PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐỂ TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRUNG HỌC CƠ SỞ

Môn Toán học là một môn quan trọng chủ yếu đối với sự phát triển của môn học khoa học khác như: Vật lý, Hoá học, Sinh học, Ngôn ngữ học, Tâm lý giáo dục học... Toán học cùng với các nghành khoa học khác quan hệ mật thiết với nhau và cùng nhau phát triển. Vì vậy nó được đưa ngay từ lớp 1 và theo đuổi con người cho tới khi ngừng học. Vì tầm quan trọng của môn Toán học như vậy nên nó cần phải được quan tâm cả về nội dung hình thức và phương pháp giảng dạy.Vị trí của môn học trong hệ thống chương trình sách nói lên tầm quan trọng của nó trong việc giáo dục tính sáng tạo, kĩ năng tổng hợp, phân tích, khả năng giải quyết vấn đề cho học sinh. Có nhiều HS thắc mắc không hiểu tại sao nghe thầy, cô giáo giải bài tập và chứng minh định lí, cũng như các em tự đọc chứng minh định lí trong sách em thấy dễ hiểu lắm nhưng em không sao giải được bài tập cũng như chứng minh lại một định lí, nếu không học thuộc lòng cách chứng minh đó. Tại sao?Quả đúng là nghe hoặc đọc một bản chứng minh không khó vì bản chứng minh được trình bày theo một trật tự lô gíc, từ một cái đúng này đến cái đúng khác rất hợp lí, với những lí lẽ rất xác đáng, làm cho người nghe, người đọc phải chấp nhận, không thắc mắc vào đâu được. Do vậy cái lập luận lô gíc đó nhẹ nhàng dẫn dắt người nghe dần dần đến một kế luận tất yếu phải thừa nhận.Nhưng làm sao biết được cái trật tự lô gíc ấy để trình bày? Cái khó chính là chỗ đó. Trong mớ bòng bong những quan hệ chằng chịt giữa các yếu tố trong bài toán, làm sao phát hiện được đầu mối, cái nút nằm ở đâu để tháo gỡ. Mà muốn tháo gỡ cũng phải biết lập luận thật lô gíc. Cái lập luận có trật tự lô gíc ấy không phải bỗng nhiên mà có, mà là hình thành trong quá trình nghiên cứu có phương pháp. Một trong những phương pháp nghiên cứu giúp ta đi đúng đường , tìm được lời giải là phương pháp suy luận, phân tích mà học sinh nên cố gắng học hỏi để tự rèn luyện hay đúng hơn là khổ luyện. Tất cả đều do rèn luyện mà có. đối với Toán học nói chung và hình học nói riêng cũng vậy, không có con đường nào khác ngoài rèn luyện, rèn luyện có phương pháp.

BÁO CÁO KẾT QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN PHÂN TÍCH ĐỂ TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRUNG HỌC CƠ SỞ

Mục lục

Trang Phần I: Phần mở đầu

Phần II: Nội dung của đề tài

I) Một số đặc điểm của sách giáo khoa toán THCS (Phần hình học) 05

III)Phương pháp suy luận phân tích để tìm lời giải bài toán hình học 06IV) Sử dụng suy luận phân tích để khai thác mở rộng bài toán mới từ

bài toán ban đầu

10

Phương pháp suy luận phân tích để tìm lời giải bài toán hình học

trung học cơ sở Phần I: Phần mở đầu

1/ Lý do chọn đề tài:

Môn Toán học là một môn quan trọng chủ yếu đối với sự phát triển củamôn học khoa học khác như: Vật lý, Hoá học, Sinh học, Ngôn ngữ học, Tâm lý

giáo dục học Toán học cùng với các nghành khoa học khác quan hệ mật thiếtvới nhau và cùng nhau phát triển Vì vậy nó được đưa ngay từ lớp 1 và theo đuổicon người cho tới khi ngừng học Vì tầm quan trọng của môn Toán học như vậynên nó cần phải được quan tâm cả về nội dung hình thức và phương pháp giảngdạy.

Vị trí của môn học trong hệ thống chương trình sách nói lên tầm quantrọng của nó trong việc giáo dục tính sáng tạo, kĩ năng tổng hợp, phân tích, khảnăng giải quyết vấn đề cho học sinh

Có nhiều HS thắc mắc không hiểu tại sao nghe thầy, cô giáo giải bài tập vàchứng minh định lí, cũng như các em tự đọc chứng minh định lí trong sách emthấy dễ hiểu lắm nhưng em không sao giải được bài tập cũng như chứng minhlại một định lí, nếu không học thuộc lòng cách chứng minh đó Tại sao?

