PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THỌ XUÂN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7, LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 2023 Môn thi Toán Lớp 8 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 12[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THỌ XUÂN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,0 điểm) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7, LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn thi : Tốn - Lớp Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 12/3/2023 (Đề thi có 01 trang ) Cho biểu thức Rút gọn P tìm giá trị lớn P a) Phân tích đa thức thành nhân tử b) Cho hai số thực phân biệt a b khác thỏa mãn điều kiện 2023 Câu (4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức T =[ ( a−1 ) ( b−1 ) ] Giải phương trình : Lúc giờ, An rời nhà để đến nhà Bích với vận tốc 4km/h Lúc 20 phút, Bích rời nhà để đến nhà An với vận tốc km/h An gặp Bích đường, hai nhà Bích An nhà Bích chơi thời gian Về đến nhà An tính qng đường dài gấp bốn lần quãng đường Bích Tính quãng đường từ nhà An đến nhà Bích (với giả thiết An Bích quãng đường) Câu (4,0 điểm) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x 2−4 xy+ y −16=0 Giả sử p, q số nguyên tố thỏa mãn đồng thời điều kiện Chứng minh chia hết cho 36 Câu (6,0 điểm) Cho hình vng điểm thuộc cạnh (H khơng trùng với B C ) Trên nửa mặt phẳng bờ khơng chứa hình vng dựng hình vng CHIK Gọi giao điểm ; giao điểm Chứng minh DH vng góc với BK Chứng minh Gọi P giao điểm CN DH Qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, BK E, Q Chứng minh E trung điểm PQ Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: -HẾT -Họ tên thi sinh……………… ……… …… Số báo danh …….…… KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7, LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022-2023 MƠN: TỐN – LỚP Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang UBND HUYỆN THỌ XUÂN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý Nội dung 1.Cho biểu thức ( Điể m ) 2 ( x −1 )( x−3 ) x x + 2 x −5 x +6 x −3 x +2 x + x +1 Rút gọn P tìm giá trị lớn P P= ĐKXĐ: x ≠ ; x ≠ 2; x ≠3 P= ( 0.25 ) ( x−1 ) ( x−3 ) x x + ( x−2 ) ( x −3 ) ( x−1 ) ( x−2 ) x + x +1 2 2,5 0.5 0,25 ( ) ( x−1 ) ( x−3 ) 2x P= ( x−1 ) ( x−3 ) x + x +1 P= 0.5 2x x + x +1 0,25 Vậy với x ≠ ; x ≠ 2; x ≠3 P= Nếu x=0 P=0 Nếu x ≠ P= 2x = x + x +1 0.25 0,25 2 ≤ x− +3 x ( ) Dấu “=” xảy x= - 2 2x x + x +1 0,25 Vậy giá trị lớn P đạt x = - 2.a) Phân tích đa thức thành nhân tử 1,0 0,5 0.25 0,25 (*) 2.b) Cho hai số thực phân biệt a b khác thỏa mãn điều kiện Tính giá trị 2023 T =[ ( a−1 ) ( b−1 ) ] 0,5 Áp dụng kết (*) với 0,25 ¿ Mà [( ) ( ) ( ) ] 2 1 1 +1 + +1 + − a b a b >0 ( ) 0,25 Nên Do 3,0 Giải phương trình : ĐKXĐ: 0,25 0,5 Ta có: ặt x 2+ x−1=a ta có phương trình: Đ [ ⟺ a =196 ⟺ a=14 a=−14 0,5 0,5 [ x=−5 0,5 Với a=14 ⟹ x 2+ x−1=14⟺ x=3 ( thỏa mãn ĐKXĐ) 0,5 Với a=−14 ⟹ x 2+ x−1=−14 Phương trình vơ nghiệm Vậy S= {−5 ;3 } 0,25 Lúc giờ, An rời nhà để đến nhà Bích với vận tốc 4km/h Lúc 20 phút, Bích rời nhà để đến nhà An với vận tốc km/h An gặp Bích đường, hai nhà Bích An nhà Bích chơi thời gian Về đến nhà An tính 1,0 qng đường dài gấp bốn lần quãng đường Bích Tính quãng đường từ nhà An đến nhà Bích (với giả thiết An Bích quãng đường) Xem quãng đường từ nhà An đến nhà Bích theo thứ tự AB 0.25 x x >0 Gọi quảng đường từ nhà An đến nhà Bích (km) Quảng đường An x (km) 2x x Quảng đường Bích = (km) x Gọi C chỗ hai người gặp BC = :2= x (km), 3x 3x Thời gian An đoạn AC : 4= 16 (giờ) x x Thời gian Bích đoạn BC :3= 12 (giờ) 3x x Ta có phương trình 16 − 12 = ⟺ x=3,2 (t/m) Vậy quãng đường từ nhà An đến nhà Bích 3.2 (km) Tìm cặp số ngun (x, y) thỏa mãn x 2−4 xy+ y −16=0 x 2−4 xy+ y −16=0 ⟺ ( x−2 y )2 + y 2=16 (*) 0.25 0.25 0,25 2,5 0.25 Vì x , y ∈ Z nên x−2 y ∈ Z , từ (*) suy ra: 0.5 0.75 0.75 số nguyên ( x ; y ) cần tìm (−4 ; ) , ( ;0 ) , ( ; ) , (−8 ;−4 ) 0,25 Vậy cặp Giả sử p, q số nguyên tố thỏa mãn đồng thời điều kiện 1,5 Chứng minh chia hết cho 36 Xét số p, q có dạng 6.k + r (r = 0, 1, 2, 3, 4, 5), k số tự nhiên 0,25 Dễ thấy, p, q số nguyên tố lớn số 6k, 6k+2, 6k+3, 6k+4 hợp số nên số p, q có dạng 6k + 6k + 0,5 Vì nên : Nếu p = 6k+5 q = 6k+3, lúc q lại hợp số, trái giả thiết q số 0,25 nguyên tố Nếu p = 6k+1 q = 6k - Khi 0,25 0,25 Vậy chia hết cho 36 Cho hình vng điểm thuộc cạnh (H không trùng với B 6,0 C) Trên nửa mặt phẳng bờ khơng chứa hình vng dựng hình vng CHIK Gọi giao điểm điểm 1.Chứng minh DH vng góc với BK và ; giao 2.Chứng minh Gọi P giao điểm CN DH Qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, BK E, Q Chứng minh E trung điểm PQ A B N Q E H M I P D C K Vì tứ giác ABCD, CHIK hình vng nên D, C, K thẳng hàng có nên H trực tâm Tam giác 3đ Xét tam giác DNK tam giác DCB có : 1,0 0.5 1,0 0,5 Ta có : Tương tự : 2,5 Suy ra: đ 1,0 0.5 0.5 Theo bất đăng thức Cơ si ta có : Do : Dấu “=” xảy (vơ lí Vậy 0,5 đ ) Dấu không xảy 0,5 (đpcm ) Xét tam giác DNC tam giác DKB có : 0,25 Tương tự Suy CH đường phân giác trong, CD đường phân giác tam giác PCM ( ) (tính chất đường phân giác tam giác PCM) Mặt khác 0,25 Từ (1), (2) Suy ra: Áp dụng định lí ta-lét vào tam giác BHD, BMD ta có: , suy E trung điểm PQ (3), (4) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Các bất đẳng thức quen thuộc ( học sinh phải chứng minh) 2,0 0.25 Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có: 0.25 Tương tự: 0.25 0.25 Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: 0.25 Từ (3) (4) suy 0.25 0.25 Dấu “=” xảy 0.25 Vậy Lưu ý: - Câu IV: Nếu thí sinh khơng vẽ hình vẽ sai hình khơng chấm điểm - Điểm thi làm trịn đến 0,25 - Nếu thí sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa