(Skkn 2023) một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức nâng cao trong giải toán cấp thcs

0 ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN BA VÌ TRƯỜNG THCS VẬT LẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC NÂNG CAO TRONG GIẢI TỐN CẤP THCS ” Lĩnh vực/Mơn: Tốn Cấp học: THCS Tên tác giả: Lê Thúy Hoa Đơn vị cơng tác: Trường THCS Vật Lại - Ba Vì - Hà Nội Chức vụ: Giáo viên NĂM HỌC: 2022-2023 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cùng với phát triển đất nước, nghiệp giáo dục không ngừng đổi Các nhà trường ngày trọng đến chất lượng giáo dục toàn diện, phát triển phẩm chất lực cho học sinh bên cạnh đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn Với vai trị mơn học cơng cụ, mơn tốn góp phần tạo điều kiện cho em học tốt môn khoa học tự nhiên khác Dạy để bạn học sinh chưa học tốt mơn Tốn trang bị kiến thức bước tiến Cịn bạn ham tìm tịi có gợi ý để tự đào sâu suy nghĩ nắm kiến thức phát huy hết khả tư toán học, câu hỏi mà thầy ln đặt cho mình, địi hỏi thầy phải biết chắt lọc kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng phát triển thành tổng quát giúp học sinh phát triển tốt tư tốn học Bản thân tơi, q trình học tốn dạy tốn, tơi nhận thấy“Bất đẳng thức" đề tài lí thú nội dung thường gặp đề thi học sinh giỏi toán lớp 8, 9, thi tuyển sinh vào 10 trường THPT chuyên Bất đẳng thức mảng kiến thức khó tốn phổ thông Nhưng thông qua tập chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ sâu sắc giải biện luận phương trình, bất phương trình Trong trình giải tập, lực suy nghĩ sáng tạo học sinh phát triển đa dạng phong phú tập bất đẳng thức có cách giải khơng theo quy tắc khn mẫu Cũng tốn bất đẳng thức khơng có cách giải mẫu, khơng theo phương pháp định nên học sinh lúng túng chứng minh vận dụng bất đẳng thức vào giải tập có liên quan, khơng theo hướng Vì thầy cô phải cung cấp cho học sinh kiến thức phương pháp suy nghĩ ban đầu bất đẳng thức Tôi không tham vọng lớn bàn việc dạy " Bất đẳng thức " chương trình tốn học phổ thơng, xin đưa số kinh nghiệm phương pháp giải, dạng toán thường gặp bất đẳng thức ứng dụng Hi vọng giúp em học sinh lớp 8, học giỏi toán đại số đồng thời cung cấp thêm tư liệu tham khảo cho đồng nghiệp Với lí mà tơi chọn nội dung nghiên cứu: “ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức nâng cao giải toán cấp THCS ” II- THỜI GIAN, ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU Thời gian thực đề tài SKKN từ tháng 15/9/2022 đến tháng 1/4/ 2023 lớp 8A,9A trường THCS Vật Lại - Ba Vì - Hà Nội 2 PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1.Thực trạng vấn đề nghiên cứu a) Về phía giáo viên Qua thực tế lên lớp dự đồng nghiệp, nhận thấy em cịn lúng túng giải tốn bất đẳng thức Tốn bất đẳng thức có nhiều trường trình THCS khơng hệ thống thành phương pháp định, gây cho học sinh nhiều khó khăn gặp giải loại toán b) Về phía học sinh Khi học tốn, học sinh thường thấy “sợ” nhắc đến bất đẳng thức, cho bất đẳng thức phần khó khơng thể giải Do không nắm vững kiến thức phương pháp nên thường mắc sai lầm : - Trừ vế tương ứng bất đẳng thức chiều - Nhân hai vế với số, mà không xét chúng có dương hay khơng - Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà không giả thiết hai vế khơng âm - Bình phương hai vế bất đẳng thức mà không giả thiết hai vế không âm - Khử mẫu chưa biết dấu biểu thức mẫu - Nghịch đảo hai vế đổi chiều bất đẳng thức chưa có giả thiết hai vế dấu - Thừa