Quả đúng là nghe hoặc đọc một bản chứng minh không khó vì bản chứngminh được trình bày theo một trật tự lô gíc, từ một cái đúng này đến cái đúngkhác rất hợp lí, với những lí lẽ rất xác đáng, làm cho người nghe, người đọc phảichấp nhận, không thắc mắc vào đâu được Do vậy cái lập luận lô gíc đó nhẹnhàng dẫn dắt người nghe dần dần đến một kế luận tất yếu phải thừa nhận

Nhưng làm sao biết được cái trật tự lô gíc ấy để trình bày? Cái khó chính

là chỗ đó Trong mớ bòng bong những quan hệ chằng chịt giữa các yếu tố trongbài toán, làm sao phát hiện được đầu mối, cái nút nằm ở đâu để tháo gỡ Màmuốn tháo gỡ cũng phải biết lập luận thật lô gíc Cái lập luận có trật tự lô gíc ấykhông phải bỗng nhiên mà có, mà là hình thành trong quá trình nghiên cứu cóphương pháp Một trong những phương pháp nghiên cứu giúp ta đi đúngđường , tìm được lời giải là phương pháp suy luận, phân tích mà học sinh nên

cố gắng học hỏi để tự rèn luyện hay đúng hơn là khổ luyện Tất cả đều do rènluyện mà có đối với Toán học nói chung và hình học nói riêng cũng vậy, không

có con đường nào khác ngoài rèn luyện, rèn luyện có phương pháp

Cùng một vấn đề có thể phân tích theo nhiều cách khác nhau từ đó cónhiều cách chứng minh khác nhau Cho nên sau mỗi bài phân tích học sinh tựhỏi có thể phân tích khác không, đừng bao giờ tự bằng lòng với một cách phân

tích Với hy vọng đóng góp một phần nào đó có ích cho công cuộc giảng dạy,giúp cho học sinh không còn cảm thấy quá sợ phân môn hình học ở THCS Tôimạnh dạn viết chuyên đề này với mong muốn đóng góp một phần nhỏ cho giáoviên và học sinh yêu thích say mê với môn toán.

2/ Mục đích nghiên cứu:

- Giúp giáo viên hiểu được tầm quan trọng của việc sử dụng phương phápsuy luận phân tích trong việc dạy học hình học ở trung học cơ sở

- Rèn luyện phương pháp tư duy cho học sinh

- Đề xuất cách giải, khai thác mở rộng bài toán hình học

3/ Đối tượng nghiên cứu:

- Một số bài toán hình học THCS

4/ Nhiệm vụ nghiên cứu:

Xuất phát từ việc dạy toán và học toán hiện nay chuyên đề nhằm:

- Giúp giáo viên và học sinh thấy được tầm quan trọng của phương phápsuy luận phân tích trong việc tìm lời giải bài toán hình học

- Đưa ra một số ví dụ minh hoạ nhằm định hướng lời giải bài toán hìnhhọc một cách tự nhiên và lo gic

5/Phạm vi và giới hạn nghiên cứu:

5.1/ Phạm vi nghiên cứu:

Sử dụng suy luận phân tích để chứng minh các định lý và bài toán hình học thcs

6/ Phương pháp nghiên cứu đề tài:

- Chọn một số bài toán mẫu

- Khai thác mở rộng bài toán

Phần II: Nội dung của đề tài

Cơ sở của đề tài A/ Cơ sở lý luận:

I/ Một số đặc điểm của sách giáo khoa toán THCS ( Phần Hình học):

Được viết căn cứ vào chương trình môn toán THCS của Bộ Giáo dục Đào tạo ban hành ngày 24/01/2002 Sách toán THCS đó lôi cuốn các em học

-sinh vào một cuộc tìm tòi, khám phá những kiến thức toán học bổ ích, lý thú,những kiến thức có nhiều ứng dụng trong thực tế và ứng dụng vào việc học tậpcác môn học khác.

