[CTCT] CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage facebook com/Chungtacungtien/ [CTCT] CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage facebook com/Chungtacungtien/ Group facebook com/groups/chungtacungtien hcmut/ Trang 1 TÀI LIỆU ÔN TẬP[.]
[CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ TÀI LIỆU ƠN TẬP GIẢI TÍCH TÍCH PHÂN MẶT Nội dung gồm chủ điểm : Diện tích mặt Tích phân mặt loại Tích phân mặt loại Tài liệu biên soạn Ban Chuyên môn – CLB [CTCT] Chúng Ta Cùng Tiến Đây tâm huyết anh/chị/bạn CLB [CTCT], gửi tặng đến em, bạn sinh viên K17 – Đại học Bách Khoa Tp.HCM (BKU) Bản quyền thuộc cộng đồng Chúng Ta Cùng Tiến Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN DIỆN TÍCH MẶT Cho mặt f (x,y,z) = Biến đổi 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Diện tích : 𝑆 = ∬ √1 + (𝑓𝑥′ )2 + (𝑓𝑦′ ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 Với 𝐷𝑥𝑦 hình chiếu z xuống Oxy Đây tích phân kép nên việc tính tốn khơng qúa khó khăn Ví dụ : Tính diện tích x2 + y2 + z2 =4 nằm mặt trụ x2 + y2 = 2y Lời giải : Vì mặt cầu nằm mặt trụ chia thành phần có diện tích z = f(x,y) = ±√4 − 𝑥 − 𝑦 Ta cần xét z = √4 − 𝑥 − 𝑦 với Dxy: x2+y2 ≤ 2y 𝑆 = ∬ √1 + (𝑓′𝑥)2 + (𝑓′𝑦)2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 = ∬ √1 + ( 𝐷𝑥𝑦 𝜋 sin 𝜑 = ∫[ ∫ 0 −𝑥 √4 − 𝑥 − 𝑦 2 √4 − 𝑟 2 ) +( −𝑦 √4 − 𝑥 − 𝑦 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟] 𝑑𝜑 = 8𝜋 − 16 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Phân biệt tích phân mặt loại - Tích phân mặt loại 1: biểu thức xuất dS - Tích phân mặt loại 2: biểu thức xuất dxdy, dzdx, dydz Cách tính tích phân mặt loại 1 Biến đổi :𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Tính : 2 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)√1 + (𝑓′𝑥 ) + (𝑓′𝑦 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 Ví dụ : Cho S phần mặt phẳng x + y + z = góc x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ Tính : 𝐼 = ∬ 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑆 𝑆 Lời giải : 1−𝑥 𝐼 = ∬ 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑆 = ∬ 𝑥𝑦(1 − 𝑥 − 𝑦)√1 + + 1𝑑𝑥𝑑𝑦 = √3 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑦(1 − 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 𝑆 𝐷𝑥𝑦 = 0 √3 120 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Lưu ý: Xác định hướng mặt cho xác Các cách tính: + Chuyển mặt loại + Tách thành tích phân mạch loại 2: I1, I2, I3 cộng lại + Áp dụng Gauss Ostragreitxki → Tác giả khuyên dùng cách cách (nên bỏ qua cách 2) Cách 1: Chuyển mặt loại Vector gradient ∇𝐹= (F’x , F’y , F’z) ∇𝐹 Vector pháp tuyến mặt S: 𝑛⃗s = + |∇𝐹| = (cos𝛼, cos𝛽, cos𝛾) với |∇𝐹| độ dài vector = √(𝐹′𝑥)2 + (𝐹′𝑦)2 + (𝐹′𝑧)2 dấu vector pháp tuyến phụ thuộc vào hướng S Hướng mặt S thường đề thi cho theo cách: o Hướng theo chiều dương Ox, hướng theo chiều âm Ox + Nếu hướng theo chiều dương Ox ta phải có dấu 𝑛⃗s cho thành phần 𝑛⃗s dương + Nếu hướng theo chiều âm Ox ta phải có dấu 𝑛⃗s cho thành phần 𝑛⃗s phải âm o Cho S mặt hay mặt ngồi vật S kín (hoặc nửa mặt kín) + Nếu xét mặt cầu, S hướng vào nửa mặt 𝑛⃗ s hướng xuống→thành phần thứ âm + Đối với nửa mặt 𝑛⃗s hướng lên theo trục Oz →thành phần thứ 𝑛⃗s dương Cách tính: I = ∬𝑆 𝑃 𝑑𝑥 𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑅 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∬𝑆(𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑄𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝛾)𝑑𝑆 cos𝛼, cos𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾 thành phần 𝑛⃗s vừa tìm Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ: I = ∬𝑆 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 S mặt nửa mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 9, 𝑧 ≥ Lời giải : Xác định F(x, y, z) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − ∇F = (2x, 2y, 2z) → 𝑛⃗𝑠 = + ∇𝐹 (x, y, z) =+ |∇𝐹| √𝑥 + 𝑦 + 𝑧 Bây ta xác định dấu ⃗⃗⃗𝑛s Ta có: S mặt cầu với z ≥ → mặt S mặt nửa mặt → 𝑛⃗s hướng lên → thành phần thứ 𝑛⃗s dương → Lấy đấu dương : 𝑛⃗𝑠 = (x, y, z) √𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑦2 𝑦 𝑧2 𝑧 𝑧2 𝑧 𝐼=∬ ( + + ) 𝑑𝑆 √𝑥 + 𝑦 + 𝑧 √𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑆 √𝑥 + 𝑦 + 𝑧 Cách : CT Gauss-Ostrogratxki Mục đích: chuyên tích phân mặt loại tích phân bội Lưu ý : - S phải mặt kín, chưa kín ta phải bổ sung cho kín trừ tích phân mặt mặt ta bổ sung - Các hàm P, Q, R tích phân ban đầu phức tạp sau đạo hàm trở nên đơn giản ( triệt tiêu với nhau) - Một công thức tích phân bội thường dùng: ∭𝛺 1𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = VΩ - Dấu âm công thức CT Gauss: ∬ 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = ± ∭ 𝑃𝑥′ +𝑄𝑦′ +𝑅𝑧′ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑆 Trong dấu 𝑉 “+” ⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝑆 hướng phía ngồi Ω “-” ⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝑆 hướng vào phía Ω Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ: Tính I= ∬𝑆 𝑥𝑑𝑦𝑥𝑧 + 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 với S mặt nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = z> Lời giải : Đầu tiên ta nhận thấy S chưa kín Chọn S1 mặt z = hướng xuống (Để hướng hợp với S) 2 S S1 mặt bên {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑧≥0 I = ∭ 3𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 3VΩ = 3.𝑉𝛺 (nửa cầu bán kính 3) =3.1.4π.33 = 54π 23 Từ ta tính tích phân mặt loại nói phần trước Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang