Chuyên đề 11 góc giữa mặt phẳng đường thẳng cơ bản hướng dẫn giải

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 11 GÓC GIỮA MẶT PHẲNG ĐƯỜNG THẲNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ I GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Trong không gian , cho hai mặt phẳng và Góc giữa và bằng hoặc bù với góc giữa hai[.]

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 11: GÓC GIỮA MẶT PHẲNG ĐƯỜNG THẲNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Trong khơng Oxyz , gian cho hai mặt phẳng   : A x  B y C z  D 1 1 0    : A x  B y  C z  D 0   n , n     Góc bù với góc hai VTPT Tức là: 2 2  cos    ,        n n A1 A2  B1B2  C1C  cos n , n     n n A12  B12  C12 A22  B22  C22   Đặc biệt: ( P )  (Q)  AA ' BB ' CC ' 0 II GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG   u  ( a ; b ; c ) u ' ( a '; b '; c ')  : o Góc hai đường thẳng có vectơ phương aa ' bb ' cc ' cos   (0 o  90 o ) a  b  c a '2  b '2  c ' Đặc biệt: (d)  ( d ')  aa ' bb ' cc ' 0  u ( a; b; c ) mp ( ) có vectơ pháp tuyến o Góc đường thẳng d có vectơ phương   Aa  Bb  Cc  sin   cos( n, u)  o o n ( A; B; C ) là: A  B2  C a  b  c (0  90 ) Oxy  Oyz  Câu 11_TK2023 Trong khơng gian Oxyz , góc hai mặt phẳng    A 30  B 45  C 60  D 90 Lời giải Chọn D Oxy  Ta có vectơ pháp tuyến  Oyz     k i   Oxy  ;  Oyz  90    Vì k  i nên Câu 1: ChoTrong hệ tọa độ O xyz , cho hai mặt phẳng  P : x y z   1 6  Q  :x  y  3z  0 Tính tang góc tạo hai mặt phẳng cho A 19 19 B C 19 19 D Lời giải  P  : x 3  y 2  z64 1   P  : 2x  3y  z  0   Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến là: n P   2;3;  1  Q  : x  2y  3z  0  n Q  1;2;     P   Q  Gọi  góc hai mặt phẳng  0  90 cos   Ta có: tan   Câu 2:   n P n Q       n P  n Q  2.1  3.2    1  22  32    1 12  22  32 171 19  1  tan   25 cos2  Oxyz , gọi  góc hai mặt phẳng Trong không gian với hệ tọa độ  P : x   14 y  z  0 o A  30 mặt phẳng  Oxy  Khẳng định sau đúng? o B  60 o C  90 o D  45 Lời giải  P Mặt phẳng Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến  nP  1;   3;2    Oxy  : z 0 có vectơ pháp tuyến n  0;0;1   | nP n | cos        45o | nP || n | Ta có Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ D  0;  2;0   Oxyz , cho tứ diện ABCD có A  0; 2;  , B  2;0;0  , C 0; 0; Số đo góc hai mặt phẳng  ABC  A 30  ACD  B 45 : D 90 C 60 Lời giải Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) uu r uuur uuuu r n1 = é AB ; AC ù ê ú= - 2;- 2;- ë û ( uu r ) uuu r uuur ù= 2;0;0 n =é ) êAC; AD û ú ( Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ACD ) ë Gọi j góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( ACD) ur uu r cosj = cos n1, n2 = ( Ta có ) (- ( - 2) 2) +( - 2) + ( 2) 2 2 = ® j = 600  Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng A  1;1;  1 B   1;1;1 , tạo với mặt phẳng A  P  : x  y  z  0 B  P : x  C  P  : x  y  z 1 0 D  P  : x  y  z  0 Gọi y  z  0  n  a; b; c  góc  biết y  z  0  P : x  y  z  0  P : x  y  z  0  P : x  qua điểm y  z  0 Lời giải  P vectơ pháp tuyến Khi phương trình Ta có  P : x   Oxy  cos   P  P : a x  by  cz  d 0  A  1;1;  1   P  a  b  c  d 0    a  b  c  d 0  B   1;1;1   P  Từ ta có  a c    d  b nên n  a; b; a  cos  a  2 2   a b a  b  a  1 Theo giả thiết Với a b nên ta chọn a 1 ta có a b c 1 ; d  Với a  b nên ta chọn a 1 ta có a 1 ; b  ; c 1 ; d 1 Khi Câu 5:  P  : x  y  z  0  P : x  y  z  0 Trong không gian cho hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD ABC D với A  0;0;0  B  1; 0;  D  0;1;  A 0; 0;1 ; mặt phẳng ;  Oxy  ; góc  biết A  Q  :2 x  y  z 1 0 B  Q  :2 x  y  z  0 C  Q  :2 x  y  z  0 D  Q  :2 x  y  z  0 cos  Viết phương