Chuyên đề 28 cực trị của hàm số liên quan tham số hướng dẫn giải

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 28: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ – SỐ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1) Tìm m để hàm số đạt cực trị x  x0 y ' x , y ''  x0  Bước Tính   y ' x 0  m ? Bước Giải phương trình    y ''   x0 CT  y ''   x CD y ''  x0  Bước Thế m vào giá trị  2) Tìm m để hàm số có n cực trị g Hàm số có n cực trị Û y¢= có n nghiệm phân biệt g Xét hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d : ìï a ¹ ï í ï + Hàm số có hai điểm cực trị ïïỵ b - 3ac > + Hàm số khơng có cực trị y¢= vơ nghiệm có nghiệm kép g Xét hàm số bậc bốn trùng phương y = ax + bx + c Câu 41_TK2023 Có giá trị nguyên tham số m y  x  x  mx có ba điểm cực trị? A 17 B 15 C Lời giải Chọn B D y ' 0   x3  12 x  m 0 Ta có: y '  x  12 x  m Xét phương trình Để hàm số có ba điểm cực trị phương trình biệt Ta có: để hàm số  1  1 phải có nghiệm phân  1  m 4 x3  12 x Xét hàm số g  x  4 x  12 x g '  x  0  12 x  12 0  x 1 Bảng biến thiên g '  x  12 x  12 có Cho g  x Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT  1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình   m  có nghiệm phân biệt m    m    7,  6,  5, ,5, 6, 7 Do Vậy có 15 giá trị nguyên tham số m thỏa yêu cầu đề Câu 1: Cho hàm số bậc ba y  f  x có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y f   x  1 m  A có điểm cực trị Tổng phần tử S B C D 10 Lời giải   x  1 Xét hàm số  y  2  x  1 f   x  1 y f  , ta có  m m  x 1   y  0    x  1  m      x  1  m 3 g  x   x  1 Xét hàm số  g  x  2  x  1  x 1    x  1   m    x  1 3  m , ta có  g  x  0  x 1 g  x     y 3  m y   m   m 0   m   m   m    1; 0;1; 2 Để hàm số có điểm cực trị Vậy tổng phần tử S Câu 2: Cho y  f  x hàm số bậc có đồ thị hình vẽ bên Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT y  f  f  x  m Có giá trị nguyên tham số m để hàm số có điểm cực trị? A B 11 C 21 Lời giải D 10 FB Người gắn ID: Giao Lang  x 0 f  x  0    x 2 Ta có Đặt g  x   f  f  x   m  g ' x   f ' x  f ' f  x   m   x 0  x 2  f '  x  0    f  x   f  f  x   m  0   g '  x  0  f  x   Để hàm số phân biệt y g  x   x 0  x 2   m  f  x   1 m 0  m 2  m   f  x    f  f  x   m  0 có điểm cực trị  phải có nghiệm Suy phương trình  1 0  m     m    khác Do m  Z nên m 1  2 phương trình có nghiệm phân biệt 0  m   0m2    m  Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn đề Câu 3: Cho hàm số y  f   2x f  x có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số hình vẽ bên Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT m   0;10 Có giá trị thực tham số có điểm cực trị? A B C Lời giải Ta có y  f   x   y '  f '   x  để hàm số y 2 f  x   m  D Từ đồ thị, suy  x 0 5 t y ' 0   x 2 t 5  x  x  , f '  t  0   x 4 Đặt  t 5  t 1   t  g ( x) 2 f  x   m   g '  x  16 x f '  x   m  0  x 0   x 0  x2  m    x   m 5     m  x   m 1 x     x   m   m x   y g ( x) 2 f  x   m  để hàm số có điểm cực trị g '( x ) 0 có nghiệm y g  x  phân biệt g '( x) đổi dấu qua nghiệm Từ suy có cực m   0;10 trị m  vì, đồng thời theo đề Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 4: Cho hàm số f  x có đạo hàm f ( x) ( x  1)  x  x  Có giá trị g ( x)  f  x  12 x  m  nguyên dương tham số m để hàm số có điểm cực trị? A 18 B 17 C 16 D 19 Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Lời giải Ta có:  x 1 f ( x) 0  ( x  1)  x  x  0   x 0  x 4 , x 1 nghiệm kép 2 g ( x)  f  x  12 x  m   g  x   x  12  f  x  12 x  m  Xét g  x  0   x  12  f  x  12 x  m  0  x 3  2 x  12 x  m 1    x  12 x  m 0   x  12 x  m 4  x 3   x  12 x  m 1 (l )  x  12 x  m  1   x  12 x 4  m   nên ta loại phương trình x  12 x  m 1 ) Xét hàm số y 2 x  12 x có đồ thị, có đạo hàm y ' 4 x  12 Ta có bảng biến thiên  1 ;   có hai có điểm cực trị phương trình nghiệm phân biệt khác Do đó, đường thẳng y 4  m y  m phải cắt đồ thị điểm phân biệt có hoành độ khác Nhận xét: đường thẳng y 4  m nằm đường thẳng y  m Để g  x Suy  18   m  m  18 Vậy có 17 giá trị m nguyên dương Câu 5: Cho hàm số y  f  x f  x   x  11  x   có đạo hàm giá trị nguyên dương tham số m để hàm số điểm cực trị? A B C Lời giải    , x   Có   g  x   f x  x  2m    có D  g  x   f x  3x  2m   g  x   x  3x  2m   f  x  3x  2m  