Đề tài tập trung nghiên cứu cách tìm số hạng tổng quát và cách tính giới hạn một số dãy số cho bằng công thức truy hồi. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết dưới đây để nắm nội dung của sáng kiến kinh nghiệm!
1 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Trong những năm gần đây, Tỉnh Vĩnh Phúc ln đứng trong tốp đầu cả nước chất lượng thi ĐHCĐ và thi THPT Quốc gia. Là một trường đang trên đà phát triển, trường THPT Nguyễn Thái Học ln nỗ lực để duy trì và nâng cao hơn nữa chất lượng giáo dục mọi mặt của nhà trường. Nhiệm vụ ấy vừa là trách nhiệm, vừa là niềm vinh dự của mỗi giáo viên. Là một giáo viên được ban Giám hiệu giao nhiệm vụ giảng dạy lớp mui nhon khôi A cua tr ̃ ̣ ́ ̉ ương, ôn thi THPT Qu ̀ ốc gia, phụ trach đôi tuyên toan l ́ ̣ ̉ ́ ơp 11, tơi nh ́ ận thấy mình phải có trách nhiệm giúp các em học sinh đạt được điểm số cao nhất trong khả năng của các em. “DAY SƠ ̃ ́” la mơt trong nh ̀ ̣ ưng kiên th ̃ ́ ưc hay va kho trong ch ́ ̀ ́ ương trinh Đai ̀ ̣ sô va Giai tich l ́ ̀ ̉ ́ ơp 11. Trong cac đê thi khao sat chuyên đê cua cac tr ́ ́ ̀ ̉ ́ ̀ ̉ ́ ường co không it ́ ́ nhưng câu hoi trăc nghiêm vê day sô đa gây kho khăn đôi v ̃ ̉ ́ ̣ ̀ ̃ ́ ̃ ́ ́ ơi hoc sinh. ́ ̣ Đăc biêt ̣ ̣ trong cac đê thi hoc sinh gioi l ́ ̀ ̣ ̉ ơp 11 câu day sô luôn xuât hiên va la câu kho đôi v ́ ̃ ́ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ới nhiêu hoc sinh. Trong đo dang ̀ ̣ ́ ̣ toan phô biên nhât vê day sô la dang bai vê tim công ́ ̉ ́ ́ ̀ ̃ ́ ̀ ̣ ̀ ̀ ̀ thưc sô hang tông quat cua day sô( CTTQ) va tinh gi ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̃ ́ ̀ ̀ ơi han cua day sô. ́ ̣ ̉ ̃ ́ Để giúp học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp kha gioi l ́ ̉ ơp 11 tr ́ ương THPT Nguyên Thai Hoc ̀ ̃ ́ ̣ có thể gai qut đ ̉ ́ ược mơt sơ dang bai tâp liên quan đên day sơ, tơi chon viêt đê tai: ̣ ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̃ ́ ̣ ́ ̀ ̀ “ PHƯƠNG PHAP TIM CÔNG TH ́ ̀ ƯC TÔNG QUAT VA TINH GI ́ ̉ ́ ̀ ́ ƠI HAN CUA ́ ̣ ̉ DAY SƠ CHO B ̃ ́ ỞI CƠNG THƯC TRUY HƠI” ́ ̀ Thực hiện đề tài này tơi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho q trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp. Đê tai tâp trung nghiên c ̀ ̀ ̣ ưu cach tim sô hang tông quat va cach tinh ́ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ́ giơí haṇ môṭ số day ̃ số cho băng ̀ công thức truy ̀ 2. Tên sáng kiến: “ PHƯƠNG PHAP TIM CƠNG TH ́ ̀ ƯC TƠNG QUAT VA TINH GI ́ ̉ ́ ̀ ́ ƠI HAN CUA ́ ̣ ̉ DAY SÔ CHO B ̃ ́ ỞI CÔNG THƯC TRUY HÔI” ́ ̀ 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên: NGUYỄN THỊ THUY D ̀ ƯƠNG Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học Số điện thoại: 0977604246. E_mail: thuyduongnth@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Họ và tên: NGUYỄN THỊ THUY D ̀ ƯƠNG Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học Số điện thoại: 0977604246. E_mail: thuyduongnth@gmail.com 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào dạy học mơn ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11ở trường THPT va bơi d ̀ ̀ ưỡng hoc sinh gioi toan l ̣ ̉ ́ ớp 11 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 1 năm 2016 7. Mơ tả bản chất của sáng kiến: Sáng kiến gồm 4 phần: PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN PHẦN 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ PHẦN 3: NƠI DUNG PH ̣ ƯƠNG PHAP ́ PHÂN 4: KÊT QUA ̀ ́ ̉ PHÂN 1: C ̀ Ơ SỞ LI LUÂN ́ ̣ I. Cơ sở thực tiên. ̃ Nhiêm vu trong tâm trong tr ̣ ̣ ̣ ương THPT va hoat đông day cua thây va hoat đông ̀ ̀ ̣ ̣ ̣ ̉ ̀ ̀ ̣ ̣ hoc cua tro. Đôi v ̣ ̉ ̀ ́ ơi ng ́ ươi thây, ngoài vi ̀ ̀ ệc truyền thụ kiến thức mới, giup hoc sinh ́ ̣ cung cô nh ̉ ́ ưng kiên th ̃ ́ ưc đã h ́ ọc cịn cần biết cách tạo cảm hứng học tập cho học sinh, giúp các em từng bước vượt qua những khó khăn, thử thách một cách nhẹ nhàng. Mn hoc tơt mơn Toan, cac em phai năm v ́ ̣ ́ ́ ́ ̉ ́ ững những tri thưc khoa hoc ́ ̣ ở môn Toan môt cach co hê thông, biêt vân dung ly thuyêt môt cach linh hoat vao t ́ ̣ ́ ́ ̣ ́ ́ ̣ ̣ ́ ́ ̣ ́ ̣ ̀ ưng bai ̀ ̀ toan cu thê. Điêu đo thê hiên ́ ̣ ̉ ̀ ́ ̉ ̣ ở viêc ̣ hoc đi đôi v ̣ ơi hanh, ́ ̀ đoi hoi hoc sinh phai co t ̀ ̉ ̣ ̉ ́ ư duy logic va suy nghi linh hoat. Vi vây, trong qua trinh day hoc giao viên cân đinh ̀ ̃ ̣ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̣ ́ ̀ ̣ hương cho hoc sinh cach hoc va nghiên c ́ ̣ ́ ̣ ̀ ứu môn Toan môt cach co hê thông, biêt ́ ̣ ́ ́ ̣ ́ ́ cach vân dung li thuyêt vao bai tâp, bi ́ ̣ ̣ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ết cách đưa bài tốn phức tạp về bài tốn đơn giản, biết cách biến cái “khơng thể” thành cái “có thể”. II. Cơ sở ly thut ́ ́ 1. DAY SÔ ̃ ́ 1. 1. Đinh nghia: ̣ ̃ a) Mỗi hàm số xác định trên tập số tự nhiên được gọi là một dãy số vơ hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: Dạng khai triển: Trong đó ta gọi: là số hạng đầu, là số thứ hay số hạng tổng qt của dãy số b) Mỗi hàm số xác định trên tập với được gọi là một dãy số hữu hạn 1.2. Dãy số tăng, dãy số giảm a) Dãy số được gọi là tăng nếu với mọi b) Dãy số được gọi là giảm nếu với mọi 1.3. Dãy số bị chặn a) Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số sao cho b) Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số sao cho c) Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số sao cho 2. CÂP SƠ CƠNG ́ ́ ̣ 2.1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: cơng sai) 2.2. Số hạng tổng qt: với n 2 2.3. Tính chất của các số hạng: với k 2 2.4. Tổng n số hạng đầu tiên: = 3. CÂP SƠ NHÂN ́ ́ 3. 1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân un+1 = un.q với n N* (q:cơng bội) 3. 2. Số hạng tổng qt: với n 2 3. 3. Tính chất các số hạng: với k 2 3. 4. Tổng n số hạng đầu tiên: PHÂN 2: TH ̀ ỰC TRANG VÂN ĐÊ ̣ ́ ̀ I. Thuân l ̣ ợi: + Ban thân tôi la giao viên đa ra tr ̉ ̀ ́ ̃ ương lâu năm, đ ̀ ược Ban giam hiêu phân công ́ ̣ đứng lơp chon va phu trach đôi tuyên nhiêu năm nên co kiên th ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ức tương đôi chăc ́ ́ chăn va bao quat toan câp hoc ́ ̀ ́ ̀ ́ ̣ + Hoc sinh đa đ ̣ ̃ ược ren luyên ky năng giai bai tâp vê câp sô công, câp sô nhân la ̀ ̣ ̃ ̉ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̣ ́ ́ ̀ nên tang đê giai cac bai toan vê day sô ̀ ̉ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ̀ ̃ ́ + Phương phap đ ́ ược day cho đôi t ̣ ́ ượng hoc sinh kha, nên đa sô cac em co y th ̣ ́ ́ ́ ́ ́ ưć hoc tâp tôt va năm băt kiên th ̣ ̣ ́ ̀ ́ ́ ́ ức tôt ́ II. Kho khăn: ́ + Hoc sinh vân quen cach hoc thu đông, không chiu suy nghi tim toi tr ̣ ̃ ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ̃ ̀ ̀ ươc nh ́ ưng ̃ câu hoi kho, la ̉ ́ ̣ + Thơi l ̀ ượng day không đ ̣ ược nhiêu nên nhiêu y t ̀ ̀ ́ ưởng cua giao viên ch ̉ ́ ưa truyên ̀ tai đ ̉ ược hêt ́ PHÂN 3: NÔI DUNG PH ̀ ̣ ƯƠNG PHAP ́ DANG 1: TIM CÔNG TH ̣ ̀ ƯC SÔ HANG TÔNG QUAT ́ ́ ̣ ̉ ́ Một trong các nội dung thường gặp trong các bài tốn về dãy số là xác định cơng thức sơ hang t ́ ̣ ổng qt của một dãy số cho bởi cơng thức truy hồi. Có nhiều phương pháp để giải quyết u cầu đó. Tuy nhiên phương phap th ́ ương găp la biên ̀ ̣ ̀ ́ đơi đê qui v ̉ ̉ ề dãy sô đăc biêt đo chinh la: C ́ ̣ ̣ ́ ́ ̀ ẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Dang 1.1 ̣ Xác định CTTQ của dãy (un) được xác định : a, b là các hằng số Day sô kiêu nay xuât hiên kha nhiêu trong cac bai tâp vê day sô cung nh ̃ ́ ̉ ̀ ́ ̣ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ̃ ́ ̃ trong cac câu hoi trăc nghiêm. Chung ta hay băt đâu băng vi du đ ́ ̉ ́ ̣ ́ ̃ ́ ̀ ̀ ́ ̣ ơn gian nhât: ̉ ́ Vi du 1: ́ ̣ (Bài tập 2.6 phần b sách bài tập đại số và giải tích 11) : Tìm cơng thưc sơ hang TQ c ́ ́ ̣ ủa dãy (un) được xác định như sau : Lơi giai: ̀ ̉ Bai toan nay co thê giai băng cac cach khac nhau: ̀ ́ ̀ ́ ̉ ̉ ̀ ́ ́ ́ Cach 1: ́ Dự đoan SHTQ rôi ch ́ ̀ ứng minh băng ph ̀ ương phap quy nap toan hoc ́ ̣ ́ ̣ Ta co: ́ Dự đoan: ́ Dê dang ch ̃ ́ ứng minh được công thức trên băng ph ̀ ương phap quy nap toan hoc ́ ̣ ́ ̣ Cach 2: ́ Từ công thưc truy hôi suy ra: suy ra day sô la môt câp sô công, v ́ ̀ ̃ ́ ̀ ̣ ́ ́ ̣ ới: . Khi đo: ́ Vi du 2 ́ ̣ : Xac đinh SHTQ cua day sô đ ́ ̣ ̉ ̃ ́ ược xac đinh b ́ ̣ ởi: Lơi giai: ̀ ̉ Tương tự như vi du 1, co thê giai vi du 2 băng cach d ́ ̣ ́ ̉ ̉ ́ ̣ ̀ ́ ự đoan công th ́ ức SHTQ rôí chưng minh băng quy nap. Tuy nhiên t ́ ̀ ̣ ừ công thưc truy hôi ta co thê thây ngay day sô ́ ̀ ́ ̉ ́ ̃ ́ nay la môt CSN v ̀ ̀ ̣ ơi: t ́ ư đo suy ra: ̀ ́ * Nhân xet ̣ ́: Qua 2 vi du trên ta thây bai toan co thê giai quyêt dê dang b ́ ̣ ́ ̀ ́ ́ ̉ ̉ ́ ̃ ̀ ởi day sô đa ̃ ́ ̃ cho chinh la nh ́ ̀ ưng day đăc biêt câp sô công ( CSC) hoăc câp sô nhân (CSN). Tuy ̃ ̃ ̣ ̣ ́ ́ ̣ ̣ ́ ́ nhiên không phai day sô nao cung la CSC hay CSN. Ta xet vi du sau: ̉ ̃ ́ ̀ ̃ ̀ ́ ́ ̣ Vi du 3 ́ ̣ : (Bài tập 3.11 phần a sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao) Cho dãy số Hãy điền các số thích hợp vào bảng sau đây: n un Lơi giai: ̀ ̉ Day sơ nay khơng phai la CSC hay CSN, tuy nhiên ta co thê biên đơi vê CSC, CSN ̃ ́ ̀ ̉ ̀ ́ ̉ ́ ̉ ̀ đôi v ́ ơi môt day trung gian khac ́ ̣ ̃ ́ Thât vây: ̣ ̣ Tư công th ̀ ưc truy hôi: ́ ̀ ta biên đôi vê day sao cho la môt CSN. T ́ ̉ ̀ ̃ ̀ ̣ ức la: , ta ̀ se tim day nh ̃ ̀ ̃ ư vây. ̣ Ta co: ́ Như vây day sô v ̣ ̃ ́ ơi la môt câp sô nhân xac đinh nh ́ ̀ ̣ ́ ́ ́ ̣ sau: .Ta thấy ( vn) lập thành một CSN với số hạng đầu v1=6 công bội q=3 nên suy ra n un 49 481 4369 Vây ta co bang sau: ̣ ́ ̉ *Tư vi du trên ta co cach lam tông quat cho day sô dang : nh ̀ ́ ̣ ́ ́ ̀ ̉ ́ ̃ ́ ̣ ư sau: Cach giai: ́ ̉ + Nêu thi (u ́ ̀ n) la câp sô công v ̀ ́ ́ ̣ ới công sai d=b + Nêu : Ta se phân tich nên hay ́ ̃ ́ Khi đó cơng thức truy hồi của dãy được viết như sau: Từ đó ta có day la 1 CSN co cơng bơi q=a ̃ ̀ ́ ̣ Suy ra: hay BAI TÂP T ̀ ̣ Ự LUYÊN ̣ Bai 1: ̀ Cho day sô: ̃ ́ a. Chưng minh day sô la 1 CSN ́ ̃ ́ ̀ b. Tinh tông 100 sô hang đâu cua day sô trên ĐS: ́ ̉ ́ ̣ ̀ ̉ ̃ ́ Bai 2 ̀ : Tim công th ̀ ưc SHTQ cua cac day sô sau: ́ ̉ ́ ̃ ́ a. ĐS: b. ; ĐS: Dang 1.2 ̣ : Xác định CTTQ của dãy (un) được xác định như sau : , Trong đó là đa thức bậc với là hằng số Cach giai: ́ ̉ Ta phân tích TH1: Nếu a=1 ta chọn g(n) là đa thức bậc k+1 có hệ số tự do bằng 0 TH2: Nếu a ≠1 ta chọn g(n) là đa thức bậc k Khi đó ta viết cơng thức truy hồi của dãy như sau: Ta tìm được CTTQ của dãy (un) là: Vi du 1 ́ ̣ :(Bài tập 2.5 trang 106 sách đại số và giải tích 11) Cho dãy (un) xác định bởi . Tìm CTTQ của dãy (un) Lơi giai: ̀ ̉ Cach 1 ́ : Giai s ̉ ử: Khi đó ta phân tích: Đồng nhất hệ số Khi đó ta xác định được hàm g(n): Từ cơng thức truy hồi của dãy (un) ta có: Cach 2 ́ : Từ cơng thức truy hồi Un+1Un= 3n2 ta thay các giá trị n=1,2,… cộng theo vế ta được: Vi du 2 ́ ̣ : (bài 3.28 trang 90 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao) Cho dãy số (vn) xác định như sau: Chứng minh rằng: Lơi giai: ̀ ̉ Cach 1 ́ Chứng minh bằng phương pháp quy nạp Cach 2 ́ Tìm CTTQ của (vn) Ta có (vn) được xách định như sau: Phân tích: Đồng nhất hệ số ta có: Vậy ta có hàm Từ cơng thức truy hồi của (vn) Từ đó ta chứng minh được Vi du 3 ́ ̣ : Tính tổng: Lơi giai: ̀ ̉ Dãy (Sn) được xác định như sau: (Sn): g(n)=; g(n1)= Phân tích: Đồng nhất hệ số: Từ cơng thức truy hồi: BÀI TẬP TỰ LUN: ̣ Bai 1 ̀ : Cho (un ) được xác định như sau: . Tìm CTTQ của (un) HD: Tách: ĐS: Bai 2 ̀ : Cho (un ) được xác định như sau: Tìm CTTQ của dãy (un) HD: Tách Bai 3 ̀ :(BT2.4 trang 106 sách BT địa số và giải tích 11) Cho dãy (un) được xách định như sau: a, Tìm cơng thức số hạng tổng qt của dãy (un) b, Tìm số hạng thứ 100 của dãy ĐS: Bai 4 ̀ : Tính tổng HD: ; ĐS: Bai 5 ̀ : T ìm CTTQ c ủa d ãy (Un) được xách định như sau: a, ĐS: b, Bai 6 ̀ : T ìm CTTQ c ủa d ãy (Un) được xách định như sau: a, ĐS: b, 10 Dang 1.3 ̣ : Xác định CTTQ của dãy (un) được xác định như sau : Cach giai: ́ ̉ TH1: Nếu a= Ta có : TH2: Nếu Ta phân tích Khi đó có k= Rồi đưa về các dạng đã biết ta tìm được cơng thức tổng qt của (Un) Vi du 1 ́ ̣ : Cho (un ) được xác định như sau : Tìm CTTQ của dãy (un ) Lơi giai: ̀ ̉ Vi du 2 ́ ̣ : Cho (Un ) được xác định như sau : Tìm CTTQ của dãy (Un ) Lơi giai: ̀ ̉ Ta phân tích : Từ cơng thức truy hồi của dãy (Un ) ta có: Vi du 3 ́ ̣ : Cho (Un ) được xác định như sau: Tìm CTTQ của dãy (un ) Lơi giai: ̀ ̉ Phân tích Vậy : Từ cơng thức truy hồi BÀI TẬP TỰ LUN ̣ Bai 1 ̀ : Cho dãy (Un) được xác định như sau: 11 Tìm CTTQ của dãy (un ) HD: ; Đs: Bai 2: ̀ Tìm CTTQ của dãy (Un ) được xác định như sau : a, ĐS: b, Bai 3 ̀ : Tìm tất cả giá trị sao cho (Un) xác định bởi: Là dãy số tăng Dang 1.4 ̣ : Cho dãy (Un) được xách định như sau: Trong đó là đa thức bậc theo Tìm CTTQ của dãy Cach giai: ́ ̉ Phân tích Phân tích Trong đó: + Nếu a=1 thì g(n) là đa thức bậc k+1 của n + Nếu a1 thì g(n) là đa thức bậc k của n Sau đó chuyển cơng thức truy hồi của dãy (un) về các dạng đã học ta tìm được CTTQ của (un) Vi du 1: ́ ̣ Cho dãy (un) được xách định như sau: Tìm CTTQ của dãy (un) Lơi giai: ̀ ̉ Ta phân tích: Ta phân tích : Đồng nhất hệ số ta có 12 và Từ cơng thức truy hồi của (Un) thì hồi Vậy CTTQ của (un) là BÀI TẬP TỰ LUYÊN ̣ Bai 1: ̀ Tìm CTTQ của dãy (un ) được xách định như sau : ĐS: Bai 2: ̀ Tìm CTTQ của day (u ̃ n) biết: DẠNG 1.5: Cho dãy (un) được xách định như sau: Tìm CTTQ của dãy (un) Cach giai: ́ ̉ Ta đưa CT truy hồi: về dạng: Đồng nhất hệ số: Khi đó x1, x2 là nghiệm phương trình:sau khi tìm x1, x2 thế vào (*) và dựa vào các dang đã học tìm được CTTQ của dãy (un) Vi du 1 ́ ̣ : Xác định CTTQ của dãy Lơi giai: ̀ ̉ Ta có: Đồng nhất hệ số: x1, x2 là nghiệm phương trình: T25T+6=0 Ta chọn : Áp dụng dạng 3 ta có: Từ (*) ta có: 13 BÀI TẬP TỰ LUN: ̣ Bai 1 ̀ : Xác định công thức tổng quát của dãy (Un).được cho bởi công thứ : Bai 2 ̀ : Xác định công thức tổng quát của dãy (Un).được cho bởi công thức: ĐS Bai 3: ̀ Xác định công thức tổng quát của dãy (Un) được cho bởi công thức: Bai 4 ̀ : Xác định công thức tổng quát của dãy (Un).được cho bởi công thức: a, ĐS: b, ĐS: c, ĐS: d, e, CÂU HOI TRĂC NGHIÊM ̉ ̣ Câu 1. Cho dãy số với .Số hạng tổng quát của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. B. C. D. Câu 2. Cho dãy số với . Số hạng tổng quát của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. B. . C. . D. Câu 3. Cho dãy số với . Cơng thức số hạng tổng qt của dãy số này : A. B. . C. . D. Câu 4. Cho dãy số xác định bởi . Giá trị của để là A. B. C. Khơng có D. Câu 6. Cho dãy số được xác định như sau: Tính tổng A. B. C. D. Câu 7. Cho dãy số xác định bởi Tìm chữ số hàng đơn vị của A. 4 14 B. 6 C. 0 D. 2 Câu 8. Cho dãy số với . Số hạng tổng quát của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. B. C. . D. Câu 9: Cho dãy Tính A. 2 B. C. 1 D. 3 Câu 10. Cho dãy số với . Số hạng tổng quát của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. B. . C. . D. Câu 11: Cho dãy số có . Khi đó số hạng thứ n+3 là? A. B. C. D. Câu 12. Cho dãy số xác định bởi Tìm A. B. C. D. Câu 13. Cho dãy số với . Số hạng tổng quát của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. B. C. D. Câu 14. Cho dãy số xác định bởi . Tìm số ngun dương nhỏnhất sao cho A. B. . C. . D. Câu 15. Tính tổng A. B. C. D. DANG 2: ̣ TINH GI ́ ƠI HAN CUA DAY CHO CHO B ́ ̣ ̉ ̃ ỞI CÔNG THỨC TRUY HÔÌ Dang 2.1 ̣ Tinh gi ́ ơi han cua day sô cho b ́ ̣ ̉ ̃ ́ ởi công thưc truy hôi băng cach xac ́ ̀ ̀ ́ ́ đinh CTTQ cua day sô ̣ ̉ ̃ ́ Nêu biêt CTTQ cua day sô thi viêc tinh gi ́ ́ ̉ ̃ ́ ̀ ̣ ́ ơi han không con kho khăn n ́ ̣ ̀ ́ ữa. Đê tim ̉ ̀ ra CTTQ cua day sô co kha nhiêu cach. Trong dang 1 ̉ ̃ ́ ́ ́ ̀ ́ ̣ ở chuyên đê nay chung ta đa ̀ ̀ ́ ̃ 15 đưa ra được môt sô cach c ̣ ́ ́ ban đê xac đinh. Cac vi du sau đây dung cac ph ̉ ̉ ́ ̣ ́ ́ ̣ ̀ ́ ương phap đa biêt ́ ̃ ́ ở dang 1 đê tim CTTQ cua day sô ̣ ̉ ̀ ̉ ̃ ́ Vi du 1 ́ ̣ Cho day sô: . Tinh ̃ ́ ́ Lơi giai ̀ ̉ : Ap dung dang 1.1 ta tim đ ́ ̣ ̣ ̀ ược CTTQ cau day sô trên la: ̉ ̃ ́ ̀ Do đo:́ Vi du 2: ́ ̣ Cho day sô: . Tinh ̃ ́ ́ Lơi giai ̀ ̉ : Ap dung dang 1.1 ta tim đ ́ ̣ ̣ ̀ ược CTTQ cau day sô trên la: ̉ ̃ ́ ̀ Do đo:́ Vi du 3 ́ ̣ : Cho day sô: . Tinh ̃ ́ ́ (HSG Băc Giang) ́ Lơi giai ̀ ̉ : Ap dung dang 1.5 ta tim đ ́ ̣ ̣ ̀ ược CTTQ cua day sô trên la: ̉ ̃ ́ ̀ Do đo: ́ BAI TÂP T ̀ ̣ Ự LUYÊN: ̣ Bai 1: ̀ Cho day sô: . Tinh . ̃ ́ ́ ĐS: Bai 2: ̀ Cho day sô: . Tinh . ̃ ́ ́ ĐS: Nhân xet: ̣ ́ Nhiêu bai toan viêc tim đ ̀ ̀ ́ ̣ ̀ ược CTTQ la kho khăn, khi đo ta co thê tim gi ̀ ́ ́ ́ ̉ ̀ ới han day sô theo cach khac dê h ̣ ̃ ́ ́ ́ ̃ ơn. Dang 2.2 ̣ : Tinh gi ́ ơi han cua day sô cho b ́ ̣ ̉ ̃ ́ ởi hê th ̣ ức truy hôi băng cach s ̀ ̀ ́ ử dung ̣ tinh đ ́ ơn điêu va bi chăn ̣ ̀ ̣ ̣ Đê tim đ ̉ ̀ ược giới han theo cach nay ta cân năm đ ̣ ́ ̀ ̀ ́ ược cac tinh chât sau cua day sô: ́ ́ ́ ̉ ̃ ́ 1. Day sô tăng va bi chăn trên hoăc day sô giam va bi chăn d ̃ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ ̃ ́ ̉ ̀ ̣ ̣ ưới thi co ̀ ́ thi co gi ̀ ́ ơi han h ́ ̣ ưu han ̃ ̣ 2. Nêu day sô thoa man điêu kiên va tôn tai thi ́ ̃ ́ ̉ ̃ ̀ ̣ ̀ ̀ ̣ ̀ 3. Nêu day sô thoa man điêu kiên va tôn tai thi ́ ̃ ́ ̉ ̃ ̀ ̣ ̀ ̀ ̣ ̀ 4. Giai s ̉ ử day sô ̃ ́ co gi ́ ới han h ̣ ữu han thi ̣ ̀ 16 Vi du 1 ́ ̣ : Cho day sô xac đin b ̃ ́ ́ ̣ ởi: . Tim ̀ Lơi giai: ̀ ̉ Ta se ch ̃ ưng minh day ́ ̃ tăng va bi chăn trên ̀ ̣ ̣ Thât vây: Ch ̣ ̣ ưng minh day sô tăng băng quy nap nh ́ ̃ ́ ̀ ̣ ư sau: Vơi n=1 ta co: ́ ́ Gia x ̉ ử , khi đo . Vây ́ ̣ Hay day sô tăng nê se bi chăn d ̃ ́ ̃ ̣ ̣ ưới bởi . Ta se ch ̃ ưng minh day sô bi chăn trên b ́ ̃ ́ ̣ ̣ ởi 2 băng quy nap, thât vây: ̀ ̣ ̣ ̣ Khi n=1 ta co ́ Gia s ̉ ử ,, khi đo ́ Vây day sô bi chăn trên b ̣ ̃ ́ ̣ ̣ ởi 2. Do đo day sô co gi ́ ̃ ́ ́ ới han h ̣ ữu han ̣ Gia s ̉ ử thi .̀ Tư hê th ̀ ̣ ưc truy hôi, lây gi ́ ̀ ́ ới han hai vê ta co: ̣ ́ ́ Vây ̣ Vi du 2 ́ ̣ : Cho dãy số (un) xác định như sau: Chưng minh day sô ́ ̃ ́co gi ́ ơi han va tim gi ́ ̣ ̀ ̀ ới han đo ̣ ́ Lơi giai ̀ ̉ : Ap dung bât đăng th ́ ̣ ́ ̉ ưc CôSi ́ : hay day sô ̃ ́ bi chăn d ̣ ̣ ươi b ́ ởi Dự đoan day sô giam, ta se ch ́ ̃ ́ ̉ ̃ ứng minh Thât vây ̣ ̣ : Xet hiêu ́ ̣ : Do hay day sô giam ̃ ́ ̉ Như vây day sô ̣ ̃ ́ giam va bi chăn d ̉ ̀ ̣ ̣ ưới nên co gi ́ ới han h ̣ ữu han. Gia s ̣ ̉ ử . Ta có phương trinh: ̀ 17 Vây ̣ Vi du 3 ́ ̣ : Cho dãy số (un) xác định như sau: Tim: ̀ Lơi giai: ̀ ̉ Dê dang ch ̃ ̀ ưng minh đ ́ ược dãy tăng vi: suy ra day sô bi chăn d ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ưới bởi u 1=2019 hay Giả sử day sơ có gi ̃ ́ ới hạn hưu han là a( a>2019) thi : suy ra day sơ khơng co gi ̃ ̣ ̀ ̃ ́ ́ ới han h ̣ ưu han hay ̃ ̣ Ta có : Vậy : Vi du 3 ́ ̣ : Cho dãy số (un) xác định như sau: Chưng minh day sơ ́ ̃ ́co gi ́ ơi han va tim gi ́ ̣ ̀ ̀ ới han đo ̣ ́ Lơi giai ̀ ̉ : Ta có : Ap dung bât đăng th ́ ̣ ́ ̉ ưc CôSi ́ : hay day sô ̃ ́ bi chăn d ̣ ̣ ươi b ́ ởi Dự đoan day sô giam, ta se ch ́ ̃ ́ ̉ ̃ ứng minh Thât vây ̣ ̣ : Xet hiêu ́ ̣ : Do hay day sô giam ̃ ́ ̉ Như vây day sô ̣ ̃ ́ giam va bi chăn d ̉ ̀ ̣ ̣ ươi nên co gi ́ ́ ơi han h ́ ̣ ưu han. Gia s ̃ ̣ ̉ ử . Ta có phương trinh: ̀ Vây ̣ Vi du 4: ́ ̣ Cho day sô xac đin b ̃ ́ ́ ̣ ởi: . Tim ̀ (Đê HSG Quang Binh ̀ ̉ ̀ ) Lơi giai: ̀ ̉ Ta có: 18 nên là dãy số tăng Giả sử () là dãy số bị chặn trên khi đó nó có giới hạn hữu hạn . Ta có: phương trinh nay vơ nghiêm nên dân đên mâu thn. Vây day ̀ ̀ ̣ ̃ ́ ̃ ̣ ̃ () khơng bị chăn . ̣ Do đó: Ta có: BAI TÂP T ̀ ̣ Ự LUYÊN: ̣ Bai 1: ̀ Cho dãy số (un) xác định như sau: Chưng minh răng co gi ́ ̀ ́ ới han va tinh gi ̣ ̀ ́ ới han đo ̣ ́ Bai 2 ̀ : Cho dãy số được xác định bởi : Tính Bai 3 ̀ : Cho dãy số (un) xác định như sau: Chưng minh day sơ tăng va tim gi ́ ̃ ́ ̀ ̀ ơi han cua day sô đo ́ ̣ ̉ ̃ ́ ́ Dang 2.3 ̣ Tinh gi ́ ơi han cua day sô băng cach s ́ ̣ ̉ ̃ ́ ̀ ́ ử dung nguyên ly kep ̣ ́ ̣ Đê ap dung ph ̉ ́ ̣ ương phap nay ta nhăc lai nguyên ly kep nh ́ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ư sau: Cho 3 day sô: thoa man điêu kiên: va thi ̃ ́ ̉ ̃ ̀ ̣ ̀ ̀ Sau đây ta xet môt sô vi du minh hoa ph ́ ̣ ́ ́ ̣ ̣ ương phap nay: ́ ̀ Vi du 1: ́ ̣ Tinh cac gi ́ ́ ơi han sau: ́ ̣ Lơi giai: ̀ ̉ 1) Ta co: ma ́ ̀ 2) Ta co: ́ ma ̀ Nhân xet ̣ ́: Trong Vi du 1, day sô đ ́ ̣ ̃ ́ ược cho băng CTTQ vi vây viêc ap dung gi ̀ ̀ ̣ ̣ ́ ̣ ơi han ́ ̣ kep dê h ̣ ̃ ơn, trong trương h ̀ ợp day sô cho băng công th ̃ ́ ̀ ức truy hôi ta phai s ̀ ̉ ử dung ky ̣ ̃ năng đanh gia cao h ́ ́ ơn đê co thê dung đ ̉ ́ ̉ ̀ ược giới han kep. Sau đây ta xet cac vi du ma ̣ ̣ ́ ́ ́ ̣ ̀ day sô cho băng công th ̃ ́ ̀ ức truy hôi ̀ 19 Vi du 2 ́ ̣ : Cho dãy số được xác định bởi : a. CMR: b) CMR: . Tinh ́ Lơi giai: ̀ ̉ a) Băng quy nap ta dê dang ch ̀ ̣ ̃ ̀ ứng minh được . Ta chứng minh . Thât vây: ̣ ̣ Vơi n=1 thi đung. ́ ̀ ́ Giai s ̉ ử , ta chưng minh . Ta co: Do đo: ́ ́ ́ Vây ̣ b) Tư câu a) suy ra: ̀ Do đo ta co: ́ ́ Nên theo nguyên ly kep: ́ ̣ Vi du 3: ́ ̣ Cho dãy số được xác định bởi : a) CMR: va ̀ b) Tinh ́ Lơi giai: ̀ ̉ Nhân xet: ̣ ́ Viêc tim CTTQ cua day sô la kha kho khăn, nh ̣ ̀ ̉ ̃ ́ ̀ ́ ́ ưng từ hê th ̣ ức truy hôi ta ̀ co thê đanh gia đ ́ ̉ ́ ́ ược dê dang ̃ ̀ a) Dê dang ch ̃ ̀ ứng minh được Tư hê th ̀ ̣ ưc truy hôi ta suy ra: ́ ̀ b) Tư câu a) ta co: ̀ ́ ma nên theo nguyên ly kep ta co ̀ ́ ̣ ́ Vi du 4 ́ ̣ : Cho dãy số được xác định bởi : .( vơi 1