DẠY HỌC SINH sử DỤNG MÁY TÍNH cầm TAY TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY số VÀ HÀM số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “DẠY HỌC SINH SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ ” I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong q trình giảng dạy mơn Đại số giải tích lớp 11, tơi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn việc tiếp cận khái niệm giới hạn dãy số hàm số Điều lẽ tất yếu mà giới hạn khái niệm khó, trừu tượng mang tính bước ngoặt nhận thức giới số với đại lượng vô nhỏ vô lớn Do làm để lột tả khái niệm giới hạn để đa số học sinh hiểu vận dụng khái niệm giải toán điều trăn trở Hơn nữa, theo chủ trương đổi toàn diện giáo dục Đảng mà khâu then chốt đổi phương pháp dạy học, theo hướng lấy hoạt động học học sinh làm trung tâm, học sinh chủ thể trình nhận thức hoạt động học, sự điều hành, dẫn dắt, gợi mở giáo viên Vì vậy, giáo viên cần thiết kế dạy để thu hút nhiều học sinh tham gia đạt hiệu cao Cùng với việc đổi phương pháp dạy học phương pháp kiểm tra, đánh giá chất lượng học sinh khâu quan trọng Từ năm học 2017 – 2018, mơn tốn chuyển từ hình thức làm thi tự luận sang hình thức trả lời trắc nghiệm khách quan kì thi THPT Quốc gia Do vậy, giáo viên cần điều chỉnh phương pháp dạy để phù hợp với tình hình Khi dạy chương giới hạn, dạy khái niệm, quy tắc tính giới hạn cách thuần túy lí thuyết truyền thống học sinh khó nhớ, khó thực hiện, nhiều thời gian dễ nhàm chán Tuy nhiên sử dụng cơng cụ máy tính cầm tay học sinh dễ dàng lĩnh hội khái niệm giới hạn tính tốn giới hạn cách xác nhanh chóng, phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm Chính vậy, tơi viết sáng kiến kinh nghiệm : “ Sử dụng máy tính việc tính giới hạn dãy số hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi viết SKKN với mục đích chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm thân dạy chương giới hạn, giúp học sinh hiểu khái niệm giới hạn cách tường minh tính giới hạn cách đơn giản 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài áp dụng cho tất đối tượng học sinh đặc biệt học sinh trung bình, yếu 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra; - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm GD; - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động; - Phương pháp lấy ý kiến đồng nghiệp; - Phương pháp khảo nghiệm, thử nghiệm II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong thời loại bước vào cách mạng công nghiệp lần thứ 4, người cần phải khơng ngừng thích ứng với tình hình nhằm chiếm lĩnh kiến thức KHKT tiên tiến, đại Vì giáo dục cần tạo sản phẩm người động, sáng tạo, dám làm, dám chịu trách nhiệm,…Trong lộ trình cải cách toàn diện giáo dục nước nhà, việc đổi khâu tổ chức kỳ thi, có việc chuyển từ hình thức làm tự luận sang hình thức làm trắc nghiệm khâu quan trọng giúp chúng ta đánh giá học sinh diện rộng cách khách quan, toàn diện, nhanh chóng xác Trong