Lý thuyết đồ thị ôn thi học sinh giỏi

Biên soạn: Lê Đình Huy 1 Lời nói đầu Tài liệu nhỏ này được biên soạn nhân dịp tôi và các bạn làm đề tài Toán rời rạc. Nội dung chủ yếu của tài liệu này viết về lí thuyết đồ thị, và đi sâu về đồ thị Halmilton. Xin nói rằng, tôi không lấy làm hãnh diện khi viết xong tài liệu này. Đây chỉ là một chút sự góp nhặt nhỏ bé từ các tài liệu khác (chủ yếu là: Đại cương về toán học hữu hạn – Hoàng Chúng) mà được tôi rút ra để tổng hợp lại những gì đã được học. Tất nhiên một mình tôi thì không thể biên soạn được tài liệu này. Trong quá trình biên soạn, xin chân thành cám ơn nhóm đề tài toán rời rạc của lớp tôi gồm các bạn: Cù Minh Khương; Phạm Thị Thu Hà; Phan Phương Dung; Nguyễn Thi Thùy Dung; Phạm Thị Nâu. Cám ơn các thầy cô đã đón nhận. Chắc chắn tài liệu sẽ có những sai sót không tránh khỏi, hi vọng được thầy cô, bạn đọc đón nhận và góp ý. Mùa xuân, Canh Dần, TP Hồ Chí Minh Lê Đình Huy Biên soạn: Lê Đình Huy 2 Sơ lược về Graph I Graph (Đồ thị): Hai chữ “đồ thị” vẫn thường xuyên xuất hiện trong đời sống toán học và cả trong đời sống hàng ngày. Trong các giờ toán, chúng ta từng nói tới đồ thị của các hàm số.Hay trong các công sở, các nhân viên phải lập các biểu đồ theo dõi lượng tiêu thụ điện … Nói chung, khái niệm đồ thị là một khái niệm khá quen thuộc với chúng ta nhằm biểu diễn tương quan qua lại giữa 2 hoặc nhiều đối tượng toán học khác nhau. Ở đây, khái niệm đồ thị vẫ được dùng theo nghĩa đó nhưng nó mang tính trừu tượng hơn. Lí thuyết đồ thị (tiếng Anh và tiếng Đức đọc là “graph”) nghiên cứu những tính chất toán học, những quan hệ mà không phụ thuộc vào bản chất riêng của những mối quan hệ này. Để tránh bị hiểu nhầm là đồ thị của hàm số, trong tài liệu này chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ “graph”. Một graph có thể hiểu đơn giản là một hệ thống các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh này với nhau. Một graph G được xác định bởi: _ Tập hợp V những phần tử gọi là đỉnh của G. _ Tập hợp E những phần tử gọi là cạnh của G. Giả thuyết rằng V, E là các tập hữu hạn, V không rỗng.Kí hiệu: G(V,E) hay V(G),V(E) để chỉ rõ V,E lần lượt là tập đỉnh, tập cạnh của graph G. Một cạnh (u, v) của G thường được viết là uv (hay vu), ta nói cạnh uv nối u với v, lúc đó, ta nói u và v là 2 đỉnh kề nhau. VD1: Graph G được xác định bởi: V = {a,b,c,d,e} E = {ab,ac,ad,ae,bd,bc,cd,ce} Tổng quát hơn khái niệm graph, chúng ta có khái niệm đa graph: Một đa graph G được xác định bởi: Biên soạn: Lê Đình Huy 3 _ Tập hợp V những phần tử gọi là đỉnh của G. _ Bộ E những phần tử gọi là cạnh của G; mỗi cạnh là một cặp không sắp thứ tự của 2 đỉnh. Giả thuyết rằng V là các tập hữu hạn, không rỗng và E là một bộ gồm hữu hạn phần tử. Một bộ (khác với một tập hợp) có thể chứa nhiều phần tử trùng nhau.Trong đa graph, E có thể chứa nhiều cạnh cùng nối một cặp đỉnh. Mỗi cạnh là một cặp không sắp (không sắp thứ tự) của 2 đỉnh không nhất thiết khác nhau( như graph). VD2: Đa graph G được xác định bởi: V = {u,v,x,y} E = {uv,uv,ux,xy,yy} Đa graph G có 2 cạnh uv cùng nối 1 cặp đỉnh,ta gọi đó là những cạnh song song (cạnh bội). Cạnh yy có 2 đầu mút trùng nhau, ta gọi là khuyên. Một đa graph không có cạnh song song và không có khuyên (như VD1) gọi là một graph. (Các thuật ngữ về graph hiện chưa thống nhất. Có tác giả dùng đồ thị (đa đồ thị) thay cho graph (đa graph). Có tác giả gọi đa graph và graph lần lượt là graph và đơn graph. Có tác giả gọi đa graph là giả graph, một giả graph không có khuyên gọi là đa graph, một đa graph không có cạnh song song gọi là graph. Vì vậy, khi đọc các tài liệu người đọc cần chú ý đến thuật ngữ mà tác giả sữ dụng.) II Biểu diễn graph: Ta thường dùng biểu diễn hình học của graph như sau: biểu diễn các đỉnh của graph bằng các điểm (vòng tròn nhỏ,ô vuông nhỏ) và nối 2 điểm bằng 1 đường (cong hay thẳng) khi cặp điểm đó ứng với 1 cạnh của graph. Đinh lí: Mọi graph G đều có thể biểu diễn bằng 1 hình trong không gian. Biên soạn: Lê Đình Huy 4 d e a b c Biểu diễn của graph trong VD1 Biểu diễn graph G trong VD2 Trong nhiều trường hợp (nhất là với graph có nhiều đỉnh và cạnh),ta thường biểu diễn graph bằng ma trận. Một graph G có p đỉnh v 1 ,v 2 ,…,v p có thể biểu diễn bằng ma trận vuông p x p, trong đó tại dòng thứ i và cột thứ j (1 i, j p).là số a ij với : 1 0 ij ij ij khi v keà v a khi v khoâng keà v Biên soạn: Lê Đình Huy 5 VD3: Biểu diễn graph G trong VD1 như sau: 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 III Bậc của đỉnh: Một đỉnh v của graph G là đỉnh bậc n nếu v kề với n đỉnh khác. VD4: d e a c b Đỉnh Bậc a 3 b 2 c 2 Biên soạn: Lê Đình Huy 6 d 1 e 0 Một đỉnh là đỉnh lẻ nếu bậc là số lẻ; đỉnh chẵn nếu bậc là số chẵn. Trong VD4, b,c,e là đỉnh chẵn; a,d là đỉnh lẻ. Đỉnh có bậc 0 là đỉnh cô lập. Ta có định lí sau: Đinh lí: Trong một graph G, tổng số bậc của các đỉnh là một số chẵn (bằng 2 lần tổng số cạnh của G). Hệ quả: Số đỉnh lẻ của mọi graph là một số chẵn. IV Graph đẳng cấu: G và G’ là hai graph đẳng cấu nếu có một tương ứng 1-1 giữa các đỉnh của G và G’ sao cho nếu 2 đỉnh u, v của G là kề nhau thi 2 đỉnh tương ứng u’, v’ của G’ cũng kề nhau và ngược lại. Dễ thấy rằng nếu 2 graph G và G’ là đẳng cấu thì chúng có: _ số đỉnh bằng nhau. _ số cạnh bằng nhau. _ hai đỉnh tương ứng với nhau là 2 đỉnh cùng bậc. Đó là những điều kiện cần để 2 graph là đẳng cấu. VD5: Chứng minh 2 graph G và G’ dưới hình sau là đẳng cấu. Biên soạn: Lê Đình Huy 7 u G' G s t v y x w z e b h g f c d a Trước hết, G và G’ có cùng số đỉnh (8 đỉnh), cùng số cạnh (7 cạnh), cùng có một đỉnh bậc 4, một đỉnh bậc 3, một đỉnh bậc 2 và 5 đỉnh bậc 1. Ta thiết lập một tương ứng 1-1 giữa các đỉnh cùng bậc: e v (đỉnh bậc 4); b y (đỉnh bậc 3); a x (đỉnh bậc 2); Đối với các đỉnh bậc 1 thì f, g, h trong G (cùng kề với e), nên ta cho tương ứng với s, t, u trong G’ (cùng kề với v). Còn c, d trong G (cùng kề với b), tương ứng với z, w trong G’ (cùng kề với y). Như vậy, ta có sự tương ứng sau: e v; b y; a x; f s; g t; h u; c z; d w; Với sự tương ứng đó, ta có: Biên soạn: Lê Đình Huy 8 ea vx; ef vs; eg vt; eh vu; ba yx; bc yz; bd yw; (hai cạnh tương ứng có đầu mút là 2 cặp đỉnh tương ứng) Vậy G và G’ là đẳng cấu. V Graph con: Cho 2 graph G(V, E) và G’(V’, E’) G’ là graph con của G nếu V’ V và E’ E. Trong trường hợp V = V’ thì G’ là graph con bao trùm của G. VD6: G 5 G 4 G 3 G 2 G 1 G b a d c e b c d a b c e d a c b a b c b c d a d a Trong hình trên, G 1 , G 2 , G 3 và G 4 là các graph con của G, trong đó G 2 và G 4 là graph con bao trùm của G. Còn G 5 không là graph con của G vì G 5 chứa cạnh ad mà G thì không. VI Đường đi: Trong một graph G, một dãy cạnh liên tiếp v 0 v 1 ,v 1 v 2 ,… , v n-2 v n-1 ,v n-1 v n (n 0) được gọi là một đường đi từ v 0 (đỉnh đầu) đến v n (đỉnh cuối), chứa (qua) các đỉnh v 0 , v 1 , … , v n và chứa các cạnh v 0 v 1 ,v 1 v 2 ,… , v n-1 v n . Đường đi này thường được viết gọn là v 0 v 1 v 2 ,… v n-1 v n . Khi chỉ cần nêu ra đỉnh đầu v 0 và đỉnh cuối v n của đường đi thì ta viết: Biên soạn: Lê Đình Huy 9 Đường đi v 0 - v n . Đường đi qua n cạnh gọi là đường đi có độ dài n. Một đường đi không qua cạnh nào lần thứ hai là một đường đi đơn giản. Một đường đi không qua đỉnh nào lần thứ hai là một đường đi sơ cấp. Một đường đi sơ cấp là một đường đi đơn giản nhưng một đường đi đơn giản có thể không là đường đi sơ cấp. Một đường đi khép kín (đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối) và có độ dài n 3 gọi là một chu trình. Một chu trình không qua cạnh nào lần thứ hai là một chu trình đơn giản. Một chu trình không qua đỉnh nào lần thứ hai, trừ đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau là một chu trình sơ cấp. VD7: z x y u v Trong hình trên, uvyz là đường đi sơ cấp từ u đến z (độ dài 3); uyxvyz là đường đi không sơ cấp (qua đỉnh y hai lần) từ u đến z (độ dài 5); yvxyv là đường đi không đơn giản (chứa cạnh yv hai lần) từ y đến v (độ dài 4); vyxv là một chu trình đơn giản và sơ cấp (độ dài 3); vv là một đường đi độ dài 0. VII Tính liên thông: Hai đỉnh u, v của graph G được gọi là hai đỉnh liên thông nếu trong G có đường đi u – v. G là graph liên thông nếu mọi cặp đỉnh của G là liên thông. VD8: Biên soạn: Lê Đình Huy 10 e h g b a c d G 1 G 2 Trong hình trên, graph G 1 liên thông vì có đường đi nối 2 đỉnh bất kì của G 1 .Gragh G 2 không liên thông vì không có