Kỷ yếu hội thảo khoa học môn toán học PTTH

Ch ng minh r ng... Khi đó dãy tu n hoàn... Xét các tam giác ABC, PQR có: X=CAÇRP, Y=ABÇPQ, Z=BCÇQR.. Áp d ng đ nh lý Desargues suy ra các đ ng th ng APºAL, BQºBM, CRºCN đ ng quy.

H I CÁC TR NG THPT CHUYÊN KHU V C DUYÊN H I VÀ NG B NG B C B

M C L C

2

M T S D NG PH NG TRÌNH VÔ T CHO H C SINH GI I

TÍNH TU N HOÀN TRONG DÃY S NGUYÊN

M T S BÀI TOÁN S H C TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN

Tr n Xuân áng (THPT Chuyên Lê H ng Phong – Nam nh) 67

9

NH LÍ LAGRANGE VÀ NG D NG

ng ình S n, Chuyên L ng V n T y – Ninh Bình 73

10

T S KÉP VÀ PHÉP CHI U XUYÊN TÂM

DI TRUY N H C

L I NÓI U

H i các tr ng chuyên vùng Duyên H i B c B đ n nay đã có 12 tr ng tham gia Trong đó có nhi u tr ng có truy n th ng lâu n m, có thành tích

cao trong các k thi h c sinh gi i Qu c gia và Qu c t môn Toán

N m nay, l n th 3 h i th o khoa h c V i c ng v là đ n v đ ng cai, chúng tôi đã nh n đ c 12 bài vi t v các chuyên đ chuyên sâu cho h c

sinh gi i Toán ó là các chuyên đ tâm huy t c a các thày cô d y chuyên

Toán c a các tr ng chuyên trong h i

Xin trân tr ng gi i thi u các bài vi t c a các thày cô trong k y u môn Toán c a h i trong d p h i th o khoa h c l n th 3 Hy v ng r ng cu n k

y u này s m t tài li u tham kh o cho các thày cô!

T TOÁN - TIN

M T S D NG PH NG TRÌNH VÔ T CHO H C SINH GI I

Nguy n Anh Tu n (THPT chuyên B c Giang)

L i m đ u

Toán h c có m t v đ p lôi cu n và quy n r , ai đã đam mê thì mãi mãi đam mê… Trong v đ p đ y huy n bí đó thì các bài toán liên quan đ n Ph ng trình vô t (ch a c n

th c) - có nét đ p th t s xao xuy n và quy n r

Có l vì lý do đó mà trong các kì thi HSG các n c, thi HSG Qu c gia (VMO) c a chúng ta, bài toán liên quan đ n Ph ng trình vô t th ng có m t đ thách th c các nhà Toán h c t ng lai v i dung nhan muôn hình, muôn v R i thì còn trong các kì thi HSG

c p t nh, thi HSG c p thành ph , thi i h c, thi …

Th t là đi u thú v !

Chuyên đ : “ M t s d ng ph ng trình vô t cho h c sinh gi i ” tôi vi t v i mong

mu n ph n nào giúp các Th y cô giáo d y Toán, các em h c sinh ph thông trong các đ i tuy n thi h c sinh gi i Toán có th tìm th y nhi u đi u b ích và nhi u đi u thú v đ i v i

d ng toán này Trong Chuyên đ có c nh ng bài v i c p đ gi i trí cho h c sinh gi i (rèn luy n ph n x nhanh)

i v i vi c gi i ph ng trình vô t thì h u h t các ph ng pháp gi i, các ph ng pháp bi n đ i hay đ u có trong cu n Chuyên đ này Cách phân tích đ nh n d ng m t

ph ng trình và ch n l a ph ng pháp gi i thích h p là khó và đa d ng có kh n ng này chúng ta ph i gi i quy t nhi u ph ng trình và t rút ra nh ng nh n xét, kinh nghi m và hay

h n n a là m t vài thu t gi i toán, c ng nh l u ý r ng m t bài toán có th có nhi u cách

gi i khác nhau

Tôi vi t Chuyên đ này v i m t tinh th n trách nhi m cao Tôi hy v ng r ng Chuyên

đ s đ l i trong lòng Th y cô và các em h c sinh m t n t ng t t đ p

2.1.2 t n ph mà v n còn n chính, ta có th tính n này theo n kia

2.1.3 t n ph đ đ a ph ng trình v h hai ph ng trình v i hai n là hai n ph ,

c ng có th hai n g m m t n chính và m t n ph , th ng khi đó ta đ c m t h đ i x ng

2.1.4 t n ph đ đ c ph ng trình có hai n ph , ta bi n đ i v ph ng trình tích v i v ph i b ng 0

3 £ £y ), ta đ c

ìï

Û (y-3)(y-x)=0

D n đ n y =3 và y=x T đó ph ng trình có nghi m là x = ± 2

Ví d 3 Gi i ph ng trình 4 8 3 8

17-x - 2x - = 1 1HD: t 417 x- 8 = vy i y ³0 và 3 2x8- =1 z Khi đó ta đ c h

4

+ = +ì

ê =ë

ph ng lên r i ta “c ý” bi n đ i v h đ i x ng v i hai n x y, T đó ta s bi t đ c giá

tr c a a, b V i bài toán này ta tìm đ c 1; 1

íï

>

ïïî

Nh n xét: Khi gi i m t ph ng trình không ph i lúc nào c ng có nghi m th c, có

nh ng ph ng trình vô nghi m nh ng khi cho h c sinh làm bài ta c ng ki m tra đ c n ng

l c c a h c sinh khi trình b y l i gi i bài toán đó Ch ng h n nh bài toán trong ví d này

ïí

- , bình ph ng d n đ n

3 2 3

y ³ + Ph ng trình tr thành 2y2-7y+ =3 0, ta đ c y =3 T đó x = ±4 6)

4 22

4 3 21

22

í

- =

³ ì

-±ï

£ £ é

-ê ³

ë t 2x2-8x-10= và y x+ = , v4 z i y³0;z³0 Khi đó ta đ c (y-z y)( -3 )z =0 T đó ph ng trình có b n nghi m là 9 193

Khi gi i ph ng trình vô t (ch ng h n f x( )=g x( )) b ng ph ng pháp đánh giá,

th ng là đ ta ch ra ph ng trình ch có m t nghi m (nghi m duy nh t).Ta th ng s d ng

các b t đ ng th c c đi n Cô si, Bunhiacopxki, đ a v trái v t ng bình ph ng các bi u

22

£ £ê

17

é ³ê

khi x £ - 2 V y ph ng trình vô nghi m

aÎ p C ng có khi đ t f x( )=tan ; ( )a f x =cota … đ đ a ph ng trình đã cho

v ph ng trình l ng giác Gi i ph ng trình l ng giác r i t đó tìm nghi m c a ph ng

trình đã cho

4x- +1 4x - = 1 1

Nh n xét: Bài toán này (đã xét trên) c ng có th gi i b ng ph ng pháp l ng giác,

tuy nhiên v i bài này cách gi i b ng l ng giác ch mang tính ch t tham kh o

HD: t

4

2 4

cosy+siny = Û y+ y= y t siny+cosy= -z, 2£ £z 2 suy ra sin 2y=2sin cosy y=z2-1, ta đ c z = 2 và 2

x x x

x x

2 2

3 4

1 6 1 6 9 4 8 2 9 1 6 9 3 6 2

7 1 2 2 0

1 2 2 7

í

Ch n đ i tuy n c a t nh B c Giang thi h c sinh gi i qu c gia c ng có nh ng bài toán

gi i ph ng trình vô t Sau đây là m t s bài

2) x+3 x+ =7 4 x+80 5) 4 3

28

x = + x

§ 3 M T S BÀI TOÁN THI H C SINH GI I C A M T S QU C GIA

Th c t bài toán gi i ph ng trình vô t trong k thi h c sinh gi i qu c gia là không khó Tuy nhiên đ làm đ c vi c l n thì tr c h t ph i làm t t vi c nh , do đó h c sinh

mu n đo t gi i t khuy n khích tr lên ph i làm t t bài toán này Dù bi t v y nh ng không

ph i h c sinh xu t s c nào c ng v t qua đ c

Nh n xét: ây là bài toán thi h c sinh gi i c a Canada, có th nói là đ n gi n, nh

nhàng v i h c sinh tinh ý nh ng c ng đ y c m b y v i m i h c sinh

x x

1)

2

3

11

x x

LÀM NG C B T NG TH C

Nguy n c Vang (THPT chuyên B c Ninh)

Trong báo toán s 377(tháng 11 n m 2008) có bài toán sau:

“Tìm s th c k nh nh t sao cho v i m i b s th c không âm x, y, z ta luôn có:

{x y y z z x}

Max k xyz z

y x

+

-£++

,,

3

B t ch c cách làm y, tôi khai thác m t s b t đ ng th c quen bi t, b ng cách thêm vào

v bé m t l ng đ ng b c t i thi u đ làm thay đ i s chênh l ch

Bài 1 Tìm s th c k nh nh t sao cho b t đ ng th c sau đúng v i m i x, y không

2 2

,,

.max)

()(

Bài 7 Tìm s th c k nh nh t sao cho b t đ ng th c sau đúng v i m i x, y, z:

2 1 2 2

2 2

1 1

Bài 9 Tìm s th c k nh nh t sao cho b t đ ng th c sau đúng v i m i x, y Îêëé0;2úûù

p

cos cos sin ( )

)13(2

-B T này đúng vì

ïî

ïíì

-³-

-³-

+

-³

2 2

2 2

z)332(zx)332(

z)32(yz)32(

z)13(yxy3

V y s th c k nh nh t c n tìm là k0 = 3-1

Cách 2:

t f(x;y;z) = 3(x2 +y2 +z2)-x-y-z-( 3-1)(x-z); x³y³z³0 Dùng đ o hàm, ch ra đ c (x;y;z)£ (y;y;z;)£ (z;z;z)=0

yx(2y

yx(2y

0y

1 1

đúng khi x1, …, xn không âm

Cho x1 = x2 = …= xn-1 =1, xn = 0 suy ra k³n-1

+) Ta ch ng minh x nn x x (n 1)(x1 xn)

n 1 n

1 k

n 1 n

ì

£

-£+

-n

n 2 1 n

1 1

n 2

x

x.xnnx

x)2n(x

4 cos c8

4

p = +

1n

)2(2)()(

+-

+

b a

b a b

a

b a f b f a f

2

1)2(2)()

CH NG MINH B T NG TH C B NG CÁCH S D NG B T

NG TH C S P X P L I VÀ B T NG TH C CHEBYSHEV

ào Qu c Huy - T Toán – Tin

Tr ng THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam

B t đ ng th c là m t chuyên đ quan tr ng trong ch ng trình b i d ng h c sinh

gi i Qu c gia Trong các ph ng pháp ch ng minh b t đ ng th c thì ph ng pháp áp d ng

b t đ ng th c c đi n th ng xuyên đ c s d ng, đã có r t nhi u bài toán ch ng minh b t

đ ng th c mà l i gi i đ c p đ n vi c s d ng b t đ ng th c liên h gi a Trung bình c ng - Trung bình nhân (AM-GM), b t đ ng th c Cauchy – Schwarz, b t đ ng th c Holder, b t

đ ng th c Schur … Trong khuôn kh bài vi t, tôi xin đ c p đ n b t đ ng th c S p x p l i

và m t s bài t p s d ng b t đ ng th c này Bên c nh đó, bài vi t c ng đ c p đ n m t

B t đ ng th c X ³B đ c suy ra t A³X b ng cách xét dãy - £ -b n b n-1 £ £ - b1

thay cho dãy b1 £b2 £ £ b n

V i kí hi u nh trên, m t cách ng n g n ta coi A là t ng các ch s “cùng chi u”, B

là t ng các ch s “đ o chi u”, còn X là t ng các ch s “tùy ý” B t đ ng th c S p x p l i cho ta: t ng cùng chi u ³ t ng tùy ý ³ t ng đ o chi u

m c đích s p x p 2 dãy cùng chi u c a gi thi t đ c th a đáng Bên c nh đó, n u không có

gì đ c bi t tác gi xin không trình bày tr ng h p x y ra d u đ ng th c ( b i vì nó hoàn toàn

nh phát bi u trên, đ ng th c x y ra khi 1 trong 2 dãy là dãy d ng ), đ ng th i tác gi xin

B t đ ng th c đã cho đ c ch ng minh

r ng 2 dãy {x y z và , , } {a b c cùng th, , } t , đ ng th i hàm ln t đ ng bi n trên (0; +¥ nên )

dãy {ln , ln , lna b c c} ng có th t nh 2 dãy trên, ta suy ra đi u ph i ch ng minh

Bài toán 4:

Cho tam giác nh n ABC

Ch ng minh r ng 1 sin sin 3

2

å

( đây a,b,c,R theo th t là đ dài các c nh BC,CA,AB và bán kính đ ng tròn ngo i

ti p tam giác ABC )

11

B t đ ng th c Chebyshev d ng m u s (còn g i là d ng Engel) đ c phát bi u nh sau:

ï ³ ³ ³î

ï £ £ £î

ï ³ ³ ³î

ï £ £ £î

(Ch ng minh 2 k t qu này b ng cách s d ng tr c ti p b t đ ng th c Chebyshev)

