UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 2023 Môn Toán Lớp 8 Thời gian 150 phút (Không kể thời gian giao đề) N[.]
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022- 2023 Mơn: Tốn- Lớp Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07 tháng năm 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Bài (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: thức: 2) Rút gọn (với ) 2 3) Cho a, b, c 0 a b c ab bc ca Tính giá trị biểu T a 2022 b 2022 c 2022 a b c 2022 Bài (4,0 điểm) 1) Tìm tất số x, y nguyên dương, p nguyên tố thỏa mãn: x xy p y 12 p 2) Giải phương trình: Bài (3,0 điểm) a,b,c 1) Cho đa thức f (x) = ax + bx + c với số hữu tỉ Biết 2a, 2b có giá trị nguyên Chứng minh có giá trị nguyên 2) Cho a, b hai số nguyên phân biệt lớn thỏa mãn lũy thừa số nguyên tố khác 13 b 2a chia hết cho a 2b Chứng minh 2a số phương Bài (7,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có B 2C ; tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BC Qua A kẻ đường thẳng vng góc với CD cắt BC CD M N Đường vng góc với BC C cắt AM K Chứng minh rằng: a) ABM tam giác cân ABC 2AKC ; b) MA.KN = MN.KA; c) Tính độ dài ba cạnh tam giác ABC biết độ dài ba cạnh ba số tự nhiên liên tiếp 0 2) Cho tứ giác ABCD có BCD BDC 50 ; ACD ADB 30 Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh tam giác ABI cân Bài (2,0 điểm) 1) Cho x, y > thỏa mãn: x + y = Chứng minh: 2 1 1 25 x y x y 2) Cho đa giác gồm 2019 đỉnh Người ta tô đỉnh đa giác màu xanh màu đỏ Chứng minh ln tìm ba đỉnh đa giác đỉnh tam giác cân đánh dấu màu Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bà i 1.1 (1,0 điểm) Ta có: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2022-2023 Mơn thi: Tốn - Lớp Lời giải sơ lược Điểm 0,25 0,25 0,5 1.2 (1,5 điểm) 2) Rút gọn (với ) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy với 2 1.3 (1,5 điểm) Cho a, b, c 0 a b c ab bc ca Tính giá trị biểu thức: T a 2022 b 2022 c 2022 a b c 2022 0,5 0,5 Thay b = a, c = a vào biểu thức ta được: 0,5 2.1 (2,0 điểm) Tìm tất số x, y nguyên dương, p nguyên tố thỏa 2 mãn: x xy p y 12 p Ta có Ta có số phương chia dư 0, 0,5 0,25 mà (do p nguyên tố) x xy p y 12 p ta có Thay p =3 vào phương trình 0,25 mà y2 phương y ngun dương Nếu (loại 117 khơng phương) Nếu Vậy x = 6; y= 2; p=3 x, y nguyên dương 2.2 (2,0 điểm) Giải phương trình: 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 Giải (1) : nghiệm suy phương trình (1) vơ 0,25 Giải (2): 0,5 Tập nghiệm phương trình cho 0,25 a,b,c 3.1 (1,5 điểm) Cho đa thức f (x) = ax + bx + c với số hữu tỉ Biết 2a, 2b có giá trị nguyên Chứng minh có giá trị nguyên f (0) = c (1), f (1) = a + b + c (2), f (2) = 4a + 2b + c (3) số nguyên 0,5 Từ (1) (2) 0,25 Từ (1) ,(3)và (4) suy 2a số nguyên 0,25 Từ (4) 2a nguyên suy 2b nguyên 0,25 0,25 Vậy 2a, 2b có giá trị nguyên 3.2 (1,5 điểm) Cho a, b hai số nguyên phân biệt lớn thỏa mãn lũy thừa số nguyên tố khác 13 b 2a chia hết cho a 2b Chứng minh 2a số phương Đặt: ; p nguyên tố khác 13; a, b lớn 0,5 Vì TH1: Nếu Lại có: 0,5 Kết hợp với p ngun tố (loại) TH2: Nếu m = Ta lại có: 0,5 Từ (1) (2) (đpcm) phương 4.1 (5,5 điểm) 1) Cho tam giác ABC có B 2C ; tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BC Qua A kẻ đường thẳng vng góc với CD cắt BC CD M N Đường vng góc với BC C cắt AM K Chứng minh rằng: a) ABM tam giác cân ABC 2AKC ; b) MA.KN = MN.KA; c) Tính độ dài ba cạnh tam giác ABC biết độ dài ba cạnh ba số tự nhiên liên tiếp Vẽ hình + Giả thiết, kết luận 0,25 A B 1 M 2 C N K D a) cân B 0,5 (2) Từ (1), (2) (2 góc đối đỉnh) 0,5 cân B Ta lại có mà Mà 0,5 (đpcm) 0,25 b) CM đường phân giác (3) 0,5 0,25 Chứng minh CK tia phân giác góc ngồi C 0,5 (4) c) Từ (3), (4) (Theo (2)), (đpcm) 0,25 0,25 (GT) Xét có: góc chung, 0,25 Đặt AB = c; AC = b; BC = a Ta có: Vì a, b, c số tự nhiên liên tiếp, ta có trường hợp: TH1: 0,5 TH2: Thay vào (*) ta được: 0,5 Vậy cạnh tam giác 4; 5; 4.2(1,5 điểm) Cho tứ giác ABCD có BCD BDC 50 ; ACD ADB 30 Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh tam giác ABI cân Giả thiết, Kết luận + hình vẽ 0,25 B A I D C E Từ giả thiết 0,25 Vẽ tam giác BCE ( E thuộc nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A) 0,5 0,5 Từ (1) (2) Tứ giác AIED hình bình hành nên DE = AI Mà DE = BI Suy AI = BI tam giác ABI cân I 5.1 (1,0 điểm) Cho x, y > thỏa mãn: x + y = Chứng minh: 2 1 1 25 x y x y Ta có: dấu = xảy a = b Áp dụng ta có: 0,5 Mặt khác: 0,5 Dấu xảy x = y = 1/2 5.2 (1,0 điểm) Cho đa giác gồm 2019 đỉnh Người ta tô đỉnh đa giác màu xanh màu đỏ Chứng minh ln tìm ba đỉnh đa giác đỉnh tam giác cân đánh dấu màu Vì đa giác có số đỉnh 2019 (số lẻ) nên tồn đỉnh kề tơ màu, gọi đỉnh A B Mặt khác đa giác tồn đỉnh M nằm đường trung trực AB - Nếu M tô màu với A B , ta có tam giác MAB thỏa 0,25 0,25 mãn đề - Nếu M khác màu với A B ta gọi đỉnh E kề với đỉnh A; gọi đỉnh F kề với đỉnh B xảy trường hợp: + Nếu E F khác màu với A , B ta có M,E,F màu suy tam giác MEF thỏa mãn đề + Nếu có đỉnh E F màu với A B , giả sử đỉnh E ta có tam giác ABE thỏa mãn đề Vậy toán chứng minh 0,25 0,25