trình mặt phẳng chứa AC tạo với  Q : x  y  z  0  Q : x  y  z  0  Q : x  y  z  0  Q : x  y  z  0 Lời giải Giả sử phương trình mặt phẳng cần tìm 2  Q  : ax  by  cz  d 0  a  b  c    A 0;0;1   Q  a.0  b.0  c.1  d 0   c  d a  b  a  b  c  d  C 1;1;  Q       Ta có  Do phương trình Mặt phẳng   k  0;0;1 Q  Q  có dạng a x  by   a  b  z   a  b  0 có vectơ pháp tuyến cos   Theo giả thiết  n  a; b; a  b     cos n, k   6   , mặt  Oxy  có vectơ pháp tuyến a b a  b2   a  b    a  2b   a  b  2  a  b  ab     b  2a Từ suy phương trình mặt phẳng Câu 6:  Q  :2 x  Trong không gian Oxyz , biết mặt phẳng điểm A  1;0;0  B  0;1;  , A  tạo với mặt phẳng B y  z  0  Q : x   P  : ax  by  cz  0  Oyz  y  z  0 với c  qua hai góc 60 Khi a  b  c C  D  Lời giải Mặt phẳng  P  : ax  by  cz  0 qua hai điểm A  1;0;  B  0;1;  , ta có hệ phương trình a  0   b  0 a 1  b 1  n  1;1; c   P  : x  y  cz  0 Khi có véc tơ pháp tuyến  Oyz  : x 0 n  1;0;0   Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến      P  ,  Oyz   60  cos n, n cos 60 Mà   n n 1 cos 60       c  2 n n  c2 Hay   Với c   c  Khi a  b  c 1   Câu 7: 2  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng thẳng d2 : A 30  x t  d1 :  y 1  2t  t     z  3t  x y  z 1   4 Góc hai đường thẳng d1 , d B 45 C 90 Lời giải D 60 đường  u d1  1;  2;  3  ud2   4;1;5  Ta có    ud1 ud2    15 cos  d1 ; d       ud1 ud2   16 1  25 Suy Câu 8:  d1; d  30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d qua cho góc d x 1 y z 1   1 A x 1 y z 1   5 2 C A   1; 0;  1 , cắt 1 : x y  z 2   1 , x  y  z 3   1 2 nhỏ Phương trình đường thẳng d x 1 y z 1   2 B  : x 1 y z 1   D Lời giải Gọi M d  1  M   2t ;  t ;   t    a d có vectơ phương d  AM  2t  2; t  2;   t    có vectơ phương a2   1; 2;  cos  d ;    Xét hàm số Do t2 6t  14t  f  t   9 t2 max f  t   f      7 6t  14t  , ta suy max  cos  , d      2  t   AM   ; ;   7 7 x 1 y z 1   5 2 Vậy phương trình đường thẳng d Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng  x 1  t  d :  y 2  2t  z 3  t  x  y  0 Tính số đo góc đường thẳng d mặt phẳng A 60 B 30 Đường thẳng d có véc tơ phương  P Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến C 120 o Lời giải  u   1; 2;1  n  1;  1;0  D 45 mặt phẳng:  P  Khi ta có Gọi  góc Đường thẳng d Mặt phẳng  u.n  1.1    1  1.0 3 sin        2 u n   1  22 12 12    1  02 Do  60 Câu 10: Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 4x  3y  z  0 đường thẳng x y  z 4   , sin góc đường thẳng d mặt phẳng  P  12 A 13 B 13 C 13 D 13 d: Lời giải P : 4x  3y  Mặt phẳng   d: Đường thẳng z  0 có vectơ pháp tuyến  n  4;3;  1 x  y  z 1    u có vectơ phương  4;3;1 P Gọi  góc đường thẳng d mặt phẳng     n u 4.4  3.3  1  1      12 sin   cos n ; u n u 42  32  12 42  32    1 13 Khi   Câu 11: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  : x y z    mặt phẳng    : x  y  z 0    Góc đường thẳng  mặt phẳng A 30 B 60 C 150 D 120 Lời giải  u  1; 2;  1   Đường thẳng  có vectơ phương , mặt phẳng có vectơ pháp tuyến  n  1;  1;     , Gọi  góc đường thẳng  mặt phẳng  u.n  1  sin   cos u , n        30 6 u.n   Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng:  x  y  0 Tính góc tạo ( P) với trục Ox ? A 60 B 30  ( P ) n Mặt phẳng có VTPT (  3;1;0)  Ox Trục có VTCP i (1;0;0) C 120 Lời giải D 150 Góc tạo ( P) với trục Ox   3.1  1.0  0.0 n.i sin((P);Ox)  cos((P);Ox) =      1 n.i Vậy góc tạo ( P) với trục Ox 60 Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) có phương trình x  y  z  0 Xét mặt phẳng (Q) : x  (2m  1) z  0 , với m tham số thực Tìm tất giá trị m để ( P) tạo  với (Q) góc  m 2  m  2 B   m 1  A  m 4  m 4  m D   m 2  C  m 4 