TÍCH PHÂN ĐƯỜNG.Giảng viên: ThS. Nguyễn Hải Sơn

BÀI TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Giảng viên: ThS Nguyễn Hải Sơn v1.0013110217 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI • B B’ A A’ Chúng ta lăn bánh xe đường thẳng Sau lăn vịng điểm A B bánh xe có vị trí A’ B’  Chu vi đường trịn lớn có đoạn AA’ khơng? Có  Có người cho quãng đường điểm A chạm điểm A’ đoạn AA’ hay chu vi đường trịn ngồi Theo bạn có khơng?  Giả sử lập luận câu Khi quãng đường điểm B BB’ hay chu vi đường trịn nhỏ Vì BB’ = AA’ nên ta có chu vi đường trịn lớn đường trịn nhỏ bẳng • Vấn đề đâu? v1.0013110217 MỤC TIÊU BÀI HỌC Sau học xong này, sinh viên có thể: • Trình bày khái niệm tích phân đường loại I loại II ứng dụng • Ứng dụng kĩ thuật tính tích phân đường • Làm tập liên quan đến tích phân đường v1.0013110217 CÁC KIẾN THỨC CẦN CĨ • Sinh viên cần có kiến thức giải tích, đặc biệt phép tính tích phân hàm biến số • Bên cạnh đó, sinh viên cần có kiến thức hình học học v1.0013110217 HƯỚNG DẪN HỌC • Xem giảng đầy đủ tóm tắt nội dung • Tích cực thảo luận diễn đàn đặt câu hỏi có thắc mắc • Làm tập luyện thi trắc nghiệm theo yêu cầu v1.0013110217 CẤU TRÚC NỘI DUNG Tích phân đường loại I Tích phân đường loại II v1.0013110217 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I 1.1 Định nghĩa – Tính chất 1.2 Cách tính 1.3 Ứng dụng v1.0013110217 1.1 ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT Định nghĩa • Cho f = f(x,y) xác định đường cong C • • Chia C cách tùy ý n đường cong nhỏ điểm A0, A1, … An có độ dài tương ứng L0, L1, … Ln  A Trên cung A lấy tuỳ ý điểm • Lập tổng tích phân: Mi (xi , yi ) i i1 y An Mn An1 A2          M2 A1 M A0 x O n In   f(Mi )  Li i1 Cho n   cho Max Li  , I  limIn , không phụ thuộc cách chia C, i1,n n cách lấy điểm Mi I gọi tích phân đường loại f = f(x,y) cung C, kí hiệu I   f(x, y)ds C Khi đó, f gọi khả tích C v1.0013110217 1.1 ĐỊNH NGHĨA - TÍNH CHẤT Tính chất Hàm liên tục cung C, bị chặn, trơn tùng khúc khả tích C L(C)   1ds C   fds   fds C  (f  g)ds   fds   gds C C C C Tích phân đường loại khơng phụ thuộc chiều lấy tích phân C Nếu C chia làm hai cung C1 C2 không dẫm lên nhau:  fds   fds   fds C C1 C2 (x,y)  C,f(x,y)  g(x,y)   fds   gds C C Định lý giá trị trung bình: Nếu f(x,y) liên tục cung trơn C có độ dài L Khi tồn điểm M0 thuộc cung C, cho  fds  f (M0 )  L C v1.0013110217 1.2 CÁCH TÍNH I   f (x , y)ds C Trường hợp 1: y  y(x)  ds    y ' dx C: a  x  b b  f(x,y)ds  f(x,y(x))  C a  '   y (x) dx x Ví dụ 1: Tính I   x ds, C cung parabol y  , 0x C Ta có x2 y  y '  x  ds   (y ')2 dx   x2 dx I x v1.0013110217 58  x dx  15 (Đặt t   x2) 10 2.2 CÁCH TÍNH (tiếp theo) x  x(t)  dx  x'(t)dt   C  AB: y  y(t)  dy  y'(t)dt t : t  t B  A Trường hợp 3: tB I   [P(x(t), y(t))x'(t)  Q(x(t), y(t))y'(t)]dt tA 2 Ví dụ 4: Tính I   ydx  xdy , C cung x  y  2x từ O(0,0) đến C A(1,1) theo chiều kim đồng hồ Ta có x   cos t  dx   sin tdt  C y  