x   x   x  3 x  3x   f  x  x  2m  Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Ta thấy g  x g ' x xác định x 0 đổi dấu qua x 0 nên   f  x  x  2m  0 không tồn nghiệm bội lẻ x 0 điểm cực trị hàm số g  x  x  x  2m  11  f  x  x  2m  0   x  x  2m      x  x  2m  2  Mặt khác  Xét hàm số  h  x  x3  3x , h x  3x   0, x    x  x 12  2m   x  x   2m   x  x 3  2m  nên h  x đồng biến  Ta có bảng biến thiên hàm số k  x   h  x   x  3x sau:   có điểm cực trị phương trình f  x  3x  2m  1 0 có hai nghiệm lẻ khác Điều xảy Hàm số g  x   f x  x  2m  12  2m  hay m  m   1; 2;3; 4;5  Kết hợp điều kiện m nguyên dương ta Vậy có giá trị m thoả mãn Câu 6: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f '  x   x  x   x   giá trị nguyên tham số m để hàm số có khơng q điểm cực trị? A B C , với x   Có  g  x   f x  x  2m  m  D Lời giải f '  x   x  x   x    x  x    x  3  x   Ta có  3x g ' x  Ta có g ' x 2  3  x  x  x  3x   f ' x  x  2m  m  không xác định  x 0 Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT   g '  x  0  f ' x  3x  2m  m 0         Ta vẽ đồ thị hàm số x  3x  2m  m 0  m2    m2  x  3x  2m  m    m2  x  3x  2m  m 3   m2  x  3x  2m  m   y  x3  3x 2m  x  x 2m  x  x  2m  x  x  2m  x  x  sau: Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số  g  x   f x  x  2m  m 2 điểm cực trị m  2m 3   m 3 Mà nên có giá trị thỏa mãn yêu cầu đề Câu 7: Cho hàm số f  x   x   x  x  3  có khơng q m    m    1;0;1; 2;3 với x  R Có giá trị y  f  x  10 x  m   m nguyên dương để hàm số có điểm cực trị? A 18 B 16 C 17 D 15 Lời giải  x 2 f  x  0   x 1  x 3 x 2 f x Ta có , nghiệm kép nên qua giá trị x 2   khơng bị đổi dấu Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Đặt g  x   f  x  10 x  m   g '  x   f  u   x  10  với u  x  10 x  m   x 5  x  10 0  2  2   x  10 x  m    0 x  10 x  m       g  x  0   2  x  10 x  m  0  1  x  10 x  m  1    x  10 x  m  3  x  10 x  m  0   Nên Hàm số lần y  f  x  10 x  m    1 Hay phương trình g x có điểm cực trị   đổi dấu phương trình  2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1'   '    h   0  p   0  , 17  m  19  m     m  17  17  m 0  19  m 0 Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn Câu 8: Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x   x  x  1  x  2mx   Có tất giá trị nguyên m để hàm số có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn C Hàm số f  x có điểm cực trị tam thức g  x  x  2mx  nghiệm vơ nghiệm có hai nghiệm phân biệt x  , g  x có nghiệm kép x  Tức Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT     g     g   1 0      g     b     a  g 0    m     2m  0     m2      m    0  g Do tập giá trị nguyên thỏa S   2,  1, 0, 1, 2, 3 mãn yêu cầu toán Câu 9: Cho hàm số y f  x  Tất giá trị tham y f  x  có điểm cực trị 5 2m  m2 B C Lời giải y ' 3 x   2m  1 x   m Hàm số dương y  f  x   x   2m  1 x    m  x  số m để hàm số  m 2 A Ta có:   m    m 3 m2 D có điểm cực trị khi hàm số f  x có hai cực trị   2m  1    m    4m  m           2m  1   S    0  m   m2 P     2  m m    Câu 10: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y  x   2m  1 x  3m x  có điểm cực trị 1   1  1    ;    1;     ;    1;    0;    1;   1;  4     A B .C   D Lời giải y  x   2m  1 x  3mx  Yêu cầu toán tương đương hàm số có điểm cực trị dương  y 0 có nghiệm dương phân biệt  3x   2m  1 x  3m 0 có nghiệm dương phân biệt Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT    2m  1  9m    2m  1   S  0   3m   P   Câu 11: Cho hàm số  m 1  1   m   0;    1;   0  m   4  f  x  x3  x    m  x  Có giá trị nguyên âm y f  x  tham số m để hàm số có điểm cực trị? A B C Lời giải f  x  3 x  x   m Hàm số y f  x  có điểm cực trị hàm số f  x  x  x    m  x  f  x  0 D có điểm cực trị dương Khi phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  16    m      13  3m  13  8  S        m 1  m  3  P    1  m   m    4;  3;  2;  1 Do m nguyên âm nên Câu 12:   f ' ( x)  x  x  1 x  2mx  Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm với x   g  x  f  x  Có giá trị nguyên tham số m   10 để hàm số có điểm cực trị? A B C Lời giải D Ta có f ' ( x)  x  x  1  x  2mx   0  x 0    x  0  x  2mx  0  Hàm số y  f ( x) có điểm cực trị dương phương trình x  2mx  0 có hai nghiệm dương phân biệt Page 10 Sưu tầm biên soạn