kì thi THPT Quốc gia năm học 2016 – 2017, lần đầu tiên đề thi mơn tốn câu hỏi trắc nghiệm khách quan.Theo cấu trúc đề thi có 50 câu với thời gian 90 phút, trung bình 1,8 phút/1 câu Như vậy, học sinh việc phải nắm vững kiến thức bản, phương pháp giải tốn điều quan trọng kỹ làm bài, phải biết khai thác tính máy tính cầm tay, coi máy tính vừa cơng cụ hỗ trợ, vừa phương pháp giải toán hiệu Phương pháp tư tự luận có ưu điểm kết đảm bảo xác tuyệt đối, phù hợp với học sinh giỏi nhược điểm : phải huy động nhiều kiến thức, kỹ phải nắm vững phương pháp giải đa dạng Phương pháp tư máy tính (tư thuật tốn) có ưu điểm : tốc độ xử lí nhanh, tính tốn xác, cần phương pháp, dễ hiểu, dễ làm, phù hợp với đa số học sinh Tuy nhiên nhược điểm số trường hợp kết toán không đảm bảo tuyệt đối 2.2 Khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ truyền thống a) Giới hạn dãy số : Cho dãy số (un) Ta nói dãy (un) có giới hạn L n tiến tới dương vô cực nghĩa | un  L | số dương nhỏ tùy ý ta cho n đủ lớn Kí hiệu : lim u  L n�� n hay đơn giản limun  L Ta nói dãy (un) có giới hạn dương vơ cực n tiến tới dương vô cực nghĩa un số dương lớn tùy ý ta cho n đủ lớn Kí hiệu : lim u  � n�� n hay đơn giản limun  � Ta nói dãy (un) có giới hạn âm vơ cực n tiến tới dương vô cực nghĩa un số âm nhỏ tùy ý ta cho n đủ lớn Kí hiệu : lim u  � n�� n hay đơn giản limun  � b) Giới hạn hàm số : Cho hàm số y  f (x) xác định (a;b)\{x0} Ta nói : hàm y  f (x) có giới hạn L x tiến tới x0 nghĩa cho x giá trị xn mà xn � x0 f (xn) � L : hay nói cách khác | f (x)  L | số dương nhỏ tùy lim f (x)  L ý miễn ta chọn x đủ gần x0 Kí hiệu : x�x Ta nói : hàm y  f (x) có giới hạn � x tiến tới x0 nghĩa cho x giá lim f (x)  � trị xn mà xn � x0 f (xn) � � Kí hiệu : x�x Ta nói : hàm y  f (x) có giới hạn � x tiến tới x0 nghĩa cho x giá lim f (x)  � trị xn mà xn � x0 f (xn) � � Kí hiệu : x�x Ta nói : hàm y  f (x) có giới hạn L x tiến tới � nghĩa cho x giá lim f (x)  L trị xn mà xn � � f (xn) � L Kí hiệu : x�� Ta nói : hàm y  f (x) có giới hạn L x tiến tới � nghĩa cho x giá lim f (x)  L trị xn mà xn � � f (xn) � L Kí hiệu : x�� Giới hạn phải a: lim f (x)  L x�a ( ��) x tiến a x lớn a f(x) tiến L (hoặc ��) Giới hạn trái a: lim f (x)  L x�a ( ��) x tiến a x ln bé a f(x) tiến L (hoặc ��) 2.3 Phương pháp tính giới hạn truyền thống k k n Phương pháp rút n , x ,a (với k bậc cao nhất) Phương pháp phân tích thành nhân tử Phương pháp nhân liên hợp Phương pháp sử dụng nguyên lí kẹp Phương pháp tổng hợp : phối hợp phương pháp 2.4 Khái niệm giới hạn theo ngơn ngữ máy tính Chỉ số, biến chạy Dạng giới hạn limun un  f (X) ( ) Nhập giá trị biến X =10;100;… lim f (x) X= a 0,0001 lim f ( x) X = a 0,0001 lim f (x) X = a 0,0001 lim f (x) X =10;100; … lim f (x) X = -10; - 100; … x�a x�a x�a x�� x�� Kết giới hạn Kết gần đúng (máy tính) a.10 (n nguyên dương, a > 0) � Hoặc số hàng trăm, hàng ngàn, a.10 n dạng thập phân 0,000 (có n nhiều số sau dấu phẩy) a.10n (n nguyên dương, a < 0) Dự đốn kết xác � Hoặc số âm hàng trăm, hàng ngàn, Số thập phân có nhiều chữ số giống chẳng hạn 2,4999 2,5 15,3333 46/3 1,666 -5/3 2.5 Phương pháp máy tính a Giới hạn dãy Bước : Nhập công thức un thay số n biến X ta có un  f (X) Sử dụng phím CALC để khảo sát giá trị f(X) Đối với dãy số số n tiến tới dương vô cực nên ta cho X giá trị 10, 100, 1000,… Bước Dựa vào kết gần đúng để dự đốn kết xác b Giới hạn hàm số Dạng Tính giới hạn hàm số x tiến tới a Phương pháp giải bằng máy tính - Ghi biểu thức cần tính giới hạn vào máy (biến X) - Nhấn phím CALC (để tính giá trị biểu thức) - Nhập giá trị X (cho X = a + 0,001, X = 0,0001,…) - Dựa vào giá trị biểu thức để dự đoán kết giới hạn Dạng Tính giới hạn hàm số x tiến tới � � Phương pháp giải bằng máy tính - Ghi biểu thức cần tính giới hạn vào máy (biến X) - Nhấn phím CALC (để tính giá trị biểu thức) - Nhập giá trị X + Nếu x tiến tới � ta nhập giá trị x  10;100;1000 + Nếu x tiến tới � ta nhập x  10;100;1000 - Dựa vào giá trị biểu thức để dự đoán kết giới hạn Chú ý : Nên cho X tăng từ từ 10, 100, 1000 (hoặc giảm từ từ -10; -100; -1000) để dự đoán giá trị hàm số Trong số trường hợp cho X lớn (hoặc bé) máy cho kết sai lệch ( thường kết sai = 0)   Dạng Tính giới hạn hàm số x tiến tới a a - Ghi biểu thức cần tính giới hạn vào máy (biến X) - Nhấn phím CALC (để tính giá trị biểu thức) - Nhập giá trị X  + Nếu x tiến tới a ta nhập giá trị x  a  0,001; x  a  0,0001  + Nếu x tiến tới a ta nhập x  a  0,001; x  a  0,0001 - Dựa vào giá trị biểu thức để dự đoán kết giới hạn 2.6 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong thực tiễn giảng dạy, thấy nhiều em học sinh lúng túng sợ toán giới hạn đặc biệt học sinh trung bình, yếu, phần khơng hiểu khái niệm, phần có nhiều kỹ thuật tính tốn, biến đổi, quy tắc phức tạp, khó nhớ Nhiều học sinh vẫn cịn mang nặng tư tự luận, chưa có thói quen sử dụng cơng cụ hỗ trợ máy tính cầm tay Do làm thi em cịn nhiều thời gian khơng thể tìm đáp án cho toán giới hạn,…các em chưa biết kết hợp cách linh hoạt phương pháp giải toán, dẫn đến tốc độ làm chưa cao Qua việc nghiên cứu kỹ thuật sử dụng máy tính, tơi thấy có số dạng tốn sử dụng tư máy tính thời gian làm nhiều lần so với làm theo tư tự luận NỘI DUNG CỤ THỂ 2.7 Các ví dụ minh họa DẠNG Giới hạn dãy số Ví dụ Tính giới hạn sau A  lim 3n  10 n3  4n  B  lim(5n2  14n  100) D  limn( n2  4n   n  5) C  lim(2n n2  5n 1) E  lim(3n  1)( n2   n) F  lim(3n  5 8n2  2n  3) Cách giải bằng máy tính cầm tay Tính A 3X  10     Ghi biểu thức X  4X  Nhấn phím CALC Nhập 10 = (kq 1,239) Tiếp tục nhấn = 100 = (kq 0,31) nhấn = 1000 = ( 0,095) Nếu ta nhấn = 1000000 = ( kq 3,00001x10-3)  Vậy ta đốn khẳng định kết A = Tính B      Ghi biểu thức 5X  14X  100 Nhấn phím CALC Nhập 10 = (kq -260) Nhập tiếp = 1000 = (kq -4985900) Dự đốn kết xác B  � Tính C  Ghi biểu thức 2X  X  5X   Nhấn phím CALC  Nhập 100 = (kq -4,95)  Nhập = 1000 = (kq -4,995)  Nhập = 1000000 = (kq -4,99999)  Dự đốn kết xác C = -5 Tính D  Ghi biểu thức X( X  4X   X  5)  Nhấn phím CALC  Nhập 1000 = (kq 2999,5)  Nhập = 1000000 = (kq 2999999,5)  Dự đốn kết xác D  � Tính E       Ghi biểu thức (3X  1)( X   X) Nhấn phím CALC Nhập 1000 = (kq3,00099) Nhập = 1000000 = (kq ) Nhập = 10000 (kq 3,00001) Dự đốn kết xác E = Chú ý : Trong nhiều toán cho X giá trị lớn > 106 máy cho kết – kết đúng máy hiển thị SYNTAX ERROR (không tính được) Tính F  Ghi biểu thức (3X  5 8X  2X  3)  Nhấn phím CALC  Nhập 100 = (kq 21,8)  Nhập = 10000 (kq 1720,37)  Nhập = 1000000 (kq 171577,5)  Dự đốn kết xác F  � Ví dụ Tính giới hạn sau 13n2  ncos2 n A  lim 2n  10n B  lim 4.3n2  25.2n4 7.3n3  2n Giải Tính A 13X  X cos2 X  Ghi biểu thức 2X  10X      Nhấn CALC Nhập 100 = (kq 6,189) Nhập tiếp = 10000 = (kq 6,496) Nhập tiếp = 1000000 = (kq 6,4999) 10  Dự đốn kêt xác A = 6,5 Tính B 4.3X2  25.2X4 X 3 X  Ghi biểu thức 7.3       Nhấn phím CALC Nhập 10 = (kq 0,039) Nhập = 100 = (kq 4/1701) Nhập = 200 = (kq 4/1701) Dự đốn kết xác B = 4/1701 DẠNG Giới hạn hàm số Ví dụ Tính giới hạn sau x3  4x  x�1 x1 A  lim x3  3x2  x�2 | x  2| E  lim x x  x�3 x4  81 B  lim F  lim( x�4 x x�5 ( x  5)2 C  lim D  lim x�0 1 2x  1 3x 2019x2 1  ) x  x  2x  Cách giải bằng máy tính cầm tay Tính A X3  4X  X 1  Ghi biểu thức  Nhấn CALC  Nhập 1,0001 = (kq -0,99969)  Dự đốn kết xác A = -1 Tính B X X  6  Ghi biểu thức X  81  Nhấn CALC  Nhập 3,0001 = (kq 0,0324) 11  Dự đoán kết gần đúng B = 0,0324 Tính C X4  Ghi biểu thức (X  5)  Nhấn CALC  Nhập 5,0001 = (kq 1,0001x1010)  Dự đốn kết xác A = � Tính D 1 2X  1 3X X2  Ghi biểu thức  Nhấn CALC  Nhập 0,0001 = (kq 0,4998) 0,5  Dự đoán kết xác A = 2019 Tính E x3  3x2   Ghi biểu thức | x  2|  Nhấn CALC  Nhập -2,001 = (kq -30000,0003)  Dự đốn kết xác A = � Tính F 1   Ghi biểu thức X  X  2X   Nhấn CALC  Nhập 4,00001 = (kq 83333,36111)  Dự đốn kết xác A = � Ví dụ Tính giới hạn sau 12 A  lim( 4x   x  2) B  lim x( x2  6x   x  3) x�� C  lim( x3  10x   x2) x�� x�� D  lim( x2  1 2x  3) x�� E  lim( x2  x   x  2019) x�� Cách giải bằng máy tính cầm tay Tính A      Ghi biểu thức 4X   X  Nhấn CALC Nhập 1000 = (kq - 0,0395 ) Nhập 1000000 = (kq -1.24x10-3) Dự đoán kết xác A = Tính B     Ghi biểu thức X( X  6X   X  3) Nhấn CALC Nhập 1000 = (kq -2,49 ) Nhập 10000 = (kq -2,499 )  Dự đốn kết xác B = -2,5 Tính C     Ghi biểu thức X  10X   X Nhấn CALC Nhập 1000 = (kq -968377,0652) Dự đốn kết xác C = � Tính D     Ghi biểu thức X   2X  Nhấn CALC Nhập - 1000 = (kq 2997,005) Dự đoán kết xác D = � 13 Tính E     Ghi biểu thức X  X  1 X Nhấn CALC Nhập -1000 = (kq -0,499 ) Dự đốn kết xác E = -0,5 +2019 Ví dụ Tính giới hạn sau A  lim x�2 2x  x E  lim(  x�1 B  lim x�0 | x| x D  lim x�3 x x  4x  C  lim10( x   x)  x�7  ) (x  1) 1 x Cách giải bằng máy tính cầm tay Tính A 2X   Ghi biểu thức X   Nhấn CALC  Nhập 2+0,0001 = (kq -10002)  Dự đốn kết xác A = � Tính B |X |  Ghi biểu thức X  Nhấn CALC  Nhập - 0,0001 = (kq -1 )  Dự đốn kết xác B = -1 Tính C X  Ghi biểu thức X  4X   Nhấn CALC 14  Nhập - 0,0001 = (kq -15000,25 )  Dự đốn kết xác B = � Tính D     Ghi biểu thức 10(X  7 X ) Nhấn CALC Nhập - 0,0001 = (kq 69,699) Dự đốn kết xác C = 70 Tính E  1 X  Ghi biểu thức (X  1)  Nhấn CALC  Nhập - 0,0001 = (kq 99999800 )  Dự đốn kết xác E = � 2.8 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Đề tài áp dụng dạy cho học sinh lớp 11C7 lớp có đa số học sinh có học lực trung bình - Đánh giá kết : Để thấy hiệu sáng kiến, tiến hành cho học sinh làm kiểm tra, với hai đối tượng học sinh : học sinh lớp 11 C6 không áp dụng đề tài, học sinh lớp 11C7 áp dụng đề tài ĐỀ KIỂM TRA Thời gian : 30 phút TN1.1 lim  3n  4n  n  1 có giá trị 15 A � TN1.2 B � B A TN1.3  n2   n2  A TN1.4 lim  TN1.5  C D � B � C 1 D �  có giá trị B C � D � C D � � � lim �  � n  �có giá trị � n 1 lim B n  n   n 3  có giá trị A 1 B C D � A B C D � C D � lim 8n3  2n  TN1.8 A TN1.9 D �  có giá trị 2n  n   2n  3n  A TN1.7 C có giá trị n  2n   n  n A TN1.6  B A  lim D 9n  n  n  3n  có giá trị lim lim C 2n  có giá trị B � 3n  (1) n cos 3n � lim � � � � n 1 � �có giá trị 16 A B C C � D  D 1 n lim � 3n  � � �có giá trị TN1.10 B � A lim TN1.11 A   5 5.2n  n  2n 1   5 B n 1 3 có giá trị C  D  x3  x TN1.12 x�3 x  3x  có giá trị lim 21 A 16 21 B 20 C D C D � 2x  � lim � � x �2 � x  � � �có giá trị TN1.13 A B � �2 lim �  � x �1 x  x  �có giá trị � TN1.14 A � TN1.15 lim x �2 TN1.16 x �2 C D C D x2  x  x có giá trị A lim B �  B x 1 x  có giá trị 17 A lim TN1.17 x �1 B x3 1 x lim  B � x   x 1 x ��  TN1.19 lim x  B � x2   x TN1.20 x �1 D � C D C D C ; D � C � D  có giá trị bao nhiêu? A ; lim C � có giá trị A � x �� có giá trị A � TN1.18  B ; x3 x  x  có giá trị A � B ĐÁP ÁN 1B 2A 3C 4D 5C 6C 7B 8D 9A 10B 11C 12A 13A 14D 15A 16D 17B 18C 19B 20C 1 – - 10 KẾT QUẢ THU ĐƯỢC Lớp 11 C6 (không áp dụng đề tài) : sĩ số lớp 42 SLH 6 6 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 S Điểm 2,0 2,5 18 7.5 Lớp 11 C7 (có đầu vào tương đương 11 C6 áp dụng đề tài giảng dạy Sĩ số lớp 11C7 : 39 SLH 0 1 2 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 10 – - 10 S Điểm 2,0 2,5 7.5 SO SÁNH KẾT QUẢ CỦA HAI LỚP – 3,5 – 5,0 – 6,5 – 8,0 trở lên 3,5 5,0 6,5 8,0 11C6 26,2% 38,1% 26,2% 7,1% 2,4% 11C7 2,6% 15,4% 18% 38,5% 25,6% Qua bảng so sánh kết hai lớp, ta thấy rõ ràng kết lớp 11 C7 cao hẳn so với lớp 11C6, đặc biệt mức điểm khá, giỏi Điều cho thấy SKKN phát huy tốt hiệu dạy học, nâng cao chất lượng, khích lệ động viên học sinh vươn lên đặc biệt tạo sự tự tin cho đối tượng học sinh trung bình, yếu 2.9 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Khi triển khai đề tài áp dụng vào thực tiễn, kết thu tích cực - Học sinh hiểu chất vấn đề - Học sinh thích giải tốn (đặc biệt học sinh trung bình lâu sợ giải tốn khó, phức tạp) - Học sinh giải số dạng toán với tốc độ nhanh trước nhiều lần 19 - Bản thân cải thiện chất lượng học