sin t  dy  cos tdt t :    /  /2 I   [  sin t.sin t  (1  cos t)cos t]dt  v1.0013110217 /2 sin 2t     [ cos t+ cos2t]dt   sin t   1    /2 21 2.2 CÁCH TÍNH (tiếp theo) Chú ý: Tích phân đường loại hai không gian Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z) R(x,y,z) liên tục tập mở D chứa cung trơn AB n   P(Mk )xk  Q(Mk )yk  R(Mk )zk   Pdx  Qdy  Rdz  maxlim l 0  AB k k1 Cung AB có phương trình tham số: x  x(t), y  y(t), z  z(t); a  t  b  Pdx  Qdy  Rdz  AB b    P(x(t), y(t), z(t))  x' (t)dt  Q(x(t), y(t), z(t))  y' (t)dt  R(x(t), y(t), z(t))  z' (t)dt a b      P  x' (t)  Q  y' (t)  R  z' (t) dt a v1.0013110217 22 2.2 CÁCH TÍNH (tiếp theo) Ví dụ 5: Tính I   ydx  zdy  xdz với C đường cong C x  a cos t, y  asin t, z  bt,0  t  2 theo hướng tăng dần biến t 2 I   asin t  (asin tdt)  bt  (a cos tdt)  a cos t(bdt) 2   I   a2 sin t  abt cos t  ab cos t dt  a2 v1.0013110217 23 2.3 CÔNG THỨC GREEN • • • C biên miền D (C đường cong kín) Chiều dương qui ước C chiều mà theo chiều ta thấy miền D gần phía bên tay trái Chiều ngược lại gọi chiều âm Miền D gọi miền đơn liên biên kín D co điểm P thuộc D mà không bị biên khác cản trở Ngược lại D gọi miền đa liên Chú ý: Trong đa số trường hợp, chiều dương qui ước ngược chiều kim đồng hồ Trong trường hợp tổng quát điều không v1.0013110217 D Miền đơn liên Miền đa liên 24 2.3 CƠNG THỨC GREEN Cơng thức Green D miền đóng, bị chặn mặt phẳng Oxy với biên C trơn khúc, có chiều dương P(x,y), Q(x,y) đạo hàm riêng cấp liên tục miền mở chứa D  P(x, y)dx  Q(x, y)dy  C  Q P    x  y  dxdy D Điều kiện để sử dụng công thức Green: • C cung kín • P(x,y), Q(x,y) đạo hàm riêng cấp liên tục miền D có biên C v1.0013110217 25 2.3 CƠNG THỨC GREEN (tiếp theo) I   (x2  3y)dx  2ydy , C biên tam giác OAB, với Ví dụ 1: Tính C O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ Cung C kín, có chiều dương Đặt / P(x, y)  x2  3y Py    / Q(x, y)  2y Qx  B D P(x,y), Q(x,y) đạo hàm riêng cấp liên tục miền D có biên C Áp dụng CT Green, ta có:  Q P    dxdy I   Pdx  Qdy    y  C D  x 2x x A     3 dxdy   dx  (3)dy  3 D Chú ý: v1.0013110217 I     3 dxdy  3 dxdy  3SD  3 D D 26 2.3 CÔNG THỨC GREEN (tiếp theo) Ví dụ 2: Tính  x2 I   e  2xsin y.dx  cos y.dy , C : x2  y2  C ngược chiều kim đồng hồ Đặt  x2 P(x, y)  2xe  x2 Q(x, y)  e sin y cos y P x2  2xe cos y y Q x2  2xe cos y x Áp dụng công thức Green, ta có:  Q P   dxdy  I    x y  x2 y2 4  v1.0013110217 27 2.3 CÔNG THỨC GREEN (tiếp theo) Ví dụ 3: Tính I   (x  y)2 dx  (x  y)2 dy , C nửa đường tròn C x  y  2x chiều kim đồng hồ 2 Cung C khơng kín I        I1  I2 O C CAO AO  I1  CAO  Q P      dxdy  y  x  D  /2 2cos  0    2(x  y)  2(x  y)  dxdy   D  I2  (x  0)2 dx  (x  0)2 0dx    I  I1  I2  2  v1.0013110217 A  d  4r cos  r  dr  2 28 2.4 ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG KHƠNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI Định lý mệnh đề tương đương • Cho hàm P(x,y), Q(x,y) đhr cấp chúng liên tục miền mở đơn liên D chứa cung AB • Các mệnh đề sau tương đương Q P  x y Tích phân I   Pdx  Qdy khơng phụ thuộc đường cong trơn khúc  AB nối cung AB nằm D Tích phân đường cong kín C, trơn khúc D I   Pdx  Qdy  C Tồn hàm U(x,y) vi phân toàn phần Pdx + Qdy, tức dU(x, y)  Pdx  Qdy v1.0013110217 29 2.4 ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG KHƠNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI • Cách Chọn (x0 , y0 ) thuộc miền xác định P(x,y) Q(x,y) x y x0 y y0 x y0 x0 U(x, y)   P(t, y0 )dt   Q(x, s)ds  C • Cách Ta có U(x, y)   Q(x0 , s)ds   P(t, y)dt  C Ux/  P  U(x, y)   P(x, y)dx  g(y)  H(x, y)  g(y)  / Uy  Q  Uy/  Hy/  g/ (y)  Q(x, y)  g(y)   U(x, y)  v1.0013110217 30 2.4 ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG KHƠNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI Ví dụ 1: Tính (2,3) I   ydx  xdy B(2,3) (1,2) Đặt P = y, Q = x  Q P  1 x y A(1,2) C(2;2)  tích phân khơng phụ thuộc đường Cách AC CB1 I     2dx  2dy  Cách 2: Tồn hàm U(x,y) vi phân toàn phần Pdx + Qdy Chọn x0 = y0 = ta có: x y x 0 (2,3) (2,3) (1,2) (1,2) y U(x, y)   P(t;0)dt   Q(x; s)ds   0dt   xds  xy I   Pdx  Qdy   v1.0013110217 (2,3) dU  U(x, y) (1,2)  U(2,3)  U(1,2)  31 2.4 ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG KHƠNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI Ví dụ 2: Tính (6,8) xdx  ydy I  (1,0) Đặt P x x2  y2 ,Q  x2  y2 y x2  y2 Q P   x y  tích phân khơng phụ thuộc đường Tồn hàm U(x,y) vi phân toàn phần Pdx + Qdy x  '   U P x y (1) ( , )  x 2 x y   y U'  Q(x, y)  (2) y 2  x y   Vậy U ( x, y )  x  y  g( y ) (2)  g' (y)   g(y)  C U(x, y)  x2  y2  C (6,8) I  U(x, y) (1,0) v1.0013110217 (1)  U(x, y)   P(x, y)dx  g(y)  U(6,8)  U(1,0)  32 2.4 ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG KHƠNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI Ví dụ 3: I   (2yexy  ex cos y)dx  (2xexy  ex sin y)dy C a Tìm số  để tích phân I không phụ thuộc đường b Với  câu a, tính I biết C cung tùy ý nối A(0,) B(1,0) a Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đường Q P   2exy  2xyexy  ex sin y  2exy  2xyexy  ex sin y x y   1 A (0, ) b Với  = ta có tích phân: (1,0) I   (2ye xy  e x cos y)dx  (2xe xy  e x sin y)dy (0, ) Chú ý I không phụ thuộc đường  I        sin ydy   exdx  e  AO OB v1.0013110217 x0 y1  , y  O  B(1,0) y0 x1  1, x  33 2.5 ỨNG DỤNG Diện tích miền phẳng D, có biên C theo chiều dương xác định công thức: SD    ydx  C  C xdy   xdy  ydx C 2 x y Ví dụ: Tính diện tích đường elip (E)  1 a2 b2 Ta có  x  a cos t  C :  y  b sin t  dy  b cos t.dt  t :  2  SD   xdy  C ab  v1.0013110217 2  2  2 a cos t.b cos t.dt  ab  cos tdt 2 ab  cos 2t  (1  cos 2t)dt    ab    0 34 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong xem xét nội dung sau: v1.0013110217 • Khái niệm tích phân đường loại I loại II • Cách tính tích phân đường loại I loại II • Ứng dụng tích phân đường vào việc tính độ dài diện tích 35