- Về hình học các kiến thức được trình bày theo con đường kết hợp trựcquan và suy diễn Bằng đo đạc, vẽ hình, gấp hình, quan sát, suy luận, phântích… học sinh dự đoán các sự kiện hình học và tiếp cận với các định lí

- Yêu cầu về tập dượt suy luận, chứng minh tăng dần qua các chương ởphần hình học 7

Chương III: Hầu hết các định lí được chứng minh hoặc gợi ý chứng minh

Từ hai định lí về sự đồng quy của 3 đường trung tuyến và của 3 đường cao.SGK Toán 7 tiếp tục bổ sung những kiến thức mở đầu hình học đã được giớithiệu ở lớp 6 đó là khái niệm về hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳngsong song, quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của hai đường thẳng.Tiên đề Ơcơlít về đường thẳng song song Tiếp đó sách hướng dẫn học sinh đocác góc của 1 số tam giác, cắt ghép hình

Phần bài tập cho học sinh thực hành ở từng tiết học, lí thuyết thường chỉ

có hai bài, các bài tập trong mỗi tiết luyện tập thường không quá ba bài Bài tập

Chương IV: Có 59 bài tập Nhiều bài tập tương tự được lặp đi lặp lại Do

đó có thể giảm bớt các bài tập sau: 4, 8, 12, 18, 24, 26,29, 31, 46, 55, 58

II/ Suy luận chứng minh trong toán học :

a/Suy luận: Suy luận là hình thức của tư duy nhờ đó rút ra phán đoán mới

từ một hay nhiều phán đoán theo các quy tắc lô gíc xác định Bất kì suy luận nàocũng gồm tiền đề, kết luận và lập luận Tiền đề ( còn gọi là phán đoán xuất phát)

là phán đoán mà từ đó rút ra phán đoán mới Kết luận là phán đoán mới thuđược bằng con đường lô gíc từ cái tiên đề cách thức lô gíc rút ra kết luận từ tiền

đề gọi là lập luận Căn cứ vào cách thức lập luận, suy luận được chia thành suyluận suy diễn( suy diễn) và suy luận quy nạp(quy nạp) Suy diễn là suy luậntrong đó lập luận đi từ cái chung đến cái riêng cái đơn nhất Quy nạp là suy luậntrong đó lập luận đi từ cái riêng, cái đơn nhất đến cái chung Suy diễn còn cónhiều suy diễn trực tiếp và suy diễn gián tiếp Suy diễn trực tiếp là suy diễntrong đó kết luận được rút ra từ một phán đoán xuất phát dựa vào sự biến đổicủa phán đoán ấy hoặc dựa trên cơ sở của các quy tắc tương quan giữa tính chânthực và tính giả dối của phán đoán Suy diễn gián tiếp là suy diễn trong đó kếtluận được suy ra từ hai hay nhiều phán đoán có mối quan hệ lô gíc với nhau

b/Chứng minh

Chứng minh là thao tác lô gíc …… để lập luận chính chân thực của phánđoán nào đó nhờ các phán đoán chân thực khác có mối liên hệ hữu cơ với phánđoán ấy Chứng minh bao gồm 3 thành phần liên quan chặt chẽ với nhau: luận

đề, căn cứ, luận chứng ( lập luận) Luận đề là phán đoán mà tính chân thực của

nó cần phải chứng minh Nó là thành phần chủ yếu của chứng minh và trả lờicâu hỏi: chứng minh là cái gì, luận đề có thể là các luận điểm lí luận khoa học,

…….có thể là các phán đoán về thuộc tính về quan hệ hay vì nguyên nhân tồntại của sự vật và hiện tượng nào đó Luận cứ là các luận điểm lí luận khoa họchay thực tế chân thực dùng để chứng minh luận đề Luận cứ có chức năng là tiền

đề lô gíc của chứng minh và trả lời câu hỏi: dùng cái gì để chứng minh? Luận cứ

có thể là các luận điểm tin cậy về các sự kiện có thể là định nghĩa, tiên đề, cácluận điểm khoa học đủ được chứng minh Luận chứng của chứng minh là mốiliên hệ lô gíc giữa luận cứ và luận đề Đây là quá trình chuyển từ cái đã biết tớicái chưa biết theo một trình tự lô gíc xác định Quá trình này được thực hiệntheo những quy luật và quy tắc của lô gíc học Người ta chia chứng minh thànhchứng minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp Chứng minh trực tiếp là chứngminh trong đó tính chân thực của luận đề được trực tiếp rút ra từ các luận cứ.Chứng minh gián tiếp là chứng minh trong đó tính chân thực của luận đề đượcrút ra trên cơ sở lập luận tính giả dối của phản luận đề

III/ Phương pháp suy luận phân tích tìm lời giải bài toán ( còn gọi là phương pháp đi ngược )

Xuất phát điểm của phương pháp phân tích để tìm lời giải bài toán và kếtluận của bài toán có thể là điều phải tìm trong bài toán tìm tòi , hay điều phảichứng minh trong bài toán chứng minh.Người ta thường giả thiết rằng kết quả

đó là tồn tại và đi theo hai hướng

Hướng thứ nhất là đi tìm điều kiện để đi đến nó là gì ? Cứ từng bước đi ngượcnhư thế cho đến khi gặp các dữ kện đã biết , tức là từ “ cái cần tìm’’ từng bướctìm được “cái đã biết ’’

Phép phân tích trong trường hợp này gọi là phép phân tích đi lên và có mô

tả đơn giản bằng sơ đồ :

1  2

2 1

X là kết luận , B là giả thiết hay điều đã biết

Hướng thứ hai đi từ hệ quả logic của nó Phương pháp phân tích trongtrường hợp này gọi là phương pháp phân tích đi xuống và có thể diễn tả bằng sơđồ:

1  2

2 1

mà khoảng cách từ X đến B rất gần chỉ một vài bước giải, nhưng cũng có bàitoán mà khoảng này lại rất xa nó không chỉ là một vài bước.Các bài toán trongtrường hợp này rõ ràng là phức tạp hơn các bài toán trước đó Tuy nhiên trongnhiều trường hợp khoảng cách đó lại do người giải toán Chẳng hạn người giảitoán không có định hướng đúng nên sau một số bước bài toán trở nên phức tạphơn, hoặc trở lại bài toán ban đầu Muốn cho định hướng đúng thì phải biết quansát, phân tích các đặc điểm của kết luận mà đề xuất hướng giải Mỗi bước phântích được xem là đúng hướng nếu sau phép phân tích đó giả thiết gần gũi với kếtluận hơn

Ví dụ 1:

Cho tam giác cân ABC (AB < AC), một điểm M trên AB, một điểm N trên

AC sao cho AM = AN Chứng minh rằng giao điểm I của MC với NB ở trênđường trung trực của BC

I

2

1 2

2 2

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

C C

C

B B

) ( ˆ

gt AN AM

gt AC AB

chung A

) ( ˆ

gt AN AM

gt AC AB

chung A

Ví dụ 2:

Cho tam giác có ba góc nhọn và các cạnh không bằng nhau Qua một đỉnhcủa tam giác đó vẽ đường cao; qua đỉnh thứ hai vẽ đường trung tuyến; qua đỉnhthứ ba vẽ đường phân giác Chứng minh rằng nếu ba đường đã vẽ được cắtnhau, tạo thành một tam giác thì tam giác đó là tam giác đều

(Thi vô địch toán Nam Tư, 1998)

E F D 2

0

ˆ ˆ 90 ˆ

B B

 ABC có trung tuyến CI đồng thời là

đường trung trực nên CA = BC, trái với

CA = CB, mâu thuẫn với giả thiết

là các cạnh của

ABC không bằng nhau

Vậy thừa nhận kết luận  DEF là tam giác đều là không đúng

Lưu ý: Có thể phân tích cách khác, thế nào cũng dẫn đến mâu thuẫn.

Phương pháp phân tích được dùng tìm lời giải bài toán trên là phươngpháp phân tích đi xuống có tính chất bác bỏ mệnh đề cần chứng minh Ta cũngcần chú ý rằng phép phân tích đi xuống chỉ được coi là chứng minh ( bác bỏ)trong trường hợp này Nói chung không được lấy điều kiện cần để chứng minhlàm điều kiện đã biết để suy kí Chẳng hạn, muốn chứng minh A > B thì phảichứng minh A.B > 0 Ơ đây không lấy A – B > 0 làm cơ sở để suy diễn, nếukhông sẽ mắc phải sai lầm về mặt lô gic

mới Việc giải bài toán là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việcđộc lập sáng tạo là cơ sở rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề Còn vấn đề sángtạo bài toán mới là hình thành kĩ năng phát hiện vấn đề Làm tốt việc sáng tạobài toán sẽ tạo điều kiện làm tốt việc giải toán Từ đó người giải toán không chỉnắm được các bài toán riêng lẻ mà còn nắm được dưới dạng tổng quát Để làmtốt mặt nàyđòi hỏi người giải toán có sự hiểu biết sâu sắc về bài toán, nắm đượcnguồn gốc của bài toán đoán nhận được quá trình hình thành bài toán

Việc diễn đạt bài toán dưới hình thức khác nhau có ý nghĩa quan trọng rènluyện củng cố tri thức cho học sinh và góp phần bồi dưỡng năng lực suy luậnphân tích cho học sinh thực chất là năng lực nhìn thấy vấn đề mới trong tìnhhuống quen thuộc, phát hiện cấu trúc của đối tượng là phẩm chất cơ bản của

tư duy sáng tạo

Một số con đường đi tới bài toán mới từ bài toán ban đầu:

1/ Từ bai toán ban đầu sử dụng suy luận phân tích để sáng tạo, xây dựngbài toán mới

a/ Thành lập bài toán tương tự

b/ Thành lập bài toán đặc biệt hoá

c/ Thành lập bài toán khái quát hoá

d/ Bài toán ngược

B/ Cơ sở thực tiễn:

Tiến hành nghiên cứu đề tài này nhằm phát huy tích cực cao độ của chủthể học sinh, nhân vật trung tâm trong quá trình dạy học toán nhằm đạt mụctiêu: Rèn luyện có hiệu quả kĩ năng giải bài toán hình học một trong những vấn

đề khó của học sinh …đề tài nhằm giúp cho đội ngũ giáo viên xây dựng quitrình dạy học sinh đại trà cho phù hợp nhất với đối tượng học sinh của mình

* Yêu cầu để đạt được mục đích trên người nghiên cứu phải làm được nhữngyêu cầu sau :

+ Phải lắm được những vị trí ,mục tiêu ,đặc điểm ,chương trình nội dungcủa môn Toán

+ Từ đó tiến hành đề tài giúp toàn thể đội ngũ giáo viên Toán có phươngpháp dạy hợp lí với đối tượng học sinh của mình về bộ môn này

+ Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học nói chung và dạy Toán nóiriêng trong trường thcs, nhằm đáp ứng nhu cầu trong thời đại mới

Một số ví dụ minh hoạ:

Bài toán 1:

Cho một điểm M bất kỳ trong mặt phẳng Chứng ming rằng nếu M cách đều hai mút của một đoạn thẳng AB ( Tức MA = MB) thì M ở trên đường trung trực của đoạn thẳng AB

2 1

Nhứ lại định nghĩa: Đường thẳng

vuông góc với đoạn thẳng tại trung

điểm của nó được gọi là đường trung

trực của đoạn thẳng ấy Vậy nếu H là

trung điểm của AB (AH = HB) thì ta

Mà MH  AB tại trung điểm H của

nó, đúng là đường trung trực của AB

Đủ điều kiện (c.c.c) Suy ra:

0 2

ˆ H 

H

Chú ý: Từ bài toán ta ghi nhớ để sử dụng tính chất quan trọng:

Bất kỳ điểm M nào cách đều hai mút của một đoạn thẳng AB ( tức MA = MB) cũng đều nằm tren đường trung trực của AB.

Bài toán 2:

Cho tam giác ABC (AC < AB) Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE =

AB Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, Cắt BE tại H Chứng minh:

a , BD = DE

b , BE  AD

2 1

2 1 A

B

E C

H D

Bài toán 3: Cho hai đoạn thẳng AB và CD song song và bằng nhau ( B và C ở

cùng phía so với đường thẳng AD)

3 2 1

KL AD // BC, AD = BC

CE // BD; CE = BD

b)Vận dụng kết quả suy ra trên đay để

giải câu thứ 2, với

b)Hai đoạn thẳng CP và BM song song và bằng nhau nên:

MP // BC và MP = BC ( C/m ở bài 3)

mà 2 MN = MPNên 2 MN = BCHay

GT AB = BC ABC = 800

IAC = 100 ; ICA = 300

KL  AIB ?

Chú ý : Đây là bài toán khó Cần vẽ hình chính xác nhằm dễ phát hiện điều cần

phải chứng minh để có hướng phân tích Thí dụ, nhờ hình vẽ tốt ta đoán nhận được tam giác AIB là tam giác cân Góc ở đỉnh bằng 400, vậy góc ở đáy sẽ bằng

700 Ta thử phân tích để c/m điều mình đoán nhận đó

Kẻ đường phân giác BK (K  AC)

của ABC = 800 Do ABC cân nên

BK cũng là đường trung trực của AC

- Kẻ CI cắt BK tại O AIO là góc

ngoài của ACI nên:

AIO = IAC + ICA = 400



Kẻ AO thì ta thấy hình thành hai tam

giác AOB và AOI chung cạnh AO,

Các góc ở B và I đều bằng 400 Vậy:

a)

ABC cân với ABC = 800

Nên BAC = 500 => BAI = 400

Kẻ đường phân giác của góc ABC: ABK = 400

Trong tam giác cân ABC, BK cũng là đường trung trực của AC

Kẻ CI cắt BK tại O Ta có:

AIO = IAC + ICA = 400 = ABK

Kẻ OA Do O  BK là đường trung trực của AC, nên:

OA = OC <=> OAC cân 

OAC = OCA = 300 => OAI = 200

Vậy AO là tia phân giác của BAI Xét CPN và  AMN có: