Đề cương ôn tập môn toán học kỳ I lớp 12 năm 2013 - 2014

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị.. Tìm

Chủ đề 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Các kiến thức cơ bản cần nhớ

1 Ứng dụng đạo hàm cấp một để xét tính đơn điệu của hàm số Mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu hàm cấp một của nó

2 Cực trị của hàm số Điều kiện đủ để có cực trị Điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm

số Các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số

3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số

4 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang

5 Khảo sát hàm số Sự tương giao của hai đồ thị Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị)

2 Các dạng toán cần luyện tập

1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm

2 Tìm điểm cực trị của hàm số

3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng

4 Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

5 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

y bx cx d a 

y ax bx c a

ax b

cx d



6 Dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình

7 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số

8 Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước(như điểm cố định…) Tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);

 MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHỦ ĐỀ 1.

I Đơn điệu của hàm số.

Cho hs y = f(x) xác định trên K (KR)

1) Nếu f’(x)  0 với mọi xK thì hs đồng biến trên K.

2) Nếu f’(x)  0 với mọi xK thì hs nghịch biến trên K.

Dấu “=” chỉ xảy ra (với cả 2 trường hợp trên) tại một số hữu hạn điểm xK

* Nhắc lại kiến thức lớp 10:

Cho tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c (a0) và biệt thức = b2 – 4ac

a 0

 







a 0

 







II Cực trị của hàm số.

1) Điều kiện cần để hs có cực trị:

Nếu hs y = f(x) có đạo hàm và đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0 (ngược lại không đúng)

2) Điều kiện đủ (gọi là dấu hiệu) để hs có cực trị: (dùng để tìm cực trị của hs)

a) Dấu hiệu I: “đạo hàm đổi dấu khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực trị”

b) Dấu hiệu II:

1

Tr THPT Phỳc Thọ - ễn thi học kỳ I lớp 12 năm học 2013 – 2014 -

0

f '(x ) 0

f "(x ) 0











thỡ hs đạt cực tiểu tại x0

0

f '(x ) 0

f "(x ) 0











thỡ hs đạt cực đại tại x0

Chỳ ý: cả 2 điều kiện trờn đều là điều kiện 1 chiều!

III Qui tắc tỡm GTLN và GTNN của hs.

1) Nếu bài toỏn yờu cầu tỡm GTLN và GTNN của hs trờn khoảng, hoặc trờn TXĐ thỡ ta lập BBT rồi KL

2) Nếu bài toỏn yờu cầu tỡm GTLN và GTNN của hs trờn đoạn a; b thỡ ta thực hiện cỏc bước sau: Bước 1: Khẳng định trờn đoạn a; b , hs đó cho liờn tục

Bước 2: Tỡm cỏc điểm xa; b mà tại đú đạo hàm khụng xỏc định, hoặc là nghiệm của đạo hàm Bước 3: Tớnh giỏ trị của hs tại cỏc điểm x núi trờn bước 2, giỏ trị của hs tại 2 đầu mỳt a, b của a; b

So sỏnh cỏc giỏ trị ở bước 3 rồi KL

Lưu ý khi tỡm GTLN và GTNN của hs trờn đoạn a; b thỡ ta cú thể lập BBT rồi KL cũng được

IV Tỡm cỏc đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hs.

Tỡm TXĐ của hs, giả sử hs y = f(x) cú TXĐ: D =  ,a  b,

Ta tỡm cỏc giới hạn của hs khi x tiến tới cỏc “biờn” của TXĐ, ở đõy ta cú 4 “biờn”:   ; ; trỏi a; phải

b Vậy ta tỡm cả thảy 4 giới hạn của hs khi x , x , x a , x b

       (lưu ý phải tỡm đủ tất cả 4 giới hạn)

Giả sử xlim y y0

   thỡ KL đồ thị hs cú 1 đường tiệm cận ngang y = y0 ( x tiến tới vụ cựng, y tiến tới số) Giả sử xlim ya   thỡ KL đồ thị hs cú 1 đường tiệm cận đứng x = a (x tiến tới số, y tiến tới vụ cựng)

V Bài toỏn PT, BPT chứa tham số cú ràng buộc điều kiện nghiệm.

Giả sử hs y = f(x) liờn tục trờn đoạn a; b và  Min y ma;b  , Max y Ma;b  k là số thực Khi đú:

1) PT f(x) = k cú nghiệm thuộc a; b  m k M 

2) BPT f(x)  k cú nghiệm thuộc a; b  k M

3) BPT f(x)  k nghiệm đỳng  x a; b  k m

4) BPT f(x)  k cú nghiệm thuộc a; b  k m

5) BPT f(x)  k nghiệm đỳng  x a; b  k M

BÀI TẬP

1

x y

x





 cú đồ thị  C CMR hàm số đồng biến trờn khoảng xỏc định

2 Tỡm cỏc khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 2

2

y x x

3 CMR hàm số y 2x x 2 đồng biến trờn khoảng 0;1 và nghịch biến trờn khoảng  1; 2 

4 Tỡm cỏc khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y 2x x 2

5 Cho hàm số y=x3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến

6 Cho hàm số y=mx3-(2m-1)x2+(m-2)x-2 Tìm m để hàm số luôn đồng biến.

7 Chứng minh rằng với x > 0, ta có: 3 sin

6

x

8 Cho hàm số f x  2sinxtanx 3x

a CMR hàm số đồng biến trên 0;

2









2

x x x x  



1: Chứng minh hàm số 1 3 2 2 3 9

3

y x  mx  m x luơn cĩ cực trị với mọi giá trị của tham số m

2: Xác định tham số m để hàm số 3 2  2 

y x  mx  m  x đạt cực đại tại điểm x 2

3: Tìm m để hàm số ymx42m 2x2m 5 cĩ một cực đại tại 1

2

x 

4: Tính giá trị cực trị của hàm số

y x  x x x  Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

5: Tìm m để hàm số ym2x33x2mx 5 cĩ cực đại, cực tiểu

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số: yx2 4 x2

2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y3x 10 x2

3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x4 x

4 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x  x4 2x21 trên đoạn 0; 2 

5 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x   x 2 osxc trên đoạn 0;

2



6 Tìm GTLN, GTNN của hàm số: f x  x 9

x

  trên đoạn 2; 4

2

x

 trên đoạn 1; 2

8 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x  x33x2 4 trên đoạn 1;3 

9 Tìm GTLN và GTNN của hàm số   2 1

3

x

f x

x





 trên đoạn 0; 2 

10 Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x.ex

trên đoạn 1; 2

IV TIỆM CẬN

Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

3

Tr THPT Phúc Thọ - Ơn thi học kỳ I lớp 12 năm học 2013 – 2014 -

2

x y

x





2 2

2 1

y x

 



2 2

3 4

y x





x y





3

x y

x





3

x y x





3

y x



2

x y x







IV KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ

Bài 1: Cho hàm số y x 3 3x 2 ( )C

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M   o 2; 4

3 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

24 2008 ( )

4 Viết phương trình tt với (C) biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng: 1 2008 ( ')

3

5 Viết phương trình tt với (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung

6 Biện luận số nghiệm của phương trình: x3 3x6m 3 0 theo m

7 Biện luận số nghiệm của phương trình: |x3 3x 2 |m theo m

Bài 2: Cho hàm số 1 4 2 5

y x  x  C

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Viết pt tt với đồ thị (C) tại điểm 2;5

2

M  

3 Biện luận số nghiệm của pt: 1 4 2 5

m

x  x   

Bài 3:1 Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số 3 2

3

yx  x

2 Dựa vào đồ thị  C , biện luận theo m số nghiệm của phương trình:  x33x2 m0

Bài 4: Cho hàm số y2x33x21

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2x33x21m

Bài 5: Cho hàm số y x42x23 cĩ đồ thị  C

1 Khảo sát hàm số

2 Dựa vào  C , tìm m để phương trình: x4 2x2m cĩ 4 nghiệm phân biệt.0

Bài 6: Cho hàm số 4 2

y x  x  , gọi đồ thị của hàm số là  C

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C tại điểm cực đại của  C

Bài 7: Cho hàm số: 1 3

3 4

y x  x cĩ đồ thị  C

1 Khảo sát hàm số

2 Cho điểm M C cĩ hồnh độ là x 2 3 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và là tiếp

tuyến của  C

y x  mx  m cĩ đồ thị C , m là tham số m

1 Khảo sát và vẽ đồ  C của hàm số khi m=1.1

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm cĩ hồnh độ 1 x 1

Bài 9:

1 Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số 3 2

y x  x  x

2 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị  C

3 Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng y x m  2 m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị  C

Bài 11: (ĐH -KA –2002) ( C ) yx33mx23(1 m x m2)  3 m2

a-khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( C ) khi m =1.

b- Tìm k để pt : x33x2k3 3k2 0 Có 3 nghiệm phân biệt

Bài 12: Cho hs : ( C ) yx33x 2

a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( C )

b.Viết PTTT ( C) qua A ( -2;0)

c Biện luận SNPT : x 3 - 3x+3 + 2m=0

Bài 13: Cho (C) : y = f(x) = x4- 2x2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

1 Tại điểm có hoành độ bằng 2

2 Tại điểm có tung độ bằng 3

3 Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007

4 Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y = x 10

24

1

Bài 14: Cho hs : ( C ) 2 4

1

x y x







a-KS-( C )

b-CMR: đthẳng y =2x+m cắt đồ thị ( C ) tại 2 điểm phân biệt A; B với mọi m Xác định m để AB ngắn nhất.

Bài 15: - Cho hs : ( C ) 2

1

x y x







5

Tr THPT Phúc Thọ - Ơn thi học kỳ I lớp 12 năm học 2013 – 2014 -

a-KSHS.

b-Tìm m đth y= mx+m+3 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

c- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

d- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

e- Tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên

Bài 16: Cho HS ( C ) y = x3 - 6x 2 +9x-1

a- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.

b- (d) qua A(2;1) có hệ số góc m Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Bài 17: Cho hàm số y x 4 2x21, gọi đồ thị là (C).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).

Bài 18: Cho hàm số 2 1( )

1

x

x







a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt hệ số gĩc k = 4.

c Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất.

Bài 19: (ĐH – KB – 2008) Cho hàm số y4x3 6x21 ( )C

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C).

b Viết pttt biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1; -9).

Chủ đề 2 HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

 MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHỦ ĐỀ 2.

1 Luỹ thừa:

m n

n

a



* Quy tắc tính:

m n m n

a a a 

n n

n

 



 

m

m n n

a a a



ab a b

* Quy tắc so sánh: + Với a > 1 thì a ma n  m n

+ Với 0 < a < 1 thì a ma n  m n

2 Căn bậc n

n a bn a b n ; n n

n

b  b n a p  n a p m n a mn a

3 Hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là hs dạng y = x, với là số thực tùy ý

* Nếu  nguyên dương thì hàm số xác định với mọi x

* Nếu  nguyên âm thì hàm số xác định với mọi x0

* Nếu  không nguyên thì hàm số xác định với mọi x>0

4 Lôgarit

* loga b a b



* Tính chất so sánh:

+ Với a > 0 thì: loga bloga cb c + Với 0 < a <1 thì: loga bloga cb c + loga bloga cb c

* Quy tắc tính:

 

loga b c loga bloga c loga b loga b loga c

loga b loga b



loga b loga b



a b a b

n



* Công thức đổi cơ số:

log log

log

a b

a

c c

b

 hay log loga b b cloga c

1 log

log

a

b

b

a

 hay log loga b b a 1; logb c logb a

a c

* Chú ý: Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgx

Lôgarit cơ số e kí hiệu là: lnx

5 Bảng đạo hàm cần nhớ:

Đạo hàm của hàm số sơ cấp thường gặp Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x)

x x

u u u



,

2

 



 

 

'

2

 



 

 

 x ' 21

x

u



 ' 1 1

n

n n

x

n x 

n

n n

u u

n u 



tan ' 12

cos

x

x

cos

u u

u



1 cot

sin

x

x

' cot

sin

u u

u



 x ' x

e u e

 x ' x.ln

ln x' 1

x

u



log ' 1

.ln

a x

x a

.ln

a

u u



BÀI TẬP

1 LUỸ THỪA

Vấn đề 1: Tính Giá trị biểu thức

7

Tr THPT Phúc Thọ - Ơn thi học kỳ I lớp 12 năm học 2013 – 2014 -

Bài 1: Tính a) A =

1

3 5 : 2 : 16 : (5 2 3



( đáp số : A= 15/2 )

(0, 25) ( ) 25 ( ) : ( ) : ( )

1 2

4

C



Bài 2: a) Cho a = 1

(2 3)

(2 3)

 Tính A= (a +1)-1 + (b + 1)-1

b) cho a = 4 10 2 5 và b = 4 10 2 5 Tính A= a + b

Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức

Bài 3: Giản ước biểu thức sau

81a b với b  0 c) C = (a3 25)3 5 (a > 0) d) E =

2

2

xy



với x > 0, y > 0

Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức

Bài 4 chứng minh : x2 x1 x 2 x1 2 với 1 x  2

Bài 5 chứng minh : 2 3 4 2 2 3 2 4 3 2 3 2 3

a  a b  b  a b  a  b

Bài 6: chứng minh:

2

1

2

ax

x a



với 0 < a < x

2 LOGARIT

Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit

Bài 7 Tính logarit của một số

1 log

4

3

3

2

4 log

2 8

27

3 3 log

3

16

0,5

log (4) K = loga3a L = log (1 5 3)

a

a a

Bài 8 : Tính luỹ thừa của logarit của một số

A = log 3 2

2log 5

3 2

 

 

 

1

log 10 2

8 F = 21 log 70  2 G = 23 4log 3  8 H = 9log 2 3log 5 3  3

(2 )a a J = 27log 2 3log 5 3  3

Vấn đề 2: Rút gọn biểu thức

Bài 9: Rút gọn biểu thức

3

1

5

D = log 6log 9log 23 8 6 E = log 2.log 3.log 4.log 5.log 73 4 5 6 8 F = 2

4

log 30 log 30

625

log 3

log 24 log 192

3

log 7 2log 49 log 27 

Bài 10 Tính giá trị của các biểu thức sau :

1 1

4 2



4

1log 3 3log 5

1 log 5 2



3

1

log 9 log 6 log 4

2

72 49  5 



1

Vấn đề 3: Chứng minh đẳng thức logarit

Bai 11: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có nghĩa)

a) log ( ) log log

1 log

ax

a

bx

x





n n



c) cho x, y > 0 và x2 + 4y2 = 12xy

Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2 d) cho 0 < a  1, x > 0 Chứng minh: log ax 2

2

1

a x x

Từ đó giải phương trình log3x.log9x = 2

e) cho a, b > 0 và a2 + b2 = 7ab chứng minh: 2 2 2

1

a b



3 HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

Vấn đề 1: tìm tập xác định của hàm số

Bài 12: tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y = 2

3 log

1 log 1

x x





Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số

Bài 13: tính đạo hàm của các hàm số mũ

a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)ex d) y = ex.sin3x

e) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex) g) y = cos( e x2  2 1x ) h) y = 44x – 1

i) y = 32x + 5 e-x + 1

3x j) y= 2xex -1 + 5x.sin2x k) y = 2 1

4x

x 

Bài 14 Tìm đạo hàm của các hàm số logarit

a) y = x.lnx b) y = x2lnx - 2

2

x

c) ln( x 1x2 ) d) y = log3(x2- 1) e) y = ln2(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.loga(x2 + 2x + 3)

4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vấn đề 1: Phương trình mũ

Dạng 1 Đưa về cùng cơ số

Bài 15 : Giải ác phương trình sau

9

Tr THPT Phúc Thọ - Ơn thi học kỳ I lớp 12 năm học 2013 – 2014 -

a) 2x4 3 4

2

3 x 9x  x

 d) 2x2  x 8 41 3  x

4

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 16 : Giải các phương trình

a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0

e) 5 x 53  x 20

g)  5 2 6  5 2 6 10

   (TN – 2008) i) 7x 2.71 x 9 0

   (TN – 2007) j) 22x 2 9.2x 2 0

   (TN –2006)

Dạng 3 Logarit hóaï

Bài 17 Giải các phương trình

a) 2x - 2 = 3 b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 = 5x2  7x 12

d) 2x 2 5x2  5x 6



Dạng 4 sử dụng tính đơn điệu

Bài 18: giải các phương trình

a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x

Vấn đề 2: Phương trình logarit

Dạng 1 Đưa về cùng cơ số

Bài 19: giải các phương trình

a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3) c) log4x + log2x + 2log16x = 5 d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0

e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2

g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1) h) log3x2log3x 2 log 53 (TN L2 2008)

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 20: giải phương trình

4 ln x2 ln x  b) logx2 + log2x = 5/2

c) logx + 17 + log9x7 = 0 d) log2x + 10log2 x  6 9

e) log1/3x + 5/2 = logx3 f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x

2

log x3log xlog x2 h) lg 16 l g 64 3x2  o 2x 

Dạng 3 mũ hóa

Bài 21: giải các phương trình

a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x – 8) = 2 – x

5 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ

Bài 22: Giải các bất phương trình

2 5

1

9 3

x

 



 