đường đi từ d đến e. Cho graph G(V, E) và v là một đỉnh của G; gọi V’ là tập hợp các đỉnh của G liên thông với v và E’ là tập hợp các cạnh của G nối 2 đỉnh của V’. Graph G’(V’, E’), một graph con của G(V, E), gọi là thành phần liên thông của G chứa v. Đương nhiên, nếu v và u liên thông trong G thì thành phần liên thông của G chứa v cũng là thành phần liên thông của G chứa u. Có thể thấy rằng mọi graph G đều có k thành phần liên thông: mỗi đỉnh của G thuộc một và chỉ một thành phần liên thông; hai đỉnh liên thông với nhau thì thuộc một thành phần liên thông, hai đỉnh không liên thông thì thuộc hai thành phần liên thông khác nhau. VD9: Xét graph G 2 trong VD8 có 3 thành phần liên thông: + thành phần liên thông chứa a là G 1 (V 1 , E 1 ), trong đó: V 1 = {a, b, c, d} và E 1 = {ab, bc, cd, ca}; + thành phần liên thông chứa e là G 2 (V 2 , E 2 ), trong đó: V 2 = {e} và E 2 = ; + thành phần liên thông chứa g là G 3 (V 3 , E 3 ), trong đó: V 3 = {g, h} và E 3 = {gh}; [...]... (hay khớp) của graph G nếu G liên thông, mà G – {v} thì không liên thông uv là một cầu của G nếu G liên thông mà G - uv không liên thông VD14: 12 z Biên soạn: Lê Đình Huy a a e b b d c e d c b G - {a} G - {e} G a d c e a e b d b c d c G - de G - ab Nếu trong G có 2 đỉnh u, v không kề nhau, ta có thể thêm cạnh uv vào G và được graph, kí hiêu G + uv Nếu u hoặc v không là đỉnh của G ta kí hiệu G uv là... xứng của H Một graph có hướng H là liên thông yếu nếu graph đối xứng G của H liên thông H là liên thông một chiều nếu với 2 đỉnh u, v khác nhau bất kì của H luôn có đường đi u – v hoặc v – u H là liên thông hai (liên thông mạnh) chiều nếu với 2 đỉnh u, v khác nhau bất kì của H luôn có đường đi u – v và v – u ĐƯỜNG ĐI HAMILTON VÀ GRAPH HAMILTON Năm 1857, nhà toán học người Ailen là Hamilton (1805 – 1865)... đỉnh không kề với b không thể ít hơn số đỉnh kề với a (số đỉnh kề với a không nhỏ hơn n 2 k ) Mặt khác, theo giả thi t số đỉnh kề với b cũng không nhỏ hơn n 2 k Vì khơng cĩ đỉnh nào vừa kề với b lại vừa không kề với b, nên số đỉnh của G’ không ít hơn 2 n k 2 n 2k , mâu thuẩn với giả thi t là số đỉnh của G’ bằng n+k (k > 0) Định lý được chứng minh VD19: b g a h e c k d Graph này có 8 đỉnh, đỉnh nào cũng... thuẩn với giả thi t về tính chất nhỏ tối thi u của k Hơn nửa, nếu a’ là một đỉnh kề nào đó của a (khác với y) và b’ là đỉnh nối tiếp ngay a’ trong chu trình P thì b’ khơng thể l đỉnh kề với b (vì nếu tri lại thì ta cĩ thể thay P bởi chu trình aa’ bb’ a, trong đó không có y) 19 Biên soạn: Lê Đình Huy Như vậy, với mỗi đỉnh kề với a, ta có một đỉnh không kề với b, tức là số đỉnh không kề với b không thể ít... chứa một đường đi Hamilton 2 Định lý (Ore, 1960): Nếu G l một graph có n đỉnh và bất kỳ hai đỉnh nào không kề nhau cũng có tổng số bậc không nhỏ hơn n thì G l một graph Hamilton VD20: 20 Biên soạn: Lê Đình Huy b e g a c h d Graph này có 7 đỉnh, bất kì 2 đỉnh nào không kề nhau (a v c; a v g; b v h; d v e;…) đều có tổng số bậc không nhỏ hơn 7 Vậy đây là graph Hamilton Định lý: Nếu G l một graph hai phe với... Sau đây là một vài kết quả Định lý (Dirac, 1952): Nếu G l một graph có n đỉnh và mọi đỉnh của G đều cĩ bậc khơng nhỏ hơn n thì G l một graph Hamilton 2 Chứng minh: Định lý được chứng minh bằng phản chứng Giả sử G khơng cĩ chu trình Hamilton Ta thêm vào G một số đỉnh mới và nối mỗi đỉnh mới này với mọi đỉnh của G, ta được graph G’ Giả sử k (>0) là số tối thi u các đỉnh cần thi t để G’ chứa một chu trình... (u, v) cũng được kí hiệu là uv Một đa graph có hướng cũng có thể biểu diễn hình học tương tự như đa graph vô hướng, chỉ khác là các cung(các cạnh có hướng) được biểu thị bằng những đường cong có mũi tên đi từ gốc tới ngọn Ta cũng nói: cung uv đi ra khỏi u và đi vào v Một đa graph có hướng, không có cạnh song song và không có khuyên gọi là một graph có hướng Trong graph có hướng H, nếu đỉnh v là gốc... lần, rồi trở về A Giữa bất kì 2 thành phố nào cũng có một “đường thẳng” nối với nhau, không phải đi qua một thành phố nào khác Phải hướng dẫn khách du lịch đi theo đường nào để chiều dài đường đi là ngắn nhất (hoặc thời gian đi là ngắn nhất hoặc phí hao tổn giao thông ít nhất)? Đó là bài toán du lịch, phát biểu theo ngôn ngữ graph như sau: Cho G là một graph đầy đủ, có trọng số Tím một chu trình Hamilton... cạnh uv vào G VD15: f a e b d c G e a b c G + ce d e a b d c G U cf 2) Graph G’ (V,E’) là graph bù của graph G(V,E) nếu G và G’ không có cạnh chung(E E’= ) và G(V, E) + E’ là graph đầy đủ Nói cách khác, G và G’ bù nhau nếu chúng tập đỉnh và cạnh nào đã có trong G thì không có trong G’ và ngược lại VD16: 13 Biên soạn: Lê Đình Huy a) d) c) b) Hình trên cho ta thấy graph a) và b) bù nhau, graph c) và...Biên soạn: Lê Đình Huy Tóm lại: G là một graph liên thông khi và chỉ khi G có duy nhất một thành phần liên thông VIII Một số graph đặc biệt: 1) Graph đều là một graph mà mọi đỉnh cùng bậc; nếu bậc này bằng k thì đó là graph k – đều VD10: c) b) a) e) d) Hình trên cho ta thấy các graph . cạnh là cạnh nối (0,0) với (0,1); cạnh nối (1,0) với (1,1) (do thỏa điều kiện a), cạnh nối (0,0) với (1,0); cạnh nối (0,1) với (1,1) (do thỏa điều kiện b) K 2 00 10 11 01 1 0 K 2 x K 2 . nối mỗi đỉnh mới này với mọi đỉnh của G, ta được graph G’. Giả sử k (>0) là số tối thi u các đỉnh cần thi t để G’ chứa một chu trình Hamilton. Như vậy, G’ cĩ n + k đỉnh. Gọi P l chu trình. vì nếu tri lại thì ta cĩ thể bỏ đỉnh y và được chu trình ab a, mu thuẩn với giả thi t về tính chất nhỏ tối thi u của k. Hơn nửa, nếu a’ là một đỉnh kề nào đó của a (khác với y) và b’ là đỉnh