(Luận Văn Thạc Sĩ) Về Bất Đẳng Thức Xoay Vòng Và Vận Dụng.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  BÙI THỊ NHẤT NINH VỀ BẤT ĐẲNG THỨC XOAY VÒNG VÀ VẬN DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  BÙI[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THỊ NHẤT NINH VỀ BẤT ĐẲNG THỨC XOAY VÒNG VÀ VẬN DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THỊ NHẤT NINH VỀ BẤT ĐẲNG THỨC XOAY VÒNG VÀ VẬN DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu Chương Về bất đẳng thức xoay vòng 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Bất đẳng thức AM–GM 1.1.2 Bt ng thc Hăolder, Jensen 1.2 Về bất đẳng thức Schur 1.2.1 Bất đẳng thức Schur rời rạc 1.2.2 Bất đẳng thức Schur hàm số Chương Một số kết liên quan vận dụng 2.1 Một số bất đẳng thức liên hệ ba số dương 2.2 Một số bất đẳng thức xoay vòng liên quan tới yếu tố lượng giác 2.2.1 Một số kết mở rộng 2.2.2 Một số toán bất đẳng thức vận dụng 2.3 Bất đẳng thức Shapiro số kết liên quan 2.3.1 Một số toán bất đẳng thức Diananda Daykin 2.3.2 Một số bất đẳng thức xoay vòng liên quan 3 5 10 15 15 23 28 34 37 39 40 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 ii Bảng ký hiệu N N0 R R+ X cyc X cyc X cyc X cyc X x Tập hợp số tự nhiên khác không Tập hợp số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, Tập hợp số thực Tập hợp số thực dương := x + y + z yz :=xy + yz + zx (y − z)2 := (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 x2 (y + z) := x2 (y + z) + y2 (z + x) + z2 (x + y) yz| sin nA|r := yz| sin nA|r + zx| sin nB|r + xy| sin nC|r cyc a|b a ước b A Π sin nA 2n + Π cos A Π cos nA A Π cos x X 2n + tan A cyc X cotan nA cyc   Π + k cos2 nA := cos x A2 cosy B2 cosz C2 Π cos x := sin nA sin nB sin nC 2n+1 2n+1 := cos 2n+1 A cos B cos C := Π cos nAΠ cos nBΠ cos nC := cos x A2 cosy B2 cosz C2 2n+1 2n+1 := tan 2n+1 A + tan B + tan C := cotan nA + cotan nB + cotan nC := (1 + k cos2 nA)(1 + k cos2 nB)(1 + k cos2 nC) Mở đầu Trong tất mơn học, biết Tốn học môn giúp rèn luyện tư duy, logic phát triển trí tuệ cách tồn diện Tốn q trình tích lũy qua nhiều năm học tập, đặc biệt trình nghiên cứu khoa học cơng thức, phương trình hay bất đẳng thức thật mẻ thú vị Lớp bất đẳng thức dạng tốn phổ biến chương trình phổ thơng Hàng năm, kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, đề tài bất đẳng thức thường chọn lựa Và nay, có nhiều tài liệu tiếng việt bất đẳng thức, nhiên, tài liệu khai thác lịch sử bất đẳng thức không nhiều, chủ yếu khai thác sâu chuyên đề cụ thể toán bất đẳng thức Với khn khổ luận văn thạc sĩ Tốn học, chun ngành Phương pháp Tốn sơ cấp, tơi chọn lựa đề tài bất đẳng thức xoay vòng với đối tượng biểu thức nhiều biến đối xứng Mặc dù toán riêng lẻ biều thức nhiều biến đối xứng nhiều tác giả khai thác cải tiến bất đẳng thức tương ứng Vì nhiều lý chọn đề tài luận văn “Bất đẳng thức xoay vòng vận dụng” Luận văn xoay quanh chủ đề bất đẳng thức xoay vòng, với kết kinh