Tài liệu dạy cho học sinh chưa đạt chuẩn kiến thức kỷ năng môn Toán lớp 9

TÀI LIỆU DẠY CHO HỌC SINH LỚP 9 CHƯA ĐẠT CHUẨN KIẾN THỨC, KỸ NĂNG MÔN TOÁN LƯU HÀNH NỘI BỘ I.PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ 1: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 12 tiết Biến đổi đơn giản

TÀI LIỆU

DẠY CHO HỌC SINH LỚP 9 CHƯA ĐẠT CHUẨN KIẾN THỨC, KỸ NĂNG

MÔN TOÁN

( LƯU HÀNH NỘI BỘ) I.PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH

CHUYÊN ĐỀ 1: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 tiết)

Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai 9 – 10

CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH (13 tiết)

PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Ứng dụng hệ thức Vi-ét giải bài toán tìm hai số biết tổng và tích 21

Phương trình chứa ẩn ở mẫu 23

Chuyên đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH (9 tiết)

Khái niệm về PT bậc nhất hai ẩn - Hệ hai phương trình bậc nhất hai

ẩn

26

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số 29 – 30 Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số bằng chương trình gài sẵn

trên máy tính bỏ túi

31

Bài tập tổng hợp về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 32 – 33

II.GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Tính chất các đường đồng quy trong tam giác 3

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông 7

Dõy cung và khoảng cỏch đến tõm

Gúc ở tõm, số đo cung

Gúc nội tiếp

Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường

II NỘI DUNG CÁC CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 TIẾT)

Tiết 1: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

3 Nhân đa thức với đa thức:

a) Quy tắc: Nhân một đa thức với một đa thức ta nhân lần lượt từng số hạng của đa thức này với đa thức kia rồi cộng tổng các tích vừa tìm được

= - 25x4 + 10x3- x2 Bài 2 Tìm x biết: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30

2

1y) Bài 2 Rút gọn các biểu thức sau (với a 0):

1 Chia đa thức cho đơn thức:

* Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức

A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau

y

3 Tính chất cơ bản của phân thức:

a) Định nghĩa phân thức đại số:

Phân thức đại số (hay phân thức) có dạng A

B , trong đó A, B là các đa thức và B khác đa thức 0







x x

x x

= – 3 Bài 3 Tính:

=23

100 23

7

7

=

x

x x

7

7 3

) ( 10

y x xy

y x xy



Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

xy

y x x y

2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

a) Phương pháp đặt nhân tử chung :

Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác

Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ

2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

d Phương pháp tách một hạng tử :(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)

Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c (a 0) nếu

1 Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số:

Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu) Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng

Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân số sau: 5 à 7

2 Quy đồng mẫu nhiều phân thức:

Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của 3

)3x)(

3x(2

)3x(5)

3x

(

2

56

3x(2

6)

3x)(

3x(2

2.3)

3x)(

3x

(

39

x21

TIẾT 6 QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC (Tiếp)

I Luyện tập:

Bài 1: Quy đồng mẫu phân thức sau:

16x8x

x2

x2 - 8x + 16 = (x - 4)2

3x2 - 12x = 3x(x - 4)

MTC: 3x(x - 4)2

2 2 2

2 2

)4x(x3

x6)

4x(x

x3.x2)

4x(

x216

)4x(x3

)4x(x)4x(x

xx

TIẾT 7: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Cộng hai phân thức cùng mẫu:

* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau

và giữ nguyên mẫu thức

3

4 4 6

3

4 4

x x x

2

2 2 2 2

.

2

2 2

x

x x

x

x x

2 2

2 Cộng hai phân thức không cùng mẫu:

* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức

rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được

36 12

y y

=

) 6 ( 6

) 6





y y

B

C A B

C B









2( 1)1

x x





 x1Bài 2: Rút gọn biểu thức





x x

b) Tính giá trị của P khi x = 1

TIẾT 8: PHÉP NHÂN, CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Phép nhân các phân thức đại số:

D B

C A D

C B

A

 (B; D ≠ 0)

Ví dụ:

a)

4

1 )

2 )(

2 (

) 1 )(

1 ( 2

x

x x x

1 )(

1 (

) 3 )(

3 ( 1

3

1

3

2 2

x x x

2 2

7 2

x x

x x

2

) 2 (

) 1 ( ) 1 (

2 1

2 :

2

x

x x

x

x x

x

x x

x x

3 Biến đổi biểu thức hữu tỉ:

- Biểu thức hữu tỉ là biểu thức có chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số

- Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức là sử dụng các quy tắc cộng, trừ nhân, chia các phân thức đại số để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Thực hiện phép tính:

2 3

2 2

3 2

) 2 7 ( 4 14

3

2 7 4 14

xy

y x x x

y x xy

x y

x x

=

x

x x

x x x

) 1 ( )

1

(

=

x x

x x

) 1 ( 3 1

x x

x

4

2 2 2

2:2

x x x

:  ( , , 0)

B C D

TIẾT 9: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b

Bài 3: Cho biểu thức P 2 x 2 x 4x : x 3

c) Tìm giá trị của x sao cho P  1

TIẾT 10: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI (Tiếp )

1a:1a

1a

1

a M

TIẾT 12: KIỂM TRA

a) Tìm điều kiện xác định của A? Rút gọn A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3

4c) Tìm x để A < 8

x 1 x

Câu Lời giải Điểm

A a

3 2

từ vế trái sang vế phải và

b) Quy tắc nhân với một số:

Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0

Ví dụ 3: Cho phương trình:

2

1

x = 3, nhân hai vế của phương trình với 2 ta được: x = 6

Trong một phương trình ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0

Ví dụ 4: Cho phương trình 3x = -2, chia hai vế của phương trình cho 3 ta được: x

Giải: 3x – 6 = 0  3x = 6 (Chuyển -6 sang vế phải và đổi dấu)

 x = 2 (Chia hai vế cho 3)

Vậy phương trình có tập nghiệm S={2}

2

1) x = (-2).(-3)  x = 6

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {6}

I Kiến thức cơ bản

Các bước chủ yếu để giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0:

- Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu (nếu có)

- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc (nếu có)

- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia

- Thu gọn và giải phương trình nhận được

17

Ví dụ 4: Giải phương trình:

x+ 2x -3 = 0 Giải:

- Đặt nhân tử chung: x + 2x -3 = 0  (1+ 2) x -3 = 0

- Hệ số a = 1+ 2; b = -3

- Ta có: (1+ 2) x -3 = 0  (1+ 2) x = 3 x=

2 1

II Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải phương trình:

0x = 9 (Không có giá trị nào của x thoả mãn phương trình)

Vậy phương trình vô nghiệm hay tập nghiệm của phương trình là: S = 

Bài 4: Giải phương trình:

x - 2 = x – 2

Giải: x - 2 = x – 2x – x = - 2 + 2 0x = 0

Phương với mọi x  R

Bài 5: Giải phương trình: 2 1

4 5

4 12 2 8 3

12 2 4 8 3

12

12 2 12

4 8 3

6 3

1 2 4

S x x

x x x x

x x x

x

x x x

x

x x x x

Bài 6: Giải phương trình: 3

6

2 2

2 3

2 3

1 3

1 ) 2

x – 2 =

2 9

 x =

2 13

Phương trình có tập nghiệm: S= {

2

13}

3 6

* Tích hai số: a.b = 0  hoặc a = 0 hoặc b = 0

* Phương trình tích có dạng: A(x).B(x) = 0; Trong đó A(x), B(x) là đa thức

- Cách giải: A(x).B(x) = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

* Các kiến thức trọng tâm liên quan đến giải phương trình tích

- Những hằng đẳng thức đáng nhớ

- Phân tích đa thức thành nhân tử

- Quy tắc biến đổi và cách giải phương trình

- Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

) 1 2 (

= 0 d) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0

Giải:

a) Ta có: (2x + 10)(4x + 8) = 0

 2x + 10 = 0 hoặc 4x + 8 = 0

* 2x + 10 = 0  2x = -10  x = - 5

* 4x + 8 = 04x = -2  x = - 2 Tập nghiệm của phương trình là: S = {- 5; - 2}

) 1 2 (

) 1 2 (

*

4

1 7 7

) 1 2 (

2 x

= 4

8 x

= 28

) 1 7 (

7 x

 8 ( 2x 1 )  7 ( 7x 1 )  16x 8  49x 7  16x 49x   7  8

11

5 15

5

; 3 1

Bài 2: Giải phương trình sau:

Bài 3: Giải phương trình sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích:

III Bài tập đề nghị

Bài 1: Giải các phương trình:

* Ví du: 2x + 5 = 0 <=> 2x = 5 <=> x =

-2 5

-2x + 3 > 0 <=> -2x > -3 <=> x <

2 3

3 Giá trị tuyệt đối:

a = a khi a  0

a = -a khi a < 0

Ví dụ: 6 = 6 ; 0 = 0 ;  3 = 3

4 Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

ví dụ : Giải phương trình sau:

Ta giải hai phương trình sau:

1) 4x = 2x + 1 với điều kiện x  0



 là nghiệm của phương trình (1)

Tâp nghiệm của phương trình (1) là S =

Ta giải hai phương trình sau:

1) x + 4 = 2x-5 với điều kiện x - 4

Bài 2: Giải phương trình  5x = x + 8 (3)

Giải

Ta có  5x = -5x khi -5x  0 <=> x  0

 5x = 5x khi -5x < 0 <=> x > 0

Ta giải hai phương trình sau:

1) -5x = x + 8 với điều kiện x  0

Ta giải hai phương trinh sau:

1) 2x - 3 = 2x - 3 với điều kiện x  1,5

Ta có 2x - 2x = -3 + 3 <=> 0x = 0 , ta thấy mọi giá tri của x  1,5 đều thoả mãn điều kiện của ẩn nên x  1,5 là nghiệm của phương trình (4)

2) -2x + 3 = 2x - 3 với điều kiện x <1,5

Ta có -2x + 3 = 2x - 3 <=> -2x – 2x = -3 – 3 <=> -4x = -6 <=> x = 1,5

Giá trị x = 1,5 không thỏa mãn điều kiện x < 1,5 nên x = 1,5 không là nghiệm

Với x là ẩn, a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số và a 0

Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình bậc hai :

0

x

x

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = 2

*Trường hợp b = 0, phương trình có dạng: ax2 + c=0

 Nếu a.c > 0 thì phương trình vô nghiệm

 Nếu a.c < 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt áp dụng quy tắc chuyển

vế và đưa phương trình về dạng x2 =

a

c rồi giải

Ví dụ 2: Phương trình x2 + 2 = 0 vô nghiệm vì a = 1, c = 2; 1.2 = 2 > 0

Ví dụ 3: Giải phương trình: 5x2 – 100 = 0

Giải: 5x2 – 100 = 0 5x2 = 100  x2 = 20x =  2 5

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 2 5; x2 = -2 5

II Bài tập áp dụng

Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b, c

Bài tập 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai ? Xác định các hệ số a, b, c của phương trình đó:

x x

Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0 và x = 5

2

b) 5x2 - 15 = 0  5x2 = 15 x2 = 3 x =  3

Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 3 và x = - 3

b) 2x2 – 2x = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = -2, c = 0

3x

 = 0 là phương trình bậc hai có a = - 3, b = 0, c = 0

d) 4x + 5 = 0 không phải là phương trình bậc hai

Bài 2: Đưa các phương trình sau về phương trình dạng 2

x x

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Đối với phương trình ax 2 bx c  0, a 0 và biệt thức  b2  4ac

- Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

2

b x

Bài 2: Cho phương trình 2x2 m 4xm 0

a) Tìm m biết x = 3 là một nghiệm của phương trình ?

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m?

Tiết 19: CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN

I Kiến thức cơ bản

* Công thức nghiệm thu gọn:

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0) (1) Đặt b = 2b'

' < 0 => phương trình (2) vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

2 ) 3 (

a) -16x2 - 10x - 1 = 0 ( 5) Ta có: ' = (-5)2 - (-16).(-1) = 25 - 16 = 9;  '  9  3 ' > 0 => phương trình ( 5) có hai nghiệm phân biệt:

x1 =

2

1 16

8 16

3 ) 5

2 16

3 ) 5

' = 0 => phương trình (6) có nghiệm kép: x1 = x2 =

2

1 4

2 





c) 2 3x2 - 4 ( 3- 1)x + (2 3 + 4) = 0 (7)

Ta có: ' = {2(1 - 3)}2 - 2 3 (2 3 + 4) = 4 - 4 3+ 12 - 12 - 8 3 = 4 - 12 3 < 0

' < 0 => phương trình (7) vô nghiệm

Chú ý: Giáo viên dạy cần hướng dẫn học sinh biết kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay

Bài 3: Cho phương trình: ( m +1)x2 + 4mx + 4m - 1 = 0 (8)

a) Giải phương trình với m = 1

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt?

Giải:

a) Với m = 1 thì phương trình (8) trở thành: 2x2 + 4x + 3 = 0 (8’)

2

' 2 2.3 2 0

       phương trình (8’) vô nghiệm

b) Phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

' > 0 (2m)2 - (m + 1)(4m - 1) > 0 4m2 - 4m2 + m - 4m + 1 > 0

3m < 1 m <

3

1 Bài 4: Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép?

5x2 + 2mx - 2m + 15 = 0 (9)

Giải:

Phương trình (9) có nghiệm kép khi và chỉ khi:

' = 0 m2 - 5 ( 15 - 2m) = 0 m2 + 10m - 75 = 0

 'm = 52 - 1.(-75) = 100 =>  '  10 m1 = 5

1

10 5

3 ) 2 (

3 ) 2 (

Vậy phương trình (7) có hai nghiệm: x1 =

5

4 25

20 0

Tìm điều kiện của m để phương trình mx2 - 4(m - 1)x - 8 = 0 (12) có nghiệm kép

Giải:

Phương trình (12) có nghiệm kép khi và chỉ khi:

' = 0 {-2(m - 1)}2 - m.(-8) = 0 4m2 - 8m + 4 + 8m = 0

4m2 + 4 = 0 điều này vô lý vì: 4m2 + 4 > 0 Vậy phương trình (12) không có nghiệm kép với mọi m R

a

bx

x

2 1

2 1

Ví dụ1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các

2a

c



b) 9x2 - 12x + 4 = 0 (a = 9; b = -12; c = 4)

Có '36360 => PT có nghiệm kép x1 = x2

x1 + x2 =

3

49

12



x1 x2 =

94

Ví dụ 2: Dùng hệ thức Vi-ét tính nhẩm các nghiệm của phương trình:

b) x2 + 3x - 10 = 0 (a = 1; b = 3; c = -10) Do a, c trái dấu PT chắc chắn có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét ta có:

7 2

23

3223

)7(

)8(

a) x2 - 6x + 5 = 0; b) 4x2 - 3x - 7 = 0

c) - 3x2 + 12x + 15 = 0; d) 1,2x2 + 1,6 x – 2,8 = 0

Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ?

Tính a + b + c = ? nếu a + b + c = 0 => x1 = 1, x2 =

a

c

Hoặc a – b + c = ? nếu a - b + c = 0 => x1 = -1, x2 =

-ac

Bài 3: Biết x1 là nghiệm của phương trình, tìm x2?

Tiết 21: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN

TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH

I Tóm tắt kiến thức cơ bản :

Nếu hai số u và v có tổng là S và có tích là P thì ta tìm u và v theo các bước sau:

Bước 1: Điều kiện để tồn tại hai số u và v là S2 – 4P  0

Bước 2: Giải phương trình x2- Sx + P= 0

Bước 1: S2 - 4P = 32 - 4.2 = 9 – 8 = 1>0 => tồn tại hai số

Bước 2: Gọi hai số cần tìm là u và v và nó là nghiệm của phương trình:

x2 - 3x + 2 = 0 Ta có: = S2 - 4P = 32 - 4.2 = 9 – 8 = 1

x1 =

2

1 ) 3



= 2 Bước 3 :Vậy hai số cần tìm là 1 và 2

Ví dụ 2: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 4 và tích là P = 5

c) Ta có: S2 - 4P = 22 - 4.2 = -4 < 0 => không tồn tại hai số u và v

III Bài tập đề nghị:

Bài tập 1:

a) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 32 và tích là P = 231

b) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = -8 và tích là P = -105

c) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 2 và tích là P = 9

c) Tìm điêu kiện để hai số tồn tại S2 - 4P = 22 – 4.9 =…

Vậy có tồn tại hai số không ?………

Tiết 22: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

14; 8 là các phân số

- Phân thức đại số là biểu thức dạng

) (

) (

x B

x A

, trong đó A,B là những đa thức và B(x)0

xy x

7

5 2 là các phân thức

- Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của một phân thức là tập các giá trị của biến làm cho mẫu thức khác 0

- Phân thức

) (

) (

x B

x A

có ĐKXĐ là tập các giá trị của x sao cho B(x) 0

- ĐKXĐ của một phương trình là tập các giá trị của biến làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức: