1 giới hạn dãy số

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 / 77 Khái niệm dãy số Ứng dụng giới hạn dãy số Tính diện tích hình trịn có bán kính R A = lim An = πR n→∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 / 77 Khái niệm dãy số Nội dung học Nội dung học Khái niệm dãy số Tính chất dãy số Giới hạn dãy số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 / 77 Khái niệm dãy số Định nghĩa dãy số Định nghĩa dãy số Định nghĩa Ánh xạ f : N −→ R từ tập hợp số tự nhiên lên tập hợp số thực R gọi dãy số Dãy số kí hiệu (xn ) xn gọi phần tử tổng quát thứ n dãy số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 / 77 Khái niệm dãy số Định nghĩa dãy số Ví dụ Cho dãy (xn ) với xn = n 1 x1 = 1, x2 = , , xn = , n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 / 77 Khái niệm dãy số Sự biểu diễn hình học dãy số Phương pháp thứ Dãy số (xn ) biểu diễn đồ thị từ điểm (n, xn ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 / 77 Khái niệm dãy số Sự biểu diễn hình học dãy số Phương pháp thứ hai Dãy số (xn ) biểu diễn điểm trục Ox TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 / 77 Khái niệm dãy số Tính chất dãy số Tính tăng tính giảm Định nghĩa Dãy số (xn ) gọi dãy tăng (dãy giảm) với n ∈ N ln có bất đẳng thức xn < xn+1(xn > xn+1) (Bất đẳng thức Bernuli.) Nếu số h > −1 h 6= ln có bất đẳng thức (1 + h)n > + nh với số tự nhiên n > TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 / 77 Khái niệm dãy số Tính chất dãy số Ví dụ Dãy xn = (1 + n1 )n , (n ∈ N) dãy tăng Chứng minh Vì xn = (1 + n1 )n > nên ta cần chứng minh xn+1 xn > Ta có  n+1 )n+1 n+2 )n+1 n+2 (1+ ( xn+1 n+1 n+1 n+1 n+1 = = n+1 n+1 n n xn = n = (1+ n ) ( n ) n   n+1 n+1 n +2n n+1 n+1 = − 2 n n > n +2n+1 (n+1)
n n+1 − n+1 n+1 n = n+1 n = Như xn < xn+1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 / 77 Khái niệm dãy số Tính chất dãy số Ví dụ Dãy số xn = (1 + n1 )n+1, (n ∈ N) dãy giảm Chứng minh Vì xn = (1 + n1 )n+1 > nên ta xn cần chứng minh xn+1 > Ta có  n+2 n+1 n+1 n+1 n+1 (1+ n ) ( n ) xn n n = = = n+2 n+2 n+2 n+2 xn+1 n+1 = (1+ n+1 ) ( n+1 ) n+1  n+2  n+2 n +2n+1 n n = + n(n+2) > n+1 n+1 n2 +2n
n n = n+1 + n1 n+1 n n+1 = Như xn > xn+1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 10 / 77 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Dùng định lý Weierstrass tồn giới hạn dãy đơn điệu Dãy an bị chặn an > Như vậy, dãy an cho đơn điệu giảm bị chặn nên hội tụ Giả sử lim an = a Ta có an+1 = an Lấy n→∞ n+1 giới hạn vế đẳng thức n → ∞ ta lim an lim an+1 = lim n→∞ n→∞ n + n→∞ 2n Do a = 0.a ⇒ a = Vậy lim = n→∞ n! TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 63 / 77 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Dùng định lý Weierstrass tồn giới hạn dãy đơn điệu Ví dụ √ √ Cho dãy a1 = 2, an+1 = 2an Chứng minh dãy (an ) hội tụ tìm giới hạn Giải Dãy an dãy đơn điệu tăng a1 < a2 < a3 < Ta chứng minh bị chặn √ √ dãy an √ Thật vậy, a1 = 2, a2 = 2a1 < 2.2 = Giả sử chứng minh an Ta chứng minh an+1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 64 / 77 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Dùng định lý Weierstrass tồn giới hạn dãy đơn điệu √ Thật vậy, an+1 = 2an 2.2 = Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có an 2, ∀n ∈ N Như vậy, dãy an cho đơn điệu tăng bị chặn nên hội tụ Giả sử lim an = a Ta có n→∞ √ = 2an Lấy giới hạn vế an+1 = 2an ⇒ an+1 đẳng thức n → ∞ ta √ lim an+1 = lim an n→∞ n→∞ √ W Do a = 2.a ⇒ a = a = Vì an > nên a = Vậy lim an = n→∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 65 / 77 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Dùng định lý Weierstrass tồn giới hạn dãy đơn điệu Ví dụ p √ √ Cho dãy x = a, x = a + a, , xn = r q √ a + a + + a, a > Chứng minh | {z } n dấu dãy (xn ) hội tụ tìm giới hạn Giải Dãy an dãy đơn điệu tăng x1 < x2 < x3 < Ta chứng minh dãy xn bị √ chặn a + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 66 / 77 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số √ Dùng định lý Weierstrass tồn giới hạn dãy đơn điệu p √ Thật vậy, x = a < a + 1, x = a + a< p p √ √ √ a + a + < a + a + = a + √ Giả sử chứng minh xn a + Ta √ chứng minh xn+1 a + p √ √ Thật vậy, x = a + x < a + a+1< n p √ n+1 √ a + a + = a + Vậy theo nguyên lý qui √ nạp ta có xn a + 1, ∀n ∈ N Như vậy, dãy xn cho đơn điệu tăng bị chặn nên hội tụ Giả sử lim xn = x Ta có n→∞ √ xn+1 = a + xn ⇒ xn+1 = a + xn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) √ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 67 / 77 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Dùng định lý Weierstrass tồn giới hạn dãy đơn điệu Lấy giới hạn vế đẳng thức n → ∞ ta lim xn+1 = a + lim xn n→∞ n→∞ √ − + 4a W Do x = a + x ⇒ x = x= √ √ + + 4a + + 4a Vì xn > nên x = 2 √ + + 4a Vậy lim xn = n→∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 68 / 77 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Sử dụng giới hạn số e Sử dụng giới hạn số e tính giới hạn dạng 1∞  n lim + =e n→∞ n Nếu lim un = ∞ n→∞  un lim + =e n→∞ un TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 69 / 77 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Sử dụng giới hạn số e Ví dụ  Tìm giới hạn lim + n→∞ n+k n , k∈N Giải. n = lim + n→∞ n+k n  (n+k) n+k lim + = e = e n→∞ n+k TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 70 / 77 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Sử dụng giới hạn số e Ví dụ  Tìm giới hạn lim n→∞ n n+1 n Giải. n = lim − n→∞ n+1  −(n+1) n −(n+1) lim − = e −1 n→∞ n+1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 71 / 77 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Sử dụng giới hạn số e Ví dụ  n Tìm giới hạn lim + n→∞ 2n Giải. n  2n 2nn 1 lim + = lim + = e n→∞ n→∞ 2n 2n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 72 / 77 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Sử dụng giới hạn số e Ví dụ 2n 2n + Tìm giới hạn lim n→∞ 2n  n 2n  2n +1 lim = lim + = e n→∞ n→∞ 2n 2n  TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 73 / 77 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Chứng minh dãy số phân kỳ Chứng minh dãy số phân kỳ Định lý Nếu dãy (xn ) hội tụ tất giới hạn riêng dãy (xn ) giới hạn dãy số (xn ) Chú ý Để chứng minh dãy (xn ) phân kỳ ta làm sau: Cách Chỉ dãy hội tụ giới hạn riêng khác Cách Chỉ dãy phân kỳ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 74 / 77 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số Chứng minh dãy số phân kỳ Ví dụ Chứng minh dãy an = (−1)n 2n + phân kỳ 3n + Giải Xét dãy với số chẵn lẻ ta có 2.2k + → , 3.2k + 2.(2k + 1) + = (−1)2k+1 →− 3.(2k + 1) + a2k = (−1)2k a2k+1 k → ∞ Vậy tồn dãy có giới hạn khác nên dãy cho phân kỳ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 75 / 77 Thực hành MatLab Các lệnh Khai báo dãy số: ví dụ: syms n; xn=1/n Tính giới hạn dãy số: limit(xn, n, inf) Biểu diễn hình học dãy số: Ví dụ: N = 1000; for i = : N X(i) = 1/i; plot(X(i),’.’); end; TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 76 / 77 Thực hành MatLab THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP HCM — 2013 77 / 77