hàng cột ma trận A có số dương A Metzler A = [aij ]n×n với aij ≥ 0, ∀ i 6= j; i, j = 1, n (A)(ij) phần tử nằm hàng i cột j ma trận A (A)T(i) véc tơ hàng thứ i ma trận A vii A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn A>0 ma trận A xác định dương, tức xT Ax > 0, ∀x ∈ Rn \ {0} A0 ma trận không âm tức aij ≥ 0, ∀i = 1, m, ∀j = 1, n A 0 ma trận dương tức aij ≥ với i, j A 6= A 0 ma trận dương chặt tức aij > với i, j deg[f (s)] bậc đa thức f (s) rank(A) hạng ma trận A T x y n T tích vơ hướng hai véc tơ x, y ∈ R , x y = n X xi yi i=1 C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục [a, b] nhận giá trị Rn C ([a, b], Rn ) không gian hàm khả vi liên tục [a, b] nhận giá trị Rn L2 ([0, +∞), Rm ) khơng gian hàm bình phương khả tích [0, +∞) nhận giá trị Rm viii