GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

CHỦ ĐỀ 3 – GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 DẠNG 1 TOÁN CHUYỂN ĐỘNG 2 DẠNG 2 TOÁN NĂNG SUẤT 4 DẠNG 3 TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC 5 DẠN.

CHỦ ĐỀ – GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp chung Bước Kẻ bảng được, gọi ẩn, kèm theo đơn vị điều kiện cho ẩn Bước Giải thích ô bảng, lập luận để thiết lập hệ phương trình Bước Giải hệ phương trình, đối chiếu nghiệm với điều kiện, trả lời toán DẠNG 1: TỐN CHUYỂN ĐỘNG 1.1 Chuyển động • • Ghi nhớ công thức: Quãng đường = Vận tốc × thời gian Các bước giải Bước Kẻ bảng gồm vận tốc, thời gian, quãng đường điền thơng tin vào bảng gọi ẩn, kèm theo đơn vị điều kiện cho ẩn Bước Giải thích bảng, lập luận để thiết lập hệ phương trình Bước Giải hệ phương trình, đối chiếu nghiệm với điều kiện, trả lời tốn A B Ví dụ Một xe máy từ đến thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 20km / h 10km / h B B đến sớm so với dự định, vận tốc giảm đến muộn AB so với dự định Tính quãng đường Lời giải Vận tốc Thời gian Quãng đường Dự định x y xy Trường hợp x + 20 y −1 ( x + 20 ) ( y − 1) Trường hợp x − 10 y +1 ( x − 10 ) ( y + 1) x ( km / h ) y Gọi vận tốc thời gian dự định (giờ) x > 10, y > Điều kiện xy ( km ) AB Quang đường x + 20 ( km / h ) y −1 Trong trường hợp 1: Vận tốc , thời gian (giờ) ( x + 20 ) ( y − 1) ( km ) AB Suy quãng đường Do quãng đường không đổi nên ta có phương trình ( x + 20 ) ( y − 1) = xy ⇔ xy − x + 20 y − 20 = xy ⇔ x − 20 y = −20 (1) x − 10 ( km / h ) y +1 Trong trường hợp 2: Vận tốc , thời gian (giờ) AB ( x − 10 ) ( y + 1) ( km ) Suy quãng đường Do quãng đường không đổi nên ta có phương trình ( x − 10 ) ( y + 1) = xy ⇔ xy + x − 10 y − 10 = xy ⇔ x − 10 y = 10 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  x − 20 y = −20  x − 20 y = −20  x = 40 ⇔ ⇔   x − 10 y = 10 2 x − 20 y = 20 y = xy = 120 ( km ) AB (thỏa mãn điều kiện) Vậy quãng đường 1.2 Chuyển động dịng nước ca nơ • Vận tốc xi dịng = Vận tốc riêng ca nơ + Vận tốc dòng nước (viết tắt v x = v r + ) • Vận tốc ngược dịng = Vận tốc riêng ca nơ – Vận tốc dịng nước (viết tắt • vng = vr − , ý Quãng đường = Vận tốc × vr > ) thời gian; S x = vx t x ; S ng = vng tng 20km 18km Ví dụ Một ca nơ chạy khúc sơng, xi dịng ngược dịng hết 25 15km 24km 30 phút Lần khác, ca nơ xi dịng ngược dịng hết phút Tính vận tốc riêng ca nô vận tốc dịng nước, biết vận tốc khơng đổi Lời giải Xi dịng lần Vận tốc Thời gian Qng đường x+ y 20 x+ y 20 Ngược dòng lần x− y 18 x− y 18 Xi dịng lần x+ y 15 x+ y 15 Ngược dòng lần x− y 24 x− y 24 Đổi 25 = phút 17 12 giờ; 30 = phút Gọi vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước Trong lần +) Vận tốc xi dịng (giờ) x + y (km / h) +) Vận tốc ngược dòng 18 x− y (giờ) x , quãng đường xi dịng x − y ( km / h) y ( km / h) 20 ( km) , quãng đường ngược dòng Điều kiện x > 0, y > 0, x > y nên thời gian xi dịng 18(km) 20 x+ y nên thời gian ngược dịng 17 12 Vì tổng thời gian xi dịng ngược dịng hết nên ta có phương trình 20 18 17 + = (1) x + y x − y 12 Trong lần +) Vận tốc xi dịng (giờ) x + y (km / h) +) Vận tốc ngược dòng 24 x− y (giờ) , qng đường xi dịng x − y (km / h) 15( km) , quãng đường ngược dòng nên thời gian xi dịng 24 (km ) Vì tổng thời gian xi dịng ngược dịng hết nên ta có phương trình 15 24 + = (2) x+ y x−y Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 15 x+ y nên thời gian ngược dòng  20 x+ y +    15 +  x + y 18 17  60 = x+ y + x − y 12  ⇔ 24  60 + =  x + y x− y  x + y = 30  x = 27 ⇔ ⇔  x − y = 24 y = 54 17 54 17  60 = + =  x− y x+ y x− y ⇔ 96  42 = =  x − y x− y (thỏa mãn điều kiện) Vậy vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước 27 ( km / h ) DẠNG 2: TỐN NĂNG SUẤT • • • • Năng suất lượng công việc làm đơn vị thời gian × Tổng lượng cơng việc = Năng suất Thời gian Năng suất = Tổng lượng công việc : Thời gian Thời gian = Tổng lượng công việc : Năng suất Ví dụ Để hồn thành cơng việc theo dự định cần số cơng nhân làm số ngày 10 10 định Nếu tăng thêm cơng nhân cơng việc hồn thành sớm ngày Nếu bớt cơng nhân phải thêm ngày hồn thành cơng việc Hỏi theo dự định cần cơng nhân làm ngày? Lời giải Số công nhân Số ngày Lượng công việc Dự định x y xy Trường hợp x + 10 y−2 ( x + 10 ) ( y − ) Trường hợp x − 10 y +3 ( x − 10 ) ( y + 3) y x Gọi số công nhân số ngày theo dự định (công nhân), (ngày) x > 10, y > 2, x ∈ N Điều kiện: xy Lượng công việc theo dự định (ngày công) y−2 x + 10 Trường hợp 1: Số công nhân (công nhân), số ngày (ngày) ( x + 10 ) ( y − ) Do lượng cơng việc (ngày cơng) Vì lượng cơng việc khơng đổi nên ta có phương trình ( x + 10 ) ( y − ) = xy ⇔ −2 x + 10 y = 20 (1) y +3 x − 10 Trường hợp 2: Số công nhân (công nhân), số ngày (ngày) x − 10 y + ( )( ) Do lượng cơng việc (ngày cơng) Vì lượng cơng việc khơng đổi nên ta có phương trình (2) ( x − 10 ) ( y + 3) = xy ⇔ 3x − 10 y = 30 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình −2 x + 10 y = 20  x = 50 ⇔  3 x − 10 y = 30  y = 12 Vậy số công nhân số ngày theo dự định 50 (thỏa mãn điều kiện) 12 (cơng nhân), (ngày) DẠNG 3: TỐN LÀM CHUNG CƠNG VIỆC k Bài toán Nếu hai người làm chung sau ngày (giờ, phút, ) xong cơng việc Nếu người I làm m n ngày nghỉ người II làm tiếp ngày (giờ, phút, ) xong cơng việc Hỏi làm để hồn thành cơng việc người ngày (giờ, phút, )? Phương pháp giải x, y x > 0, y > Gọi thời gian người I, người II làm xong cơng việc (ngày) Điều kiện: 1 y x ngày người I làm , người II làm (lượng công việc) k k y k x * ngày người I làm , người II làm (lượng cơng việc) k Do hai người làm chung sau ngày xong cơng việc nên ta có phương trình k k + =1 (1) x y n m y m x n * ngày người I làm , ngày người II làm (lượng công việc) m n Do người I làm ngày nghỉ người II làm tiếp ngày xong cơng việc nên ta có phương m n + =1 (2) x y trình Giải hệ (1), (2); đối chiếu điều kiện trả lời toán k m Bài toán Nếu hai người làm chung sau ngày (giờ, phút, ) xong công việc Làm chung n ngày người I nghỉ người II làm tiếp ngày (giờ, phút, ) xong cơng việc Hỏi làm để hồn thành cơng việc người ngày (giờ, phút, )? Phương pháp giải x, y x > 0, y > Gọi thời gian người I, người II làm xong cơng việc (ngày) Điều kiện: 1 y x Suy ngày người I làm , người II làm (lượng công việc) k k y x * k ngày người I làm , người II làm (lượng công việc) D hai người làm chung sau k ngày xong cơng việc nên ta có phương trình k k + =1 x y (1) m m + x y * m ngày hai người làm (lượng công việc) n y n ngày người II làm (lượng công việc) Do làm chung m ngày người I nghỉ người II làm tiếp n ngày xong cơng việc nên ta có m m n  + ÷+ = x y y phương trình (2) Giải hệ (1), (2); đối chiếu điều kiện trả lời toán Ví dụ Hai người thợ làm cơng việc 30 phút xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm tổng số họ làm 50% công việc Hỏi người làm cơng việc xong? Lời giải Đổi 30 phút = Gọi thời gian người I, người II làm xong cơng việc x, y (giờ) Điều kiện: x > 0, y > 1 y x Suy người I người II làm (lượng công việc) 91 1  + ÷ 2 x y * 30 phút hai người làm (lượng công việc) Do hai người thợ làm cơng việc 30 phút xong nên ta có phương trình 91 1 1  + ÷= ⇔ + = 2 x y x y (1) x * người thứ I làm (lượng công việc) y * người thứ II làm (lượng cơng việc) Vì người I làm người II làm tổng số họ làm 50% công + = x y việc nên ta có phương trình (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 1 2 1 + = = x y x + y =  x = 18    x 18 ⇔ ⇔ ⇔  y = 3 + = 3 + = 1 =  x y  x y  x (thỏa mãn điều kiện) Vậy làm xong cơng việc, người I cần 18 giờ, người II cần Ví dụ Hai người thợ làm cơng việc sau 40 phút hồn thành Nếu người thứ làm sau người thứ hai vào làm 40 phút hồn thành Hỏi người làm xong? Lời giải 3 Đổi 40 phút = giờ; 40 phút = Gọi thời gian người I, người II làm xong cơng việc x, y (giờ) Điều kiện: x > 0, y > 1 y x Suy người I người II làm (lượng cơng việc) 8 1   + ÷ 3 x y  * 40 phút hai người làm (lượng công việc) Do hai người thợ làm công việc 40 phút xong nên ta có phương trình 8 1  1  + ÷= ⇔ + = 3 x y  x y (1) x * người thứ I làm (lượng cơng việc) 2 1  + ÷ 3 x y * 40 phút hai người làm (lượng cơng việc) Vì người thứ làm sau người thứ hai vào làm 40 phút hồn thành 2 1 +  + ÷= x 3 x y nên ta có phương trình (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 1 2 9 = x + y = x + y = x =    x ⇔ ⇔ ⇔   +  +  = 11 + = 11 + =  y =  x  x y ÷  x y  x y  (thỏa mãn điều kiện) Vậy làm xong cơng việc, người I cần giờ, người II cần Ví dụ Hai vịi nước chảy vào bể cạn sau đầy bể Nếu mở vời I 45 phút khóa lại mở vịi II 30 phút hai vịi chảy bể Hỏi vời chảy riêng đầy bể bao lâu? Lời giải 0, 75 0,5 Đổi 45 phút = giờ; 40 phút = Gọi thời gian vịi I, vịi II chảy đầy bể x, y (giờ) Điều kiện: x > 0, y > 1 y x Suy vòi I vòi II chảy (bể) 1 1 2 + ÷ x y * hai vòi chảy (bể) Do hai người vịi chảy sau đầy bể nên ta có phương trình 1 1 1  + ÷= ⇔ + = x y x y (1) x * người thứ I làm (bể) 0,5 0,75 y x * 45 phút vòi I chảy (bể), 30 phút vời II chảy (bể) Vì mở vời I 45 phút khóa lại mở vịi II 30 phút hai vịi chảy bể nên ta có 0,75 0,5 + = ⇔ + = x y x y phương trình (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 1 1 2 1 x + y = x + y =1  x = x =   ⇔ ⇔ ⇔  y = 3 + = 3 + = 1 =    y x y x y (thỏa mãn điều kiện) Vậy chảy riêng để đầy bể, vòi I cần giờ, vòi II cần Ví dụ Hai vịi nước chảy vào bể cạn sau đầy bể Cùng chảy khóa vịi I lại vòi II phải chảy thêm 12 đầy bể Hỏi vòi chảy riêng đầy bể bao lâu? Lời giải x, y Gọi thời gian vòi I, vịi II chảy đầy bể (giờ) x > 0, y > Điều kiện: 1 , x y Suy vòi I vòi II chảy (bể) 1 1 6 + ÷ x y hai vòi chảy (bể) Do hai vòi chảy sau đầy bể nên ta có phương trình 1 1 1  + ÷= ⇔ + = x y x y 1 1 2 + ÷ x y (1) 12 y hai vòi chảy (bể), 12 vịi II chảy (bể) Vì chảy khóa vịi I lại vịi II phải chảy thêm 12 đầy bể nên ta có phương  1  12  + ÷+ = x y y trình (2) Từ (1)(2) ta có hệ phương trình 1 1 1 1 1 + = x + y =   x = x =  x y ⇔ ⇔ ⇔   y = 18 2  +  + 12 =  + 12 = 1 =  ÷   x y  y  y 18  y (thỏa mãn) Vậy chảy riêng để đầy bể, vòi I cần giờ, vòi II cần 18 DẠNG TỐN VỀ CẤU TẠO SỐ • Chú ý đặt điều kiện ẩn: ab + Với số có hai chữ số chữ số khác nên điều kiện : ≤ a ≤ 9,0 ≤ b ≤ 9; a, b, c ∈ ¥ ab = 10a + b; abc = 100a + 10b + c • Số • Đổi chỗ hai chữ số số • Chèn số 0; 1; ab vào số ta ba = 10b + a a 0b = 100a + b; a1b = 100a + 10 + b; a 2b = 100a + 20 + b Ví dụ Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số 14 đổi chỗ hai chữ số số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Lời giải a, b ∈ ¥ ,1 ≤ a ≤ 9,0 ≤ b ≤ ab Gọi số cần tìm , điều kiện a + b = 14 Vì tổng hai chữ số 14 nên ta có phương trình (1) ab Do đổi chỗ hai chữ số số ta số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị nên ta có phương trình ba = ab − 18 ⇔ 10b + a = 10a + b − 18 ⇔ a − b = (2) 24 24 24( x + 4) − 24 x 96 − = ⇔ = ⇔ = x x+4 x( x + 4) x( x + 4) ⇔ x + x − 192 = ⇔ x + x + − 196 = ⇔ ( x + ) = 196 ⇔ x + = ±14 ⇔ x = 12 (TM), x = −16 (L) Vậy vận tốc lúc 12 (km/h) 90 Ví dụ Quãng đường từ A đến B dài km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B, người nghỉ 30 phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc lúc (km/h) Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở A Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B Lời giải Vận tốc Thời gian Quãng đường Lúc x 90 x 90 Lúc x+9 90 x+9 90 x x>0 Gọi vận tốc xe đạp từ A đến B (km/h) Điều kiện: x+9 Vận tốc từ B trở A (km/h) 90 90 x x+9 Thời gian lúc lúc (giờ) = 30 Vì thời gian nghỉ phút thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở A nên ta có phương trình : 90 90 90( x + 9) + 90 x 20 x + 90 + + =5⇔ = ⇔ = x x+9 x ( x + 9) x( x + 9) ⇔ x + x = 40 x + 180 ⇔ x − 31x − 180 = ⇒ ∆ = 41 = (-31)2 – 4.1.(- 180) = 1681 > nên 31 ± 41 ⇔ x = 36 x= (thỏa mãn), x = -5 ( loại) Vậy vận tốc lúc 36 (km/h) Có ∆ Ví dụ Một người dự định xe đạp từ Ađến B cách 60 km thời gian định Sau 30 km người dừng lại nghỉ 30 phút Do đó, để đến B thời gian dự định người phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc dự định người Lời giải Vận tốc Quãng đường Thời gian Dự định x 60 x 60 Thực tế x 30 x 30 x+2 30 x+2 30 Đổi 30 phút = Gọi vận tốc dự định x ( km/h) Điều kiện: x > 60 x Thời gian dự định (giờ) 30 x Thời gian người 30 km đầu (giờ) 30 x+2 Thời gian người 60 – 30 = 30 km lại ( giờ) Do xe đến B hạn nên ta có phương trình 30 30 60 30 30 ⇔ 60 = x( x + 2) x x+2 x ⇔ x x+2 + + = = ⇔ ⇔ ⇔ x2 + 2x - 120 = x2 + 2x + – 121= (x+1)2 = 121 ⇔ ±11 ⇔ x+ 1= x= 10 ( thỏa mãn), x= -12 (loại) Vậy vận tốc dự định 10 ( km/h) Ví dụ Một ô tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian quy định Sau tơ bị chặn xe cứu hỏa 10 phút Do để đến hạn xe phải tăng tốc thêm 6km/h Tính vận tốc lúc đầu ô tô Lời giải Vận tốc Quãng đường Thời gian Dự định x 120 x 120 Thực tế x x x+6 120 − x x+6 120 - x Đổi 10 phút = Gọi vận tốc lúc đầu ô tô x ( km/h) Điều kiện: x > 120 x Thời gian dự định ô tô (giờ) Trong đầu ô tô x (km) nên quãng đường lại 120 - x (km) 120 − x x+6 Thời gian ô tô quãng đường lại (giờ) Do xe đến B hạn nên ta có phương trình 120 − x 120 120 120 − x ⇔ x + 720 = x( x + 6) x+6 x ⇔ x x+6 +1+ = = ⇔ ⇔ 6(x2+ 720)=7(x2+ 6x) x2 + 42x – 4320 = ⇔ ( x – 48 )( x + 90 )= ⇔ x= 48 ( thỏa mãn), x= - 90 (loại) Vậy vận tốc lúc đầu ô tô 48 ( km/h) 1.2 Chuyển động dịng nước • • Vận tốc xi dịng = vận tốc riêng ca nơ + vận tốc dịng nước ( viết tắt vx= vr + vn) Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng ca nơ – vận tốc dịng nước ( viết tắt vng= vr - vn, ý vr > ) Quãng đường = vận tốc x thời gian; Sx= vx.tx; Sng= vng.tng Ví dụ 1: Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60km, sau chạy xi dịng 48 km dịng sơng có vận tốc dịng nước 2km/h Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dịng Lời giải Vận tốc Quãng đường Thời gian Xi dịng x+2 48 x+2 48 Ngược dịng x-2 60 x−2 60 Gọi vận tốc tàu nước yên lặng x ( km/h) Điều kiện: x > Vận tốc lúc xi dịng ngược dịng x + 2; x – (km/h) 48 60 x+2 x−2 Thời gian xi dịng ngược dịng (giờ) Vì thời gian xi dịng thời gian ngược dịng nên ta có phương trình 60( x + 2) − 48( x − 2) 60 48 12 x − 216 =1 =1 ( x − 2)( x + 2) ⇔ ⇔ x2 − x−2 x+2 =1 ⇔ ⇔ ⇔ x2 - 12x – 220 = x2 - 12x + 36 – 256 = (x – 6)2 = 256 ⇔ ±16 ⇔ x– = x = 22 ( thỏa mãn), x = - 10 (loại) Vậy vận tốc tàu thủy nước yên lặng 22 ( km/h) 48km Ví dụ Lúc 30 phút sáng, ca nơ xi dịng sơng từ A đến B dài Khi đến B, ca nô nghỉ 30 phút sau lại ngược dịng từ B đến A lúc 10 36 phút ngày Tìm tốc riêng ca nô, biết vận km / h tốc dòng nước Lời giải Vận tốc Qng đường Thời gian Xi dịng x+3 48 x+3 48 Ngược dòng x-3 48 x −3 48 Gọi vận tốc riêng ca nô x ( km/h) Điều kiện: x > Vận tốc lúc xi dịng ngược dòng x + 3; x – (km/h) 48 48 x+3 x −3 Thời gian xuôi dòng ngược dòng (giờ) 41 10 Vì tổng thời gian đi,về, nghỉ 10 36 phút – 30 phút = thời gian nghỉ 30 phút = nên ta có phương trình 48 x+3 48 x−3 41 48( x − 3) + 48( x + 3) 36 = 10 ⇔ x2 − 10 + + = 96 x 36 8x = ⇔ = ⇔ x − 10 x − 10 ⇔ Có 3x2 - 80x - 27= ∆ ' = (−40) − 3.( −27) = 1681 > ⇒ ∆ ' = 41 40 ± 41 ⇒ x = 27 x= ( thỏa mãn), x = Vậy vận tốc riêng ca nô 27 ( km/h) − nên (loại) DẠNG 2: TỐN NĂNG SUẤT • • • • Năng suất lượng công việc làm đơn vị thời gian Tổng lượng công việc = Năng suất x thời gian Năng suất = Tổng lượng công việc : Thời gian Thời gian = Tổng lượng công việc : Năng xuất Ví dụ 1: Một phân xưởng theo kế hoạch cần sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hồn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch ngày phân xưởng cần sản xuất sản phẩm? Lời giải Số sản phẩm / ngày Tổng số sản phẩm Số ngày Kế hoạch x 1100 x 1100 Thực tế x+5 1100 x+5 1100 Gọi số sản phẩm ngày xưởng cần làm theo kế hoạch Điều kiện: x x>0 Số sản phẩm ngày phân xưởng làm thực tế Số ngày phân xưởng cần làm theo kế hoạch 1100 x (sản phẩm) x+5 (sản phẩm) (ngày) 1100 x+5 Số ngày phân xưởng cần làm thực tế (ngày) Vì phân xưởng hồn thành kế hoạch sớm ngày nên ta có phương trình: 1100 1100 1100( x + 5) − 1100 x − =2⇔ =2 x x+5 x( x + 5) ⇔ Có 5500 2750 = ⇔ = ⇔ x + x − 2750 = 2 x + 5x x + 5x ∆ = 52 − 4.1.( −2750) = 11025 > ⇒ ∆ = 105 −5 ± 105 x= ⇒ x = 50 (thỏa mãn), x = −55 (loại) nên Vậy theo kế hoạch ngày phân xưởng cần làm 50 (sản phẩm) Ví dụ Một đội xe dự định dùng số xe loại để chở 60 hàng Lúc khởi hành có xe phải điều làm việc khác nên tham gia chở hàng Vì vậy, xe cịn lại phải chở nhiều dự định hàng Tính số xe theo dự định đội đó, biết xe chở khối lượng hàng Lời giải: Số hàng/xe Số xe Tổng số hàng Dự định 60 x x 60 Thực tế 60 x−3 x −3 60 x>3 Gọi số xe theo dự định đội x (xe) Điều kiện: Thực tế số xe x−3 (xe) 60 x 60 x −3 Số hàng xe theo dự định thực tế (tấn) Vì xe thực tế phải chở nhiều dự định hàng nên ta có phương trình: 60 60 180 − =1⇔ = ⇔ x − x − 180 = x −3 x x( x − 3) Có ∆ = (−3) − 4.1.( −180) = 729 > ⇒ ∆ = 27 x= ± 27 ⇔ x = −12 x = 15 (loại), Vậy số xe dự định đội 15 (xe) nên (thỏa mãn) Ví dụ Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm thời gian quy định với suất Sau làm 400 sản phẩm, tổ tăng suất thêm ngày 10 sản phẩm, hồn thành cơng việc sớm ngày Tính số sản phẩm làm ngày theo quy định Lời giải Số sản phẩm/ngày Số ngày Tổng số sản phẩm x 600 x 600 x 400 x 400 x + 10 200 x + 10 200 Dự kiến Thực tế Gọi số sản phẩm dự kiến làm ngày Điều kiện: x>0 x (sản phẩm) Thời gian dự kiến 600 x (ngày) Thời gian làm 400 sản phẩm đầu 400 x (ngày) 200 x + 10 Thời gian làm 600 - 400 = 200 sản phẩm sau (ngày) Vì thực tế cơng việc hoàn thành sớm dự kiến ngày nên ta có phương trình: 600  400 200  200 200 200( x + 10) − 200 x − + = ⇔ − = ⇔ =1 ÷ x  x x + 10  x x + 10 x( x + 10) ⇔ x + 10 x − 2000 = ⇔ x + 10 x + 25 − 2025 = ⇔ ( x + 5) = 2025 ⇔ x + = ±45 ⇔ x = 40 x = −50 ( thỏa