Lời giải   n p  1;  2;  nQ  1; 0; 2m  1 ( P ) ( Q ) Mặt phẳng , có vectơ pháp tuyến ,  Vì ( P) tạo với (Q) góc nên cos    2(2m  1)   cos n p ; nQ    (2m  1)     4m  1 9  4m  4m    4m  20m  16 0  m 1   m 4  P Câu 14: Trong không gian với hệ tọa đợ Oxyz , cho mặt phẳng có phương trình: ax  by  cz  0 với c  qua điểm A  0;1;0  , B  1;0;0  tạo với  Oyz  góc 60 Khi a  b  c thuộc khoảng đây? A  5;8 B  8;11 C  0;3 D  3;5 Lời giải b  0  a b 1  P  a    A B Mặt phẳng qua hai điểm , nên Và  P tạo với  Oyz  góc 60 nên cos   P  ,  Oyz    Thay a b 1 vào phương trình Khi a  b  c 2    0;3  a 2 a b c  2  c 2  c  Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : x  y  z 1 0, (Q) : x  my  ( m  1) z  2019 0 Khi hai mặt phẳng  P  ,  Q  tạo với góc nhỏ mặt phẳng A M (2019;  1;1)  Q qua điểm M sau đây? B M (0;  2019;0) C M ( 2019;1;1) D M (0;0;  2019) Lời giải Chọn C  P   Q  Gọi  góc hai mặt phẳng Khi đó: 1.1  2.m  2.(m  1) cos   2 2   ( 2)  m  ( m  1)   m 2m  2m   1   m    2   3 2 Góc  nhỏ  cos  lớn 1 m  Q  : x  y  z  2019 0 2 Khi , qua điểm M ( 2019;1;1)  P  : x  y  z  0  Q  : x  y  0 Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng Trên  P  Q  Biết    có tam giác ABC ; Gọi A , B , C hình chiếu A, B, C tam giác ABC có diện tích , tính diện tích tam giác ABC  A B 2 D C Lời giải Chọn B  P   Q  Gọi  góc hai mặt phẳng  cos   2.1    1  2.0 2 22    1  22 12    1  02 S ABC  S ABC cos  4 Ta có:  2 2  P  H  2;  1;   Số đo Câu 17: Trong khơng gian Oxyz , biết hình chiếu O lên mặt phẳng góc mặt phẳng A 30  P với mặt phẳng  Q : x  B 45 y  0 C 60 D 90 Lời giải Chọn B  Q Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến  nQ  1;  1;0   P  H  2;  1;     P  qua H nhận Hình chiếu O lên mặt phẳng  OH  2;  1;   làm vectơ pháp tuyến  P   Q  Gọi  góc hai mặt phẳng   cos   cos OH , nQ    1       2   45 H  2; 1;  Câu 18: Trong hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm Điểm H hình chiếu vng góc gốc toạ độ O xuống mặt phẳng  P , số đo góc mặt phẳng  P mặt phẳng  Q  : x  y  11 0 A 90 B 30 C 60 D 45 Lời giải  P Ta có H hình chiếu vng góc O xuống mặt phẳng  OH  2; 1;   P vectơ pháp tuyến mặt phẳng  Q n  1; 1;   Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến nên OH   P  Do  P ,  Q Gọi  góc hai mặt phẳng   OH n 2.1 1.1  2.0 cos         45 2 2 2 OH n 1  1  Ta có Vây góc hai mặt phẳng  P ,  Q 45 A  3;0;1 , B  6;  2;1  P  Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm Phương trình mặt phẳng qua A, B tạo với mặt phẳng  Oyz  góc  thỏa mãn cos    x  y  z  12 0  x  y  z  12 0   A  x  y  z 0 B  x  y  z 0  x  y  z  12 0  x  y  z  12 0  x  y  z  0  C  D  x  y  z  0 Giả sử  P  P  có VTPT có VTCP   n1  a; b; c  AB  3;  2;0  Lời giải     n  AB  n1 AB 0 suy  3a  b     0.c 0  3a  2b 0  a  b  1   Oyz  có phương trình x 0 nên có VTPT n2  1;0;0    n1.n2 a.1  b.0  c.0 2 2      2 2 2 cos   n1 n2 a b c 0 0 Mà a   a 2 a  b  c  49a 4  a  b  c  a2  b2  c2 7  45a  4b  4c 0 Thay  1 vào  2 Chọn c 2 ta có  2 2 ta 4b  c 0  a   b 1 4b  22 0       b   a        n  ;1;         n   ;  1;    hay    n  2;3;6    n  2;3;    x  y  z  12 0  P   x  y  z 0 Vậy P : ax  by  cz  d 0 Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết mặt phẳng   với c  qua hai điểm A  0;1;  B  1; 0;  , tạo với mặt phẳng  yOz  góc 60 Khi giá trị a  b  c thuộc khoảng đây? A  0;3 B  3;5  C  5;8 D  8;11 Lời giải b  d 0  A, B   P  P Ta có: nên a  d 0 Suy   có dạng ax  ay  cz  a 0 có vectơ pháp  n  a; a; c  tuyến  i  1;0;  yOz   Măt phẳng có vectơ pháp tuyến  n.i a cos 60      n.i 2a  c  2a  c 4a  2a  c 0 Ta có: Chọn a 1 , ta có: c 2  c  c  Ta có: a  b  c a  a  c 1   2    0;3