Đề cương ôn tập toán lớp 12 ôn thi đại học

b Viết phương trình tiếp tuyến với C tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành... Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất.. Viết phương trình ti

A ĐẠI SỐ PHẦN 1: HÀM SỐ

1.Yêu cầu kiến thức

+ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

+ Biện luận số nghiệm phương trình, số giao điểm giữa hai đồ thị

+ Phương trình tiếp tuyến tại một điểm cho trước

+ Phương trình tiếp tuyến biết hệ số gĩc

+ Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

+ Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước

+ Phương trình tiếp tuyến vuơng gĩc với một đường thẳng cho trước

+ Một số dạng tốn liên quan đến đơn điệu, cực trị, Min, Max

2.Yêu cầu đối với học sinh

+ Phải bảo đảm tất cả mọi học sinh đều thành thạo trong việc khảo sát và vẽ được đồ thị ba hàm số

y/ cùng dấu với hệ số a

•KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)

y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2

•KL: Hàm số tăng? Giảm?

•Hàm số không có cực trị • Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?

+ Giới hạn: lim (ax +bx +cx+d)3 2

( 0)( 0)

+ Bảng biến thiên:

Chú ý :1 Dù y / = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng

2 Học sinh cĩ thể chuyển phần tăng, giảm và cực trị trong trường hợp y / = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt xuống kết luận dưới bảng biến thiên.

+ Vẽ đồ thị • Xác định Cực trị ?

2 Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 )

+ TXĐ : D = R

+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)

y/ = 0 ⇔ x = 0 => y(0) = c

•KL: Tăng trên R nếu a > 0

Giảm trên R nếu a <0

( 0)( 0)

+ Bảng biến thiên:

Chú ý : Học sinh cĩ thể chuyển phần tăng giảm và cực trị trong trường hợp y / = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt xuống kết luận dưới bảng biến thiên

+ Vẽ đồ thị : • cực đại, cực tiểu:

• y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương (hoặc cho 2 điểm bất kỳ nằm về hai phái của trục đối xứng đặc,nếu trường hợp y/ =0 cĩ 3 nghiệm thì cho 2 giá trị của x nằm ngồi ,

ad bc y

cx d

y/ < 0 ∀ x ∈D y/ > 0 ∀ x ∈D Hàm số không có cực trị

Hàm số nghịch biến trên D Hàm số đồng biến trên D

( )+

+ = + ∞+

→ −

ax b

cx d d

x c

lim( )−

+ = − ∞+

→ −

ax b

cx d d

x c

lim( )+

+ = − ∞+

→ −

ax b

cx d d

x c

lim( )−

+ = + ∞+

→ −

ax b

cx d d

x c

Tiệm cận đứng x = d

c

−lim ax b

+ Vẽ đồ thị: − Vẽ tiệm cận, điểm đặc biệt.

− Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh, lấy đối xứng nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận ta được nhánh cịn lại

x x

+

− 6) y = 3

++ 8) y =

3

x x

++ 9) y =

2

x x

−+ 10) y =

x x

−+ 11) y = 5 2

x x

+

− 12) y =

22

x x

−+ 13) y =

53

x x

−+ 14) y =

3

x x

+

−

Vấn đề 2 :Viết phương trình tiếp tuyến

1 Tiếp tuyến tại M(x 0 ; f(x 0 )) có phương trình là :

+ Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?

+ P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x− x0) + f(x0)(cơng thức quan trọng viết PTTT của đồ thị) Chú ý: 1 Nếu biết x0 thì thay x0 vào y = f(x) được f(x0)

2 Nếu biết y0 thì giải pt f(x0) = y0 thì được x0

2 Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x 1 ; y 1 ) của đồ thị h/s y =f(x)

+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A , Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x1) + y1 (*) + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (C) là: f(x) k(x x ) y/ 1 1(1)

Thay (2) vào (1) giải tìm x=? => thay x vào (1) được k = ? thay k vào (*) được PTTT

3 Tiếp tuyến có hệ số góc k :

Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = f/(x0) = a

tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = f/(x0) = − 1

a (a ≠ 0) + Giả sử M(x0; f(x0)) là tiếp điểm => hệ số góc f/(x0) = k

+ Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? => f(x0) = ? => y = k (x − x0) + f(x0)

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho hàm số y x= 3 3 2 ( )− x− C

a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại Mo(-2;-4)

b)Viết p.trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=24x+2008 (d)

c)Viết phương trình tt với (C) biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng: y= x-2008 (d')1

3d)Viết phương trình tt với (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung

Bài 2: Cho (C) : y = f(x) = x4- 2x2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :

a) Tại điểm có hoành độ bằng 2 b) Tại điểm có tung độ bằng 3

c) Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007 d) Biết tiếp tuyến ⊥ với d2 : y = 1 10

Bài 3: Cho hs ( C ) 2

1

x y x

+

=+ a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành

c) Viết p.trình tiếp tuyến với (C) tại biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 1 2007

4

y= − x+ .

Vấn đề 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :

+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 Trong đó đồ thị hàm số y = f(x)

+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m)

+ y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C) (đã vẽ ở phần khảo sát)

+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = M (lưu ý so sánh M với các giá trị cực trị)

2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4− 2x2+ + =m 1 0

Lưu ý: Phần này hàm bậc nhất /bậc nhất khơng cĩ yêu cầu dạng này.

Vấn đề 4: Xét tính đơn điệu

Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :

+ MXĐ D= ?

+ Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

* y/ > 0 thì hàm số tăng ; y/ < 0 thì hàm số giảm

+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng

Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m):

a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)

b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b)

Lưu ý: Phần này chủ yếu tìm giá trị tham số để hàm số luơn tăng(giảm)trên tồn bộ tập xác định, các nội dung khác rất hạn chế; chủ yếu tập trung vào hàm bbạc nhất/bậc nhất và hàm bậc ba

+ Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) +Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?

Chú ý:

1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0

3) Nếu bài tốn cĩ chưa tham số thì

• Dấu hiệu II:

+ MXĐ

+ Đạo hàm : y/ = ? y// = ? cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 …

+ Tính y//(x1); y//(x2)……

Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ? Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu

 Yêu cầu đối với học sinh :

 Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:

1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:

+ Miền đang xét [a;b]

+ Đạo hàm : y/ = ?

cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 … chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]

+ Tính y(x1) ; y(x2) ……… So sánh → KL

y(a) ; y(b)

+ max y ?[a;b] = min y ?[a;b] =

2 P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :

+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ

* Nếu hàm số luơn tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên khoảng (a;b)

Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :

+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1

+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2

9) f x( ) = +x 2 osxc trên đoạn 0;

y= x trên đoạn [0,π] 16)y= 2 os2x+4sinxc x∈[0,π/2]

Vấn đề 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).

1 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x)

Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) (nếu có )là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)

• pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung

• pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung

* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong

2 Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt  ′f (x) g(x)f (x) g (x)== ′ có nghiệm

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1 Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương x3 – 3x + 2 – m = 0

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2;4)

4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cĩ hồnh độ 1

2 Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương x3 – 3x + m = 0

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cĩ hồnh độ là 1

3 Viết pttt của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) 15

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua M( 2;3) và tiếp xúc với đồ thị (C)

4 Tìm m để đường thẳng ( )d :y = mx - 12 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

5 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C)

2 Tìm m để đồ thị (C’) y= (2− x m) ( − 2) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

3 Viết pttt của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )1

2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình : 3x − 6x2+ 9x+ −3 m= 0

3 Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C)

4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất

5 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 4;7

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0

2 Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình : 3x − 3x2− 2k = 0

2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình : 38x +12x2− 48x m− = 0

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến lớn nhất

Bài 10 Cho hàm số y= 4x3− 3(m+ 1)x+1 ( )C m

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C0) của hàm số khi m = 0

2 Dựa vào đồ thị (C0) biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình : 3

2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 4x − 2x2 = m

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x= 0

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = 8

5 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24

Bài 12 Cho hàm số y= −x4+ 2x2−1 (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 4x − 2x2 = m

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = -9

5 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24

Bài 13 Cho hàm số y x= 4+ x2 1+ (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 4x − 2x2 = m

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ 21

16

y=

4 Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( )d1 : y= 6x+ 2010.

5 Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )2

2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình −x4+ x2+ m= 0

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ 3

2 Tìm m để phương trình −x4+ 8x2 = m có 4 nghiệm thực phân biệt

3 Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( )d1 : y= 15x+ 2010

4 Viết pttt đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )2

2 Tìm m để phương trình 4x − 8x2+ =4 m có 2 nghiệm thực phân biệt

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 1

4 Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )d : 8x− 231y+ =1 0.

5 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(0;-1) và tiếp xúc với đồ thị (C)

Bài 17 Cho hàm số y x= 4− 2x2+ 3 (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm phương trình −x4+ 2x2+ m= 0

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3

Bài 18 Cho hàm số y=x4-3mx + m2 5

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

2 Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình 4x − 6x2+ =k 0

3 Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x= 3 Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị

Bài 19 Cho hàm số y = x + 2mx + m + m 4 2 2

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -2

2 Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình 4x − 4x2+ =k 0

3 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

4 Tìm m để hàm số có 1 cực trị

Bài 20 Cho hàm số y = mx + m -9 x + 10 (1)4 ( )2 2

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= 1

2 Tìm k để phương trình 4x − 8x2+10k= 0có hai nghiệm thực phân biệt

3 Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) 2x + 45y – 1 = 0

−

=+ (C)

1 Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung

4 Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )1

2 Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

3 Tìm m để đường thẳng (d1) y = mx -2m -7 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt

4 Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d2): x + y – 2 = 0

5 Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên

Bài

25 Cho hàm số 2

2

x y

2 Viết pttt của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ hai

3 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(3;4) và tiếp xúc với đồ thị (C)

4 Tìm m để đường thẳng ( )d : y = mx + 3 - m1 đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt.

5 Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên

Bài 26 Cho hàm số 3

x y

+

=+ (C)

3 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

4 Tìm m để đường thẳng (d): x – y + m = 0 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B

5 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M -2;10

−

=+ (C)

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại những điểm tìm được ở câu 2

Yêu cầu đối với học sinh: Trong toàn bộ chương hàm số học sinh phải đạt yêu cầu tối thiểu sau:

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2 Viết được phương trình tiếp tuyến tại một điểm, có hệ số góc cho trước.

3 Tìm được giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một hàm số.

4 Dùng đồ thị (C) đã vẽ để biện luận số nghiệm phương trình hoặc có số nghiệm cho trước

5 Tìm giá trị tham số để hàm số có cực trị, không có cực trị hoặc có cực trị cho trước.

PHẦN II: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

Yêu cầu đối với học sinh:

1 Nắm vững tập xác định để vận dụng tìm tập xác định phục vụ trong việc đặt ĐK để giải pt,bpt

2 Nắm vững cơng thức tính đạo hàm để phục vụ trong phần tìm nguyên hàm và tính tích phân

Vấn đề 1: Tìm tập xác định của hàm số

10 x− b) y = log3(2 – x)2 c) y = 2

1log1

x x

−+ d) y = log3|x – 2| e)y = log (2 32)

5

x x

Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số mũ

a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)ex d) y = ex.sin3x

e) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex) g) y = cos( x2 2 1x

PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGRIT.

Yêu cầu đối với học sinh.

1 Nắm vững tính chất của hàm số mũ và hàm số logarit

2 Nắm vững và thuộc các cơng thức về số mũ và logarit

3 Nắm vững ĐK để hàm số logarit xác định

4 Nắm vững và thuộc các cơng thức từ 1) đến 4) các cơng thức cịn lại nắm hiểu thêm

• Dạng cơ bản:

1) f (x)a = g(x)a ⇔ f(x) = g(x) 2) f (x)a = b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = logab 3) logaf(x) = logag(x) ⇔ f (x) 0 hoăc g(x) 0

• Đặt ẩn phụ :

1) α 2f (x)a +β f (x)a + γ = 0 (α ≠ 0) ; Đặt : t = f (x)a , Đk t > 0

2) α(ab f (x)+ )+ β(ab f (x)− )+ γ = 0 (α ≠ 0) : Đặt : t = f (x)a Đk t > 0

3) α f (x)a +β f (x)b + γ = 0 và a.b = 1 (α ≠ 0); Đặt: t = f (x)a ;1

t = f (x)b , Đk t > 0 4) α 2f (x)a +β.( )a.b f (x)+ γ 2f (x)b = 0 ; Đặt t = a f (x)

* Đặt ĐK để hàm số logarit cần đổi biến xác định

* Nếu đặt t = log f(x)a thì logf(x)a = 1

t ( 0 < a ≠ 1) ; ĐK t ≠ 0

Vấn đề 1: Phương trình mũ

Dạng 1 Đưa về cùng cơ số

Bài 1 : Giải các phương trình sau

a) 2x− =4 34 b) 2 6 5

2

2x − −x 16 2

= c) 2 33 x− = 93 5x− d) 4 82 x+ = 41 3− x e) 52x + 1 – 3 52x -1 = 110 f) 32 57 1128 173