mãn), (loại) Vậy số sản phẩm dự kiến làm ngày 40 (sản phẩm) Ví dụ Một người thợ làm 120 sản phẩm thời gian suất dự định Khi làm 50 sản phẩm, người thợ nhận thấy làm với suất thấp suất dự định sản phẩm ngày Do đó, để hồn thành thời gian định, người thợ tăng suất thêm sản phẩm ngày so với dự định Tính suất dự định người thợ Lời giải Số sản phầm/ngày Số ngày Tổng số sản phẩm Dự định x 120 x 120 x−2 50 x−2 50 x+2 70 x+2 70 Thực tế Gọi số sản phẩm ngày người thợ cần làm theo dự định Điều kiện: x>2 120 x (ngày) Trong 50 sản phẩm đầu, ngày người thợ làm (sản phẩm) Số ngày theo dự định 50 x−2 x x−2 (sản phẩm) nên số ngày làm 50 sản phẩm đầu (ngày) Trong 120-50=70 sản phẩm sau, ngày người thợ làm x+2 (sản phẩm) nên số ngày làm 70 sản 70 x+2 phẩm đầu (ngày) Do thực tế người hồn thành dự định nên ta có phương trình: 50 70 120 120 x − 40 120 + = ⇔ = x−2 x+2 x x2 − x ⇔ 120 x − 40 x = 120 x − 480 ⇔ x = 12 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy số sản phẩm ngày người thợ dó cần làm theo dự định 12 (sản phẩm) DẠNG 3: TOÁN LÀM CHUNG CƠNG VIỆC Bài tốn bản: Nếu hai người làm chung sau k ngày (giờ, phút, …) xong cơng việc Nếu làm người thứ hồn thành cơng việc sớm người thứ hai m ngày (giờ, phút, …) Hỏi làm để hồn thành cơng việc người ngày (giờ, phút, …)? Phương pháp giải x, y Gọi thời gian người I, người II làm xong công việc Điều kiện: x>0 y>0 , (ngày) Suy ngày người I làm x , người II làm (lượng công việc) k y k x k y * ngày người I làm , người II làm (lượng cơng việc) Do hai người làm chung sau k ngày xong cơng việc nên ta có phương trình: k k + =1 x y (1) * Vì làm người thứ hồn thành cơng việc nhanh người thứ hai m ngày nên ta có phương trình y=x+m (2) Thay (2) vào (1) ta phương trình * Đưa (3) phương trình bậc hai, giải k k + =1 x x+m x (3) , đối chiếu điều kiện trả lời tốn Ví dụ Hai người thợ làm chung công việc xong Nếu họ làm riêng người thứ hồn thành cơng việc nhanh người thứ hai Hỏi làm riêng người cần để xong cơng việc đó? Lời giải Gọi thời gian người I, người II làm xong cơng việc Điều kiện: x>0 y>0 , x y , (ngày) Suy người I người II làm x y (lượng công việc) 1 1 6 + ÷ x y * hai người làm (lượng công việc) Do hai người làm xong cơng việc nên ta có phương trình: 1 1 1  + ÷= ⇔ + = x y  x y (*) * Vì làm người thứ hồn thành cơng việc nhanh người thứ hai nên ta có phương trình y = x+5 , thay vào (*), ta được: 1 x+5+ x 2x + + = ⇔ = ⇔ = x x+5 x( x + 5) x + 5x ⇔ x + x = 12 x + 30 ⇔ x − x − 30 = ∆= Có ( −7 ) – 4.1 ( −30 ) = 169 > ⇒ ∆ = 13 ± 13 x =  ⇒ x = −3 nên x = 10 ⇒ y = 15 (loại), (thoả mãn điều kiện) Vậy, làm để xong công việc, người I cần 10 giờ, người II cần 15 Ví dụ Hai vịi nước chảy vào bể cạn sau 20 phút đầy bể Nếu để chảy vịi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hãy tính thời gian vịi chảy đầy bể Lời giải Gọi thời gian vịi I, vịi II chảy đầy bể x, y (giờ) Điều kiện: x > 0, y > Suy vòi I vòi II chảy = * 20 phút hai vòi chảy x y (bể) 41   + ÷ 3 x y  (bể) Do hai vòi chảy sau 20 phút đầy bể nên ta có phương trình 41  1  + ÷ = ⇔ + = 3 x y x y (*) * Vì chảy đầy bể vịi I nhanh vịi II nên ta có phương trình y = x + , thay vào (*), ta 1 x+2+ x 2x + + = ⇔ = ⇔ = x x+2 x ( x + 2) x + 2x  ⇔ 3x + 6x = 8x + ⇔  3x – 2x – = ∆’ = Có ( −1) – ( −8 ) = 25 > 0 ⇒ ∆ ' = 1± x =  ⇒ x = −  3 nên x = ⇒  y = (loại), (thỏa mãm điều kiện) Vậy chảy để đầy bể, vòi I cần giờ, vòi II cần DẠNG 4: TỐN CĨ NỘI DUNG HÌNH HỌC Dạng ta cần ghi nhớ công thức chu vi, diện tích hình tam hình vng, hình chữ nhật, Ví dụ Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28 mét đường chéo 10 mét Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất theo đơn vị mét Lời giải Gọi chiều dài chiều rộng mảnh đất x, y (m) Điều kiên: x > 0, y >0, x > y Do chu vi mảnh đất 28 m nên ta có phương trình ( x + y ) = 28 ⇒ x + y = 14 ⇔  y = 14 – x     (1) x + y = 10 Vì độ dài đườngchéo 10 m nên theo định lý Pylago, ta có: (2) 2 x + ( l4 − x ) = 100 ⇔ x − 14x + 48 = Thay (1) vào (2) ta  ⇔ x − 6x − 8x + 48 = 0 ⇔ x ( x − ) − ( x − ) = 0 ⇔ ( x − ) ( x − ) = x − = x = ⇒ y = ⇔ ⇔ x − = x = ⇒ y = Kết hợp với điều kiện ta x = 8, y = Vậy chiều dài chiều rộng mảnh đất m 6m Ví dụ Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 200 m Sau người ta làm lối rộng 2m xung quanh vườn (thuộc đất vườn) phần đất cịn lại để trồng hình chữ nhật có diện tích 2016 m2 Tính kích thước khu vườn lúc đầu Lời giải Chiều rộng Chiều dài Diện tích Ban đầu x y xy Sau x-4 y-4 (x-4)(y-4) Gọi chiều dài chiều rộng khu vườn x, y (m) Điều kiên: x > 0, y >0, x > y * Do khu vườn lúc đầu có chu vi 200m nên ta có phương trình ( x + y ) = 200 ⇔ y = 100 – x (1) Sau làm lối rộng 2m xung quanh vườn chiều rộng x – (m) chiều ( x − ) ( y − ) = 2016 dài y – (m) nên diện tích ( x − ) ( 96 − x ) = 2016 ⇔ x – 100x + 2400 = Thay (1) vào (2) ta ⇔  x – 40x – 60x + 2400 = ⇔  x ( x − 40 ) – 60 ( x − 40 ) = (2)  x − 40 =  x = 40 ⇒ y = 60 ⇔  ( x − 40 ) ( x − 60 ) = ⇔  ⇔  x − 60 =  x = 60 ⇒ y = 40 Kết hợp điều kiện ta x = 40, y = 60 Vây khu vườn lúc đầu có chiều rộng chiều dài 40 m 60 m HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỰNG TRONG CHỦ ĐỀ I GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h đến B sớm so với dự định, vận tốc giảm 10 km/h đến B muộn so với dự định Tính qng đường AB Bài Một ca nơ chạy khúc sơng, xi dịng 20 km ngược dòng 18km hết 25 phút Lần khác, ca nơ xi dịng 15km ngược dịng 24 km hết 30 phút Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước, biết vận tốc khơng đổi Bài Để hồn thành cơng việc theo dự định cần số công nhân làm số ngày định Nếu tăng thêm 10 cơng nhân cơng việc hoàn thành sớm ngày Nếu bớt 10 cơng nhân phải thêm ngày hồn thành cơng việc Hỏi theo dự định cần công nhân làm ngày? Bài Hai người thợ làm công việc 30 phút xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm tổng số họ làm 50% công việc Hỏi người làm cơng việc xong? Bài 5.Hai người thợ làm công việc sau 40 phút hồn thành Nếu người thứ làm sau người thứ hai vào làm 40 phút hồn thành Hỏi người làm cơng việc xong? Bài Hai vòi nước chảy vào bể cạn sau đầy bể Nếu mở vịi I 45 phút khoá lại mở vịi II 30 phút hai vịi chảyđược bể Hỏi vòi chảy riêng đầy bể bao lâu? Bài Hai vòi nước chảy vào bể cạn sau đầy bể Cùng khố vịi I lại vịi II phải chảy thêm 12 đầy bể Hỏi vòi chảy riêng đầy bể bao lâu? Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số 14 đổi chỗ hai chữ số số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Bài Cho số tự nhiên có hai chữ số Biêt tổng chữ số hàng chục hai lần chữ số hàng đơn vị 12 Nếu thêm số vào hai chữ số ta đượcmột sơ có ba chữ sơ lớn sơ ban đầu 180 đơn vị Tìm sơ ban đầu Bài 10 Cho số tự nhiên có hai chữ số Biết tổng hai chữ số Nếu lấy số chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thương dư 18 Tìm số ban đầu Bài 11 Theo kế hoạch, hai tổ sản suất phải làm 700 sản phẩm Nhưng tổ I làm vượt mức 15% so với kế hoạch, tổ II làm vượt mức kế hoạch 20% nên hai tổ làm 820 sản phẩm Tính số sản phẩm tổ phải làm theo kế hoạch Bài 12 Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10, hai trường A B có 840 học sinh thi đỗ vào lớp 10 công lập đạt tỉ lệ thi đỗ 84% Riêng trường A tỉ lệ thi đỗ 80%, riêng trường B tỉ lệ thi đỗ 90% Tính số học sinh dự thi trường Bài 13 Một khu vườn hình chữ nhật Nếu tăng cạnh thêm 4m diện tich mảnh vườn tăng thêm 216m Nếu chiều rộng tăng thêm 2m chiều dàigiảm 5m diện tích mảnh vườn giảm 50m Tính độ đài cạnh khu vườn Bài 14 Trong phịng họp hình chữ nhật, ghế xếp theo hàng số ghế hàng Nếu kê bớt hàng hàng bớt ghế tổng số ghế phịng họp giảm 80 ghế so với ban đầu Nếu kê thêm hàng hàng kê thêm ghế tổng số ghế phịng họp tăng thêm 68 ghế so với ban đầu Tính số hàng ghế số ghế phịng họp lúc ban đầu II GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài Một người xe đạp từ A đến B cách 24 km Khi từ B trở A người tăng vận tốc lên km/h so với lúc đi, thời gian thờigian 30 phút Tính vân tốc xe đạp từ A đến B Bài Quãng đường từ A đến B dài 90km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B, người nghỉ 30 phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc lúc (km/h) Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở đến A Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B Bài Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 60km thời gian định Sau 30km người dừng lại nghỉ 30 phút Do đó, để đến B thời gian dự định người phải tăng vận tốc thêm 2km/h Tính vận tốc dự định người Bài Một ô tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian quy định Sau tơ bị chặn xe cứu hỏa 10 phút Do để đến B hạn xe phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc lúc đầu tơ Bài Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau chạy xi dịng 48km dịng sơng có vận tốc dịng nước 2km/h Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dịng Bài Lúc 30 sáng, ca nơ xi dịng từ A đến B dài 48km Khi đến B, ca nơ nghỉ 30 phút sau lại ngược dòng từ B đến A lúc 10 36 phút ngày Tìm vận tốc riêng ca nơ, biết vận tốc dịng nước km/h Bài Một phân xưởng theo kế hoạch cần sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hồn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch ngày phân xưởng cần sản xuất sản phẩm? Bài Một đội xe dự định dùng số xe loại để chở 60 hàng Lúc khởi hành có xe phải điều làm việc khác nên tham gia chở hàng Vì xe cịn lại phải chở nhiều dự định hàng Tính số xe theo dự định đội đó, biết xe chở khối lượng hàng Bài Mỗi tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm thời gian quy định với suất Sau làm 400 sản phẩm, tổ tăng suất thêm ngày 10 sản phẩm, hồn thành cơng việc sớm ngày Tính số sản phẩm ngày theo quy định Bài 10 Một người thợ làm 120 sản phẩm thời gian suất dự định Khi làm 50 sản phẩm, người thợ nhận thấy làm với suất thấp suất dự định sản phẩm ngày Do để hồn thành thời gian định, người thợ tăng suất thêm sản phẩm ngày so với dự định Tính suất dự định người thợ Bài 11 Hai người thợ làm chung cơng việc xong Nếu họ làm riêng người thứ hồn thành cơng việc nhanh người thứ hai Hỏi làm riêng người cần để xong cơng việc đó? Bài 12 Hai vịi nước chảy vào bể cạn sau 20 phút đầy bể Nếu để chảy vịi thứ chảy nhanh vòi thứ hai Hãy tính thời gian vịi chảy đầy bể Bài 13 Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28 mét độ dài đường chéo 10 mét Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất theo đơn vị mét Bài 14 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 200m Sau người ta làm lối rộng 2m xung quanh vườn (thuộc đất vườn) phần đất cịn lại để trồng hình chữ nhật có diện tích 2016m2 Tính kích thước khu vườn lúc đầu