ĐỀ 2 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG XƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 2023 Môn Toán Thời gian 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi 27/12/2022 Bài 1 (4,[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUẢNG XƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 27/12/2022 Bài (4,0 điểm) Câu (2 điểm): Cho biểu thức: , với Rút gọn biểu thức A Câu (2 điểm): a/ Cho số thực thỏa mãn Chứng minh: b/ Cho số khác thỏa mãn biểu thức: Hãy tính giá trị Bài (4,0 điểm) Câu 1( điểm) Tìm tất giá trị Câu 2( điểm) Tìm tất cặp giá trị biết : thỏa mãn đồng thời hai đẳng thức sau: Bài (4,0 điểm) Câu (2 điểm) Tìm tất cặp nguyên thỏa mãn: Câu (2 điểm) Cho hai số nguyên dương thoả mãn chia hết cho Chứng minh số phương Bài (6,0 điểm) Cho tứ giác Gọi trung điểm ; điểm đối xứng với qua a Chứng minh tứ giác hình bình hành b Gọi trung điểm ; điểm đối xứng với qua Chứng minh: ba đường thẳng đồng quy c Gọi giao hai đường chéo Kí hiệu: diện tích tứ giác , tam giác tam giác Biết với số dương cho trước Tìm điều kiện tứ giác để Bài (2,0 điểm) Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : ………Hết……… Họ tên thí sinh:……………………………………… Số báo danh ……… HƯỚNG DẪN CHẤM 2,0 Rút gọn A Câu (4đ) 0,5 0,5 0,5 Vậy : ( với ) a/ Cho số thực thỏa mãn Chứng minh: b/ Cho số khác thỏa mãn biểu thức: a/ Cho Hãy tính giá trị số thực thỏa mãn Chứng minh: 0,5 , mà (Đpcm) khác thức: Đặt thỏa mãn 0,25 ta 0,25 Áp dụng kq câu a, ta có ta Vậy Giải phương trình: Đặt 0,5 Hãy tính giá trị biểu Khi Câu (4đ) 2,0 Từ b/ Cho số 0,5 Phương trình (1) trở thành: 0,25 0,25 2,0 0,75 0,5 Vì Với 0,75 Với ( thỏa mãn) Vậy phương trình cho có tập nghiêm : Câu 2( điểm) Tìm tất cặp giá trị đẳng thức sau: (1) thỏa mãn đồng thời hai 2,0 (2) Đkxđ: 0,25 Từ mà Xét 0,25 thay vào (2) 0,5 Trường hợp 1: 0,5 Trường hợp 2: 0,5 Vậy: Câu3 (4đ) 0,25 Tìm tất cặp nguyên thỏa mãn: 2,0 0,5 Do 0,5 nguyên Lại có: Vì nên có 0,5 Vậy: tât cặp giá trị cần tìm là: Cho hai số nguyên dương x, y thoả mãn x2 – 4y + chia hết 0,5 2,0 cho (x – 2y)( 2y – 1).Chứng minh số phương Vì x2 – 4y + chia hết cho (x – 2y)( 2y – 1) 0,5 nên tồn số nguyên k cho 0,5 ) Gọi ƯCLN x – 2y k(2y – 1) – (x + 2y) d ( d Ta suy được: 0,5 Do đó: Vì 2y – số lẻ => d lẻ => d = Suy ra: số phương(đpcm) Câu Cho tứ giác Gọi trung điểm ; điểm đối xứng với qua (6,0đ a Chứng minh tứ giác hình bình hành ) b Gọi trung điểm ; điểm đối xứng với qua Chứng minh: ba đường thẳng đồng quy c Gọi giao hai đường chéo Kí hiệu: diện tích tứ giác , tam giác tam giác Biết với số dương cho trước 1/ Chứng minh: tứ giác hình bình hành 0,5 2,5 B A I E M D C/m tứ giác có hình bình hành C trung điểm Þ AM // BI AM = BI Từ đó: Chứng minh tứ giác nên 1,0 0,5 hình bình hành 1,0 b Gọi trung điểm ; điểm đối xứng với qua Chứng minh: ba đường thẳng đồng quy 2,5 B A F K I N M E D Tương tự câu a, Tứ giác C hình bình hành 1,0 1,0 mà trung điểm Xét Suy ra: có trung điểm ba đường trung tuyến tam giác đồng quy (Đpcm) c Gọi giao hai đường chéo Kí hiệu: diện tích tứ giác , tam giác tam giác Biết với số dương cho trước 1,0 B A O D Ta có 0,5 C 0,25 Þ SAOD.SBOC = a2.b2 Áp dụng BĐT: (x + y)2 ≥ 4xy Þ (SAOD + SBOC)2 ≥ 4a2b2 Þ SAOD + SBOC Do Ta có SABCD = SAOB + SAOD + SBOC + SCOD ≥ a2 + b2 + 2ab = 0,25 không đổi 0,25 Dấu “=” xảy Û SAOD = SBOC Û AB // CD hay ABCD hình thang Vậy: Để SABCD = Câu Khi tứ giác ABCD hình với hai đáy là: AB // CD Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 0,25 (2,0đ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : ) 0,5 - Ta có : - Đặt Khi - Vì 0,5 hai bất đẳng thức tương tự 0,5 nên : Dấu bằng xảy Vậy giá trị lớn biểu thức A 0,5 , đạt