4

x x

f) 2x+ 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2 g) (1,25)1 – x = (0,64)2(1+ x) k) 2 3x x−1.5x− =2 12 e) 5 8x 2x− 1= 500 f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x

Bài 2 : Giải các phương trình sau

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 1 : Giải các phương trình

+ = g) 1/4 x+ 61/x = 91/x 9h x−13.6x+ 6.4x = 10 4i x+ 2.25x− 7.10x = 0

Vấn đề 2: Phương trình logarit

Dạng 1 Đưa về cùng cơ số

Bài 1: giải các phương trình

a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)

c) log4x + log2x + 2log16x = 5 d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0

e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2

g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1) h) log3(x+ 2)+ log3(x− 2) = log 53

BÀI 2.Giải các phương trình sau.

a.log2(x− 5)= 0 b.log7(x+ 16)= 1 c.log (3 5) 3

1 − x = − f.log(x− 10)= 2 g.ln(x− 2e)= 2 h.log3(3log7(x))= 1

BÀI 3.Giải các phương trình sau.

a.log log log4 0

4 2

100

e e

=+

BÀI 4.Giải các phương trình sau.

a.log2(x+ 3)+ log2 x= 0 b.log ( 1) log ( 1) 1

3 1

2

3 x − + x− =

c.log ( 8) log ( 2 2 4) 2

5 1

3

5 x − + x + x+ = d.log ( 8) log ( 2) 2

5 1

2

3 x − + x− =

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 1: giải phương trình

4 lnx+ 2 lnx =

− + b) logx2 + log2x = 5/2 c) logx + 17 + log9x7 = 0

d) log2x + 10log2 x+ =6 9 e) log1/3x + 5/2 = logx3 f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x

5

=+

−

x x

g.logx(3x− 2)= 2 h.log (3 1 3)log3(3 1) 0

3 x+ + x + =

i.log3(4.3x − 3)= 2x

PHẦN IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

• Dạng cơ bản :

* Nếu b ≤ 0 thì bpt vô nghiệm

* Nếu b > 0 ; f(x) < logab nếu a > 1

f(x) > logab nếu 0 < a < 1

20 f (x)a > b

* Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x

* Nếu b > 0 f(x) > logab nếu a > 1

f(x) < logab nếu 0 < a < 1

•logaf(x) > logag(x) (1) + Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1 + (1)  (a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0

BÀI 6.Giải các bất phương trình sau.

1 − x> − f.log(x− 10)≤ 2 g.ln(x− 2e)≥ 2 h.log3(3log7(x))< 0

BÀI 7.Giải các bất phương trình sau.

4 2

2 x+ x+ x< b.log log log100 1

100

1 x+ x+ x> c.log1 x+ log 2 x+ log e x≤ −2

e e

BÀI 8.Giải các bất phương trình sau.

a.log2(x+ 3)+ log2 x> 0 b.log ( 1) log ( 1) 1

3 1

2

3 x − + x− <

c.log ( 8) log ( 2 2 4) 0

5 1

3

5 x − + x + x+ ≤ d.log ( 8) log ( 2) 2

5 1

3

5 x − + x− ≥

BÀI 9.Giải các bất phương trình sau.

x x

BÀI 10.Giải các bất phương trình sau.

a.logx(3x− 2)> 2 b.log3(4.3x − 3)< 2x c.log (3 1 3)log3(3 1) 0

3 x+ + x + ≥BÀI 11 Giải các bất phương trình sau:

d log2(x 3+ ) ≥ +1 log2(x 1− ) e log x1 + 5≥ log 3x

23

3 ∫(u + v + w )dx = ∫ udx + ∫ vdx + ∫ wdx + 4 ∫ uv'dx = uv − ∫ vu'dx; 5. ∫ udv = uv − ∫ vdu.

Bảng công thức nguyên hàm yêu cầu học sinh cần ghi nhớ

n n

C x

dx

∫ 1 ln

n(ax+b)n

dx a

11

2 2

∫

+

Bài tập:  Học sinh cần Ghi nhớ:

- Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần

- Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các

nguyên hàm của những hàm số thành phần

- Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của

những hàm số tìm được nguyên hàm

Vấn đề 1: Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

∫ 17 sin 5xdx∫ 18 cos(4 2 )∫ − x dx 19 ∫sin 3xdx2

20 ∫ cos (1 7 )2 − x dx 21 sinx sin 5xdx∫ 22 sinxcos3xdx∫ 23 cos2xcos3xdx∫

24 ∫sin cos7 x xdx 25 tan 5xdx∫ 26 ∫ tan xdx2 27 1

Dạng 2: Tính I = f (x)dx∫ Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong

số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:

Lưu ý: 1.Học sinh tập trung vào dạng 1 sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm cơ bản.

2 Nhận dạng được bài toán giải bằng đổi biến

Bài 2 Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:

∫+ 12

∫+

Dang 1

sin( )

ax

f x cosax dx ax e

Sau đó thay vào công thức udv uv∫ = − ∫vdu để tính

Dang 2: ∫ f x( ) ln(ax b dx+ ) với f(x) là đa thức: Đăt

Lưu ý: Học sinh không cần quá chú trọng đến dạng 3 chỉ tập trung vào dạng 1 và 2

Bài 3 Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:

1) (3∫ x+1)sinxdx 2) (2∫ x+ 3) cosxdx 3) (3 5 ) cos

+

∫ 16) (2∫ x− 3)e dx x

Vấn đề 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).

Yêu cầu đối với học sinh:

1 Nắm vững các công thức lượng giác và công thức biến đổi

2 Nắm vững đạo hàm các hàm số lượng giác

Dạng 1: sin(ax+b).sin(cx+d)dx∫ ; sin(ax+b).cos(cx+d)dx∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx∫

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân

Dạng 2: ∫sin ax.cos axdxn m (n,m là các số nguyên dương)

*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax

*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax

*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính (nếu một trong 2 số m=0 hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc)

*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax

1 ∫sin2xcos4xdx 2 ∫ sin2xcos3xdx 3 ∫sin4xcos5xdx 4 ∫(sin3x+ cos )3 dx

5 ∫cos 2 (sinx 2 x+ cos )2 x dx 6 ∫(2sin2x− sin cosx x− cos2x dx)

7 cos5 cos3∫ x xdx 8 sin 7 sin 2∫ x xdx 9 ∫sin xdx2 10 sin cos

2

x xdx

2 Bài tập: Học sinh cần ghi nhớ

- Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc

hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.

- Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.

- Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ

Vấn đề 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản.

Vấn đề 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

α Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong

số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:

Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I = budv u.vba bvdu

a∫ = − a∫ Yểu cầu: 1.Học sinh phải phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành cac hàm số dê phat hiên u và dv 2.Học sinh nắm vững một số dạng phân tích cơ bản sau:

Dang 1

sin( )

ax

f x cosax dx ax e

βα

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân

Dạng 2: β sin ax.cos ax.dxn m

∫

*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax *) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax *) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính (nếu một trong 2 số m=0 hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc)

*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể đặt t = tanax hoặc t = cotax

Vấn đề 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ

Yêu cầu tính f (x) dx

g(x)

β

∫

α trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.

Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta dẫn đến:

*) Ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng).

*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính

Vấn đề 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối.

2) Ở mức độ thi TNTHPT không cần nắm bất đẳng thức tích phân

3) Nắm vững dạng tích phân chưa dấu giá trị tuyệt đối để vận dụng vào tính diện tích hình phẳng.Bài 1: Tính các tích phân sau:

11

19 ∫2 −

1 3

2 2

dx x

x x

Bài 2: Tính các tích phân sau:

x dx

(2x 1)+

∫ 22

1 2 0

1 sin 2xdxcos x

π

+

∫ 27

1 x 0

( 7) ∫3

1

.ln

4x x dx 8) ∫2 +

1

2 1) .(x e x dx

9) ∫π

0

.cos

x 12 ∫2 + +

0

)1ln(

)72( x x dx

Bài 5: Tính các tích phân sau:

5 ∫

−

−

−+

5

2

)22

PHẦN VII DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:

1.Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:( )C :y=f x ; C :y=g x ; x=a; x=b1 ( ) ( )2 ( )

(trong đó hai đường thẳng x a x b = ; = có thể thiếu một hoặc cả hai).

b)Các bước thực hiện:

• Bước1: Nếu hai đường x a x b = , = đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương

trình f(x) = g(x) (PTHĐGĐ của ( )C1 và ( )C để tìm.2

• Bước 2: Áp dụng công thức (2)

• Bước 3: Rút gọn biểu thức f(x) – g(x), sau đó xét dấu của hiệu này

• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ

Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu

GTTĐ sẽ dễ dàng hơn Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ, ( )C1 nằm trên

( )C2 thì hiệu f(x) – g(x) ≥ 0 và ( )C1 nằm dưới ( )C2 thì hiệu f(x) – g(x) ≤ 0

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:

• Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát)

• Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng công thức (2)

• Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ.Lưu ý: Trường hợp này ít sảy ra trong chương trình chuẩn nên học sinh tập trung vào trường hợp 1

2) Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:

( )C :y=f x ; Ox; x=a; x=b( )

(trong đó hai đường thẳng x=a; x=b có thể thiếu một hoặc cả hai).

7 (C):y x= 3+ 3x2− 6x+ 2 và tiếp tuyến của (C) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1;

C y x x= − và trục Ox

c) đường cong ( )C y x: = 4− x2 và trục Ox c)( )C y x: = 3− 3x+ 1 và d y : = 3

Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( )C y: x2 2x1 2

x

=

+ ; đường tiệm cận xiên của ( ) C ; Ox; x e = − 1

Bài 3: Cho đường cong ( )C y x: = 3− 3x2+ 4x Viết phương trình tiếp tuyến d của ( )C tại gốc tọa độ

O Từ đĩ tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( )C và d

Bài 4: Cho parabol ( )P y x: = 2− 6x+ 5

a Viết phương trình các tiếp tuyến của ( ) P tại các giao điểm của ( ) P với trục Ox

b Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( ) P và các tiếp tuyến nĩi ở câu a

Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )P y: 2 = 4x và đường thẳng d y : = 2 x − 4

Bài 6: Cho parabol ( ) P y : 2 = 4 x

a Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) P tại điểm tung độ bằng 4

b Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ) P , trục Ox và tiếp tuyến nĩi ở câu a

Bài 7: Cho đường cong ( )C y: 2x 11

x +

= + Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( )C Ox Oy; ; Tính

thể tích của hình trịn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox

Bài 8: Cho đường cong ( ) C y x : = 4− x2 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi( ) C và trục Ox Tính thể tích của hình trịn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox

Bài 9 Tính thể tich của vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình phẳng D được tạo bởi các đường sau khi quay xung quanh trục Ox.

Yêu cầu đối với học sinh:

1 Nắm vững cách tính mơđun của một số phức Cơng trừ nhân chia, nâng lên luỹ thừa của một số phức

2 Nắm vững cách biến đổi số phức về dạng a +bi để xác định phần thực và phần ảo

3 Nắm cách giải phương trình bậc hai trong trường hợp cĩ nghiệm phức và căn bậc hai của số thực âm

4 Nắm cách xác định số phức nghịch đảo, số phức liên hợp

Kiến thức cần ghi nhớ:

1/ Tập hợp số phức: C

2/ Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’i ( , , ,' ' )

'

'

R b a b a b b

a a

3/ Cộng và trừ số phức : a, b, a’, b’ R∈ thì

*) (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i *) (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i

• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b ∈ R)

• z biểu diễn →u , z’ biểu diễn u thì z + z’ biểu diễn bởi →' →u+ u→' và z – z’ biểu diễn bởi →u− u→'

4/ Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’∈ R).

5/ Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z− = a− bi

a) z= z; z+ z'= z+ z'; z.z'= z.z' b) z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo ⇔ z = −z

6/ Môđun của số phức : z = a + bi

a) z = a2 + b2 = z = OM b) z ≥ 0∀z∈ C, z = 0⇔ z = 0

c) z.z' = z z' , z+ z' ≤ z + z' ∀z,z'∈ C

7/ Chia hai số phức :

a) Số phức nghịch đảo của z (z≠ 0): z

z z z z z

z z

z z

,'

b a a x b

xy

a y

x

2

22

2 2 2

2

2

(a, b, x, y∈ R) ( phần này chỉ cĩ trong nâng cao)

9/ Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số thực cho trước, A 0≠ )

a) ∆ > 0: Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt

2

B A

− ± ∆

b) ∆ < 0: Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt

2

B i A

Vấn đề 1: Thực hiện các phép tốn cộng – trừ – nhân - chia

Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :

i

−

+1

1 Bài 2 Tính các số phức sau

1

a i

a

a i

31

13 2 .( 3 )i − i 14 1

2 2i+ - (2+4i) 15 (2-4i)(4-5i) – (7+8i)