TÍCH PHÂN MẶT Giảng viên: ThS. Nguyễn Hải Sơn

BÀI À TÍCH PHÂN MẶT Giảng ả viên: ê ThS h Nguyễn ễ Hải ả Sơn TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI Một hồ chứa nước chống hạn địa phương, có cửa xả Khi xả nước người ta cần phải mở cửa xả với diện tích S khoảng thời gian t Để biết phải hải mở cửa xả ả với ới diện diệ tích í h S bao b nhiêu hiê thời hời gian bao lâu, người ta cần phải tính lưu lượng nước chảy qua cửa xả đơn vị thời gian Tuy nhiên, dịng nước chảy qua có vận tốc hướng thay đổi, lượng nước chảy qua cửa xả đơn vị thời gian thời điểm khác khác Theo anh chị người ta làm để tính tương đố đối hí h xác lượng l nước đó? V1.0013110223 MỤC TIÊU BÀI HỌC Sau học xong này, sinh viên có thể: • Trình bày khái niệm tích phân mặt loại I loại II ứng dụng • Ứng dụng kĩ thuật tính tích phân mặt • Làm tập liên quan đến tích phân mặt V1.0013110223 CÁC KIẾN THỨC CẦN CĨ • Sinh viên cần có kiến thức giải tích, đặc biệt phép tính tích phân hàm biến số • Bên cạnh đó, sinh viên cần có kiến thức hình học học V1.0013110223 HƯỚNG DẪN HỌC • Xem giảng đầy đủ tóm tắt nội dung • Tích Tí h cực ự thảo thả luận l ậ t ê diễn diễ đàn đà đặt câu â hỏi có thắc mắc • Làm tập luyện thi trắc nghiệm theo yêu cầu V1.0013110223 CẤU TRÚC NỘI DUNG Tích phân mặt loại I Tích phân mặt loại II V1.0013110223 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I 1 Định nghĩa 1.1 nghĩ – Tính chất 1.2 Cách tính 1.3 Ứng dụng V1.0013110223 1.1 ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT Định nghĩa Chia S cách tùy ý n mặt cong nhỏ S , S , , S n Có diện tích tương ứng S1, S2 , , Sn Trên mặt Si lấy tuỳ ý điểm Lập tổng tích phân: Mi (xi , yi ,zi ) n In   f (Mi )  Si i1 Cho n   cho M di  , Max i1,n cách chia mặt S, cách lấy điểm Mi I  lim In, khơng phụ thuộc n I   f (x, y,z)dS S ợ gọ gọi tích p phân mặt ặ loại I f mặt ặ S Khi đó, f gọi khả tích mặt S 1.1 ĐỊNH NGHĨA - TÍNH CHẤT Tính chất Hàm liên tục mặt S, bị chặn, trơn mảng khả tích S Tích phân mặt loại I có tính chất tích phân đường loại I V1.0013110223 1.2 CÁCH TÍNH I   f (x, y,z)dS z S S Trường hợp 1: với Dxy z  z(x;y) S:  (x y)  Dxy (x, y hình chiếu S lên mặt phẳng Oxy dS   (z ( /x )2  ((z/y )2 ddxdy d I   f (x, (x y,z)dS y z)dS  S z=z(x y) z=z(x,y) O D xy x / / f (x, (x y y,z(x, z(x y))   (z )  (z x y ) dxdy  Dxy Tương tự cho trường hợp sau Trường hợp 2:  y  y(z; x ) S:  (z, x )  D zx Trường hợp 3: V1.0013110223 x  x(y;z) S:  (y,z)  Dyz 10 2.1 ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT • Mặt ặ định ị hướng g  n  Cho mặt cong S có biên đường cong kín C  Di chuyển véctơ pháp tuyến S từ điểm A A theo đường cong tùy ý khơng cắt biên C Nếu quay lại vị trí xuất phát, véctơ pháp tuyến khơng đổi ổ chiều mặt cong S gọi mặt hai phía S  Trong trường hợp ngược lại, lại véctơ pháp tuyến đổi chiều mặt cong S gọi mặt phía  Các ví dụ: ụ Mặt ặ hai p phía: Mặt ặ tờ g giấy, y, mặt ặ cầu,, mặt ặ bàn, mặt nón… Mặt phía: Mặt Mobius hay dải Mobius (Mobius band/Mobius