Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn lại.. Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 10 km
Trang 1Chuyên Đề
Giải toán bằng cách lập hệ phơng trình:
A Tóm tắt lí thuyết;
B
ớc 1
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết
- Từ đó lập hệ phơng trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại lợng
B
ớc 2 Giảỉ hệ phơng trình, phơng trình thu đợc.
B
ớc 3(Trả lời) Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phơng trình, phơng trình nghiệm nào
thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi trả lời
Các bài toán giải bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình ngòai các bớc cơ bản đã học trong chơng trình cần nhớ thêm:
- Khi đặt ẩn cần có đơn vị và điều kiện của ẩn.
- Đại lợng nào đặt ẩn thì coi nh đã biết.
Dạng 1: Các bài toán chuyển động
- Với bài toán chuyển động cần nhớ chỉ có mối quan hệ 3 đại lợng S, v, t với công thức S
= v.t
- Bài toán chuyển động thông thờng gồm có hai chuyển động hoặc hai giai đọan của cùng một chuyển động
- Khi giải bài toán này cần điền đầy đủ các đại lợng ( kể cả đại lợng cha biết đã đặt là
ẩn ) trong quan hệ S =v.t và từ mối quan hệ đã cho sẽ có phơng trình, hệ phơng trình
• Chú ý: Xuôi dòng nớc hoặc xuôi gió thì cộng vận tốc còn ngợc thì trừ vận tốc:
VD:
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ Tính vận tốc mỗi
xe ô tô
Hửụựng daón : Goùi vaọn toỏc cuỷa oõtoõ thửự nhaỏt laứ x (km/h ẹK x > 0) Ta coự :
Vaọn toỏc cuỷa oõ toõ thửự hai laứ : x – 10 (km/h)
Do oõtoõ thửự nhaỏt ủeỏn B sụựm hụn oõtoõ thửự hai 1 giụứ ta coự phửụng trỡnh : 1
x
300 -10
-x
300
= Giaỷi ra ta ủửụùc: x = - 50 (loaùi) ; x = 60
ẹaựp soỏ : Vaọn toỏc oõtoõ thửự nhaỏt : 60 km/h
Vaọn toỏc oõtoõ thửự hai: 50 km/h
Baứi 1 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau khi đi đợc 2/3
quãng đờng với vận tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ
10 km trên quãng đờng còn lại Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính
quãng đờng AB
Hửụựng daón : Goùi x laứ quaỷng ủửụứng AB (Km ẹK x > 0)
Theo giaỷ thieỏt cuỷa baứi toaựn ta coự phửụng trỡnh : 3.x40 50 21
50 3
2x + = x + Giaỷi ra ta ủửụùc: x = 300 (tmủk)
Vaọy quaỷng ủửụứng AB laứ : 300km
Baứi 2 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy
với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì
Trang 2đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu
H
ớng dẫn : Gọi quaỷng ủửụứng AB laứ x (km), thụứi gian dửù ủũnh laứ y(giụứ) ẹK : x > 0, y > 0.
Theo baứi ra ta coự heọ pt :
=
= + x 1) -50(y
x 2)
y ( 35
suy ra : 35y + 70 = 50y -50⇔y = 8 (TMẹK)
Thay vaứo heọ ta ủửụùc x = 350 (TMẹK)
ẹaựp soỏ : Quaỷng ủửụứng AB : 350 (km)
Thụứi gian dửù ủũnh ủi : 8 (giụứ)
• Các đề thi vào 10 THPT ( Tỉnh Bắc Giang ) Bài 1 : ( Năm học 2001-2002)
Một ngời đi xe đạp từ A và dự định đến B vào một giờ đã định Khi còn cách
B 30 km, ngời đó nhận thấy rằng đến B muộn nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc
đang đi Do đó ngời đó tăng vận tốc thêm 5 km/h và đến B sớm hơn nửa giờ so với giờ đã định Tính vận tốc lúc đầu của ngời đi xe đạp.
HD: Gọi vận tốc dự định của ngời đi xe đạp là x ( km/h) ( ĐK x >0 )
Theo bài ra ta có PT: 30 1 30 1
x − = x +
+
Bài tập 2 ( Năm học 2002-2003)
Một Ôtô đi quãng đờng dài 150 km với vận tốc dự định Nhng khi đi đợc 2
3
quãng đờng xe bị hỏng phải dừng lại sửa 15 phút Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại Tính vận tốc dự định đi.
HD: Gọi vận tốc dự định đi của Ôtô là x ( km/h) ( ĐK x > 0 )
Đổi 15 phút = 1/4 h
Theo bài ra ta có PT: 150 2 150 1 1 150 .
+
150 100 1 50
4 10
x = x + + x
+
Bài tập 2.1: Một Ôtô đi quãng đờng dài 120 km với vận tốc dự định Nhng khi đi
đợc 1
3 quãng đờng xe bị hỏng phải dừng lại sửa 20 phút Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 8 km/h trên quãng đờng còn lại Tính vận tốc dự định đi HD: Gọi vận tốc dự định của ôtô là x (km/h) ( x>0 )
Ta có phơng trình 120 40 1 80
x = x + +x
+
C2: 80 80 1
8 3
x −x = +
Bài tập 2.2: Một Ôtô đi quãng đờng dài 100 km với vận tốc dự định Nhng khi đi
đợc 2
5 quãng đờng, xe tăng vận tốc thêm 5 km/h nên đến B sớm hơn dự định 10 phút Tính vận tốc ban đầu của Ôtô.
Trang 3Bài tập 2.3: Một Môtô đi quãng đờng dài 90 km với vận tốc dự định Nhng khi đi
đợc 1
3 quãng đờng xe bị hỏng phải dừng lại sửa 20 phút Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h trên quãng đờng còn lại Tính vận tốc dự định đi Bài tập 2.4
Một Ôtô đi quãng đờng dài 150 km với vận tốc dự định Nhng khi đi đợc 1
2
quãng đờng xe bị hỏng phải dừng lại sửa 10 phút Để đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đờng còn lại Tính vận tốc dự định đi.
Bài tập 3 ( Năm học 2003-2004)
Một ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 165 km Trong một thời gian nhất
định sau khi đi đợc 1h ôtô phải dừng lại 10 phút để mua xăng Do vậy để đến B
đúng hẹn ôtô phải tăng vận tốc thêm 5km/h Tính vận tốc ban dầu và thời gian dự
định của ôtô.
HD: Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) ( ĐK 0 < x < 165 )
Theo bài ra ta có phơng trình 165 1 1 165
x
−
= + +
+ => x = 55 Thời gian dự định 165: 55 = 3 (h)
Bài tập 4: ( 2007- 2008)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 50 km Một canô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi ngợc dòng trở lại bến A Thời gian cả đi và về tổng cộng hết 4h10’ Hãy tìm vận tốc của canô trong nớc yên lặng, biết vận tốc của nớc chảy là
5 km/h.
HD: Đổi 4h10’ =25
6 (h) Gọi vận tốc của canô trong nớc yên lặng là x ( km/h) ( ĐK x>5)
Theo bài ra ta có phơng trình: 50 50 25
+ − => x = 25 Các bài tập tự luyện:
Bài 1: Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một lúc từ A đến B Vận tốc của họ hơn kém nhau 3km/h nên họ đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút Tính vận tốc của mỗi ngời Biết rằng quãng đờng AB dài 30 km.
HD: Gọi vận tốc của ngời đi chậm là x (km/h) ( x>0 )
Theo bài ra ta có phơng trình:
30
x - 30
3
x+ = 1
2
Bài 2 Một ôtô chuyển động đều
với vận tốc đã định để đi hết
quãng đờng dài 120 km Đi đợc
nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nếu để đến B đúng giờ xe phải tăng vận tốc 2 km/h trên quãng đờng còn lại.
Tính thời gian xe chạy.
HD: Gọi vận tốc dự định của xe là x (km/h) (x>0 ) Đổi 3 phút = 1
20(h)
Quãng
Km/h gian(h) Thời Ngời đi
Ngời đi nhanh 30 x + 3 x30+3
Trang 4Theo bài ra ta có phơng trình:
2
120 60 1 60
20 2
2 2400 0
+
x= 48 ; x = -50 (loại )
Thời gian xe chạy là 120 1
48 − 20 = 2 giờ 27’
Bài 3 Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đơng kính 2m , xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau Nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau Tính vận tốc của mỗi vật
Lời Giải
Gọi vận tốc của Vật I là x ( m/s).(x> 0).
Gọi vận tốc của Vật II là y ( m/s).(y> 0), (x>y).
Sau 20 s hai vật chuyển động đợc quãng đờng là 20x, 20y ( m )
Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau do đó ta có phơng trình: 20x – 20y = 20π
Sau 4 s hai vật chuyển động đợc quãng đờng là 4x, 4y ( m )
Vì nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau do đó ta có phơng trình: 4x + 4y = 20π
Theo bài ra ta có hệ phơng trình:
= +
=
−
π
π 20 4 4
20 20 20
y x
y x
Giải hệ PT ta đợc:
=
= π
π 2
3
y
x
; Vậy vận tốc của hai vật là: 3π (m/s) và 2π (m/s)
Bài 4 Một ngời dự định đi từ A đến B với thời gian đẵ định Nếu ngời đó tăng vận tốc thêm
10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ Nếu ngời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ Tính vận tốc, thời gian dự định đi và độ dài quãng đờng AB
Lời Giải :
Gọi vận tốc dự định đi từ A đến B của ngời đó là x ( km/h).(x> 0)
Gọi thời gian dự định đi từ A đến B của ngời đó là y (h).(y> 0)
Ta có độ dài của quãng đờng AB là x.y
Vì nếu ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ do đó ta có PT (1):
(x + 10).(y-1) =xy
Vì nếu ngời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ do đó ta có PT (2) (x - 10).(y+2) =xy
Theo bài ra ta có hệ phơng trình:
= +
−
=
− +
xy y
x
xy y
x
) 2 )(
10 (
) 1 )(
10 (
;giải hệ phơng trình ta đợc
=
= 4
30
y x
Vậy vân tốc dự định là 30 km/h, thời gian dự định là 4 giờ, Quãng đờng AB là 120 km
Baứi 5 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km Hai ô tô cùng khởi hành một
lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B
tr-ớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc mỗi xe
Giải : Gọi vận tốc của xe thứ hai là x (km/h) ĐK x > 0.
Theo gt bài ra ta có pt :
5
1 6
108 x
+
−
x ⇔ x2 + 6x – 3240 = 0 ( ∆ ' = 57 ) Giải ra ta đợc : x = - 60 (loại) ; x = 54
Đáp số : Vận tốc xe thứ nhất là : 60 (km/h) Vận tốc xe thứ hai là : 54 (km/h)
Trang 5Bài 6: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngợc dòng trở lại là 20km mát tổng cộng 5giờ Biết
vận tốc của dòng chảy là 2km/h Tìm vận tốc của ca nô lúc dòng nớc yên lặng
Giải : Gọi x là vận tốc của ca nô lúc nớc yên lặng ( km/h ; ĐK : x > 2)
Theo gt bài toán ta có pt : 5
2
-x
20 2
x
42 + = + ⇔ 5x2 - 62x + 24 = 0 ( ∆'= 29) Giải ra ta đợc : x =
5
2 (loại) ; x = 12
Đáp số : Vậy vận tốc của ca nô lúc nớc yên lặng : 12 (km/h)
Bài 7: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km Một xuồng máy đi xuôi dòng từ bến
A đến bến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngợc dòng 25 km để đến bến C Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ Tính vận tốc xuồng máy khi nớc yên lặng, biết rằng vận tốc nớc chảy là 1 km/h
( Huế 2007-2008) Giải: + Gọi x (km/h) là vận tốc của xuồng khi nớc yên lặng Điều kiện: x > 1
+ Thời gian xuồng máy đi từ A đến B: 60 (h)
1
x+ , thời gian xuồng ngợc dòng từ B về C :
25 (h) 1
x− + Theo giả thiết ta có phơng trình : 60 25 1 8
+ Hay 3x2 − 34x+ = 11 0
Giải phơng trình trên, ta đợc các nghiệm: x1= 11; 2 1
3
x = + Vì x > 1 nên x = 11 Vậy vận tốc của xuồng khi nớc đứng yên là 11km/h
Bài 8 Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội Sau đú 1 giờ 40 phỳt, một xe lửa khỏc đi từ Hà
Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h Hai xe gặp nhau tại một ga cỏch Hà Nội 300 km Tỡm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quóng đường sắt Huế
-Hà Nội dài 645 km ( Huế 2006-2007 )
Giải: Gọi x (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất đi từ Huế đến Hà Nội Khi đú, x > 0 và vận tốc của xe lửa thứ hai đi từ Hà Nội là: x + 5 (km/h)
Theo giả thiết, ta cú phương trỡnh: 300 5 345
5 3
+
( ) ( ) 2
900x 5x x 5 1035 x 5 x 22x 1035 0
Giải phương trỡnh ta được: x1 = − 23 (loại vỡ x > 0) và x2 = 45 0 > .
Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là: 45 km/h và vận tốc xe lửa thứ hai là: 50 km/h
B i à 9: Một người đi xe mỏy từ A đến B với vận tốc trung bỡnh 30km/h Khi đến B, người đú
nghỉ 20 phỳt rồi quay trở về A với vận tốc trung bỡnh 25km/h Tớnh quóng đường AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phỳt
HD: Gọi độ dài quóng đường AB là x km (x > 0)
Ta cú phương trỡnh: x x 1 55
30 25 3 + + = 6 Giải ra ta được: x = 75 (km)
Bài 10: Hai canụ cựng khởi hành một lỳc và chạy từ bến A đến bến B Canụ I chạy với vận
tốc 20km/h, canụ II chạy với vận tốc 24km/h Trờn đường đi, canụ II dừng lại 40 phỳt, sau đú tiếp tục chạy với vận tốc như cũ Tớnh chiều dài quóng sụng AB, biết rằng hai canụ đến bến B cựng 1 lỳc
Trang 6HD: Gọi chiều dài quóng sụng AB là x km (x > 0)
Ta cú phương trỡnh: x x 2
20 24 − = 3 Giải ra ta được: x = 80 (km)
Bài 11: Một ụtụ dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bỡnh 40km/h Lỳc đầu ụtụ
đi với vận tốc đú, khi cũn 60km nữa thỡ đi được một nửa quóng đường AB, người lỏi xe tăng thờm vận tốc 10km/h trờn quóng đường cũn lại, do đú ụtụ đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với dự định Tớnh quóng đường AB
HD: Gọi độ dài quóng đường AB là x km (x > 120)