nhận x m  x n với m, n nguyên dương m > n chưa biết điều kiện x - Sử dụng phép biến đổi không tương đương Số liệu điều tra trước thực đề tài * Kết thi học sinh giỏi toán trước thực đề tài Năm học 2021 – 2022 Số lượng HS dự thi Kết đạt Cấp huyện 05 03 (Giải KK) * Nhận xét chung: - Về kiến thức: Học sinh nắm kiến thức khơng chắc, khơng có hệ thống, không sâu rộng - Về kỹ năng: Học sinh chưa có chưa có kỹ giải tập, phương pháp suy luận yếu kém, khả chứng minh hạn chế - Về trình bày: Học sinh chưa biết cách trình bày lời giải tốn, trình bày chưa chặt chẽ, rườm rà 3 Qua kết khảo sát lượng học sinh, phải băn khoăn, trăn trở làm em nắm phương pháp giải dạng toán bất đẳng thức Nội dung chủ yếu đề tài Để giải toán Bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm tính chất bất đẳng thức phải nắm phương pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, ta phải dựa vào đặc thù riêng toán mà sử dụng phương pháp cho thích hợp Mỗi tốn áp dụng nhiều phương pháp giải khác nhau, có phải kết hợp nhiều phương pháp cách hợp lý Sau số phương pháp thường sử dụng : 3.1.ĐỊNH NGHĨA Cho số a b, a - b số dương a lớn b, kí hiệu a > b Trái lại , a - b số âm a nhỏ b, kí hiệu a < b (Kí hiệu: a ≥ b nghĩa a > b a = b ; kí hiệu a ≤ b nghĩa a < b a=b) 3.2.TÍNH CHẤT - Tính chất 1: a > b b > c  a > c - Tính chất 2: a > b  a + c > b + c Hệ quả: a > b + c  a - c > b - Tính chất 3: a > b c > d  a + c > b + d ac  bc - Tính chất 4: a  b   ac  bc (c  0) (c  0) - Tính chất 5: a > b > c > d >  ac > bd - Tính chất 6: a > b > n nguyên dương  a n  bn - Tính chất 7: a > b > n nguyên dương  Hệ quả: a; b  a  b2  a  b  a  b a - Tính chất 8: a  b, ab    n a nb b - Tính chất 9: a > , m n nguyên dương, m> n  a m  a n 0< a < , m n nguyên dương, m> n  a m  a n - Phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có nghiệm b2 - 4ac ≥ |x| ≤|a|  -|a|≤ x≤ |a| 3.3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG ÁP DỤNG + + + + a2k  với a ( k nguyên dương) Dấu “ =” xảy a = a  0, a Dấu “ =” xảy a = a  a a a + b  a + b Dấu “ =” xảy ab  4 + - a  a  a Dấu “ =” xảy a = + a − b  a − b Dấu “ =” xảy ab  vµ a  b b + a  b; ab   a  Dấu “ =” xảy a = b + a b +  với a, b dấu Dấu “ =” xảy a = b b a + Bất đẳng thức Cauchy: * Đối với hai số dương a, b : a+ b  ab a2 + b2  2ab Dấu “ =” xảy a = b * Đối với  0; i = 1,…,n: a1 + a2 + + an n  a1a2 an Dấu “ =” xảy a1 = a2 = = an n + Bất đẳng thức Bunhia- Côpxki ( BCS): Cho (a1, a2, … , an) ( b1, b2, … , bn) số tuỳ ý, ta có: (a12+ a22+… + an2).(b12 + b22+… +bn2)  (a1b1 + a2b2 + … + anbn )2 Dấu “ =” xảy a1 a2 a = = = n b1 b2 bn 3.4 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 3.4.1) Phương pháp vận dụng định nghĩa Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta cần chứng minh A – B ≥ *Bài toán 1: Chứng minh rằng: x + x +  với giá trị x - Phân tích ,tìm lời giải: Vế trái bất đẳng thức đa thức bậc hai với hệ số cao dương, ta biến đổi thành tổng bình phương nhị thức số 1  x + x +1 =  x −  + 2  2 1 Vì  x −   nên  x −  +  (đpcm) 2 2   - Khai thác toán: + Từ lời giải ta thấy x + x +  nhỏ x + x + , đẳng thức xảy x = Vậy có giá trị 4 + Xét đa thức ax + bx + c , ta có: b  b − 4ac  ax + bx + c = a  x +  − 2a  4a  b − 4ac Nếu a  ax + bx + c  − 4a b − 4ac Nếu a  ax + bx + c  − 4a 2 *Bài toán 2: Chứng minh với số a, b, c ta có : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca - Phân tích ,tìm lời giải: Dựa vào đặc điểm hạng tử vế, ta xét hiệu hai vế phân tích tổng thành tổng bình phương để tiện xét dấu - Giải : Xét hiệu: a2 + b2 + c2 - ( ab + bc + ca ) ( ) 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca 1 = ( a − 2ab + b ) + ( b − 2bc + c ) + ( c − 2ac + a )  1 2 = ( a − b) + (b − c) + (c − a )    2 = Vậy a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Dấu “ = ” xảy a = b = c - Khai thác toán: Đề xuất toán từ toán giải cách + Xét trường hợp đặc biệt: với c = ta có : a2 + b2 + ≥ ab + a + b + Kết hợp với đẳng thức: (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca a + b2 + c2  a+b+c  Suy :    3   *Bài toán 3: (Minh chứng 1).Chứng minh rằng: a4 + b4 ≥ a3b + ab3 ,với số a, b - Giải : Xét hiệu: a4 + b4 - (a3b - ab3 ) = a3 ( a - b ) - b3 ( a - b ) = ( a – b ) ( a3 – b3 ) = ( a - b) ( a – b ) ( a2 + ab + b2 )    = ( a − b )  a + b  + b      Vậy a4 + b4 ≥ a3b + ab3 Dấu xảy a = b *Bài toán 4: Cho a,b hai số dương Chứng minh rằng: a + b3 a + b a + b   2 - Phân tích ,tìm lời giải: Dựa vào đặc điểm biểu thức hai vế, ta thấy vế trái phân tích thành tích nhân tử, có nhân tử chung với vế phải Từ ta sử dụng phương pháp dùng định nghĩa: xét hiệu hai vế chứng minh hiệu khơng âm - Giải: VT − VP = (a + b)(a − ab + b ) (a + b)(a + b ) (a + b) − = (a − b)  2 Dấu “ = “ xảy a = b - Khai thác toán: + Từ lời giải tốn ta thấy khơng thiết a b hai số dương, mà cần a + b  ta có: a + b3 a + b a + b  2 + Mở rộng toán : với n, m  N a + b  ta có : a n+ m + bn+m a n + bn a m + bm  2 + Xét toán liên quan đến toán cho: với n, m  N a + b  ta có : a n + m + b n + m  a nb m + a mb n *Bài toán 5: Chứng minh với số a, b, c, d, e ta có : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e ) - Giải : Ta có: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a( b+c+d+e) 1  1  1  1  =  a − ab + b  +  a − ac + c  +  a − ad + d  +  a − ac + c   4  4  4  4  2 2 a  a  a  a  =  − b +  − c +  − d  +  − e  2  2  2  2  Do đó: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e ) * BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Chứng minh − x + x −  2) Cho a , b hai số dương Chứng minh : a) ( a + b ) ( a3 + b3 )  ( a + b4 ) b) ( a + b ) ( a + b4 )  ( a + b )( a3 + b3 ) 3) Chứng minh rằng: a b2 a b +  + với a , b  (Minh chứng 1) b2 a b a 4) Chứng minh : a) Với a + b + c < a3 + b3 + c3  3abc b) Với a + b + c > a + b3 + c3  3abc 3.4.2)Phương pháp biến đổi tương đương - Để chứng minh bất thức A ≥ B ta dùng tính chất bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức biết - Các tốn áp dụng phương pháp *Bài toán 5: Chứng minh với số a, b, c, d, e ta có : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e ) (1) - Giải : Bất đẳng thức (1) tương đương với: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a( b+c+d+e) ≥ 1  1  1  1    a − ab + b  +  a − ac + c  +  a − ad + d  +  a − ac + c   4  4  4  4  2 2 a  a  a  a    − b +  − c +  − d  +  − e  2  2  2  2  Bất đẳng thức Vậy bất đẳng thức (1) (đpcm) *Bài toán 6: cho x  y  z  Chứng minh rằng: y 1 ( x + z ) + ( x + z )  ( x + z )( + ) xz y x z (1) - Giải: y 1 ( x + z ) + ( x + z )  ( x + z )( x + z ) xz y xz xz Do x, y, z > nên nhân hai vế với  ta bất đẳng thức tương x+z đương : y + xz  y ( x + z ) hay yx + yz − y − xz   y( x − y) − z( x − y)   ( x − y )( y − z )  Viết lại bất đẳng thức cho dạng: Bất đẳng thức x  y  z  Vậy bất đẳng thức (1) Dấu xảy x = y y = z x2 + *Bài toán 7: Chứng minh rằng: x2 + 2 - Giải: x +2 Ta có: x +1 x2 + 2 Do đó: −2= x2 + x + − x +1 2 x +1 = x +1− 