điển bất đẳng thức Schur, bất đẳng thức Shapiro, Nội dung luận văn không sâu vào tổng hợp tập lời giải lớp bất đẳng thức xoay vịng, mà sâu phân tích lịch sử phát triển dạng bất đẳng thức Kết luận văn trình bày lại nội dung chương XVI (“Cyclic Inequalites”) tài liệu [13], tài liệu trích dẫn tương ứng sách tài liệu tham khảo cuối luận văn Cụ thể luận văn trình bày vấn đề sau: Chương Trình bày dạng bất đẳng thức Schur, từ dạng rời rạc đến dạng liên tục (đối với lớp hàm dương lồi đơn điệu) Chương Trình bày số dạng bất đẳng thức xoay vịng bản, chẳng hạn lớp tốn cho ba số dương, dạng bất đẳng thức xoay vịng có yếu tố lượng giác, dạng kiểu tam giác, bất đẳng thức Shapiro, số mở rộng, tốn vận dụng, tổng qt hóa số toàn sách kinh điển bất đẳng thức hình học “Geometric Inequalities” xem tài liệu [4] Trong trình học tập nghiên cứu tai trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em nhận quan tâm giúp đỡ thầy cô toàn thể anh chị em tập thể lớp Cao học Toán K11B Bài luận văn lời tri ân tới tất truyền thụ cho em nhiều kiến thức tinh thần quý báu suốt thời gian em học viên trường Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Xuân Quý quan tâm ân cần, bảo, khích lệ góp ý sâu sắc cho em suốt trình học tập thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn người thân yêu giúp đỡ, đồng hành em chặng đường vừa qua! Thái Nguyên, ngày 28 tháng 12 năm 2019 Học viên Bùi Thị Nhất Ninh Chương Về bất đẳng thức xoay vòng 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục trình bày số bất đẳng thức liên quan đến luận văn, số hệ bất đẳng thức mà có sử dụng khơng trình bày, mà hệ hiển nhiên Các hệ bất đẳng thức trình bày mục bất đẳng thức liên quan xem tài liệu [3] GS Nguyễn Văn Mậu 1.1.1 Bất đẳng thức AM–GM Bất đẳng thức AM–GM hay gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân viết tắt AM-GM số tài liệu viết AG, có nội dung sau: Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức AM-GM) Giả sử a1 , a2 , , an số khơng âm Khi a1 + a2 + · · · + an √n > a1 a2 an n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · an Bất đẳng thức viết lại, 1 1 1 a1 + a2 + · · · + an > a1n a2n · · · ann n n n Từ ý tưởng này, người ta chứng minh kết tổng quát là: Với αi số không âm, có tổng 1, số dương (i = 1, 2, , n), ta có bất đẳng thức α1 a1 + α2 a2 + · · · αn an > aα1 aα2 aαn n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức AM-GM suy rộng (hay cịn gọi bất đẳng thức trung bình có trọng số hay bất đẳng thức trung bình lũy tha cú trng s) 1.1.2 Bt ng thc Hăolder, Jensen Trc tiờn, v bt ng thc Hăolder tn ti nhiều phiên bản, nhiên chúng tơi trình bày dạng đại số giải tích bản, mà chúng phù hợp với chương trình phổ thơng Kết di õy c gi l bt ng thc Hăolder nh lý 1.1.2 (Bt ng thc Hăolder) Cho a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ) 1 hai n số thực dương p > 1, + = Khi ta có bất đẳng thức sau p q n X i=1  q1  n 1  n  X p  p X bi    bqi  i=1 (1.1) i=1 Dấu xảy aip = kbqi với i ∈ {1, 2, , , n} Bất đẳng thức (1.1) với p = q = gọi bất đẳng thức CauchySchwartz hay gọi Buniacosky-Cauchy-Schwartz Kết bất ng thc Hăolder dng gii tớch, chỳng tụi ch trình bày kết mà khơng chứng minh Định lý 1.1.3 (Bt ng thc Hăolder dng gii tớch) Gi s (p, q) cặp số mũ 1 liên hợp, tức thỏa mãn điều kiện p, q > với + = 1, f g hai hàm số p q liên tục đoạn [a, b], Z b a | f (x)g(x)| dx Z b a | f (x)| p dx ! 1p Z b a |g(x)|q dx ! q1 (1.2) Dấu “=” xảy tồn hai số thực A B không đồng thời không cho A | f (x)| p = B |g(x)|q ∀x ∈ [a, b] Tiếp theo bất đẳng thức Jensen: Hàm số lồi hay gọi tắt hàm lồi khái niệm quan trọng toán học Các kết bất đẳng thức lớp hàm lồi đa dạng giải tích tốn học, để liên hệ tới nội dung luận văn, chúng tồi trình bày kết kinh điển lớp bất đẳng thức này, bất đẳng thức Jensen Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử hàm số f : (a, b) → R lồi khoảng (a, b) Khi với x1 , , xn ∈ (a, b) ta có bất đẳng thức sau f( x1 + · · · + xn f (x1 ) + · · · + f (xn ) )6 n n Dấu xảy x1 = x2 = · · · = xn 1.2 Về bất đẳng thức Schur Các kết bất đẳng thức Schur nghiên cứu sử dụng nhiều khía cạnh Tốn học Trong khn khổ luận văn Thạc sĩ Toán học, chuyên ngành phương pháp Tốn sơ cấp, tơi trình bày hai trường hợp riêng bất đẳng thức mà đối tượng giáo viên học sinh phổ thơng vận dụng 1.2.1 Bất đẳng thức Schur rời rạc Trường hợp mà J Wolstenholme trích dẫn sách “A Book of Mathemtical problems (1867)” toán sau: Nếu a, b, c số dương đôi khác ta có bất đẳng thức, a(a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c − b) > a3 (a − b)(a − c) + b3 (b − c)(b − a) + c3 (c − a)(c − b) > Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Schur) Nếu x, y, z số dương λ số thực tùy ý, ta có bất đẳng thức sau xλ (x − y)(x − z) + yλ (y − z)(y − x) + zλ (z − x)(z − y) > (1.3) Dấu đẳng thức xảy x = y = z Chứng minh Đặt Γ = xλ (x − y)(x − z) + yλ (y − z)(y − x) + zλ (z − x)(z − y) Nếu hai ba số x, y, z hiển nhiên bất đẳng thức Thật vậy, chẳng hạn y = z, Γ = xλ (x − y)2 Khơng giảm tính tổng qt, giả sử x > y > z Vì λ số thực tùy ý, nên ta xét hai trường hợp; λ > λ < 0: n o Nếu λ > Γ = (x − y) xλ (x − z) − yλ (y − z) + zλ (x − z)(y − z)   > (x − y) xλ − yλ (y − z) + zλ (x − z)(y − z) > n o λ λ Nếu λ < Γ = x (x − y)(x − z) + (y − z) −y (x − y) + z (x − z)   > xλ (x − y)(x − z) + (y − z) −yλ + zλ (x − z) λ > Vậy bất đẳng thức (1.3) chứng minh  Bất đẳng thức (1.3) gọi bất đẳng thức Schur Đã có nhiều mở rộng bất đẳng thức Schur Kết xem mở rộng sơ cấp loại bất đẳng thức U C Guha (1962) sau Định lý 1.2.2 Nếu a, b, c, u, v, w số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau 1 (1.4) ap + cp bp, 1 u p+1 + w p+1 > v p+1 , (1.5) ubc − vca + wab > (1.6) đó, p > 0, Nếu −1 < p < bất đẳng thức (1.5) (1.6) đổi chiều; p < −1 bất đẳng thức (1.4) (1.5) đổi chiều Trong trường hợp, cos yz)(2−r)/2 A ≤  x ( 2  cyc cyc cyc Ngồi ra, với p = 1, ta có √ X X 2n +