Dạng toán “Giải bải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” ở chương trình đại số lớp 8, lớp 9 trong trường THCS là một dạng toán tương đối khó đối với học sinh. Do đặc trưng của loại toán này thường là loại toán có đề bài bằng lời văn và thường được kết hợp giữa toán học, lý học và hoá học. Hầu hết các bài toán có dữ liệu giằng buộc lẫn nhau buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được mối liên quan giữa các đại lượng để lập được phương trình hoặc hệ phương trình. Với mong muốn trao đổi với bạn bè đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về dạng toán này, vì thế tôi đã chọn chuyên đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”.
∆' PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG TRƯỜNG THCS PHÚ ĐA BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN MÔN CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: ĐỖ XUÂN TIẾN Tổ chuyên môn: Khoa học tự nhiên Điện thoại: 0911 417 986 Email: tienxuyen2012@gmail.com Phú Đa, tháng 03 năm 2017 MỤC LỤC Tiêu đề A PHẦN MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Thời gian nghiên cứu Địa điểm nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở khoa học I.1 Cơ sở lí luận vấn đề nghiên cứu I.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu II Mô hình nghiên cứu giải pháp II.1 Phương pháp nghiên cứu II.2 Yêu cầu giải toán II.3 Phân loại dạng toán: Giải toán cách lập PT, hệ PT giai đoạn giải toán II.3.1 Phân loại dạng toán II.3.2 Các giai đoạn giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình II.3.3 Một số dạng toán hướng dẫn học sinh giải toán II.3.3.1 Dạng toán liên quan đến số học II.3.3.2 Dạng toán chuyển động: II.3.3.3 Dạng toán suất lao động (tỷ số %) II.3.3.4 Dạng toán công việc làm chung, làm riêng II.3.3.5 Dạng toán tăng giảm, thêm bớt II.3.3.6 Dạng toán có liên quan đến hình học II.3.3.7 Dạng toán có liên quan đến vật lý, hóa học II.3.3.8 Một số toán khác III Kết áp dụng đề tài C PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị Tài liệu tham khảo Trang 4 5 5 5 6 8 12 12 12 13 13 17 22 25 31 33 38 40 42 42 42 43 45 DANH MỤC CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT GV HS THPT PT PPDH KSCL THCS SGK giáo viên học sinh trung học phổ thông phương trình phương pháp dạy học khảo sát chất lượng trung học sở sách giáo khoa DANH MỤC CÁC BIỂU BẢNG Kết khảo sát chất lượng môn trước áp dụng chuyên đề Kết khảo sát chất lượng môn sau áp dụng chuyên đề A PHẦN MỞ ĐẦU Đặt vấn đề: Lý chọn đề tài Sự phát triển khoa học - công nghệ ngày đòi hỏi nguồn lực lao động phải động sáng tạo đáp ứng công nghiệp hóa, đại hóa đất nước Trước thách thức, trước nguy tụt hậu đường phát triển hội nhập cạnh tranh kinh tế tri thức, đòi hỏi phải đổi nội dung PPDH nói chung môn Toán nói riêng nhằm tạo người lao động sáng tạo, linh hoạt đáp ứng phát triển kinh tế xã hội Ở trường trung học sở, dạy toán dạy hoạt động toán học cho học sinh, giải toán đặc trưng chủ yếu hoạt động toán học Để rèn kỹ cho học sinh, việc trang bị tốt kiến thức định nghĩa, định lý, giáo viên cần dạy cho học sinh biết vận dụng kiến thức học vào giải toán Điều giúp cho em củng cố nắm vững kiến thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, ứng dụng toán học vào thực tiễn sống Tổ chức có hiệu việc giải tập toán học góp phần thực tốt mục đích dạy học toán nhà trường đồng thời giữ vai trò định chất lượng dạy học môn Toán Dạng toán “Giải bải toán cách lập phương trình, hệ phương trình” chương trình đại số lớp 8, lớp trường THCS dạng toán tương đối khó học sinh Do đặc trưng loại toán thường loại toán có đề lời văn thường kết hợp toán học, lý học hoá học Hầu hết toán có liệu giằng buộc lẫn buộc học sinh phải có suy luận tốt tìm mối liên quan đại lượng để lập phương trình hệ phương trình Với mong muốn trao đổi với bạn bè đồng nghiệp kinh nghiệm trình giảng dạy dạng toán này, chọn chuyên đề “Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình” Mục đích nghiên cứu Đánh giá thực trạng việc dạy học dạng toán “Giải bải toán cách lập phương trình, hệ phương trình” chương trình đại số lớp 8, lớp trường THCS năm qua Từ đề đưa quy trình thực Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình, phân dạng số ví dụ minh họa Giúp học sinh có nhìn tổng quát dạng toán này, để học sinh sau học xong chương trình toán THCS phải nắm loại toán biết cách giải chúng Rèn luyện cho học sinh khả phân tích, xem xét toán dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải toán; Tạo lòng say mê, sáng tạo, ngày tự tin, không tâm lý ngại ngùng việc giải toán cách lập phương trình Giúp giáo viên tìm phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh làm cho học sinh hứng thú học môn Toán Nhằm nâng cao chất lượng môn Toán nâng cao điểm thi vào lớp 10 THPT Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu dạng toán Giải bải toán cách lập phương trình, hệ phương trình chương trình đại số lớp 8, lớp trường THCS Thời gian nghiên cứu Từ tháng năm 2015 đến tháng năm 2017 Địa điểm nghiên cứu: Trường THCS Phú Đa Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận dạy học - Phương pháp thực nghiệm sư phạm trao đổi với đồng nghiệp thực tế trình giảng dạy - Phương pháp phân tích kết nghiên cứu thông kê toán học B PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở khoa học I.1 Cơ sở lý luận vấn đề nghiên cứu: “Cùng với khoa học công nghệ, giáo dục quốc sách hàng đầu” thể rõ quan điểm, đường lối Đảng Nhà nước ta, khẳng định tầm quan trọng giáo dục đất nước, lẽ giáo dục đóng vai trò định đến thành công công xây dựng đất nước, xây dựng chủ nghĩa xã hội Trong năm gần ngành giáo dục tập trung đạo thực đổi phương pháp dạy học, đổi kiểm tra đánh giá sở bám sát chuẩn kiến thức, kỹ chương trình giáo dục phổ thông tạo chuyển biến nhằm thúc đẩy đổi phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng giáo dục Tuy nhiên việc đổi chưa thực đồng Nâng cao chất lượng mục tiêu trình dạy học Định hướng đổi PPDH trường phổ thông theo luật Giáo dục là: - Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo HS - Bồi dưỡng phương pháp tự học - Rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn - Tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Căn vào mục tiêu GD cấp THCS mở rộng: “Các kiến thức kỹ hình thành củng cố để tạo bốn lực chủ yếu sau: - Năng lực hành động - Năng lực thích ứng - Năng lực sống làm việc - Năng lực tự khẳng định mình” Như dạy học phải ý đến mục đích phát huy vai trò chủ động sáng tạo HS không lĩnh hội kiến thức mà quan trọng phải rèn luyện cho em trở thành người động sáng tạo, có lực tự học, có khả thích ứng nhanh với phát triển xã hội văn minh, khoa học kỹ thuật công nghệ tiên tiến I.