2 x +1 +1 ( = x2 + ) x2 + − x2 + 0 2 * BÀI TẬP ÁP DỤN Chứng minh với số a , b , c ta có : −a + 3a −  a + b + ab + a − b +  a + b + c 2 (a + b + c)  a b − + b a −  ab với a  1; b  3.4.3) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức biết - Từ bất đẳng thức biết, áp dụng tính chất để suy bất đẳng thức phải chứng minh - Bài tốn áp dụng phương pháp *Bài toán : Chứng minh với số a, b, c ta có : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca - Giải : Ta có: ( a - b )2 ≥ hay a2 + b2 – 2ab ≥ Do a2 + b2 ≥ 2ab (1) 2 Tương tự ta có : b + c ≥ 2bc (2) 2 c + a ≥ 2ca (3) Cộng vế tương ứng (1), (2), (3) ta được: 2( a2 + b2 + c2 ) ≥ ( ab + bc + ca ) Suy ra: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca - Các ví dụ khác: *Bài toán 8: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: 2( ab + bc +ca ) > a2 + b2 + c2 - Giải : Trong tam giác tổng độ dài cạnh lớn cạnh thứ Bởi b + c > a Nhân hai vế với a > ta có : ab + ac > a2 (1) Tương tự: bc + ba > b (2) ca + cb > c (3) Cộng vế tương ứng (1) , (2) ,(3) ta ( ab + bc + ca ) > a2 + b2 + c2 (đpcm) *Bài toán 9: (Minh chứng 2) Cho x, y hai số dương Chứng minh rằng: 1 +  x y x+ y - Giải: Ta có : ( x-y ) ≥ nên ( x-y) + 4xy ≥ 4xy hay ( x + y)2 ≥ 4xy Nhân hai vế với hay 1 +  x y x+ y  ta xy ( x + y ) x+ y  xy ( x + y) (đpcm) *Bài toán 10: cho a;b  Chứng minh rằng: 3a3 + 72 b3  18ab2 - Giải: Do a; b  => 3a3, 9b3, 8b3  ; áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số 3a3, 9b3, 8b3 ta được: 3a + 9b3 + 8b3  3 3a 9b3 8b3 = 18ab2 Dấu ‘ = ‘ xảy 3a3= 9b3= 8b3  a = b = c = *Bài toán 11: Cho ba số x;y;z thoả mãn : x ( x − 1) + y ( y − 1) + z ( z − 1)  Chứng minh x + y + z  - Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxky cho số 1;1;1;x;y;z ta được: ( x + y + z )  (1 + + 1) ( x + y + z ) = ( x + y + z ) (1)  x2 + y + z − ( x + y + z )  (2) Từ (1) (2) ta có: ( x + y + z) − ( x + y + z)  Đặt S = x + y + z ta có : S − S   ( S + 1)( S − )   −1  S  4 Vậy x + y + z  Dấu ‘ = ‘ xảy x = y = z = Ta có: x ( x − 1) + y ( y − 1) + z ( z − 1)  ( *BÀI TẬP ÁP DỤNG ) Cho a, b, c số không âm Chứng minh: a+b+c  abc Cho a, b, x, y số không âm Chứng minh : 1 ( a + x )( b + y )   ( a + b ) + ( x + y ) 2  Cho a, b, c ba số dương a + b + c  Chứng minh : 1 + + 9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Cho a;b;c;d >0.Chứng minh rằng: a+c b+d c+a d +b + + +  (Minh chứng 2) a+b b+c c+d d +a 3.4.4) Phương pháp chứng minh phản chứng - Để chứng minh mệnh đề A  B , ta giả sử A  B từ lập luận để dẫn đến điều vơ lí Như vậy, ta dùng phương pháp chứng minh phản chứng - Bài toán toán áp dụng phương pháp *Bài tốn 4: cho a,b hai số dương Chứng minh : a + b3 a + b a + b   2 - Giải: a + b3 a + b a + b  Giả sử 2 3 a + b a + b a + b2  −  0 2  ( a + b3 ) − ( a + b )  ( a + b )   ( a − b ) ( a + b )  vơ lý a,b hai số dương Vậy a + b3 a + b a + b   2 *Bài toán 9: Cho x, y hai số dương Chứng minh 1 +  x y x+ y - Giải: Giả sử 1 +  x y ( x + y) Nhân hai vế với xy( x + y ) > 0, ta có (x + y ) ( x + y ) < 4xy Bởi (x + y )2 – 4xy < hay ( x – y )2 < (vô lý ) Vậy 1 +  x y x+ y - Các ví dụ khác : *Bài toán 12: Cho số a, b, x, y liên kết với hệ thức a + b = 2xy Chứng minh hai bất đẳng thức sau đúng: x2 ≥ a (1) y2 ≥ b (2) - Phân tích, tìm lời giải: Chú ý đến biểu thức cho x2, y2, 2xy Từ ta có : x2 + y2 ≥ 2xy = a + b 10 Điều chứng tỏ không đồng thời xảy x2 < a y2 < b , x2 + y2 < a + b mâu thuẫn Vậy có lời giải phương pháp phản chứng - Giải : Giải sử hai bất đẳng thức (1) (2) không đúng, nghĩa x2 < a (3) y2 < b (4) Suy x2 + y2 < a + b mà theo giả thiết a + b = 2xy Do x2 + y2 - 2xy < hay ( x - y)2 < vơ lý Vậy có hai bất đẳng thức (1) (2) - Khai thác toán: Bằng phương pháp tương tự ta có: a + b = 2xy; b + c = 2yz ; c + a = 2zx ba bất đẳng thức x2 ≥ a; y2 ≥ b; z2 ≥ c * BÀI TẬP ÁP DỤNG Cho  a  1;  b  ;  c  Chứng minh ba bất đẳng thức sau sai (1 − b )  ; b (1 − c )  1 ; c (1 − a )  4 + ab  Cho a  0, b  0,    Chứng minh đồng thời xảy a  a+b  < 1, b < Cho ba số a ;b ;c thỏa mãn a+b+c >0 ; ab+bc+ca>0 ; abc >0 Chứng minh a>0 ; b>0 ; c>0 Chứng tỏ có bất đẳng thức sau sai : a − bc ; b − ac ; c − ab với a, b, c > 3.4.5) Phương pháp chứng minh quy nạp toán học - Phương pháp sử dụng chứng minh mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n - Giả sử A(n) khẳng định với số tự nhiên n Để chứng minh A(n) với n  N , ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học theo n, gồm hai bước sau: + Chứng minh A(n) với n = n0 + Giả sử A(n) với n = k ; ( k  n0 ) ,chứng minh A(n) với n = k + a n + bn  a + b  *Bài toán 13: Cho a b hai số dương Chứng minh     n (1), với số tự nhiên n ≥ - Phân tích, tìm lời giải: Kết luận tốn gợi ý cho ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học Với n = , việc kiểm nghiệm dễ dàng a k + bk  a + b    (1), ta phải chứng minh   k Giả sử với n = k, tức a k +1 + b k +1  a + b      k +1 (2) 11 Từ (1) để xuất biểu thức (2) ta nhân hai vế (1) với a + b a k + bk  a + b  ,ta có   2   a+b k +1 a k +1 + b k +1 a + b a k + b k  Để chứng minh (2) ta chứng minh (3) 2 Từ (3)  a k +1 + bk +1  abk + ba k Điều có phần khai thác toán - Giải : a + b2  a + b      a + b a + 2ab + b   a + 2b  a + 2ab + b 2 + Với n = : (1) trở thành Hay  a + b − 2ab   ( a − b)  Bất đẳng thức Vậy bất đẳng thức (1) a k + bk  a + b  + Giả sử (1) với n = k ( k  ) ta có :     k Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức a k +1 + b k +1  a + b      k +1 (*) a+b a k + bk  a + b  Thật vậy, nhân hai vế  ta có   với 2   k a + b a k + bk  a + b    2   k +1 Để chứng minh (*) ta chứng minh : a k +1 + b k +1 a + b a k + b k  2 k +1 k +1  ( a + b )  ( a + b ) ( a k + bk ) (**)  2a k +1 + 2bk +1  a k +1 + abk + ba k +1 + bk +1  a k +1 + bk +1 − abk − ba k   a k ( a − b ) − bk ( a − b )  ( )  ( a − b ) a k − bk  ( )  ( a − b ) a k −1 + a k − 2b + + ab k − + b k −1  Bất đẳng thức với a, b > Bởi (**) a k +1 + b k +1  a + b  Từ (*) (**) suy     Vậy (1) với số tự nhiên n  k +1 - Khai thác toán: + Bài toán với a + b  với số tự nhiên n 12 a n + bn a + b  a+b  + Khi n chẵn ta có =   với a, b 2   + Xét trường hợp đặc biệt : với a + b = ta có : a n + bn  n n n *Bài toán 14: Cho a > -1 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ có: ( + a )n ≥ + na (1) - Giải : + Với n = ta có ( + a)2 = + 2a + a2 ≥ + 2ª Vậy (1) + Giả sử bất đẳng thức với n = k ( k ≥ 2), tức ( + a )k ≥ + ka Ta phải chứng minh (1) với n = k + Thật , nhân hai vế (1 + a)k ≥ 1+ ka với + a > ta được: (1 + a)k+1 ≥ (1+a) ( + ka) Mà (1+a)(1+ ka) = + ka + a + ka2 = + (k+1)a + ka2 ≥ + (k+1) a Do (1 +a)k+1 ≥ + (k +1)a Vậy (1) với số tự nhiên n ≥ *BÀI TẬP ÁP DỤNG 1 1 + + +  25 (2n + 1) 1 13 Chứng minh với số tự nhiên n  ta có + + +  n +1 n + 2n 24 n+2 Chứng minh với n nguyên dương ta có  2n + Chứng minh với số tự nhiên n  ta có 3.4.6) Một số phương pháp khác *Bài toán 15: Chứng minh ( ac − bc )  ( a − b )( c − d ) - Giải : Dễ thấy với a2 - b2 = bất đẳng thức Với a − b2  Xét phương trình bậc hai : ( a − b ) x − ( ac − bd ) x + ( c − d ) =  ( a x − 2acx + c ) − ( b x − 2bdx + d ) = 2 2 2 2 2  ( ax − c ) − ( bx − d ) = 2  ( ax − c ) − ( bx − d )  ( ax − c ) + ( bx − d )  =  ( a − b ) x − ( c − d )  ( a+b ) x − ( c + d )  = Phương trình có nghiệm x1 = c+d c−d ; x2 = a+b a −b Vậy biệt thức  phương trình bậc hai khơng âm, nghĩa ( ac − bd ) − ( a − b )( c − d )  ( ac − bd )  ( a − b )( c − d ) Hay *Bài toán 16 : Chứng minh với x ta có: - Phân tích,tìm lời giải: (đpcm) x2 +  2 x + x +1 13 Bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức kép, nghĩa ta phải chứng x2 + x2 +  (2) minh hai bất đẳng thức  (1) x + x +1 x + x +1 Dễ thấy x + x +  , (1)  3( x + 1) − 2( x + x + 1) = ( x − 1)  (2)  2( x + x + 1) − ( x + 1) = ( x + 1)  Vậy ta có điều phải chứng minh - Khai thác tốn: + Ta chúng minh theo phương pháp miền giá trị, gọi y giá trị x2 + x2 + = y có nghiệm , nghĩa phương trình x2 + x + x2 + x + Vì x + x + =  x +  +  nên điều tương đương với phương 2  2 trình x + = y x + x +  (1 − y ) x − yx + (1 − y ) = (*) có nghiệm ( ) ( ) x2 + x2 + x +   = y − (1 − y )(1 − y )  ▪ y =1 ứng với x = Vậy y = giá trị ▪ y  phương trình (*) có nghiệm   y − (1 − y )   y + (1 − y )    ( y − )( − y )   Hay  y2 x2 +  2 x + x +1 + Từ lời giải ta có giá trị nhỏ nhất x2 + x = 1; giá trị lớn x + x +1 x2 + x = -1 x2 + x + *Bài tốn 17 : Cho a, b, c lµ ba số dương Chứng minh : a b c + + 2 a+ c b+ a c+ b - Phân tích, tìm lời giải: Cả ba phân số vế trái nhỏ , tử số mẫu số chúng có đặc điểm riêng Từ đặc điểm riêng ta sử dụng tính chất phân số để có: a a+ b  a+ c a+ c+ b b b+ c  b+ a b+ a+ c c c+ b  c+ b c+ b+ a Cộng vế bất đẳn thức ta có điều phải chứng minh - Khai thác toán: Từ cách giải tốn ta có số kết tương tự: 14 + + + a b c + + 2 a+ b b+ c c+ a a b c d + + + 2 a+ b+ c b+ c+ d c+ d + a d + a+ b a+ b b+ c c+ d d+a + + + 3 a+ b+ c b+ c+ d c+ d + a d + a+ b *Bài toán 18: Cho n số nguyên lớn Chứng minh rằng: 1 1 + + +  − 2 n n - Phân tích, tìm lời giải: Dựa vào đặc điểm phân số vế trái tổng tích hữu hạn Áp dụng tính chất thứ tự để biến đổi tổng tích hữu hạn tổng tích khác mà việc tính tốn đơn giản Bài tập 16 ngồi áp dụng phương pháp qui nạp tốn học, sử dụng phương pháp làm trội để chứng minh - Giải: Ta có: 1 1 (1)   2 − k k ( k − 1) k k −1 k Lần lượt cho k = 2,3,…,n (1): 1 1 − 2 1  − 32 1  − n n −1 n 1 1  1 1 1  + + +  + 1 −  +  −  + +  −  2 n  2  3  n −1 n  1 1 Hay + + +  − (đpcm) n n Cộng lại ta * BÀI TẬP ÁP DỤNG Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình x2 + k.x + a = Tìm tất giá 3 x  x  trị k để có bất đẳng thức sau:   +    52  x2   x1   a2 b  a b Cho ab  Chứng minh  +  −  +  +  a  b a b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a b c + +  b+ c c+ a a+ b Chứng minh rằng: 1 1 + + +  1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) 1 99 c)     15 100 10 a) b) 1 + + +  2 n (n > 1) 15 3.5 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Để tìm giá trị lớn ,nhỏ biểu thức A ta tìm cách biến đổi để có A  m ( A  m ) với m số có đẳng thức xảy Khi ta m giá trị lớn ( nhỏ ) A *Bài tốn 19 : Tìm giá trị nhỏ biểu thức f(x) = - 2x2 + 2x - - Phân tích ,tìm lời giải: 1 1 1   f ( x ) = −2  x − x +  − = −2  x −  −  − 4 2 2   1 1  −2  x −   ) nên f ( x ) = − x = Vậy max f(x) = − 2 2  ( - Khai thác tốn: Từ cách giải toán ta suy số kết sau: + - f(x) = 2x2 - 2x + có giá trị nhỏ 1 x = 2 1 có giá trị nhỏ x = f ( x) + b  b − 4ac  − 2a  4a  b − 4ac a > F ( x) có giá trị nhỏ F ( x) = − 4a b − 4ac a < F ( x) có giá trị lớn F ( x) = − 4a + F ( x) = ax + bx + c = a  x + x2 − x − *Bài tốn 20 : Tìm giá trị lớn ,nhỏ biểu thức g ( x) = x + x +1 - Phân tích ,tìm lời giải: + Dựa vào đặc điểm tử thức mẫu thức g(x) ta biến đổi g ( x) = 3x − (2 x + x + 2) 3x = −  −2 x2 + x + x2 + x + 3x 3 0 Vì x + x + =  x +  +  3x  nên x + x +1 2 4  Đẳng thức xảy x = Từ g(x) = -2 + Với x  ta có g ( x) = 3 −2 = −2 1 1   1+ + + +  x x 2 x 1 1 mà + + = +  +   x x 2 x nên g ( x)  − = Đẳng thức xảy x = - Vậy max g(x) = - Khai thác tốn: 16 Ta tìm giá trị lớn giá trị nhỏ g(x) phương pháp “ miền giá trị “ Gọi y giá trị g(x) phương trình y = g(x) có nghiệm( xem y tham số, từ điều kiện phương trình có nghiệm ta tìm giá trị y ) *Bài tốn 21: Cho x , y thỏa mãn x + y = 2a ( a dương ,khơng đổi ) Tìm giá trị nhỏ x2 + y2 - Phân tích ,tìm lời giải: Ta nhận thấy biểu thức x2 + y2 x + y có mối quan hệ đặc biệt Áp dụng x2 + y  x + y  2   ta có x + y  2a   bất đẳng thức Đẳng thức xảy x = y = a Vậy min(x2 + y2) = 2a - Khai thác tốn: + Có thể giải tốn cách khác sau : Vì x + y = 2a nên y = 2a – x Từ x + y = x + ( 2a − x ) = x − 4ax + x = ( x − a ) + 2a  2a 2 Đẳng thức xảy x = a = y Vậy min(x2 + y2) = 2a + Ta xem x, y độ dài hai cạnh hình chữ nhật x2 + y2 bình phương đường chéo Từ suy hình chữ nhật có chu vi khơng đổi , hình vng hình có độ dài đường chéo ngắn + Tương tự ta có max xy = a x + y =2a khơng đổi Từ ta có kết : hình chữ nhật có chu vi khơng đổi, hình vng hình có diện tích lớn * BÀI TẬP ÁP DỤNG Cho hai số dương có tổng khơng đổi a) Chứng minh tích chúng lớn hai số b) Chứng minh hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số 2.Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau với giá trị x, y a) A = ( x + 1)( x + 3)( x + 4)( x + 6) b) B = x − xy + y − 12 x + y + 43 c) D = x − y + + x − y 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x2 a) A = + x4 2x c) C = x + 2x +1 2x2 + b) B = x +1 d) D = x + − x − Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x +1 a) A = x + x +1 x2 − x + b) B = x + x +1 Cho x,y thỏa mãn: x + 2y = 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x + y Cho x,y thỏa mãn: x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2x + 3y 17 b) Giải phương trình hệ phương trình đặc biệt *Bài tốn 22: Giải phương trình x + x = 3x + - Phân tích ,tìm lời giải: Dễ dàng thấy x > 4x > 3x 2x > 1, 4x + 2x > 3x + Tương tự x < ta có 4x + 2x < 3x + Vậy x = nghiệm phương trình - Khai thác tốn: + Mở rộng: xét phương trình a x + c x = b x + d x với a > b > c > d > 0, tương tự ta có phương trình có nghiệm x = + Xét phương trình a1x + a2 x + + anx = b1x + b2 x + + bnx với a i  bi  (i =1,…,n) Ta có kết x = nghiệm  x2 + y + z = (1)  xy + yz + zx = (2) *Bài tốn 23: Giải hệ phương trình :  - Phân tích ,tìm lời giải: Các vế hai phương trình có liên qua đặc biệt Từ (1), (2) ta có x + y + z = xy + yz + zx Nhưng ta lại có bất đẳng thức x + y + z  xy + yz + zx ( xem lại toán 2) Đẳng thức xảy x = y = z Từ ta hệ phương trình có hai nghiệm x = y = z =  3 - Khai thác toán:  x2 + y + z = a + Tương tự ta xét hệ phương trình   xy + yz + zx = a ( a  ) 3a Hệ có hai nghiệm x = y = z =  2  x + y + z = xy + yz + zx ( I ) + Xét hệ phương trình  ( II ) ax + by + cz = d  Dựa vào bất đẳng thức ta có ( I )  x = y = z , thay vào (II) ta giải hệ *Bài tốn 24: Tìm nghiệm ngun dương hệ phương trình  x3 + y + z =  xyz =  (1) (2) - Giải : Với x , y, z > ta có x3 + y + z  xyz Đẳng thức xảy x = y =z Nếu x , y ,z nghiệm hệ ta có : x3 + y + z 3 = = xyz nên x = y = z 3 Từ x3 + y + z = 3x = suy x = = y = z Dễ thấy x = y = z = thỏa mãn hệ cho Vậy hệ phương trình có nghiệm dương ( 1, 1, ) 18 *Bài toán 25: Giải phương trình x2 + = x +1 (2) - Giải : + Với x2 =  x = 1 Ta có (1) + = (1) + Do x = 1 hai nghiệm (2) + Với x  ta có : Do x2 +  x +1 + Với x  ta có x2 +  + = 4  =2 x +1 1+1 suy (2) vô nghiệm x +  + = 4  =2 x +1 1+1 Suy (2) vơ nghiệm Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 1 * BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải phương trình sau : a) 3x + x + 19 + 5x + 10 x + 14 = − x − x b) x + − x = y + y + x + y + z =1 4  x + y + z = xyz  Giải hệ phương trình sau:   xy − = − y Giải hệ phương trình sau:   xy = + x II KẾT QUẢ SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Với kinh nghiệm vừa trình bày trên, sau nhiều tiết ôn luyện trang bị cách sâu sắc kiến thức, rèn luyện tư kĩ giải toán chứng minh bất đẳng thức cho em, thân nhận thấy: em tiếp nhận kiến thức cách thoải mái, chủ động Học sinh phân biệt nhận dạng tốn liên quan đến bất đẳng thức từ giải tập phần này, xóa cảm giác khó, phức tạp ban đầu, thấy dạng tốn thật phong phú, khơng đơn điệu Điều giúp cho học sinh hứng thú học mơn tốn, rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo, phát huy phẩm chất lưc khác Các em tự tin chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi Kết cụ thể: Năm học Số lượng HS dự thi Kết đạt Cấp huyện 2021-2022 05 03(Giải KK) 01(Giải nhì) 01(Giải KK) Từ kết thấy chất lượng học sinh đạt giải tăng lên Kết có giúp tơi có thêm động lực tiếp tục bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2022-2023 04 19 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1.Kết luận Qua số ví dụ số dạng tập bất đẳng thức ta thấy, dạng tập sử dụng phương pháp biến đổi ban đầu khác nhau, cuối quy khái niệm tính chất Chính vậy, việc nắm vững khái niệm, tính chất, phương pháp chứng minh vấn đề then chốt giúp học sinh định hướng cách giải tập, có tư sáng tạo linh hoạt giải tốn Khi làm việc giải toán bất đẳng thức trở thành niềm say mê, thích thú học sinh Với dạng khơng có quy tắc tổng qt, nên giáo viên cần lựa chọn tập tiêu biểu, đơn giản chứa đựng nhiều kiến thức, kỹ phương pháp suy luận, giúp em có kinh nghiệm giải tập, định huớng cách giải, bước cần làm thực theo bước Khuyến nghị Từ chỗ học sinh lúng túng kiến thức phương pháp giải, cịn có thái độ khơng u thích, qua thực tế giảng dạy với hệ thống kiến thức nêu học sinh giải dạng toán chứng minh bất đẳng thức Bởi mong BGH nhà trường tạo điều kiện thời gian để thực đề tài có lớp phụ đạo, đáp ứng lượng kiến thức chứng minh bất đẳng thức Do đặc điểm học sinh trường nông nên thời gian sách tham khảo khơng nhiều đề nghị q cấp quan tâm bổ sung nguồn tài liệu sách tham khảo, tạo điều kiện cho thầy trò học tập Trên số kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề chứng minh bất đẳng thức nâng cao, mong góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học toán trường THCS Tuy nhiên nhận thấy kinh nghiệm chưa thật đầy đủ nên mong đóng góp ý kiến giúp đỡ thêm bậc đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn, đem lại hiệu cao áp dụng Tôi xin chân thành cảm ơn ! Đề tài tự nghiên cứu viết Nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm Vật Lại ngày tháng năm 2023 Tác giả Lê Thúy Hoa