Dạy học sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải các bài toán về quan hệ song song trong hình học không gian

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Kỹ giải các bài tập của học sinh là một những vấn đề quan trọng hàng đầu quá trình dạy học Đối với bộ môn Toán điều đó lại càng phải được quan tâm hàng đầu đối với mỗi giáo viên giảng dạy Thực tiễn cho thấy rằng thông qua việc phát triển kỹ giải các bài toán sẽ giúp học sinh củng cố một cách sâu sắc nội dung lí thuyết, đồng thời phát triển lực tư sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, tổng quát hóa, của học sinh Trong việc thực hiện đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, việc phát triển khả tự học của học sinh là một những yếu tố quyết định đến hiệu quả của quá trình dạy học Muốn phát triển khả tự học của học sinh đòi hỏi người giáo viên phải là người tạo động cơ, hướng dẫn và trang bị cho học sinh kiến thức và kỹ nhất định để học sinh có thể độc lập giải quyết các yêu cầu và các bài tập Trên sở đó chọn đề tài: “Dạy học sinh sư dụng phương pháp vectơ để giải các bài toán về quan hệ song song hình học không gian” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm, nhằm nâng cao hiệu quả việc dạy học chủ đề: “Quan hệ song song không gian” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong sáng kiến kinh nghiệm này, sẽ hướng dẫn học sinh cách sử dụng vectơ để giải một lớp các bài toán về quan hệ song song không gian Khi sử dụng phương pháp này các em sẽ không còn có cảm giác sợ và ngại học hình học không gian vì tính trừu tượng và khái quát vốn có của hình học không gian Qua đề tài này giúp các em học sinh thấy được rằng phương pháp sử dụng vectơ có đường lối rõ ràng, có các bước cụ thể, dễ áp dụng được nếu được luyện tập nhiều Từ đó tạo cho các em sự tự tin, hứng thú và tính độc lập suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán về quan hệ song song không gian nói riêng và các bài toán hình học không gian nói chung bằng phương pháp vectơ Từ đó nâng cao hiệu quả việc dạy và học chủ đề quan hệ song song không gian 1.3 Đối tượng nghiên cứu Chủ đề quan hệ song song hình học không gian là một chủ đề khó ở trường THPT Cụ thể là nội dung được đề cập ở chương II chương trình hình học lớp 11, ở cả chương trình nâng cao và chương trình bản, với thời lượng 16 tiết ở chương trình nâng cao cả lí thuyết và bài tập Qua thực tế dạy học, thấy rằng đa số học sinh thuộc tất cả các ban đều rất ngại học về hình học không gian nói chung và chủ đề quan hệ song song nói riêng, đó có cả những học sinh khá, có cả những học sinh được đánh giá có khiếu học ở môn toán Cụ thể là các em đều có một khó khăn chung đó là không giải được hoặc giải được rất ít các bài tập sách giáo khoa cũng các tài liệu tham khảo khác Phần lớn học sinh đều lúng túng tìm lời giải của các bài toán về quan hệ song song không gian, chưa có những cách thức khác để tiếp cận bài toán Nội dung về vectơ không gian được đề cập ở đầu chương III với thời lượng rất ít (3 tiết) với những khái niệm trừu tượng, chưa có một quy trình và học sinh chưa thấy được mối quan hệ giữa phương pháp tổng hợp và phương pháp vectơ quá trình giải toán Do đó học sinh gặp rất nhiều khó khăn vận dụng để giải toán Học sinh cũng chỉ mới hình dung việc áp dụng vectơ thông qua một số ví dụ bài học hai đường thẳng vuông góc Trong đó nếu vận dụng được phương pháp vectơ học sinh sẽ có được những định hướng rõ ràng, giúp các em có thể giải được hầu hết các bài toán về quan hệ song song và có thể tìm được lời giải một cách nhanh chóng và chính xác Hơn nữa học sinh có thể đơn giản hóa lời giải một số bài toán phức tạp và tạo nền tảng vững chắc cho việc tiếp thu phương pháp tọa độ không gian sau này Bên cạnh đó học sinh rất khó tìm được các tài liệu về việc vận dụng phương pháp vectơ để giải các bài toán hình học phù hợp với bản thân Từ thực trạng để giúp học sinh giải tốt các bài toán hình học về quan hệ song song không gian, mạnh dạn đưa ứng dụng phương pháp vectơ vào giải các bài toán về quan hệ song song giảng dạy cho học sinh lớp 11 ban khoa học tự nhiên 1.4 Phương pháp nghiên cứu a) Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu về phương pháp dạy học toán, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các công trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài của một số tác giả, các sách tham khảo,… b) Phương pháp điều tra khảo sát thực tế: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua giáo viên toán ở các trường phổ thông, qua bài kiểm tra học sinh trường THPT Vĩnh Lộc c) Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Tiến hành dạy thực nghiệm một số buổi ở trường THPT Vĩnh Lộc Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Xây dựng quan hệ giữa các yêu cầu hình học tổng hợp với các yêu cầu về vectơ Để học sinh có thể hiểu được các yêu cầu tương đương bản giữa hình học tổng hợp và vectơ, giáo viên cần xây dựng những mối quan hệ đó Hình học tổng hợp 1) AB//CD Vectơ uuur uuur 1) AB,CD cùng phương (AB không trùng với CD) 2) AB// (P) 2)+)AB không nằm (P) và AB song song với một đường thẳng nằm (P) (quy về trường hợp 1) uuur r r r r +)AB không nằm (P), AB = k a + lb với a, b là hai 3) (P)//(Q) vectơ không cùng phương nằm (P) 3) (P) chứa hai đường thẳng cắt cùng song song với (Q) (quy về TH2 → quy về TH1) uuur uuur 4) I là trung điểm uuu r 4) MA + MB = 2MI , M bất kì của đoạn thẳng AB 5) Ba điểm A, B, C uuur uuur 5) AB = k AC thẳng hàng 2.1.2 Xây dựng quy trình giải toán bằng vectơ Để học sinh có thể vận dụng được phương pháp vectơ giải các bài toán, xây dựng quy trình gồm các bước sau Bước 1: Chọn một hệ gồm ba vectơ không đồng phẳng Bước 2: Biểu diễn các giả thiết, kết luận của bài toán bằng vectơ và thực hiện các phép biến đổi các hệ thức vectơ theo yêu cầu của bài toán Bước 3: Chuyển kết luận từ vectơ ngôn ngữ hình học tổng hợp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Phần lớn các em học sinh có cảm giác sợ, ngại học và làm bài tập hình học không gian nói chung và chủ đề quan hệ song song nói riêng - Phương pháp vectơ là một phương pháp có các bước cụ thể, dễ áp dụng, học sinh chưa được trang bị một cách kỹ lưỡng về phương pháp này - Các em học sinh sẽ áp dụng được phương pháp này việc giải các bài toán nếu các em được trang bị kiến thức bản về vectơ, biết chuyển đổi giữa ngôn ngữ hình học tổng hợp và ngôn ngữ vectơ, có hệ thống ví dụ và bài tập phong phú để các em được luyện tập và rèn luyện kỹ giải toán Sau là một ví dụ minh họa cho những lập luận ở Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 M là điểm nằm cạnh AD cho MD = 4MA, N là điểm nằm đoạn A1C cho 2NC = 3NA1 Chứng minh rằng MN//(BC1D) Bài toán nếu giải bằng phương pháp hình học tổng hợp thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn dù yêu cầu của bài toán khá bản Cụ thể ta xét lời giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của MC và BD, J là giao điểm của A1C và C1O JC OC 1 Ta có: JA = A C = ⇒ CJ = CA1 = CN 1 ⇒ Mặt khác: CJ = CN IC CB AD IC = = = ⇒ = IM MD MD CM Từ (1) và (2) suy : (1) (2) CJ CI = hay MN//IJ CN CM Mà IJ nằm mp(BC1D) và MN không nằm mp(BC1D), nên MN//(BC1D) B C O I A J M D N B1 C1 A1 D1 Đối với đa số học sinh thì việc dựng được IJ lời giải là rất khó khăn Nếu biết cách sử dụng vectơ thì việc tìm lời giải đúng sẽ đỡ phức tạp Cụ thể: B C A M D N B1 C1 A1 uuu r r uuur r uuur D1 r Bước 1: Đặt BA = a , BB1 = b , BC = c (ba vectơ không đồng phẳng) uuuu r uuur uuuu r uuur 5 r uuur uuuu MN không nằm mp(BC1D), BD , BC1 là hai vectơ không cùng phương nằm Bước 2: Theo giả thiết ta có: AM = AD , A1 N = A1C mp(BC1D) uuuu r uuur uuuu r Để chứng minh MN//(BC1D), ta cần chứng minh MN = m.BD + n.BC1 uuur r r uuuu r r r Ta có: BD = a + c , BC1 = b + c uuuu r uuur uuuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuuu r 2r 3r 1r MN = BN − BM = BA + AA1 + A1 N − BA − AM = − a + b + c 5 r r r r r uuur uuuu = − (a + b) + (b + c ) = − BD + BC1 5 5 Bước 3: Kết luận MN//(BC1D) 2.3 Các giải pháp đã sư dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1 Xây dựng hệ thống ví dụ và bài tập giúp học sinh so sánh cách tìm lời giải bằng phương pháp tổng hợp và phương pháp vectơ, rèn luyện kỹ giải bài toán bằng vectơ Để hình thành và củng cố kỹ vận dụng vectơ việc giải các bài toán về quan hệ song song không gian, cần xây dựng các ví dụ và hệ thống bài tập áp dụng Qua đó học sinh có thể phát triển kỹ sử dụng vectơ để giải toán CÁC VÍ DU Ví dụ (Chứng minh hai đường thẳng song song) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1 Chứng minh rằng MN//EF A1 N C1 B1 M F A E B C • Giải bằng phương pháp vectơ uuur r uuur r uuur r Đặt: AA1 = a , AB = b , AC = c Khi đó ta có: uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuur MN = AN − AM = AA1 + A1 N − ( AA1 + AB1 ) r uuuur uuuur r r uu r r r = a + ( A1 B1 + A1C1 ) − (a + a + b) = (a + c) 3 uuur uuur uuur r r Tương tự : EF = AF − AE = (a + c) uuuu r uuur ⇒ MN = EF Mặt khác, MN không trùng với EF nên MN//EF • Giải bằng phương pháp hình học tởng hợp A1 I N B1 C1 M A F E B C J Gọi I, J lần lượt là trung điểm của A1B1 và BC Khi đó vì M, N, E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1 nên ta có: IM IN +) Các điểm I, M, N, A, C1 đồng phẳng và IA = = IC ⇒ MN // AC1 JE JF +) Tương tự các điểm J, E, F, A, C1 đồng phẳng và JA = = JC ⇒ EF // AC1 Mặt khác, MN không trùng với EF nên MN//EF Ví dụ (Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng) Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA1 và B1C1 Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (DA1C1) • Giải bằng phương pháp vectơ B C A D N B1 C1 M A1 uuur D1 r uuur r uuuur r Đặt: DA = a , DC = b , DD1 = c uuuur uuuu r Ta có: MN không nằm mp(DA1C1); DC1 , DA1 là hai vectơ không cùng phương nằm mp(DA1C1) uuuur uuuur uuur r r uuuu r uuur uuuur r r DC1 = DD1 + DC = b + c , DA1 = DA + DD1 = a + c uuuu r uuur uuuur uuuu r uuuur uuur uuuu r MN = DN − DM = ( DB1 + DC1 ) − ( DA + DA1 ) = 2 r r r r r r r r r r 1 r r = (a + b + c + b + c) − (a + a + c ) = − (a + c) + (b + c) = 2 r uuuur uuuu = − DA1 + DC1 Vậy MN// mp(DA1C1) • Giải bằng phương pháp hình học tởng hợp D C A M B I D1 C1 J N A1 B1 Gọi I là giao điểm của MD1 và DA1 , J là giao điểm của ND1 và A1C1 Khi đó ta có: ID1 DD1 = = (vì M là trung điểm của AA1, AA1//DD1) IM MA1 JD1 A1 D1 = =2 JN C1 N ⇒ (vì N là trung điểm của B1C1, A1D1//B1C1) ID1 JD1 = IM JN Mà M, N, I, J, D1 đồng phẳng ( theo cách xác định I và J) nên MN//IJ Mặt khác MN không nằm mp(DA1C1), IJ nằm mp(DA1C1) Vậy MN//mp(DA1C1) Ví dụ (Chứng minh hai mặt phẳng song song) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Trên các cạnh AB, DD1, C1B1 lần lượt lấy các điểm M, N, P cho AM = D1N = B1P Chứng minh rằng: mp(MNP)//mp(AB1D1) • Giải bằng phương pháp vectơ uuur r uuuur r uuuur r Đặt A1 A = a , A1 B1 = b , A1 D1 = c AM DN BP 1 Ta giả thiết ta đặt: AB = D D = B C = k , (0 < k ≤ 1) 1 Để chứng minh mp(MNP)//mp(AB1D1) ta chứng minh: uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuuu r MN = x AB1 + y AD1 và MP = x1 AB1 + y1 AD1 uuur uuur uuuur r r uuuu r uuur uuuur r r Ta có: AB1 = AA1 + A1B1 = −a + b , AD1 = AA1 + A1 D1 = − a + c uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuuur MN = MA + AD + DN = −k AB + AD + (1 − k ) DD1 r r r r r r r r = −kb + c − a + ka = − k (−a + b) + (− a + c) uuuu r uuur uuuu r ⇒ MN = −k AB1 + AD1 Suy MN//mp(AB1D1) uuur uuur uuur uuur r r r MP = MB + BB1 + B1 P = (1 − k )b − a + kc r r r r uuur uuuu r = (1 − k )(−a + b) + k (−a + c) = (1 − k ) AB1 + k AD1 Suy MP//mp(AB1D1) Mặt khác MN và MP cắt và cùng nằm mp(MNP) Vậy mp(MNP)//mp(AB1D1) A B M C D A1 B1 N P C1 D1 • Giải bằng phương pháp hình học tổng hợp BM CP Từ giả thiết ta có: AB = B1C1, AM = B1P nên: MA = PB Do đó BC1, MP, AB1 cùng song song với một mặt phẳng (định lý Ta-lét đảo) Mà AB1 nằm mp(AB1D1), BC1//mp(AB1D1) nên MP//mp(AB1D1) Lập luận tương tự ta cũng có: MN// mp(AB1D1) Mặt khác MN và MP cắt và cùng nằm mp(MNP) Vậy mp(MNP)//mp(AB1D1) Ví dụ (Sử dụng kết quả quan hệ song song để suy một số tính chất khác) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 Giả sử M thuộc đường chéo AC, N thuộc đường chéo C1D cho MN//BD1 Chứng minh rằng BD1 = 3MN • Giải bằng phương pháp vectơ uuu r r uuur r uuur r Đặt BA = a , BB1 = b , BC = c (ba vectơ không đồng phẳng) Theo giả thiết M thuộc đường chéo AC, N thuộc đường chéo C1D nên ta có uuuu r uuuu r uuur uuuur MC = x AC , C1 N = yC1D A D B M C N A1 C1 D1 uuuu r uuuu r r r r Vì MN//BD1 nên MN = k BD1 = k (a + b + c) Ta có: B1 (1) uuur r r AC = c − a uuuu r r CC1 = b uuuu r r r C1 D = a − b uuuu r uuuu r uuuu r uuuur r r r Mặt khác: MN = MC + CC1 + C1 N = ( y − x )a + (1 − y )b + xc (2)    x = y − x = k    Từ (1) và (2) suy ra: 1 − y = k ⇔  y =  x=k     k =   uuuu r uuuu r Vậy MN = BD1 , suy BD1 = 3MN • Giải bằng phương pháp hình học tởng hợp B A M I D C N A1 D1 B1 C1 Vì MN//BD1 nên nếu gọi I là giao điểm của BM và D1N Khi đó: I ∈ BM ⊂ ( ABCD ) và I ∈ D1 N ⊂ (CDD1C1 ) Suy ra: I ∈ ( ABCD) ∩ (CDD1C1 ) hay I ∈ CD Ta có: IN DN DI = = ND1 NC1 C1D1 IM CM CI = = MB MA AB IN IM CI DI Mặt khác: ND = MB (vì CD//C1D1) (vì CD//AB) (vì MN//BD1) Nên suy ra: AB = C D 1 Do đó: DI = CI (vì AB = C1D1) Hay I là trung điểm của CD IM MN IM Từ đó ta có: MB = ⇒ BD = IB = Vậy BD1 = 3MN BÀI TẬP ÁP DUNG 10 Bài (Bài tập 4, SGK hình học 11 nâng cao, trang 78) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm hai mặt phẳng khác Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc các đường chéo AC, BF cho MC = 2AM, NF = 2BN Qua M, N kẻ các đường thẳng song song với AB cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại M1, N1 Chứng minh rằng: a) MN // DE; b) M1N1// mp(DEF); c) mp(MNN1M1) // mp(DEF) Bài (Bài tập 7, SGK hình học 11 nâng cao, trang 78) Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Trên ba cạnh AB , DD ' , C ' B ' lần lượt lấy ba điểm M, N, P không trùng với các đỉnh cho AM D ' N B ' P = = AB D ' D B ' C ' Chứng minh rằng mp(MNP)//mp( AB ' D ' ) Bài (Bài tập 8, SGK hình học 11 nâng cao, trang 78) Cho hai tia Ax và By nằm hai đường thẳng chéo Một điểm M chạy Ax và một điểm N chạy By cho AM = kAN (k > cho trước) Chứng minh rằng MN song song với một mặt phẳng cố định Bài (Bài tập 47, SGK hình học 11 nâng cao, trang 75) Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Tìm điểm I đường chéo B1D và điểm J ID đường chéo AC cho IJ//BC1 Tính IB Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 Gọi E là giao điểm của AB1 và BA1, N và I lần lượt là trung điểm của CC1 và CD Chứng minh rằng EN//AI Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 Các điểm M, N lần lượt là các điểm chia các đoạn AD1 và DB theo tỉ số k ( k ≠ 0, k ≠ 1) Chứng minh rằng MN//mp(A1D1BC) Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 Trên các cạnh AA1, BB1, CC1 lần AM BN CP 1 lượt lấy các điểm M, N, P cho AA = BB = CC = Trên đoạn CM lấy điểm 1 EF E, đoạn A1N lấy điểm F cho EF// B1P Tính tỉ số B P Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB a) Chứng minh rằng MN//CD; b) Gọi P là giao điểm của SC và mp(AND), AN và DP cắt tại I Chứng minh SI//AB và SA//IB Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E lần lượt là trung điểm các cạnh BB1, CC1, AA1 G là trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh 11 a) mp(MGC1)//mp(BA1N); b) mp(A1GN)//mp(B1CE) Bài 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 Các điểm M, N lần lượt là các điểm chia các đoạn CA và DC1 theo tỉ số − Chứng minh rằng MN//mp(C1D1AB) Bài 11 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BB1 , C1 D1 Chứng minh rằng đường thẳng C1 D song song với mp(MNP) Bài 12 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Tìm điểm M thuộc đoạn AC và điểm N thuộc đoạn C1 D cho MN// BD1 Bài 13 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 a) Hãy xác định đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng AC1 và BA1 đồng thời song song với B1 D1 AI b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của d với AC1 và BA1 Tính tỉ số AC Bài 14 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a Gọi M, N là các điểm lần lượt nằm AD1 và DB cho AM = DN = x ( < x < a ) Chứng minh rằng a) Khi x thay đổi, đường thẳng MN song song với một mặt phẳng cố định; b) Khi x = a thì MN// A1C Bài 15 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Gọi E, F là các điểm lần lượt nằm các đường chéo CA1 , AB1 của các mặt bên cho EF// BC1 EF a) Tìm tỉ số BC b) Xác định vị trí của E và F Bài 16 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, M là trung điểm của cạnh bên AA1 Trên các đường chéo AB1 , BC1 của các mặt bên lần lượt lấy các điểm E, F cho EF//CM 12 a) Tìm tỉ số EF CM b) Xác định vị trí của E và F Bài 17 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh bên là trung điểm của cạnh bên AA1 , CC1 Hai điểm E, F nằm lần lượt các đoạn thẳng CM , AB1 cho EF//BN a) Tìm tỉ số EF BN b) Xác định vị trí của E và F Bài 18 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Ba điểm M, N, P lần lượt nằm AM BN CP 1 các cạnh bên AA1 , BB1 , CC1 cho AA = BB = CC = Hai điểm E, F lần 1 EF lượt nằm các đoạn thẳng CM , A1 N cho EF// B1 P Tìm tỉ số B P Bài 19 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Chứng minh tồn tại điểm M nhất thuộc đường thẳng AC và điểm N nhất thuộc DC1 cho MN// BD1 Tính tỉ MN số BD Bài 20 (Bài tập 3, SGK hình học 11 nâng cao, trang 91) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Gọi G và G ' lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A ' B ' C ' , I là điểm của hai đường thẳng AB ' và A ' B Chứng minh rằng GI // CG ' Bài 21 (Bài tập 4, SGK hình học 11 nâng cao, trang 91) Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi M và N lần là trung điểm của CD và DD ' ; G và G ' lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A ' D ' MN và BCC ' D ' Chứng minh rằng GG ' // ( ABB ' A ') 2.3.2 Đưa một số nội dung về vectơ không gian vào dạy từ đầu chương II Việc thực hiện là hoàn toàn khả thi vì định nghĩa vectơ, các đặc trưng của vectơ và các phép toán về vectơ không gian được định nghĩa hoàn toàn giống mặt phẳng - Vectơ không gian là một đoạn thẳng có hướng 13 uuur Kí hiệu ABur để chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B Vectơ còn được kí hiệu r r r là a , b , x , y , - Giá của vectơ là đường thẳng qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó Hai vectơ gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng Ngược lại hai vectơ có giá cắt được gọi là hai vectơ không cùng phương Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng - Độ dài của vectơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó Vectơ có độ dài bằng được gọi là vectơ đơn vị Ta kí hiệu r uuur r độ dài của vectơ a là a Như vậy AB = AB r r - Hai vectơ a và b được gọi là bằng nếu chúng có cùng hướng và cùng độ r r dài Kí hiệu là a = b - “Vectơ-không” là một vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối trùng Ta quy ước vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ Từ đó mọi r vectơ-không đều bằng và kí hiệu là Giáo viên cần củng cố, nhấn mạnh và khắc sâu thêm cho học sinh ở một số nội dung sau a) Một số quy tắc thường dùng uuur uuur uuur +) Quy tắc ba điểm: AB + BC = AC uuuu r uuuu r uuur (Chú ý: Chiều ngược lại ta có thể phân tích MN = MX + XN ) uuur uuur uuur +) Quy tắc trừ vectơ: AC − AB = BC uuuu r uuur uuuu r (Chú ý: Chiều ngược lại ta có thể phân tích MN = XN − XM ) +) Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình uuur hành uuur cóuuhai ur cạnh chung đỉnh A là AB, AD và có đường chéo AC thì AB + AD = AC uuur uuur uuur (Chú ý: Chiều ngược lại ta có thể phân tích AC = AB + AD ) +) Quy tắc hình hộp: Nếu ABCD.A1B1C1D1 là hình hộp có các cạnh cùng xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA và có đường chéo AC1 thì uuuu r uuur uuur uuur AC1 = AB + AD + AA1 +) Tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Giả sử I là trung điểm của đoạn thẳng AB, đó: uurkhiuu r r IA IB uuur + u uur= 0uuu r MA + MB = 2MI , với điểm M bất kì +) Tính chất trọng tâm tam giác: Giả sử G là trọng tâm tam giác ABC, đó: uuu r uuur uuur r GA + GB + GC = uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC = 3MG , với điểm M bất kì +) Tính chất trọng tâm tứ diện: Giả sử G là trọng tâm tứ diện ABCD, đó: uuu r uuur uuur uuur r GA + GB + GC + GD = uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r MA + MB + MC + MD = 4MG , với điểm M bất kì b) Một số đặc trưng của vectơ +) Hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng, hai vectơ bằng +) Ba vectơ đồng phẳng 14 c) Một số định lí thường dùng +) Định lí (điều kiện để hai vectơ cùng phương) r r r r r r Cho hai vectơ a, b, (b ≠ 0) Khi đó a, b cùng phương và chỉ r r a = kb +) Định lí (điều kiện để ba vectơ đồng phẳng) r r r r r Cho ba vectơ a, b , c , đó hai vectơ a, b không cùng phương r r r r r r Khi đó a, b , c đồng phẳng và chỉ c = k a + lb ( hai số k, l là nhÊt) r r r +) Định lí Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng Khi đó với mỗi vectơ r r r r r u ta có u = ma + nb + pc Hơn nữa các số m, n, p là nhất 2.3.3 Dạy học sinh sư dụng phương pháp vectơ để giải các bài toán về quan hệ song song không gian Bằng việc dạy học sinh nắm được các quan hệ giữa các yêu cầu của hình học tổng hợp với các yêu cầu về vectơ và quy trình giải các bài toán bằng vectơ đã đề cập ở trên, giúp học sinh có thêm một cách tiếp cận bài toán Từ đó học sinh có thể tìm lời giải đúng một cách nhanh chóng và chính xác Cũng đơn giản hóa một số bài toán mà việc giải bằng phương pháp hình học tổng hợp là khá phức tạp 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy cho các em học sinh học ban khoa học tự nhiên ở Trường THPT Vĩnh Lộc, rút được một số kết quả sau - Các tiết học về chủ đề quan hệ song song trở nên sôi nổi, học sinh chủ động, tích cực tìm tòi các cách giải khác cho cùng một bài toán, đó có phương phương vectơ Từ đó góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy và học hình học không gian - Việc sử dụng vectơ để giải toán giúp các em học sinh tự tin, độc lập suy nghĩ, tự giác việc chiếm lĩnh kiến thức, bồi dưỡng cho các em học nhiều phẩm chất quý quá trình học tập tính kiên trì, ham học hòi, - Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này trang bị thêm cho các em học sinh có khiếu về môn toán một phương pháp hiệu quả để giải các bài toán hình học không gian khó chương trình phổ thông, góp phần phát triển công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của nhà trường Để đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm, tổ chức thực nghiệm một nhóm học tập gồm 16 học sinh lớp 11A3 Trường THPT Vĩnh Lộc Tổ chức kiểm tra, đánh giá kết quả của việc thực hiện các giải pháp để kiểm chứng hiệu quả thực tế a Nội dung kiểm tra (Kiểm tra 45 phút) Hãy giải bài toán sau bằng hai phương pháp Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABB1 và ABC Chứng minh rằng MN//mp(AA1D1D) b Đáp án • Phương pháp vectơ 15 Đặt: uuur r uuur r uuur r AA1 = a , AB = b , AD = c uuur uuur Khi đó ta có: MN không nằm mp(AA1D1D), AD , AA1 là hai vectơ không cùng phương nằm mp(AA1D1D) Mặt khác: uuuu r uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur AM = AB1 + B1M = AA1 + AB + ( B1 A1 + B1B ) r r = (a + 2b) uuur r r AN = (c + b) Tương tự uuuu r uuur uuuu r r uu r uuur uuur MN = AN − AM = (c − a ) = AD − AA1 3 Vậy MN// mp(AA1D1D) D C N A B D1 A1 M C1 B1 • Phương pháp tởng hợp Gọi I là trung điểm của AB Khi đó theo giả thiết ta có: I, M, N, C, B1 đồng phẳng và: IM = IB1 IN = IC Suy ra: (vì M là trọng tâm tam giác ABB1) (vì N là trọng tâm tam giác ABC) IM IN = IB1 IC Do đó MN// B1C Mặt khác B1C//A1D, nên MN//A1D 16 Mà MN không nằm mp(AA1D1D) Vậy MN// mp(AA1D1D) D A C N I D1 B M A1 C1 B1 c Kết quả kiểm tra + Số học sinh được kiểm tra: 16 + Số học sinh làm đúng cả hai phương pháp: (tỉ lệ 18,75%) + Số học sinh chỉ làm đúng bằng phương pháp vectơ: 10 (tỉ lệ 62,5%) + Số học sinh chỉ làm đúng bằng phương pháp tổng hợp: (tỉ lệ 12,5%) Qua kết quả ta thấy rằng số học sinh giải được bài toán bằng phương pháp vectơ chiếm tỉ lệ cao hẳn số học sinh giải được bài toán bằng phương pháp tổng hợp Hơn nữa qua quan sát thì việc giải bằng vectơ không mất nhiều thời gian, còn đối với phương pháp tổng hợp học sinh khá vất vả để tìm lời giải đúng Chúng còn tiến hành kiểm tra đối với học sinh ở hai lớp khác trường để đối chứng tính thiết thực của sáng kiến Bài kiểm tra áp dụng đối với học sinh hai lớp 11A (44 học sinh) không áp dụng sáng kiến và 11A5 (45 học sinh) áp dụng sáng kiến sau: Xếp loại Đối tượng 11A5 11A2 Giỏi Khá TB Yếu 45,8% 9,1% 40,1% 39,3% 9,5% 33,8% 4,6% 17,8% Qua kiểm tra thấy rằng: Khi các em học sinh được tiếp cận một cách có hệ thống phương pháp vectơ sáng kiến này, các em sẽ có được những 17 định hướng rõ ràng để giải quyết các bài toán về quan hệ song song không gian Từ đó học sinh học tập rất tích cực và hứng thú, đặc biệt là giải các bài toán về quan hệ song song hình học không gian các em ít còn cảm giác ngại và sợ trước chưa được trang bị phương pháp này Kết luận, kiến nghi 3.1 Kết luận Qua quá trình nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm có thể rút một số kết quả sau: Phương pháp vectơ có thể được áp dụng một cách hiệu quả việc giúp học sinh giải các bài toán về quan hệ song song hình học không gian Áp dụng phương pháp vectơ giúp học sinh tìm được lời giải bài toán về quan hệ song song một cách nhanh chóng và chính xác, đơn giản hóa một số lời giải phức tạp của phương pháp tổng hợp Việc tiếp thu của học sinh kiến thức về vectơ để giải bài toán về quan hệ song song là hoàn toàn khả thi Áp dụng các biện pháp nêu sẽ góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy học chủ đề quan hệ song song không gian Phương pháp vectơ được sử dụng rất hiệu quả để giải các bài toán về chứng minh quan hệ vuông góc không gian, các bài toán tính khoảng cách, tính góc không gian Tôi mong muốn có dịp sẽ được trao đổi với các thầy cô về nội dung mới này 3.2 Kiến nghi Qua quá trình thực hiện, có kiến nghị sau: Nên đưa nội dung về vectơ không gian vào giảng dạy từ đầu chương II hình học lớp 11 ban khoa học tự nhiên (có thể là các tiết tự chọn), thay vì đến hết chương II đầu chương III hiện Tôi hy vọng rằng sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các đồng nghiệp quá trình dạy học về chủ đề quan hệ song song không gian Mặc dù đã có nhiều cố gắng bản thân chưa có nhiều kinh nghiệm nên khó tránh được thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến góp ý của quý đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan là SKKN của mình viết, không chép nội dung của người khác Người thực hiện Hoàng Văn Khanh 18 19 ... áp dụng một cách hiệu quả việc giúp học sinh giải các bài toán về quan hệ song song hình học không gian Áp dụng phương pháp vectơ giúp học sinh tìm được lời giải bài toán. .. về việc vận dụng phương pháp vectơ để giải các bài toán hình học phù hợp với bản thân Từ thực trạng để giúp học sinh giải tốt các bài toán hình học về quan hệ song. .. phương pháp vectơ, rèn luyện kỹ giải bài toán bằng vectơ Để hình thành và củng cố kỹ vận dụng vectơ việc giải các bài toán về quan hệ song song không gian, cần xây dựng các