(SKKN HAY NHẤT) một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng các đa thức nội suy cổ điển để giải toán phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG CÁC ĐA THỨC NỘI SUY CỔ ĐIỂN ĐỂ GIẢI TỐN PHỔ THƠNG Người thực hiện: Lê Văn Tiến Chức vụ: Tổ trưởng chuyên mơn SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2021 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Mục lục…………………………………………………………………….….i Các ký hiệu đề tài………………………………………………………ii Mở đầu…………………………………………………………………….1 1.1 Lí chọn đề tài…………………….…………………………….… 1.2 Mục đích nghiên cứu………….…………………………………….….1 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………….…………………………….……1 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………….………………………….… Nội dung……………………………………………………………….… 2.1 Cơ sở lý thuyết…………….……………………………………….… 2.1.1 Đa thức nội suy Lagrange…………………… ………………………2 2.1.2 Đa thức nội suy Newton…………………………………………….….3 2.2 Một số ứng dụng giải tốn phổ thơng… ……………………… 2.2.1 Ứng dụng đa thức nội suy Lagrange tốn tìm ngun hàm….4 2.2.2 Ứng dụng đa thức nội suy Newton tốn tính tổng hữu hạn.…8 Kết luận, kiến nghị………………….………………………….……… 12 Tài liệu tham khảo………………….…………………………………13 i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN  : Tập số phức;  : Tập số thực;  : Tập số nguyên;  : Tập số tự nhiên;  : Tập số tự nhiên lớn  : Tập đa thức nguyên;  : Tập đa thức thực; ;  AM – GM: Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân;  THPT: Trung học phổ thông;  : Bậc đa thức LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Các đa thức nội suy cổ điển có nhiều ứng dụng giải tốn sơ cấp Như đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton có nhiều ứng dụng thường gặp toán xác định biểu thức hàm số, rút gọn biểu thức, tính tổng hữu hạn, Có nhiều trường hợp cần phải xác định biểu thức hàm số ứng , biết giá trị rời rạc điểm tương Ở số trường hợp biết biểu thức hàm số lại phức tạp Khi đó, cần xây dựng đa thức Đa thức thức nội suy thỏa mãn xây dựng gọi đa ứng với nút nội suy Các điểm gọi nút nội suy toán xây dựng đa thức gọi toán nội suy Trong năm gần đây, nhằm thúc đẩy phát triển nâng cao chất lượng giáo dục, Bộ Giáo dục Đào tạo không ngừng đổi cải cách giáo dục, đổi kiểm tra đánh giá thi tuyển sinh Trong kì thi học sinh giỏi cấp thi THPT quốc gia, thường gặp toán đa thức, tốn đặt mức độ khó nhằm phân loại học sinh, giúp tuyển chọn học sinh thực có tài kiến thức tốt mơn tốn Vì vậy, để có thêm phương tiện, cơng cụ giải tốn loại việc hình thành chuyên đề chọn lọc vấn đề toán đa thức, tốn nội suy góc nhìn tốn sơ cấp, đặc biệt ứng dụng đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy cổ điển khác để giải tốn kì thi cần thiết Hơn nữa, đề tài dùng cho giáo viên ôn luyện thi THPT quốc gia ôn thi học sinh giỏi cấp Do đó, chọn vấn đề “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng Đa thức nội suy cổ điển để giải tốn phổ thơng” làm đề tài nghiên cứu khoa học 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu ứng dụng số đa thức nội suy cổ điển giải toán sơ cấp; hệ thống lại số dạng tốn chương trình phổ thơng toán nâng cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các đa thức nội suy cổ điển, toán tổng qt lớp tốn tìm ngun hàm tính tích phân, tính tổng hữu hạn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp nội suy, khái quát, đặc biệt, tương tự tổng hợp chương trình tốn phổ thơng Nghiên cứu thực tiễn ứng dụng đa thức nội suy cổ điển chương trình tốn phổ thơng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.1 Đa thức nội suy Lagrange a Bài toán nội suy Lagrange Cho số thực đa thức , với có bậc , với Hãy xác định thỏa mãn điều kiện (1.1) b Đa thức nội suy Lagrange Kí hiệu Khi đó, đa thức đa thức thỏa mãn điều kiện toán nội suy Lagrange đa thức gọi đa thức nội suy Lagrange Chứng minh Dễ dàng nhận thấy hay , Mặt khác , hay Hồn tồn chứng minh được, có đa thức , mà có bậc với thỏa mãn điều kiện tốn (1.1) đa thức có bậc tức thoả mãn đa thức có bậc biệt nên Bài tốn Cho ta phân tích mà lại có Do , nghiệm phân Vậy tốn chứng minh số đôi khác Trong Lời giải số thích hợp Áp dụng đa thức nội suy Lagrange mốc nội suy , ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi Trong 2.1.2 Đa thức nội suy Newton a Bài toán nội suy Newton Cho số thực , với thỏa mãn điều kiện Hãy xác định đa thức có bậc b Đa thức nội suy Newton Ký hiệu Khi đó, đa thức đa thức thỏa mãn điều kiện toán nội suy Newton đa thức gọi đa thức nội suy Newton Nhận xét Với , với , LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi Bài tốn Cho đa thức bậc trường số Khi đo tồn phần tử thuộc để Công thức (2.1) cách viết khác công thức nội suy Newton Lời giải Nhận thấy đa thức sở - vectơ đa thức có bậc khơng vượt q Do đó, với đa thức thuộc có bậc khơng vượt q để biểu diễn Trong phần tử (2.1) lập thành tồn phần tử (2.1) xác định sau: Nhận thấy ; Đặt ; Đặt ; Một cách tổng quát, ta có 2.2 Một số ứng dụng giải tốn phổ thơng 2.2.1 Ứng dụng đa thức nội suy Lagrange tốn tìm ngun hàm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số Lời giải Cách giải thông thường giáo viên hướng dẫn học sinh Thơng thường gặp tốn này, giáo viên thường hướng dẫn học sinh sử dụng đồng thức để xác định hệ số phân tích Cụ thể Giả sử Suy Đồng thức, ta Khi Sau tác giả xin giới thiệu cách dùng Đa thức nội suy Lagrange Áp dụng toán 1, chọn hai nút nội suy ta phân tích Suy Nhận xét: Với ứng dụng đa thức nội suy Lagrange, thấy việc phân tích trở nên đơn giản nhiều Sau xét ví dụ phức tạp hơn, để thấy rõ ưu điểm Đa thức Lagrange phân tích biểu thức Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số Lời giải Cách giải thông thường giáo viên hướng dẫn học sinh Giả sử Ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đồng thức, ta Suy Sau tác giả xin giới thiệu cách dùng Đa thức nội suy Lagrange Áp dụng toán 1, chọn hai nút nội suy Ta có Suy Nhân xét: Trong ví dụ này, thấy rõ ưu điểm Đa thức nội Lagrange phân tích biểu thức Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số Lời giải Cách giải thông thường giáo viên hướng dẫn học sinh Giả sử Ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đồng thức, ta Suy Sau tác giả xin giới thiệu cách dùng Đa thức nội suy Lagrange Bước Trước tiên ta phân tích biểu thức Áp dụng tốn 1, chọn hai nút nội suy Ta Bước Do Áp dụng toán 1, ta lại phân tích phân thức sau Biểu thức Biểu thức ; Khi Suy Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số Lời giải Cách giải thông thường giáo viên hướng dẫn học sinh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với trường hợp mẫu thức chứa đa thức bậc hai vơ nghiệm việc phân tích khó khăn với học sinh Giả sử Lại có Đồng thức, ta Suy Sau tác giả xin giới thiệu cách dùng Đa thức nội suy Lagrange Ta có Áp dụng tốn 1, chọn hai nút nội suy Ta có Suy Các tập tương tự Tìm nguyên hàm hàm số sau Bài tập ; Bài tập Bài tập ; ; Bài tập 2.2.2 Ứng dụng đa thức nội suy Newton tốn tính tổng hữu hạn Ví dụ Cho đa thức , biết đa thức bậc hai thoả mãn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a) Tìm đa thức ; b) Suy giá trị tổng a) Thay Đặt Thay Lời giải 1; 2; vào (1), ta ; ; ; vào (2), ta (2) Vậy, đa thức cần tìm có dạng b) Xét đa thức Theo câu a) ta có Ví dụ Cho đa thức a) Tìm đa thức , suy , biết đa thức bậc ba thoả mãn ; b) Suy giá trị tổng a) Thay Đặt Thay Lời giải 1; 2; vào (3), ta ; ; ; (4) vào (4), ta Vậy, đa thức cần tìm có dạng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b) Xét đa thức Theo câu a) ta có , suy Ví dụ Cho đa thức bậc bốn , thỏa mãn a) Xác định ; b) Suy giá trị tổng a) Thay Đặt Thay Lời giải – 1; 0; 1; vào (5), ta ; ; ; ; (6) vào (6), ta Vậy, đa thức cần tìm có dạng b) Xét đa thức Theo câu a) ta có , suy Bài tập tương tự Bài tập Cho đa thức bậc ba , thỏa mãn 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a) Xác định ; b) Suy giá trị tổng Bài tập Cho đa thức bậc ba a) Xác định , thỏa mãn ; b) Suy giá trị tổng Bài tập Cho đa thức bậc bốn a) Xác định , thỏa mãn ; b) Suy giá trị tổng Bài tập Cho đa thức bậc ba a) Xác định , thỏa mãn ; b) Suy giá trị tổng Bài tập Cho đa thức bậc ba a) Xác định , thỏa mãn ; b) Suy giá trị tổng 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Nội dung chủ yếu luận văn nghiên cứu số đa thức nội suy cổ điển ứng dụng giải toán phổ thông Những kết đạt trình nghiên cứu Trình bày lý thuyết đa thức nội suy cổ điển tính chất Trình bày tốn tổng qt ứng dụng tổng quát giải toán Trình bày ứng dụng số đa thức nội suy cổ điển ứng dụng toán phổ thơng Đặc biệt, kết đạt luận văn là: Phương pháp sử dụng đa thức nội suy cổ điển giải toán phát triển tốn xác định đa thức, phân tích biểu thức để tìm ngun hàm, rút gọn biểu thức, tính tổng hữu hạn Do khả thời gian nghiên cứu có hạn, nên luận văn chưa đầy đủ khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp thầy, bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Văn Tiến TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu, Các toán nội suy áp dụng, NXB giáo dục, 2007 [2] Trịnh Đào Chiến, Huỳnh Minh Thuận, Một số ứng dụng công thức nội suy Lagrange, NXB trường Đại học KHTN-ĐHQGHN, 2007 [3] Nguyễn Văn Mậu, Nội suy đa thức – Định lý áp dụng, NXB trường Đại học KHTN-ĐHQGHN, 2016 [4] Tạp chí toán học tuổi trẻ 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... ứng dụng số đa thức nội suy cổ điển ứng dụng tốn phổ thơng Đặc biệt, kết đạt luận văn là: Phương pháp sử dụng đa thức nội suy cổ điển giải toán phát triển tốn xác định đa thức, phân tích biểu thức. .. học sinh sử dụng Đa thức nội suy cổ điển để giải tốn phổ thơng” làm đề tài nghiên cứu khoa học 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu ứng dụng số đa thức nội suy cổ điển giải toán sơ... viên thường hướng dẫn học sinh sử dụng đồng thức để xác định hệ số phân tích Cụ thể Giả sử Suy Đồng thức, ta Khi Sau tác giả xin giới thiệu cách dùng Đa thức nội suy Lagrange Áp dụng toán 1, chọn