sinh trực tiếp giảng dạy - Giúp đồng nghiệp, nhà trường nâng cao chất lượng dạy học, giáo dục toàn diện III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua trình áp dụng SKKN vào giảng dạy, kết luận rằng, SKKN mang lại kết đạng khích lệ, cho thấy kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt Nhiều học sinh lớp không áp dụng SKKN học xong chương giới hạn vẫn khơng hiểu khơng biết tính giới hạn đơn giản Nhưng áp dụng đề tài em tính nhiều giới hạn phức tạp mà trước có học sinh giỏi giải Do thời gian chưa nhiều nên đề tài tạm thời dừng lại Đề tài tiếp tục nghiên cứu phát triển để giải toán giới hạn chứa tham số, hàm số liên tục, đạo hàm, 3.2 Kiến nghị Nhân rộng SKKN có tính thực tiễn cao áp dụng vào dạy học Các nhà trường cần tổ chức cho tổ chun mơn nghiên cứu SKKN có chất lượng cao, khả thi để không ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy học, có khái niệm khó, mới, nặng tư Qua việc thực đề tài, mong muốn chia sẻ kinh nghiệm với đồng nghiệp để học hỏi thêm nhiều ý tưởng sáng tạo Tôi đề xuất với Sở GD&ĐT lập trang Web sáng kiến kinh nghiệm riêng cho tỉnh để giáo viên giao lưu học hỏi nhiều nhằm hướng tới mục tiêu nâng cao chất lượng giáo dục tỉnh Thanh Hóa Cuối có nhiều cố gắng song khả thời gian cịn hạn chế, khó tránh khỏi thiếu sót đề tài Vì tơi mong nhận ý kiến trao đổi, góp ý để đề tài hồn thiện 20 Tơi xin chân thành cảm ơn ! Nông Cống, Ngày 10 tháng năm 2019 TÁC GIẢ Hàn Thị Lê PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Chuyên đề giới hạn - Võ Văn Chinh – Internet Phần lớn toán tác giả sáng tác CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐẠT GIẢI STT Tên đề tài Ứng dụng góc khoảng cách giải tốn hình tọa độ phẳng Giải C Năm học Hội đồng cấp 2014 – 2015 giấy chứng nhận Sở GD&ĐT Thanh Hóa 21 MỤC LỤC I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Kkhái niệm giới hạn theo ngôn ngữ truyền thống 2.3 Nội dung cụ thể 2.4 Khái niệm giới hạn theo ngơn ngữ máy tính 2.5 Phương pháp máy tính 2.6 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.7 Các ví dụ minh họa 2.8 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.9 Các giải pháp thực hiện, kiểm tra thực nghiệm III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận TRANG 1 1 3 5 – 15 16 17 -19 20 22 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải 20 21 21 23 ... dạy cho học sinh lớp 11C7 lớp có đa số học sinh có học lực trung bình - Đánh giá kết : Để thấy hiệu sáng kiến, tiến hành cho học sinh làm kiểm tra, với hai đối tượng học sinh : học sinh lớp 11... vào thực tiễn, kết thu tích cực - Học sinh hiểu chất vấn đề - Học sinh thích giải tốn (đặc biệt học sinh trung bình lâu sợ giải tốn khó, phức tạp) - Học sinh giải số dạng toán với tốc độ nhanh... bình 1,8 phút/1 câu Như vậy, học sinh việc phải nắm vững kiến thức bản, phương pháp giải tốn điều quan trọng kỹ làm bài, phải biết khai thác tính máy tính cầm tay, coi máy tính vừa cơng cụ hỗ