Hai k t qu trên, k t h p v i vi c thêm các bi u th c phù h p, tr nên hi u qu trong

vi c đánh giá các b t đ ng th c đ i 3 bi n có ch a phân th c, m c dù chúng ch là m r ng

đ n gi n t b t đ ng th c Chebyshev làm rõ thêm, chúng ta xét m t vài ví d sau:

Bài toán 1: Cho a b c >, , 0 th a mãn

Ta có đi u ph i ch ng minh, đ ng th c x y ra khi a= = =b c 1

Bài toán 2: Cho a b c >, , 0 th a mãn a b c+ + =3

Õ å

Õ å

Ta có đi u ph i ch ng minh, đ ng th c x y ra khi a= = =b c 1

Bài toán 7: Cho a b c >, , 0 th a mãn ab bc ca+ + =3

Ch ng minh r ng

Bài t p 4:

Cho a b c Î, , (1;+¥ CMR: ) logab c+logbc a+logca b³loga bc2 bc+logab c2 ca+logabc2 ab Bài t p 5:

Kí hi u a b c, , l n l t là đ dài các c nh BC CA AB, , c a tam giác nh n ABC

TÍNH TU N HOÀN TRONG DÃY S NGUYÊN

Tác gi : Ngô Th H i Giáo viên tr ng THPT chuyên Nguy n Trãi, H i D ng

Dãy s là m t l nh v c khó và r t r ng gi i đ c các bài toán lo i này không ch đòi h i ng i làm Toán ph i s d ng nhi u ki n th c khác nhau c a Toán h c mà còn ph i

có kh n ng sáng t o r t cao Trong các bài toán v dãy s m t v n đ đ c quan tâm nhi u

là tính ch t s h c c a dãy s nh : tính chia h t, tính ch t nguyên hay tính chính ph ng… Chúng r t đa d ng và phong phú Trong nhi u tr ng h p, dãy s ch là v b ngoài còn

b n ch t bài toán là m t bài s h c Chính vì l đó, các bài toán v s h c nói chung, các bài toán v tính ch t s h c c a dãy s nói riêng th ng xu t hi n trong các kì thi h c sinh

gi i qu c gia và qu c t , vì nó bao g m nhi u bài toán hay và khó Trong khuôn kh c a bài

vi t này tôi ch đ c p đ n m t khía c nh r t nh c a dãy s nguyênđólà tính tu n hoàn, hi

v ng r ng đây là m t tài li u tham kh o t t cho các em h c sinh khá và gi i Tr c h t ta hãy xem đ nh lý sâu đây:

nh lý: Cho dãy s nguyên truy h i c p k ( k là s nguyên d ng) ngh a là

N u dãy b ch n thì nó là dãy tu n hoàn k t lúc nào đó

V y dãy tu n hoàn v i chu kì k t

trong đó là các s nguyên và m là s nguyên d ng l n h n 1 G i là s d trong phép chia cho m Khi đó dãy tu n hoàn

Ch ng minh:

Theo gi thi t ta có Theo tính ch t c a đ ng d th c ta có

Theo các xác đ nh ta có t c là dãy b ch n và truy h i tuy n tính

c p k nên theo đ nh lý trêndãy tu n hoàn k t lúc nào đó, ngh a là sao cho

Sau đây tôi s đ a ra m t s ví d đi n hình v vi c áp d ng đ nh lý trên Các bài toán

nêu ra đây đ u s d ng đ n tính tu n hoàn c a dãy s d Gi s là s d trong phép

chia cho m t s nguyên d ng m nào đó Khi đó dãy b ch n và c ng có cùng công

th c truy h i v i dãy nên theo h qu trên nó là dãy tu n hoàn

Bài 1:

100 Tìm s d trong phép chia cho 8

Bài 2:

Bài gi i:

T công th c truy h i c a dãy ta th y ( G i là s d trong

bài 1 dãy tu n hoàn chu kì 6

Ta có chia h t cho 2005 G i là s d trong phép chia cho 2005 T

ng th i dãy tu n hoàn k t lúc nào đó, ngh a là sao cho

G i là s d trong phép chia cho m Khi đó dãy tu n hoàn ngh a là t n t i s

t nhiên T>1 sao cho

b) Có vô s nguyên d ng n sao cho có 4 ch s t n cùng là 2003

c) Không t n t i s nguyên d ng n sao cho có 4 ch s t n cùng là 2004

NH LÝ PASCAL VÀ NG D NG

Lê c Th nh

GV THPT Chuyên Tr n Phú – H i Phòng

Trong bài vi t chuyên đ này tôi mu n đ c p đ n m t đ nh lý có r t nhi u ng d ng

đa d ng, đó là đ nh lý Pascal v l c giác n i ti p đ ng tròn Trong th c t áp d ng, khi thay

đ i th t các đi m, hay là khi xét các tr ng h p đ c bi t ta s thu đ c r t nhi u k t qu khác nhau

Áp d ng đ nh lý Menelaus cho tam giác

XYZ đ i v i các đ ng th ng BCQ, DEP, FAR,

ta có:

( ) ( ) ( )

Ch ng h n hình v bên minh h a tr ng h p các

đi m ACEBFD

Ngoài ra khi cho các đi m có th trùng nhau (khi đó

l c giác suy bi n thành tam giác, t giác, ng giác), ví d

Ti p theo ta đ a ra các bài toán ng d ng đ nh lý Pascal:

Bài toán 1: ( nh lý Newton)

M t đ ng tròn n i ti p t giác ABCD l n l t ti p xúc v i các c nh AB, BC, CD, DA

E

R Q

L i gi i:

G i O=EGÇFH, X=EHÇFG

Vì D là giao đi m c a các ti p tuy n v i đ ng tròn t i G, H, áp d ng

đ nh lý Pascal cho các đi m E, G, G, F, H, H, ta có:

Cho tam giác ABC n i ti p trong m t đ ng tròn G i D, E l n l t là các đi m chính

gi a c a các cung AB, AC; P là đi m tu ý trên cung BC; DPÇAB=Q, PEÇAC=R

Ch ng minh r ng đ ng th ng QRch a tâm I c a đ ng tròn n i ti p tam giác ABC

L i gi i:

Vì D, E l n l t là đi m chính gi a c a các

cung AB, AC nên CD, BE theo th t là các đ ng

phân giác c a góc · ·ACB, ABC

Cho tam giác ABC n i ti p đ ng tròn (O), đ ng cao đ nh A, B, C l n l t c t (O) t i A’, B’, C’ D n m trên (O), DA ' BCÇ =A", DB' CAÇ =B", DC ' ABÇ =C"

Ch ng minh r ng: A”, B”, C”, tr c tâm H th ng

Bài toán 4: (IMO Shortlist 1991)

P thay đ i trong tam giác ABC c đ nh G i P’, P” là hình chi u vuông góc c a P trên

AC, BC, Q’, Q” là hình chi u vuông góc c a C trên AP, BP, g i X=P 'Q" P"Q 'Ç

Ch ng minh r ng: X di chuy n trên m t đ ng c đ nh

P' A

P

R

Q P

F

D C B

G i P=AEÇBC, Q, R l n l t là giao đi m c a AD và BD v i đ ng tròn đ ng kính PD, G=QCÇRE

Áp d ng đ nh lý Pascal cho sáu đi m P, C, Q, D, R, E, ta có:

DAE DBC

sin GQD

DA GQS

DB GR

DGS

Cho tam giác ABC n i ti p đ ng tròn (O), A’, B’, C’ là trung đi m BC, CA, AB

Ch ng minh r ng tâm đ ng tròn ngo i ti p các tam giác AOA’, BOB’, COC’ th ng hàng

L i gi i:

G i A”, B”, C” là trung đi m c a OA,

OB, OC I, J, K là tâm các đ ng tròn ngo i

ti p các tam giác AOA’, BOB’, COC’ Khi đó

I là giao đi m c a các trung tr c c a OA và

OA’, hay chính là giao đi m c a B”C” và ti p

tuy n c a đ ng tròn (O;OA”) t i A” T ng

Bài toán 7: (China 2005)

M t đ ng tròn c t các c nh c a tam giác ABC theo th t t i các đi m

1 2 1 2 1 2

D , D , E , E , F , F D E1 1ÇD F2 2 =L, E F1 1ÇE D2 2 =M, F D1 1ÇF E2 2 =N

Ch ng minh r ng AL, BM, CN đ ng quy

K J

I B"

Xét các tam giác ABC, PQR có: X=CAÇRP, Y=ABÇPQ, Z=BCÇQR

Áp d ng đ nh lý Desargues suy ra các đ ng th ng APºAL, BQºBM, CRºCN đ ng quy

Bài toán 8: ( nh lý Brianchon)

L c giác ABCDEF ngo i ti p m t

P

L F2

F1

E2

E1

D2 D1