strip) V1.0013110223 15 2.1 ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT (tiếp theo) • Định ị nghĩa g mặt ặ định ị hướng g  S mặt cong hai phía  Nếu mặt S ta qui ước phía dương, phía cịn lại âm mặt S gọi mặt định hướng hướng • Chú ý:  Véctơ pháp tuyến mặt định hướng chọn theo qui tắc sau:  Khi đứng lên phía dương mặt định hướng véctơ pháp tuyến từ chân lên đầu V1.0013110223 16 2.1 ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT (tiếp theo)  10 Ví dụ: d Tìm Tì véctơ é tơ pháp há tuyến t ế ủ x  y  z  t i A 1,0, cầu định hướng phía ngồi Phương trình: F ( x, y, z )   x  y  z  Véctơ pháp tuyến  biết mặt ặt Phía ngồi   n  Fx' , Fy' , Fz'   2x, 2y, 2z  S định hướng phía ngồi nên: Véctơ pháp tuyến điểm ể A:  n   x , y , 2z   n  2,0,  V1.0013110223   Phía 17 2.1 ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT (tiếp theo) • Định nghĩa tích phân mặt loại hai  P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định mặt định hướng S   Véctơ pháp tuyến đơn vị mặt S là: n  (cos ,cos ,cos  )  Tích phân mặt loại I    P cos   Q cos   R cos   dS S gọi tích phân mặt loại hai P, Q, R mặt định hướng S, ký hiệu: I   Pdydz  Qdxdz  Rdxdy S • Tính chất  Nếu Nế đổi hướng véctơ éctơ pháp tuyến t ến tích phân I đổi dấu dấ  Tích phân mặt loại II có tính chất tương tự tích phân kép V1.0013110223 18 2.2 CÁCH TÍNH Vì tích p phân mặt ặ loại hai tích p phân mặt ặ loại ộ nên ta sử dụng ụ g cách tính tích phân mặt loại Điều quan trọng phải xác định vectơ pháp tuyến đơn vị Ví dụ d 1: Tính Tí h I   (2x  y)d dydz d  (2y  z)d dxdz d  (2z  x)d dxdy d S Trong S phần mặt phẳng x+y+z = nằm hình trụ x2 + y2 = 2x, phía p a dướ theo o hướng ướ g trục ụ 0z (S) F(x, y, z)  x  y  z   Véctơ pháp tuyến  n  (Fx/ , Fy/ , Fz/ )  (1;1;1) Vì véctơ pháp tuyến S tạo với Oz góc tù nên véctơ pháp tuyến đơn vị S   1 1 1  n0   , ,   3 3 I V1.0013110223  S 1 1 1   x  y  y  z  z  x (2 ) (2 ) (2 )  dS   9  3 3  19 2.2 CÁCH TÍNH (tiếp theo) Ta tính trực tiếp sau: I   Pdydz  Qdxdz  Rdxdy   Pdydz   Qdxdz   Rdxdy  I1  I  I3 S Tính S S S I3   R(x, y, z)dxdy S Biểu diễn  z  z ( x, y ) S:  (x, y)  Dxy với Dxy hình chiếu S lên Oxy (bắt buộc phải chiếu nên Oxy có biểu diễn z=z(x,y)) I3    R(x, y, z(x, y))dxdy Dxy Lấy dấu “+” vectơ pháp tuyến hợp với Oz góc nhọn, lấy dấu “–” vectơ pháp tuyến hợp với Oz góc tù tù Chú ý: Nếu hình chiếu S xuống mặt phẳng (chẳng hạn Oxy) đường cong (tức S mặt trụ song song với Oz) tích phân tương ứng với biến vi phân mặt phẳng 0 V1.0013110223 20 2.2 CÁCH TÍNH (tiếp theo) 2 Ví dụ 2: Tính I   z( x  y )dxdy S nửa mặt cầu z    x  y S hướng S phía ngồi mặt cầu z    x  y  S:  2 (x, y)  Dxy : x  y   Vì n hợp với chiều dương Oz góc z y x tù nên I   n   x  y (x  y )dxdy Dxy    x  y ( x  y ))d dxdy d Dxy  2  V1.0013110223 (Đổi biến tọa độ cực) 4 d  r r 3dr d   4 15 21 2.3 CÔNG THỨC OSTROGRADSKY-GAUSS (O-G) Định lý Ostrogradsky-Gauss (O-G) Cho E miền kín bị chặn R3 có biến mặt kín, trơn mảng, hướng S Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z) R(x,y,z) liên tục ù đạo đ hà hàm riêng iê cấp ấ ột ttrên ê E E Khi đó, ta có: / / / Pdydz  Qdzdx  Rdxdy  ( P  Q  R   x y z )dxdydz S E Tích phân mặt loại V1.0013110223 Tích phân bội 22 2.3 CƠNG THỨC OSTROGRADSKY-GAUSS (O-G) (tiếp theo) Ví dụ 1: Tính I   x3dydz  y3dzdx  z3dxdy với S mặt cầu x  y  z  R hướng S z Á dụng cơng thức O-G, ta có Áp  n I   x3dydz y  y3dzdx  z3dxdy y S = (3x2  3y2  3z2 )dxdydz O V với V : x  y  z  R R x Đổi biến tọa độ cầu ta 2  R 12  R I   d sin d  3r4dr  0 V1.0013110223 23 2.3 CÔNG THỨC OSTROGRADSKY-GAUSS (O-G) (tiếp theo) Ví dụ 2: Tính I   z dydz  xdzdx  zdxdy với S biên vật thể V giới S hạn x=0, x=1, z=0, z=4-y2, hướng Áp dụng cơng thức O-G, ta có: z I   z 2dydz d d  xdzdx d d  zdxdy d d S =  (0   1)dxdydz=   dxdydz V V 4y2 2   dx  dy   V1.0013110223 z=4-y2 32  dz x y 24 2.4 CÔNG THỨC STOKES Định lý Stokes Cho S mặt định hướng trơn mảnh, biên ộ đường g cong g kín L trơn g khúc Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z) R(x,y,z) liên tục đạo hàm riêng cấp S Khi đó, ta có:  Pdx  Qdy  Rdz    R y  Qz  dydz   Pz  R x  dzdx   Q x  Py  dxdy / C Tích phân đường loại / / / / / S Tích phân mặt loại chiều C chọn phù hợp với hướng S (QUI TẮC VẶN ĐINH ỐC) V1.0013110223 25 2.4 CÔNG THỨC STOKES (tiếp theo) Cách nhớ ( Pdx Qdy Q' x Q P' y P ( )d d )dxdy R' y Q' z ( V1.0013110223 Pdx Rdz P' z )dydz R' x )dxdz 26 2.4 CÔNG THỨC STOKES (tiếp theo) Ví dụ 1: Tính I  (  x)dx )d  (2z (  y)dy )d  (3x (  z)dz )d  (y (C) với (C) đường tròn x  y2  z2  a  z  ngược chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz Cá h 1: Cách Đư Đưa ề phương hươ trình t ì h tham th số ố  x  y  a Ta có phương trình (C) lúc , nên  z  dx  a sin tdt  x  a cos t  ;0  t   ;z    dy  a cos tdt  y  a sin t dz   2  I   a (sin t  cos t)sin t  a ( sin t) cos t  dt  a   2  a  V1.0013110223  27 2.4 CÔNG THỨC STOKES (tiếp theo) z Cách 2: sử dụng công thức Stokes 2  x  y  a Gọi S hình trịn S có biên (C)  z  P  y  x  Đặt ặ Q  2z  y thỏa điều kiện định lý Stokes R  3x  z  x Dxy  I   (0  1)dxdy  (0  2)dydz  (0  3)dxdz S   dxdy  2dydz  3dxdz  I1  I  I3 S Trong đó, I1    dxdy   S D xy    a D xy z =  dz = V1.0013110223  I  I3  28 TÓM LƯỢC CUỐI LƯỢC Trong xem xét nội dung sau: • Khái niệm tích phân mặt loại I loại II • Cách tính í tích í phân â mặt ặ loại I loại II V1.0013110223 29 ... chất tương tự tích phân kép V1.0013110223 18 2.2 CÁCH TÍNH Vì tích p phân mặt ặ loại hai tích p phân mặt ặ loại ộ nên ta sử dụng ụ g cách tính tích phân mặt loại Điều quan trọng phải xác định... niệm tích phân mặt loại I loại II ứng dụng • Ứng dụng kĩ thuật tính tích phân mặt • Làm tập liên quan đến tích phân mặt V1.0013110223 CÁC KIẾN THỨC CẦN CĨ • Sinh viên cần có kiến thức giải tích, ... gọi mặt hai phía S  Trong trường hợp ngược lại, lại véctơ pháp tuyến đổi chiều mặt cong S gọi mặt phía  Các ví dụ: ụ Mặt ặ hai p phía: Mặt ặ tờ g giấy, y, mặt ặ cầu,, mặt ặ bàn, mặt nón… Mặt