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Có thể nói chất lượng môn Toán nhiều trường THCS thấp so với yêu cầu chung Đặc biệt, số trường, chất lượng thấp, có lớp học toán học sinh “ngồi nhầm lớp”, giáo viên đặt câu hỏi gần học sinh lớp cúi mặt xuống sợ bị thầy cô gọi phát biểu ý kiến xây dựng Nguyên nhân: - Trước hết em bị gốc kiến thức (do nhiều nguyên nhân) em có tâm lý sợ học Toán - Một số em lười học, thiếu chuẩn bị dụng cụ học tập dẫn tới không nắm kĩ cần thiết việc học vận dụng vào việc giải dạng tập toán học - Một số em thiếu ý thức tìm tòi, sáng tạo học tập, phấn đấu vươn lên, có thói quen chờ đợi lười suy nghĩ hay dựa vào giáo viên, bạn bè xem lời giải sẵn sách giải cách thụ động Đặc thù riêng dạng toán “Giải bải toán cách lập phương trình, hệ phương trình” hầu hết toán gắn liền với nội dung thực tế Vì mà việc chọn ẩn thường đại lượng có liên quan đến thực tế Do giải toán học sinh thường mắc sai lầm thoát ly khỏi thực tế dẫn đến quên điều kiện ẩn số Học sinh không khai thác hết mối quan hệ giằng buộc thực tế Vấn đề cách xếp bước giải đặt xong ẩn số, em lúng túng đại lượng cần biểu thị trước, đại lượng biểu thị sau Từ lý dẫn đến hầu hết học sinh ngại giải dạng toán Mặt khác trình giảng dạy cho học sinh điều kiện khách quan giáo viên dạy cho học sinh, truyền thụ theo sách giáo khoa mà chưa phân loại dạng toán, chưa khai thác phương pháp giải cho dạng toán; kỹ phân tích, tổng hợp học sinh yếu trình đặt ẩn, tìm mối liên hệ số liệu toán nên HS lúng túng việc giải dạng toán Điều tra cụ thể: Trong trình giảng dạy với ý thức vừa nghiên cứu đặc điểm tình hình học tập môn học sinh, vừa tiến hành rút kinh nghiệm Ngay từ đầu năm học định hướng cho kế hoạch phương pháp cụ thể để chủ động điều tra tình hình học tập học sinh lớp phụ trách Kết điều tra cụ thể sau: Năm học 2015-2016: Lớp TSHS Giỏi Khá T.Bình Yếu 9A 30 SL % 23,3 SL % 26,7 SL 13 % 43,3 SL % 6,7 9B 30 0 13,3 17 56,7 30,0 Khối 60 11,6 12 20,0 30 50,0 11 18,4 Năm học 2016-2017 (KSCL lần 1): Lớp TSHS Giỏi Khá T.Bình Yếu 9A 28 SL % 25,5 SL % 25,5 SL 12 % 42,8 SL % 6,2 9B 27 0 7,4 13 48,1 12 44,5 Khối 55 12,7 16,3 25 45,5 14 25,5 II Mô hình nghiên cứu giải pháp II.1 Phương pháp nghiên cứu - Các giai đoạn nghiên cứu thực chuyên đề: Giai đoạn 1: Nghiên cứu lý thuyết, quan sát, kiểm tra đánh giá Giai đoạn 2: Biện pháp thực - Dựa vào phân phối chương trình chung Bộ giáo dục - Đào tạo ban hành chương trình toán THCS với nội dung: Phương trình hệ phương trình - Từ muốn giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình điều quan trọng phải biết diễn đạt mối liên hệ toán thành quan hệ toán học Do nhiệm vụ người thầy phải dạy cho học sinh cách dẫn giải tập Vì hướng dẫn cho học sinh học giải dạng toán cách lập PT, hệ PT phải dựa nguyên tắc sau: + Yêu cầu giải toán + Quy tắc giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình + Phân loại dạng toán dựa vào trình biến thiên đại lượng (tăng giảm, thêm bớt…) + Làm sáng tỏ mối quan hệ đại lượng dẫn đến lập PT, hệ PT dễ dàng - Phương pháp hướng dẫn học sinh giải toán dựa vào quy tắc chung: giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình: Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) + Chọn ẩn, tìm đơn vị điều kiện thích hợp cho ẩn + Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn theo đại lượng biết + Dựa vào mối liên hệ đại lượng toán để lập PT (hệ PT) Bước 2: Giải PT hệ PT (Chọn cách giải cho phù hợp) Bước 3: Nhận định kết trả lời 10 Từ (1) (2) ta có hệ PT: 1 + = x y 12 = y 3,5 Giải hệ ta x = 28 ( TMĐK) y = 21 Vậy đội I làm 28 ngày xong công việc, đội II làm 21 ngày xong công việc * Sai lầm thường gặp: - Chọn ẩn không đầy đủ không rõ ràng - Đặt điều kiện cho ẩn chưa không đầy đủ - Không kiểm tra nghiệm tìm với điều kiện đặt trước trả lời toán dẫn đến kết luận sai thiếu thừa * Nhận xét: - Cần làm cho học sinh thấy rõ quan hệ thời gian suất làm việc: Nếu công việc làm x ngày (giờ) ngày (giờ) làm x (công việc) - Ở dạng toán thường nên chọn lập hệ PT việc suy luận giải hệ PT đơn giản Một số tập vận dụng 1) Hai vòi nước chảy vào bể sau đầy bể Mỗi lượng nước vòi I chảy lượng nước chảy vòi II Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể? 2) Hai tổ làm chung công việc hoàn thành sau 15 Nếu tổ I làm giờ, tổ II làm 30% công việc Hỏi làm riêng tổ hoàn thành bao lâu? 31 II.3.3.5 Dạng toán tăng giảm, thêm bớt Phương pháp giải: - Đại lượng tỉ lệ thuận; tỉ lệ nghịch, … Thường phân tích tìm lời giải cách lập bảng phân tích Bài toán 1: Một đội công nhân hoàn thành công việc với mức 420 ngày công thợ Hãy tính số công nhân đội, biết đội tăng thêm người số ngày hoàn thành công việc giảm ngày * Lời giải thiếu đơn vị biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn: Gọi số công nhân đội x (người), ( x ∈ N ) * Sau tăng người đội có x+5 Số ngày hoàn thành công việc với x người 420 420 Số ngày hoàn thành công việc với x+ người x + … * Lời giải đầy đủ: Gọi số công nhân đội x (người), ( x ∈ N ) * Sau tăng người đội có x+5 (người) Số ngày hoàn thành công việc với x người 420 (ngày) 420 Số ngày hoàn thành công việc với x+ người x + (ngày) 420 420 − =7 Theo đầu ta có PT: x x + Giải PT ta x1 = 15 (TMĐK); x2 = - 20 (loại) Vậy số công nhân đội 15 người Bài toán 2: Một đội xe cần trở 120 hàng Khi làm việc xe cần điều nơi khác xe phải chở thêm 16 hàng Hỏi lúc đầu đội có xe 32 * Phân tích tìm lời giải: Ta có bảng sau: Dự định Số xe x Số hàng ( tấn) 120 Thực tế x–2 120 Số hàng xe chở ( tấn) * Lời giải điều kiện chưa chặt: Gọi số xe đội lúc đầu x ( xe), (x ∈ N ) * 120 Theo dự định xe phải chở x (tấn hàng) Số xe thực tế x - (xe) … * Lời giải đầy đủ: Gọi số xe đội lúc đầu x (xe), ( x ∈ N ; x > ) 120 Theo dự định xe phải chở x (tấn hàng) Số xe thực tế x - ( xe) 120 Khi xe phải chở x − (tấn hàng) 120 120 − = 16 Theo đầu ta có PT: x − x x - 2x - 15 = Giải PT ta x1 = -3 ( loại), x2 = ( TMĐK) Vậy lúc đầu đội có xe Một số tập vận dụng 33 120 x 120 x−2 1) Lớp 9A phân công trông 480 xanh Lớp dự định chia cho số học sinh, lao động có bạn vắng nên bạn có mặt phải trông thêm xong Tính số học sinh lớp 9A? 2) Một đội xe theo kế hoạch phải vận chuyển 150 hàng Nhưng đến lúc làm việc phải điều xe làm nhiệm vụ khác nên số xe lại phải trở thêm 10 hàng hết số hàng 3) Một phòng họp có 360 ghế xếp thành hàng hàng có số ghế ngồi Nhưng số người đến dự họp 400 người nên phải kê thêm hàng hàng phải kê thêm ghế đủ chỗ Tính xem lúc đầu hàng có hàng ghế dãy ghế II.3.3.6 Dạng toán có liên quan đến hình học Phương pháp giải: Công thức tính chu vi diện tích hình: hình tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình thang… + Chu vi hình tổng độ dài cạnh + Diện tích tam giác tính theo công thức: S = a.h Trong đó: S diện tích a độ dài đáy h chiều cao tương ứng + Diện tích hình tam giác vuông nửa tích hai cạnh góc vuông … Bài toán 1: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m Người ta làm lối xung quanh vườn ( thuộc đất vườn) rộng 2m Tính kích thước vườn, biết diện tích đất lại vườn để trồng trọt 4256m2 34 * Phân tích tìm lời giải Khi làm lối xung quanh vườn diện tích phần đất lại hình chữ nhật A B 2m 2m 4256 D * Lời giải tìm điều kiện, suy luận chưa sai dẫn đến lập PT sai: Nửa chu vi cuả khu vườn 280: = 140(m) Gọi độ dài cạnh vườn x (m), (05) Thì chiều cao tam giác ban đầu x (cm), 3 x x x diện tích tam giác ban đầu ( ) : = ( cm2) x+3 Khi tăng chiều cao lên 3cm chiều cao (cm) 37 Khi giảm cạnh đáy 5cm đáy x - (cm) x + ( x − 5) : Diện tích tam giác ( cm2) ⋅ x x + ( x − 5) : Theo đầu ta có PT: = 10 x - 10x - 200 = ' = (-5)2 - 1(-200) = 25 + 200 = 225 > 0, ∆ = 15 PT có nghiệm phân biệt + 15 x1 = = 20 (TMĐK) x2 = = -10 ( loại) Vậy cạnh đáy tam giác ban đầu 20 cm Chiều cao tam giác ban đầu 20 = 15 (cm) * Nhận xét: Ở dạng toán liên quan đến hình học cần làm cho học sinh liên hệ tính chất cuả hình vào toán Tốt nên cho học sinh vẽ hình minh họa dựa hình vẽ để phân tích kiện mà đề cho Một số tập vận dụng 1) Cạnh huyền tam giác vuông 13cm Nếu tăng cạnh góc vuông thứ 1cm giảm cạnh góc vuông thứ hai 2cm diện tích không đổi Tìm độ dài hai cạnh góc vuông (Đề thi thử lớp 10 lần năm học 2016-2017 huyện Vĩnh Tường) 2) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng Nếu tăng chiều rộng thêm 2m diện tích tăng thêm 60m Tính kích thước mảnh đất lúc đầu 38 3) Cho hình chữ nhật, Nếu tăng độ dài cạnh lên 1cm diện tích tăng thêm 13cm2 Nếu giảm chiều dài 2cm, chiều rộng 1cm diện tích giảm 15cm2, Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật cho II.3.3.7 Dạng toán có liên quan đến vật lý, hóa học Phương pháp giải: - m Khối lượng riêng chất tính theo công thức D = V Trong đó: - m khối lượng (kg) V thể tích vật (m3) D khối lượng riêng (kg/m3) Công thức tính nồng độ phần trăm: C% = 100% Bài toán 1: Người ta hòa g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 200kg/m3 để hỗn hợp có khối lượng riêng 700kg/m Tìm khối lượng riêng chất lỏng * Phân tích tìm lời giải m Khối lượng riêng chất tính theo công thức D = V Trong đó: m khối lượng (kg) V thể tích vật (m3) D khối lượng riêng (kg/m3) Giải: Gọi khối lượng riêng chất thứ x ( kg/m3), (x>200) Thì khối lượng riêng chất thứ x - 200 ( kg/m3) 0,008 Thể tích chất thứ là: x (m3) 0,006 Thể tích chất thứ hai là: x − 200 (m3) 39 0,008 + 0,006 700 Thể tích hỗn hợp chất lỏng là: (m3) Vì trước sau trộn tổng thể tích hai chất không đổi, ta có PT: 0,008 0,006 0,008 + 0,006 + 700 x x − 200 = Giải PT ta x1 = 800 (TMĐK) x2 = 100 ( không TMĐK) Vậy khối lượng riêng chất thứ 80kg/m3 Khối lượng riêng cuả chất thứ hai 800 - 200 = 600 kg/m2 Bài toán 2: Một vật hợp kim đồng kẽm có khối lượng 124 (g) tích 15cm3 Tính xem có gam đồng gam kẽm, biết 89 gam đồng tích 10cm3 gam kẽm tích 1cm3 Giải Gọi số gam đồng có hợp kim x (g), (0