Lý thuyết đồ thị - Chương 1: Giới thiệu pptx

Lý thuyết đồ thị Chương 1: Giới thiệu Chương 1: Giới thiệu  Định nghĩa: Đồ thị (graph) G = (V,E) gồm tập hợp đỉnh (vertices) V (V≠Ø) cạnh (edges) E Mỗi cạnh tương ứng với đỉnh Nếu cạnh e tương ứng với đỉnh v, w ta nói v w đỉnh liên kết hay kề (adjacent) với e gọi tới đỉnh v, w Ký hiệu hay v w e = vw e Chương 1: Giới thiệu A   Các đỉnh: A, B, C, D Các cạnh: AB, AC, AD, BD, BC B D C Cạnh không phân biệt thứ tự đỉnh gọi cạnh vô hướng Đồ thị bao gồm cạnh vô hướng gọi đồ thị vô hướng Chương 1: Giới thiệu  - Định nghĩa: Cạnh uv tương ứng với đỉnh trùng gọi vòng (loop) hay khuyên B A C Chương 1: Giới thiệu - Hai cạnh phân biệt tương ứng với cặp đỉnh gọi cạnh song song (parallel edge) B A C Chương 1: Giới thiệu - Đồ thị khơng có cạnh song song khuyên gọi đơn đồ thị (simple graph), ngược lại đa đồ thị (multi graph) B A A B C C D Chương 1: Giới thiệu - Đồ thị G’ = (V’, E’) gọi đồ thị (sub graph) đồ thị G = (V, E) V’ ⊂ V E’ ⊂ E A A’ E B D C E’ B’ C’ Chương 1: Giới thiệu - Đồ thị có số đỉnh số cạnh hữu hạn gọi đồ thị hữu hạn (finite graph), ngược lại đồ thị vô hạn (infinite graph) Chương 1: Giới thiệu  A D Biểu đồ A’ B C B’ A” C’ E’ D’ C” B” Chương 1: Giới thiệu  - - - - Bậc đỉnh Bậc (degree) đỉnh v, ký hiệu d(v), số cạnh tới đỉnh Mỗi vịng đỉnh xem cạnh tới đỉnh Nếu d(v) = 0, v gọi đỉnh cô lập (isolated vertex) Nếu d(v) = 1, v gọi đỉnh treo (perdant vertex), cạnh tới đỉnh treo gọi cạnh treo (perdant edge) Đồ thị mà đỉnh đỉnh cô lập gọi đồ thị rỗng (null graph) 10 Chương 1: Giới thiệu  A  B E  D C  ABCA chu trình đơn giản sơ cấp ACB đường đơn giản sơ cấp EABCAD đường đơn giản không sơ cấp EACBADE chu trình đơn giản khơng sơ cấp 22 Chương 1: Giới thiệu  Liên thông Một đồ thị gọi liên thông (connected) cặp đỉnh nối với đường A B E D C 23 Chương 1: Giới thiệu  Xét G = (V, E) đồ thị vô hướng Trên tập hợp V, ta định nghĩa quan hệ ~ sau: ∀v, w ∈V, v ~ w ⇔ có đường G v w Khi đó: ~ quan hệ tương đương V ~ phân hoạch V thành lớp tương đương Mỗi lớp tương đương ứng với đồ thị liên thông G gọi thành phần liên thông (connected component) G 24 Chương 1: Giới thiệu  Hai thành phần liên thơng G tách biệt H F A B I G C D E 25 Chương 1: Giới thiệu  Định lý 1.3: Một đơn đồ thị G có n đỉnh k thành phần có tối đa (n – k)(n – k + 1) cạnh 26 Chương 1: Giới thiệu  Đẳng hình Hai đồ thị G = (V, E) G’ = (V’, E’) gọi đẳng hình (isomorphic) với có song ánh hai tập hợp V, V’ song ánh tập hợp E, E’ cho cạnh e = vw ∈ E tương ứng với cạnh e’ = v’w’ ∈ E’ cặp đỉnh v, w ∈ V tương ứng cặp đỉnh v’, w’ ∈ V’ 27 Chương 1: Giới thiệu A’ A E B E’ B’ D’ D C C’ 28 Chương 1: Giới thiệu  - Đồ thị có hướng Nếu cạnh e ∈ E G xác định cặp có thứ tự (v, w) định v, w ∈ V ta nói e cạnh có hướng từ v đến w, ký hiệu e = vw, đồ thị G gọi đồ thị có hướng (directed graph) v gọi đỉnh đầu (initial vertex) w gọi đỉnh cuối (terminal vertex) 29 Chương 1: Giới thiệu - - e gọi tới (incident out) đỉnh v tới (incident in) đỉnh w Số cạnh tới đỉnh v gọi bậc (out degree) v, ký hiệu dout(v); số cạnh tới đỉnh w gọi bậc (in degree) w, ký hiệu din(w) A B C E D 30 Chương 1: Giới thiệu  Một đồ thị có hướng gọi cân (balanced) đỉnh có bậc bậc A B D E C 31 Chương 1: Giới thiệu   Đồ thị có hướng G gọi liên thông đồ thị vô hướng tương ứng liên thơng Một đường P đồ thị có hướng G dãy hữu hạn cạnh nối tiếp v0v1, v1v2, , vk-1vk P viết là: v0v1 vk A B C E D 32 Chương 1: Giới thiệu  Một đồ thị có hướng G gọi liên thơng mạnh (strongly connected) với cặp đỉnh phân biệt v, w luôn tồn đường nối v với w A B C E D 33 Chương 1: Giới thiệu  Một chu trình đồ thị có hướng G đường G có dạng v0v1 vkv0  Đồ thị có hướng G gọi đầy đủ đồ thị vô hướng tương ứng đầy đủ A B C E D 34 Chương 1: Giới thiệu   Định lý 1.4: Trong đồ thị có hướng G, tổng bậc tổng bậc ngồi đỉnh số cạnh G Định lý 1.5: Tổng số phần tử hàng (cột) thứ i ma trận liên kết đồ thị có hướng G bậc (trong) đỉnh vi, nghĩa là: n d out (vi ) = ∑ mik k =1 n d in (vi ) = ∑ mki k =1 35 Chương 1: Giới thiệu  - - - Tóm tắt Đồ thị, loại đồ thị (có hướng, vô hướng, đơn, đa, đầy đủ) Bậc đỉnh, đồ thị cân Biểu diễn đồ thị (danh sách kề, ma trận kề) Đẳng hình Đường đi, chu trình Miền liên thơng, liên thơng mạnh 36 ... C Chương 1: Giới thiệu - Đồ thị khơng có cạnh song song khuyên gọi đơn đồ thị (simple graph), ngược lại đa đồ thị (multi graph) B A A B C C D Chương 1: Giới thiệu - Đồ thị G’ = (V’, E’) gọi đồ. .. Giới thiệu  Hệ 1.3: Đồ thị Kn có n(n-1) cạnh 15 Chương 1: Giới thiệu Biểu diễn đồ thị - Danh sách kề C ABBDE B AAC D E CCCBD B DAB C E EAB D  A D E 16 Chương 1: Giới thiệu Biểu diễn đồ thị - Ma... 13 Chương 1: Giới thiệu  Định lý 1 .1: Với đồ thị G = (V, E), ta có: ∑ d (v ) = E v∈V   Hệ 1 .1: Tổng số bậc đỉnh bậc lẻ đồ thị số chẵn Hệ 1.2: Mọi đồ thị có số chẵn đỉnh bậc lẻ 14 Chương 1: Giới