Ta cú phương trỡnh: x 60 : 40 x 60 : 50 x 1
Bài 12: Một tàu thủy chạy trờn một khỳc sụng dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phỳt Tớnh
vận tốc của tàu thủy khi nước yờn lặng, biết rằng vận tốc của dũng nước là 4km/h
HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yờn lặng là x km/h (x > 0)
Ta cú phương trỡnh: 80 80 81
x 4 + x 4 = 3 + − Giải ra ta được: 1
4 x 5
= − (loại), x2 = 20 (km)
Bài 13: Một ca nụ và một bố gỗ xuất phỏt cựng một lỳc từ bến A xuụi dũng sụng Sau khi đi
được 24 km ca nụ quay trở lại và gặp bố gỗ tại một địa điểm cỏch A 8 km Tớnh vận tốc của
ca nụ khi nước yờn lặng biết vận tốc của dũng nước là 4 km / h
HD: Gọi vận tốc canụ khi nước yờn lặng là x km/h (x > 4)
Ta cú phương trỡnh: 24 16 2
x 4 + x 4 =
+ − Giải ra ta được x1 = 0 (loại), x2 = 20 (km/h)
Bài 14: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cỏch nhau 50 km Sau đú 1 giờ 30 phỳt,
một người đi xe mỏy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ Tớnh vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe mỏy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp
HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0)
Ta cú phương trỡnh: 50 50 (1,5 1)
x = 2,5x + + Giải ra ta được: x = 12 (thỏa món) Bài 15 Một người dự định đi xe đạp từ nhà đến nơi làm việc cỏch nhau 30km với vận tốc khụng đổi Tuy nhiờn sau khi đi nửa đoạn đường thỡ xe bị hư phải dừng lại mất 20 phỳt, do
đú phải tăng tốc thờm 3km/h ở đoạn đường cũn lại và đến nơi làm việc chậm hơn so với dự định là 10 phỳt Tớnh vận tốc dự định lỳc ban đầu của người đi xe đạp ( Tiền Giang 2007)
B
ài 16: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 50 km Một canô đi xuôi dòng từ bến A đến
bến B, rồi ngợc dòng trở lại bến A Thời gian cả đi và về tổng cộng hết 4 h10’ Hãy tìm vận tốc của canô trong nớc yên lặng, biết rằng vận tốc của nớc chảy là 5km/h
( Bắc Giang 2007 -2008 ) Dạng 2: Toán về công việc chung riêng
Cần nhớ:
1) Cần phân biệt rõ thời gian của ngày toán học và ngày lao động Một ngày tóan học là 24 giờ còn ngày lao động có số giờ thay đổi.
VD: Đội A lao động 8 giờ một ngày Đội B lao động 9 giờ một ngày.
2) Quan hệ giữa thời gian làm riêng và làm chung với cùng một công việc là :
1 2
c
t + + =t t
3) Riêng với bài toán vòi nớc chảy vào1 bể ta cũng dùng hai phơng trình cơ bản trên nhng cần chú ý: Vòi chảy vào dùng dấu (+), vòi chảy ra dùng dấu (-)
Trang 7VD1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong?
Giải : Gọi x, y (giờ) lần lợt là thời gian mỗi ngời làm một mình hoàn thành công việc
ĐK x, y > 0
Theo gt bài ra ta có hpt :
= +
= + 4
1 y
6 3
16
1 y
1 1
x
x
=
=
⇔
48
y
24
x (TMĐK)
Đáp số : Ngời thứ nhất hoàn thành công việc trong : 24 giờ.
Ngời thứ hai hoàn thành công việc trong : 48 giờ
VD2: Hai vũi nước cựng chảy vào một bể thỡ sau 1 giờ 20 phỳt bể đầy Nếu mở vũi thứ nhất
chảy trong 10 phỳt và vũi thứ hai trong 12 phỳt thỡ đầy 2
5 bể Hỏi nếu mỗi vũi chảy một mỡnh thỡ phải bao lõu mới đầy bể
HD: Gọi thời gian chảy một mỡnh đầy bể của vũi I, II lần lượt là x, y phỳt (x, y > 80)
Ta cú hệ:
80 80
1
x 120
x y
10 12 2 y 240
x y 15
+ =
Bài tập 1.1.Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm đợc 25% khối lợng công việc Hỏi mỗi ngời thợ làm một mình công việc đó trong bao lâu.
Lời Giải:
Gọi thời gian để Ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là x, ( giờ), x > 16.
Gọi thời gian để Ngời thứ hai làm một mình xong công việc là y, ( giờ), y > 16.
Trong 1 giờ Ngời thứ nhất và ngời thứ hai làm đợc khối lợng công việc tơng ứng là:
x
1,
y
1
Vì hai ngời làm chung trong 16 giờ thì xong KLCV do đó ta có phơng trình ( 1) :
x
1 +
y
1 = 16 1
Sau 3 giờ Ngời thứ nhất làm đợc 3
x
1 ( công việc )
Sau 6 giờ Ngời thứ hai làm đợc 6
y
1 (công việc ) Vì ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì học làm đợc 25% khối lợng công việc do đó ta có phơng trình:
x
3 +
y
6 = 4
1.
Theo bài ra ta có hệ phơng trình:
= +
= +
4
1 6 3
16
1 1 1
y x
y x
, giải hệ phơng trình ta đợc:
=
= 48
24
y x
Vậy thời gian để Ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là: 24 ( giờ ).
Thời gian để Ngời thứ hai làm một mình xong công việc là: 48 ( giờ)
Trang 8
-Bài tập 1.2.Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành một công việc đã định Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm công việc khác, tổ thứ hai làm một mình phần công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc
Lời Giải:
Gọi thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành công việc là x, ( giờ), x> 12.
Trong 1 giờ tổ hai làm đợc khối lợng công việc:
x
1 ( KLCV ).
Sau 4 giờ hai tổ đẵ là chung đợc khối lợng công việc là:
12
4 = 3
1 ( công việc )
Phần công việc còn lại tổ hai phải làm là: 1 -
3
1 = 3
2 ( công việc )
Vì tổ hai hoàn thàmh khối lợng công việc còn lại trong 10 giờ nên ta có phơng trình:
3
2: x = 10.
Giải PTBN ta đợc x= 15 Vậy thời gian tổ hai làm một mình hoàn thành khối lợng công việc là: 15 giờ.
Bài 1.3 : Hai đội công nhân I và II đợc giao sửa một đoạn đờng Nếu cả hai đội cùng làm thì
sau 4 giờ là hoàn thành công việc Nếu đội I làm một mình trong 2 giờ, sau đó đội II tiếp tục làm một mình trong 3 giờ thì họ đã hoàn thành đợc 7
12 công việc Hỏi mỗi đội làm riêng thì
sẽ hoàn thành công việc sau bao lâu?
Bài 1.4: Hai bạn Sơn và Hùng cùng làm một công việc trong 6 giờ thì xong Nếu bạn Sơn làm
5 giờ và Hùng làm 6 giờ thì cả hai bạn chỉ hòan thành đợc 9
10 công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi bạn hoàn thành công việc đó trong bao lâu? ( Bắc Giang 2007 -2008 )
VD 3: Hai tổ học sinh tham gia lao động nếu làm chung sẽ hoàn thành công việc trong 4 giờ
Nếu mỗi tổ làm một mình thì tổ 1 cần ít thời gian hơn tổ 2 là 6 giờ Tính xem mỗi tổ làm một mình thì bao lâu sẽ hòan thành công việc ? ( Bắc Giang 2000- 2001)
HD: Gọi thời gian làm một mình xong công việc của tổ 2 là x ( giờ ) ( x> 4)
+Thời gian làm một mình xong công việc của tổ 1 là x+6 ( giờ)
+ Trong 1h: - Tổ 1 làm đợc: 1
6
x+ ( công việc)
- Tổ 2 làm đợc: 1
x ( công việc)
- Cả hai tổ làm đợc:1
4 ( công việc ) Theo bài ra ta có phơng trình: 1 1 1
6 4
x+x = + => x2 − 2x− 24 0 =
x=6; x=-4 ( lọai)
Bài 2.1.: Hai đội công nhân làm chung một công việc thì sẽ hoàn tất sau 12 ngày Nếu làm
riêng thì thời gian để hoàn tất công việc nói trên của đội I nhiều hơn thời gian của đội II là 10 ngày Tính thời gian mỗi đội làm riêng hoàn tất công việc nói trên ?
HD:Gọi thời gian làm một mình xong công việc của đội II là x ( ngày ) (x> 12 )
Theo bài ra ta có phơng trình: 1 1 1
10 12
x+x = +
Bài 2.2 Hai lớp 9 A và 9B cùng tu sửa khu vờn thực nghiệm của nhà trờng trong 4 ngày thì
xong Nếu mỗi lờp tu sửa một mình, muốn hòan thành công việc ấy thì lớp 9A cần ít thời gian hơn lớp 9B là 6 ngày Hỏi mỗi lớp làm một mình cần thời gian là bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc ? ( Bắc Giang 2002-2003)
Trang 9Bài 2.3* Có hai vòi nớc ngời ta mở vòi thứ nhất cho nớc chảy đầy một bể cạn rồi khóa lại.
Sau đó mở vòi thứ hai cho nớc chảy ra hết với thời gian lâu hơn so với vòi I chảy là 4 h Nếu cùng mở cả 2 vòi thì đầy sau 19h15 Hỏi vòi thứ nhất chảy trong bao lâu mới đầy bể khi vòi’
II khóa lại.
HD: 19h15 = ’ 77
4 (h) Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là x(h) ( x> 0) Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là x + 4 (h)
Theo bài ra ta có phơng trình 1 1 4
4 77
x x− = + => x = 7; x = -11 (loại ) Vậy thời gian vòi I chảy đầy bể là 7 (h)
Bài 2.4* Có hai vòi nớc, vòi I chảy vào và vòi 2 chảy ra Thời gian 1 mình vòi I chảy đầy
bể nhiều hơn thời gian vòi 2 chảy cạn bể là 2 (h) Bể đang chứa 1
3 nớc và nếu mở cả hai vòi cùng một lúc thì trong 8 (h) bể cạn.
Hỏi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể khi vòi II khóa?
HD: Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể là x (h) ( x> 2)
Theo bài ra ta có phơng trình 8. 1 8.1 1
− GPT : x= 8 (h)
Bài 2.5 ( Nghệ An 2008-2009) Hai ngời thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong 2 ngày thì
xong công việc Nếu ngời thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ và ngời thứ hai làm tiếp trong 1 ngày thì xong công việc Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu xong công việc?
Dạng 3 toán năng suất
Cần nhớ: Nếu cùng làm chung một công việc thì PT năng suất là:
Năng suất I + Năng suất II + ….= Năng suất chung
Ví du: Một đội xe dự định chở 200 tấn thóc Nếu tăng thêm 5 xe và số thóc phải chở giảm 20
tấn thì mỗi xe phải chở nhẹ hơn dự định 1 tấn
Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc ? ( Bắc Giang 200-2001 )
Giải:
Gọi số xe lúc đầu của đội xe là x
( chiếc ) ( x> 5, x ∈ N )
Theo bài ra ta có phơng trình
200
x - 200 20
5
x
−
Bài 1.1 Một đội xe phải chở 168
tấn thóc Nếu tăng thêm 6 xe và chở thêm 12 tân thóc thì mỗi xe chở nhẹ hơn lúc đầu 1 tấn Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc ?
HD: Gọi số xe lúc đầu của đội xe là x ( chiếc ) ( x> 0, x ∈ N )
Theo bài ra ta có phơng trình 168
x - 168 12
6
x
+
Bài 1.2: Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan di tớch lịch sử Người ta
dự tớnh: Nếu dựng loại xe lớn chuyờn chở một lượt hết số học sinh thỡ phải điều ớt hơn nếu dựng loại xe nhỏ 2 chiếc Biết rằng mỗi xe lớn cú nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi Tớnh
số xe lớn, nếu loại xe đú được huy động
Số thóc chở ( tấn ) Số xe(chiếc) Mỗi xe chở( tấn )
x
5
x
−
−
Trang 10HD: Gọi số xe lớn là x (x ∈ Z+) Ta cú PT: 180 180 15
x − x 2 =
+ ⇒ x1 = 4; x2 = –6 (loại)
Bài 1.3 : Một đội xe cần chuyờn chở 100 tấn hàng Hụm làm việc, cú hai xe được điều đi làm
nhiệm vụ mới nờn mỗi xe phải chở thờm 2,5 tấn Hỏi đội cú bao nhiờu xe? (biết rằng số hàng chở được của mỗi xe là như nhau)
HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x ∈ N)
Ta cú phương trỡnh: 100 100 5
x 2 − x = 2
− Giải ra ta được: x1 = −8 (loại), x2 = 10 (thỏa món)
Bài 1.4 Một lớp có 45 học sinh tham gia trồng tất cả 216 cây Tổng số cây các bạn Nam
trồng bằng tổng số cây các bạn nữ trồng Tính số nam và số nữ của lớp đó Biết rằng mỗi bạn nam trồng nhiều hơn bạn nữ là 2 cây
HD: Gọi số học sinh nam của lớp là x ( học sinh ) ( 1< x < 45, x ∈ N )
Ta có phơng trình :108 108 2
45
−
Bài 1.5 Thực hiện kế họach mùa hè xanh lớp 8B đợc phân công trồng 420 cây xanh Lớp dự
định chia đều số cây cho mỗi học sinh trong lớp Đến buổi lao động 5 bạn vắng mặt Do phải
đi làm việc khác, vì vậy mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 2 cây mới hết số cây trồng
Tính tổng số học sinh của lớp 8 B ( Bắc Giang 2006-2007)
HD: Gọi số học sinh của lớp là x ( học sinh ) ( 5< x, x ∈ N )
Ta có phơng trình :420 420 2
5
x − x =
−
Bài 1.6 Một phòng họp có 360 chỗ ngồi đợc chia thành các dãy và có chỗ ngồi bằng nhau
nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay
đổi Hỏi ban đầu trong phòng đợc chia thành bao nhiêu dãy ? ( Bắc Ninh 2002 -2003)
Giải: Gọi số ban đầu của phòng họp
là x (dãy) ( x> 3 , x ∈ N )
Ta có phơng trình:
360
3
x− -
360
x = 4
Bài 1.7 Một phòng họp có 120 chỗ ngồi nhng số ngời đến họp là 160 ngời Do đó ngời ta
phải kê thêm 3 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm một ngời ngồi Hỏi phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, biết rằng phòng họp không có quá 20 dãy ghế,
Bài 1.8: Một phòng họp có 360 chỗ ngồi đợc chia thành các dãy và có chỗ ngồi bằng nhau
Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế Hỏi trong phòng họp lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế?
Dạng 4 Các bài toán có nội dung toán học
Kiến thức:
1) Số: abc =100a +10b+c với a, b, c∈N; 0 < a ≤ 9, 0 ≤ b, c ≤ 9
2) Số chẵn: 2k ; Số lẻ 2k + 1, với k ∈Z
3) a: b d r => a =b.k +r
4) Các công thức về chu vi, diện tích các hình đã học, Định lí Pitago, các tam giác đồng dạng.
VD1: Tìm độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông biết rằng số do 3 cạnh của tam giác là 3 số
chẵn liên tiếp
Giải: Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác vuông là 2x; 2x + 2; 2x + 4
=> cạnh huyền là 2x + 4 ( x> 0, đơn vị độ dài )
Số chỗ ngồi ( chỗ) Số dãy(dãy) Số chỗ ngồiMột dãy
( ghế )
x
3
x−