SKKN phương pháp tìm công thức tổng quát và tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI” Tác giả sáng kiến: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG Mã sáng kiến: 05.52 Vĩnh Yên, tháng 2/2020 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Trong năm gần đây, Tỉnh Vĩnh Phúc đứng tốp đầu nước chất lượng thi ĐH-CĐ thi THPT Quốc gia Là trường đà phát triển, trường THPT Nguyễn Thái Học nỗ lực để trì nâng cao chất lượng giáo dục mặt nhà trường Nhiệm vụ vừa trách nhiệm, vừa niềm vinh dự giáo viên Là giáo viên ban Giám hiệu giao nhiệm vụ giảng dạy lớp mũi nhọn khối A trường, ôn thi THPT Quốc gia, phụ trách đội tuyển tốn lớp 11, tơi nhận thấy phải có trách nhiệm giúp em học sinh đạt điểm số cao khả em “DÃY SỐ” kiến thức hay khó chương trình Đại số Giải tích lớp 11 Trong đề thi khảo sát chuyên đề trường có khơng ít câu hỏi trắc nghiệm dãy số đã gây khó khăn học sinh Đặc biệt đề thi học sinh giỏi lớp 11 câu dãy số xuất câu khó nhiều học sinh Trong dạng tốn phở biến dãy số dạng tìm cơng thức số hạng tởng qt dãy số( CTTQ) tình giới hạn dãy số Để giúp học sinh THPT đặc biệt học sinh lớp giỏi lớp 11 trường THPT Nguyễn Thái Học gải quyết số dạng tập liên quan đến dãy số, chọn viết đề tài: “ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI” Thực đề tài muốn lấy làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho trình giảng dạy thân, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp Đề tài tập trung nghiên cứu cách tìm số hạng tởng quát cách tính giới hạn số dãy số cho bằng công thức truy hồi Tên sáng kiến: “ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại: 0977604246 - E_mail: thuyduongnth@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: - Họ tên: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại: 0977604246 - E_mail: thuyduongnth@gmail.com Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào dạy học mơn ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11ở trường THPT bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 11 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Tháng năm 2016 Mô tả chất sáng kiến: Sáng kiến gồm phần: PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN PHẦN 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ PHẦN 3: NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN 4: KẾT QUẢ PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN I Cơ sở thực tiễn Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy, việc truyền thụ kiến thức mới, giúp học sinh củng cố kiến thức đã học còn cần biết cách tạo cảm hứng học tập cho học sinh, giúp em bước vượt qua khó khăn, thử thách cách nhẹ nhàng Muốn học tốt mơn Tốn, em phải nắm vững tri thức khoa học ở mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào toán cụ thể Điều thể ở việc học đơi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học nghiên cứu mơn Tốn cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào tập, biết cách đưa toán phức tạp tốn đơn giản, biết cách biến “khơng thể” thành “có thể” II Cơ sở lý thuyết DÃY SỐ 1 Định nghĩa: * a) Mỗi hàm số u xác định tập số tự nhiên � gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) u : �* � � Kí hiệu: n a u ( n) Dạng khai triển: u1; u2 ; u3 ; ; un ; Trong ta gọi: u1 số hạng đầu, un  u (n) số thứ n hay số hạng tổng quát dãy số * b) Mỗi hàm số u xác định tập M   1;2;3; ; m với m �� gọi dãy số hữu hạn 1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm * a) Dãy số (un ) gọi tăng nếu un1  un với n �� * b) Dãy số (un ) gọi giảm nếu un1  un với n �� 1.3 Dãy số bị chặn * a) Dãy số (un ) gọi bị chặn nếu tồn số M cho un �M , n �� * b) Dãy số (un ) gọi bị chặn nếu tồn số m cho un �m, n �� c) Dãy số (un ) gọi bị chặn nếu vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức * tồn số m, M cho m �un �M , n �� CẤP SỐ CỘNG 2.1 Định nghĩa: (un) cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai) 2.2 Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d với n  2.3 Tính chất số hạng: 2.4 Tổng n số hạng đầu tiên: uk  uk 1  uk 1 với k  Sn  u1  u2   un  n(u1  un ) n  2u1  ( n  1)d  2 = CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: (un) cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q:công bội) Số hạng tổng quát: un  u1.q n1 với n  2 3 Tính chất số hạng: uk  uk 1.uk 1 với k  Sn  nu1 với q  � � u1 (1  q n ) � Sn  với q �1 �  q � Tổng n số hạng đầu tiên: PHẦN 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ I Thuận lợi: + Bản thân giáo viên đã trường lâu năm, Ban giám hiệu phân công đứng lớp chọn phụ trách đội tuyển nhiều năm nên có kiến thức tương đối chắc chắn bao quát toàn cấp học + Học sinh đã rèn luyện kỹ giải tập cấp số cộng, cấp số nhân tảng để giải toán dãy số + Phương pháp dạy cho đối tượng học sinh khá, nên đa số em có ý thức học tập tốt nắm bắt kiến thức tốt II Khó khăn: + Học sinh vẫn quen cách học thụ động, không chịu suy nghĩ tìm tòi trước câu hỏi khó, lạ + Thời lượng dạy không nhiều nên nhiều ý tưởng giáo viên chưa truyền tải hết PHẦN 3: NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP DẠNG 1: TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Một nội dung thường gặp toán dãy số xác định công thức số hạng tổng quát dãy số cho bởi cơng thức truy hồi Có nhiều phương pháp để giải quyết yêu cầu Tuy nhiên phương pháp thường gặp biến đổi để qui dãy số đặc biệt chính là: CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Dạng 1.1 Xác định CTTQ dãy (un) xác định : u1  x0 � � un  aun1  b , n �2 � a, b hằng số Dãy số kiểu xuất nhiều tập dãy số cũng câu hỏi trắc nghiệm Chúng ta hãy bắt đầu bằng ví dụ đơn giản nhất: Ví dụ 1: (Bài tập 2.6 phần b sách tập đại số giải tích 11) : u1  � (un ) : � un1  un  � Tìm cơng thức số hạng TQ dãy (un) xác định sau : Lời giải: Bài toán giải bằng cách khác nhau: Cách 1: Dự đoán SHTQ chứng minh bằng phương pháp quy nạp tốn học Ta có: u1    1; u2    2; u3    3; u4  1   Dự đoán: un   n Dễ dáng chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp toán học Cách 2: Từ công thức truy hồi un1  un  suy ra: un1  un  1 suy dãy số (un ) cấp số cộng, với: u1  � � d  1 � Khi đó: un  u1  (n  1)d   (n  1)(1)   n Ví dụ 2: Xác định SHTQ dãy số  un  xác định bởi: Lời giải: u1  � � un  2un1; n �2 � Tương tự ví dụ 1, giải ví dụ bằng cách dự đốn cơng thức SHTQ rối chứng minh bằng quy nạp Tuy nhiên từ công thức truy hồi ta thấy dãy số CSN với: u1  � � q2 � n 1 từ suy ra: un  3.2 * Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy toán giải quyết dễ dàng bởi dãy số đã cho chính dãy đặc biệt cấp số cộng ( CSC) cấp số nhân (CSN) Tuy nhiên dãy số cũng CSC hay CSN Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: (Bài tập 3.11 phần a sách tập đại số giải tích 11 nâng cao) u 1 � (un ) : �1 un1  3un  10 � Cho dãy số Hãy điền số thích hợp vào bảng sau đây: n un Lời giải: Dãy số CSC hay CSN, nhiên ta biến đổi CSC, CSN dãy trung gian khác Thật vậy: Từ công thức truy hồi: un1  3un  10 ta biến đổi dãy   cho   CSN Tức là:  un  c � � vn1  kvn � , ta sẽ tìm dãy   k 3 k 3 � � un1  c  k (un  c) � � �� kc  c  10 � c5 � Ta có: Như dãy số   với v n = u n  cấp số nhân xác định sau: v1  � (vn ) : � vn1  3vn � Ta thấy (vn) lập thành CSN với số hạng đầu v1=6 công bội q=3 n 1 n 1 n n nên  v1.q  6.3  2.3 suy un  2.3  Vậy ta có bảng sau: n un 49 481 4369 *Từ ví dụ ta có cách làm tổng quát cho dãy số dạng : u1  x0 � � un  aun1  b , n �2 � sau: Cách giải: + Nếu a  (un) cấp số cộng với công sai d=b + Nếu a �1 : Ta sẽ phân tích b  k  ak nên k b b b b a  a hay 1 a 1 a Khi cơng thức truy hồi dãy viết sau: un  au n1 b � un  au n1  Từ ta có dãy Suy ra: hay un  b b b b a � un   a (u n1  ) 1 a 1 a 1 a 1 a  un  c  un  b a  CSN có cơng bội q=a b b  a n1 (u1  ) 1 a 1 a un  a n 1u1  b (a n 1  1) 1 a BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho dãy số: u1  � � un1  3un  10, n �2 � a Chứng minh dãy số  un  CSN b Tính tổng 100 số hạng đầu dãy số ĐS: Bài 2: Tìm cơng thức SHTQ dãy số sau: a u1  � � un  2un 1  3, n �2 � n 1 ĐS: un   b u1  � � un1  6un  1, n �1 � ; ĐS: un  n1  5 Dạng 1.2: Xác định CTTQ dãy (un) xác định sau : u1  x0 � (un ): � un  aun1  f (n) � , Trong f  n  đa thức bậc k với n, a hằng số Cách giải: Ta phân tích f  n   g  n   ag  n  1 TH1: Nếu a=1 ta chọn g(n) đa thức bậc k+1 có hệ số tự bằng TH2: Nếu a ≠1 ta chọn g(n) đa thức bậc k Khi ta viết công thức truy hồi dãy sau: un  g (n)  a (un 1  g (n  1)) n 1 Ta tìm CTTQ dãy (un) là: un   u1  g (1) a  g (n) Ví dụ 1:(Bài tập 2.5 trang 106 sách đại số giải tích 11) Cho dãy (un) xác định bởi u1  � � un1  un  3n  � Tìm CTTQ dãy (un) Lời giải: Cách 1: u1  u1  � � �� � un1  un  3n  � un  un1  3n  � 2 Giải sử: g (n)  an  bn � g ( n  1)  a (n  1)  b(n  1) Khi ta phân tích: 3n   g (n)  g (n  1) � 3n   an2  bn  a(n  1)  b(n  1) � 3n   2an  b  a � a �  2a � � �� � 5  b  a � � b � Đồng hệ số g ( n)  n  n 2 Khi ta xác định hàm g(n): Từ cơng thức truy hồi dãy (un) ta có: 3n  7n  14 un  g (n)  un1  g (n  1) Hay un  u1  g (1)  g (n)  Cách 2: u1  � � un1  un  3n  � Từ công thức truy hồi Un+1-Un= 3n-2 ta thay giá trị n=1,2,… u2  u1  3.1  u3  u2  3.2  ����� un  un1  3. n  1  cộng � un  theo vế ta được: un  u1     �   n  1    n  1 3n  n  14 Ví dụ 2: (bài 3.28 trang 90 sách tập đại số giải tích 11 nâng cao) v1  Cho dãy số (vn) xác định sau: � � vn1  3vn  2n  1, n �1 � n Chứng minh rằng: Vn   n,  n �1 Lời giải: Cách Chứng minh bằng phương pháp quy nạp Cách Tìm CTTQ (vn) Ta có (vn) xách định sau: v1  � �  3vn 1  2n  3, n �2 � g  n   an  b  �   g  n  1  a  n  1  b Phân tích: 2n   g  n   3g  n  1   �  2n   an  b  3a  n  1  3b  �  2n   2an  3a  2b 10 Đồng hệ số: �x1  x2  � �x1 x2  T  �x1  2, x2  � � �1 �� T  � �x1  3, x2  � x1, x2 nghiệm phương trình: T -5T+6=0 Ta chọn x1  2, x2  : � un  un1  6un2  � un  2un1  3(un1  2un 2 )  32 (un1  2un2 )  3n1 (u1  2u0 )  3n1 (3  2)  5.3n1 � un  2un1  5.3n1  2un 1  3n (*) Áp dụng dạng ta có: 3n  k 3n  2k 3n1 � 3n  (k  2k n )3 � k  � 3n  3.3n  2.3.3n 1 Từ (*) ta có: 5 un  2un1  3n  2un1  (3.3n  2.3.3n 1 ) 3 n n 1 � un  5.3  2(un1  5)  2 (un2  3n2.5)  n1 (u1  31.5)  n1 (3  15)  12.2 n1  6.2 n � un  5.3n  6.2n BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Xác định công thức tổng quát dãy (U n).được cho bởi công thứ : u0  1, u1  � (un ) : � un  un1  6un  0, n �2 � Bài 2: Xác định công thức tổng quát dãy (U n).được cho bởi công thức: u0  1, u1  � 1� (un ) : � u  (2  5) n  (2  5) n � n u  u  u ,  n � � � n n 1 �n1 ĐS Bài 3: Xác định công thức tổng quát dãy (U n) cho bởi công thức: u1  2, u2  � (un ) : � un  un1  2un  � 18 Bài 4: Xác định công thức tổng quát dãy (Un).được cho bởi công thức: u0  2, u1  � (un ) : � un  un1  2un2 , n �2 � a, b, u0  1, u1  � (un ) : � un  un1  18un2 , n �2 � u0  2, u1  � (un ) : � un  5un1  6un2 , n �2 � c, n 1 ĐS: un   n n ĐS: un  4.3  2.6 n 1 n 1 ĐS: un  3.2  u0  2, u1  � (un ) : � un  3un1  2un , n �2 � d, u0  0, u1  � (un ) : � un  4un1  3un2 , n �2 � e, CÂU HỎI TRĂC NGHIỆM u1  � � un1  un  n � Câu Cho dãy số  un  với Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? A C un   un  (n  1) n B (n  1) n D Câu Cho dãy số  un  với u1  � � un1  un  2n  � un   ( n  1)( n  2) un   (n  1) n Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? A un    n  1 2 B un   n C un    n  1 D un    n  1 2 Câu Cho dãy số  un  với u1  � � un1  2un � Công thức số hạng tổng quát dãy số : 19 n 1 B un  n A un  Câu Cho dãy số  un  xác định bởi n 1 D un  n C un  u1  � � un1  un  2n  1, n �1 � Giá trị n để un  2017 n  2018  A 2018 B 2017 C Khơng có n D 1009 u1  � � u  4un   5n  n �1 xác định sau: �n1 Câu Cho dãy số  un  Tính tổng S  u2018  2u2017 2018 A S  2016  3.4 2018 B S  2016  3.4 2017 C S  2015  3.4 2017 D S  2015  3.4 Câu Cho dãy số (un ) xác định bởi u2019 A u1  � � u  u  6,  n � n �n1 B Câu Cho dãy số  un  Tìm chữ số hàng đơn vị C D u1  � � � 2n un1  un   1 � với Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? B un    1 2n A un   n C un  n D un   n u1  � � n (un ) � �1 � un1  un  � �n �1 � �2 � � Câu 9: Cho dãy Tính lim un A B Câu 10 Cho dãy số  un  với C u1  � � un1  un  2n  � số hạng đây? 20 D Số hạng tổng quát un dãy số A un    n  1 2 B un   n C un    n  1 D un    n  1 Câu 11: Cho dãy số có u1  � n �N *   � un  2un1  3un2 � Khi số hạng thứ n+3 là? A un 3  2un 2  3un 1 B un3  2un  3un C un3  2un 2  3un 1 D un3  2un  3un1 u1  3, u2  � � un  2un 1  3un , n �1 � Câu 12 Cho dãy số (un ) xác định bởi A u5  17 B u5  12 Câu 13 Cho dãy số  un  C u5  19 Tìm u5 D u5  13 u1  � � u  un  n với �n 1 Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? A C un   n  n  1  2n   un   n  n  1  2n   B D un   n  n  1  2n  1 un   n  n  1  2n  1 u1  � � un1  un  n3 , n ��* u   � n Câu 14 Cho dãy số xác định bởi Tìm số nguyên dương n nhỏnhất cho A n  2020 un  �2039190 B n  2018 C n  2017 n  2019 2017 Câu 15 Tính tổng S   2.2  3.2  4.2   2018.2 2018 A S  2019.2  2018 B S  2017.2  2018 C S  2017.2 2018 D S  2018.2  DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI 21 D Dạng 2.1 Tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi bằng cách xác định CTTQ dãy số Nếu biết CTTQ dãy số việc tính giới hạn khơng còn khó khăn Để tìm CTTQ dãy số có nhiều cách Trong dạng ở chuyên đề đã đưa số cách để xác định Các ví dụ sau dùng phương pháp đã biết ở dạng để tìm CTTQ dãy số u  10 � �1 � un1  un  3, n �1 lim un � Ví dụ Cho dãy số: � Tính Lời giải: n 3 �1 � 15 un  � �  �5 � Áp dụng dạng 1.1 ta tìm CTTQ cảu dãy số là: Do đó: lim un  15 u1  � � n � �1 � un1  un  � �, n �1 � lim un �2 � Ví dụ 2: Cho dãy số: � Tính n 1 �1 � un   � � �2 � Lời giải: Áp dụng dạng 1.1 ta tìm CTTQ cảu dãy số là: Do đó: lim un  Ví dụ 3: Cho dãy số: u0  1; u1  � � un  3un1  2un  0, n �1 � Tính lim un 3.2n (HSG Bắc Giang) n Lời giải: Áp dụng dạng 1.5 ta tìm CTTQ dãy số là: un  5(2  1) un 5(2  1)  lim  lim n 3.2 3.2n n Do đó: lim 2n  3 5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 22 u  5 � �1 � un1  un  6, n �1 lim un � Bài 1: Cho dãy số: � Tính Bài 2: Cho dãy số: u1  � � un1  4un  1, n �1 � Tính lim un 22 n ĐS: ĐS: lim un  18 lim un  22 n Nhận xét: Nhiều tốn việc tìm CTTQ khó khăn, ta tìm giới hạn dãy số theo cách khác dễ Dạng 2.2: Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn Để tìm giới hạn theo cách ta cần nắm tính chất sau dãy số: Dãy số tăng bị chặn dãy số giảm bị chặn có có giới hạn hữu hạn lim un Nếu dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện un �M , n tồn lim un �M lim un lim un �m Nếu dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện un �m, n tồn lim un  lim un1 Giải sử dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn � u1  � � lim un u   un , n �1 Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) xác địn bởi: �n1 Tìm Lời giải: Ta sẽ chứng minh dãy (un ) tăng bị chặn Thật vậy: Chứng minh dãy số tăng bằng quy nạp sau: - Với n=1 ta có: u2   u1     u1 u   uk 1   uk  uk 1 - Giả xử uk 1  uk , k  Vậy un1  un , n �1 Hay dãy số (un ) tăng nê sẽ bị chặn bởi chặn bởi bằng quy nạp, thật vậy: 23 Ta sẽ chứng minh dãy số (un ) bị - Khi n=1 ta có u1   u   uk    - Giả sử , uk  2, k �1 , k 1 Vậy dãy số (un ) bị chặn bởi Do dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un  a a � Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có: a  1(l ) � lim un1  lim  un � a   a � a  a  � � a2 � Vậy lim un  u1  � � 1� 2� � u  u  , n �1 � � n  n � u n � � Ví dụ : Cho dãy số (un) xác định sau: � Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn tìm giới hạn Lời giải : 1� 2� u1  0, un1  � un  � 0, n �1 � un � 1� 2� un1  � un  �� un  2, n �1 � un � un Áp dụng bất đẳng thức CôSi : � un 2, n hay dãy số (un ) bị chặn bởi Dự đoán dãy số giảm, ta sẽ chứng minh Thật : - Xét hiệu : 1� 2� � un2 � un1  un  � un  � un  � 1 � � un � un � � un2 un �� ��  1 Do un2 un1 un 24 hay dãy số giảm Như dãy số (un ) giảm bị chặn nên có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un  a (a>0) � lim un1  a Vậy Ta có phương trình: a 1� 2� � a  �a  �� � 2� a � � a   2(l ) lim un  u1  2019 � (n �N *) � u  2019 u  u n n Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định sau: �n1 lim( Tìm: u1 u2 u3 u     n ) u2 u3 u4 un1 Lời giải: Dễ dàng chứng minh dãy tăng vì: un1  un  2019un  n suy dãy số bị chặn bởi u1=2019 hay un �2019, n �1 Giả sử dãy số có giới hạn hữu hạn a( a>2019) : a  2019a  a � a   2019 suy dãy số khơng có giới hạn hữu hạn hay lim un  � un un2 (u  u ) 1   n1 n  (  ) u u u 2019 u u 2012 u u n  n  n n  n n n  Ta có : S Vậy : 1 1 lim(  ) 2019 n��u1 un1 2019 u1  � � 1� 2� � un1  � un  � , n �1 � u n � � Ví dụ : Cho dãy số (un) xác định sau: � Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn tìm giới hạn Lời giải : 1� 2� u1  0, un1  � un  � 0, n �1 � un � Ta có : 25 1� 2� un1  � un  �� un  2, n �1 � un � un Áp dụng bất đẳng thức CôSi : � un 2, n hay dãy số (un ) bị chặn bởi Dự đoán dãy số giảm, ta sẽ chứng minh Thật : 1� 2� � un2 � un1  un  � un  � un  � 1 � � un � un � � - Xét hiệu : un2 un �� ��  1 Do un2 un1 un hay dãy số giảm Như dãy số (un ) giảm bị chặn nên có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un  a (a>0) � lim un1  a Vậy lim un  Ví dụ 4: lim Ta có phương trình: a 1� 2� � a  �a  �� � 2� a � � a   2(l ) � u1  30 � � un1  30un2  3un  2011, n �1 � Cho dãy số (un ) xác địn bởi: � Tìm un1 un (Đề HSG Quảng Bình) Lời giải: * Ta có: un  n �� un1  30un2  3un  2011  30un2  un2  unn ��* nên (un ) dãy số tăng Giả sử ( un ) dãy số bị chặn có giới hạn hữu hạn lim un  a  26 2 Ta có: a  30a  3a  2011 � 29a  3a  2011  phương trình vơ nghiệm nên dẫn đến mâu th̃n Vậy dãy ( un ) không bị chặn Do đó: lim un  � lim Ta có: un1 2011  lim 30    30 un un un BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho dãy số (un) xác định sau: u1  2019 � (n �N *) � u  u u  2020  n n 1 �n1 Chứng minh rằng (un ) có giới hạn tính giới hạn u1  � � � un un1   un � ( u ) 2009 � n Bài 2: Cho dãy số xác định bởi : u1 Tính lim( u n ��  ; n �1 u2 u   n ) u3 un1  u 1 � � n � un1 (1  un )  , n �1 � Bài 3: Cho dãy số (un) xác định sau: � Chứng minh dãy số (un ) tăng tìm giới hạn dãy số Dạng 2.3 Tính giới hạn dãy số bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp Để áp dụng phương pháp ta nhắc lại nguyên lý kẹp sau: Cho dãy số: (un ),(vn ),(w n ) thỏa mãn điều kiện:  un  w n , n va lim  lim wn  a thì lim un  a Sau ta xét số ví dụ minh họa phương pháp này: Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: 1) lim sin(2n  1) n 2) lim cos( n  2n  1) 2n  Lời giải: 27 sin(2n �1) � 1 1) Ta có: 2) Ta có: mà lim cos(n �2 n 1) �1 sin(2n 1) n 1 lim  � lim sin(2n  1)  n mà n n cos( n 2n  2n 1) 2n  5  � lim cos( n  2n  1)  2n  2n  Nhận xét: Trong Ví dụ 1, dãy số cho bằng CTTQ việc áp dụng giới hạn kẹp dễ hơn, trường hợp dãy số cho bằng công thức truy hồi ta phải sử dụng kỹ đánh giá cao để dùng giới hạn kẹp Sau ta xét ví dụ mà dãy số cho bằng công thức truy hồi � u  � �1 � u � un1  un2  n ; n �1 Ví dụ 2: Cho dãy số (un ) xác định bởi : � �un � , n a CMR: un1 � , n lim un u n b) CMR: Tính Lời giải: un � , n a) Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh un �0, n Ta chứng minh Thật vậy: Với n=1 u1  1 uk � , k �1 uk 1 � 4 Ta có: Giải sử , ta chứng minh un ��  uk2 uk ; uk 4 4 1 3 uk 1 � uk  uk  uk   16 Do đó: 4 16 28 �un � , n Vậy un1 1  un  �   , n 4 b) Từ câu a) suy ra: un n 1 u u u 3 �3 �  un  n n1 u1 � u1  � � , n un1 un2 u1 4 4 �4 � Do ta có: Nên theo nguyên lý kẹp: lim un  � u  � �1 � u � un1  n ; n �1 n 1 Ví dụ 3: Cho dãy số (un ) xác định bởi : � un1 � , n u u  a) CMR: n n b) Tính lim un Lời giải: Nhận xét: Việc tìm CTTQ dãy số (un ) khó khăn, từ hệ thức truy hồi un1 ta đánh giá un dễ dàng a) Dễ dàng chứng minh un  0, n un1 1  � , n �1 n 1 Từ hệ thức truy hồi ta suy ra: un n u u u u 1 1 �1 �  un  n n1 n 2 u1 �  � � un1 un un3 u1 2 2 �2 � b) Từ câu a) ta có: n �1 � lim � � lim un  �2 � nên theo nguyên lý kẹp ta có mà 29 u1  a � � un � un1  ; n �1 � un  Ví dụ 4: Cho dãy số (un ) xác định bởi : � ( với -1