Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề 1 Rút gọn và tính giá trị của biểu thức VnDoc 1 √ A2 =| A |= A nếu A ≥ 0 −A nếu A < 0 2 √ AB = √ A √ B (với A ≥ 0;B ≥ 0) 3 √ A B = √ A√ B (với A ≥ 0;B > 0) 4 √ A2B =| A | √ B (với B ≥ 0)[.]
CHỦ ĐỀ : RÚT GỌN BIỂU THỨC BÀI TOÁN PHỤ A LÝ THUYẾT CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC √ A A ≥ A2 =| A |= −A A < √ √ √ rAB = √ A B (với A ≥ 0; B ≥ 0) A A (với A ≥ 0; B > 0) =√ B √ √B A2 B =| A | B (với B ≥ 0) √ √ A B = A2 B (với A ≥ 0; B ≥ 0) √ √ A (với A < 0; B ≥ 0) r B=− A B √ A = AB (với A.B ≥ 0; B 6= 0) B |B √| A A B √ = (với B > 0) B B √ C A∓B C √ = (với A ≥ A 6= B ) A − B A±B √ √ C A∓ B C √ = (với A ≥ 0; B ≥ 0; A 6= B) 10 √ A−B A ± B √ √ 11 A = A3 = A XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC √ √ • A ⇒ ĐKXĐ: A ≥ Ví dụ: x − 2018 ⇒ ĐKXĐ: x ≥ 2018 x+2 A ⇒ ĐKXĐ: B 6= Ví dụ: ⇒ ĐKXĐ: x 6= • B x−3 A x+2 • √ ⇒ ĐKXĐ: B > Ví dụ: √ ⇒ ĐKXĐ: x > x−3 B √ √ x ≥ A x • √ ⇒ ĐKXĐ: A ≥ 0; B > Ví dụ: √ ⇒ ĐKXĐ: ⇔ x > x > x−3 B A ≤ x − ≤ r r B < x + < x < −2 A x−1 • ⇒ ĐKXĐ: Ví dụ: ⇒ ĐKXĐ: ⇔ B x+2 x≥1 A≥0 x−1≥0 B > x + > √ x> a x>2 2 • Cho a > ta có x > a ⇔ √ Ví dụ: x > ⇒ x ta có x2 < a ⇔ − a < x < a Ví dụ: x2 < ⇔ −2 < x < Chú ý 1: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối • Dạng tổng quát 1: |A(x)| = k ⇔ A(x) = ±k với k số • Dạng tổng quát 2: |A(x)| = |B(x)| ⇔ A(x) = ±B(x) • Dạng tổng quát 3: |A(x)| = B(x) Trường hợp 1: Nếu A(x) ≥ phương trình trở thành A(x) = B(x) Trường hợp 2: Nếu A(x) < phương trình trở thành A(x) = −B(x) Chú ý 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối • Dạng tổng quát 1: |f (x)| < g(x) ⇔ −g(x) < f (x) < g(x) Đặc biệt với số k > |f (x)| < k ⇔ −k < f (x) < k • Dạng tổng quát 2: |A(x)| > g(x) ⇔ f (x) > g(x) f (x) < −g(x) f (x) > k Đặc biệt với số k > |f (x)| > k ⇔ f (x) < −k • Dạng tổng quát 3: +) |f (x)| < |g(x)| ⇔ [f (x)]2 < [g(x)]2 +) |f (x)| > |g(x)| ⇔ [f (x)]2 > [g(x)]2 Chú ý 3: Bất đẳng thức Cô - si cho hai số a, b không âm ta có: √ a + b ≥ ab Dấu ” = ” xảy ⇔ a = b Chú ý: Với hai số a, b ta ln có: a2 + b2 ≥ 2ab Dấu ” = ” xảy ⇔ a = b Ví dụ: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + x Hướng dẫn r 1 Vì x ≥ > Áp dụng bất đẳng thức Cơ - si ta có A = x + ≥ x = x x Dấu ” = ” xảy x = ⇔ x = x Vậy Amin = ⇔ x = 1 Ví dụ: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x + x Hướng dẫn r 1 Cách giải sai: Vì x ≥ > Áp dụng bất đẳng thức Cơ - si ta có B = x + ≥ x = x x Dấu ” = ” xảy x = ⇔ x = (không thỏa mãn x ≥ 2) x Vậy Bmin = ⇔ x = Gợi ý cách giải đúng: nx = 1 x Dự đoán Bmin đạt x = Ta có B = nx + + x − nx Dấu ” = ” xảy x=2 x r x x 3x + + Áp dụng bất đẳng thức Cô - si + ≥ = Do ta có A = 4 x x x x x Dấu ” = ” xảy ⇔ = ⇔ x = (vì x ≥ 2) x Vậy Bmin = ⇔ x = 2 Ví dụ: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức C = x + x Hướng dẫn 8x x 10 Tương tự ta có C = x + = + + ≥ Dấu ” = ” xảy x = x 9 x x + 12 Với x ≥ Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức D = √ x+2 Hướng dẫn √ 16 − ≥ Dấu ” = ” xảy x = Gợi ý: D = ( x + 2) + √ x+2 Các bước rút gọn biểu thức Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử Bước 3: Chia tử mẫu cho cho nhân tử chung tử mẫu Bước 4: Khi phân số tối giản thành việc rút gọn √ ta hồn√ x+2 x+1 √ x−2 √ Ví dụ: Rút gọn biểu thức A = − √ − x+1 x−1 x+2 x+1 x Hướng dẫn x > Điều kiện: x 6= √ √ √ √ x+2 x−2 x+1 x(1 − x) √ √ A= √ − √ √ + x x √ ( √x + 1) √ ( x − 1)( √x + 1) √ ( x + 2)( x − 1) ( x − 2)( x + 1) x+1+ x−x √ √ √ A= √ − √ ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1)( x + 1) √ x √ √ x+ x−2 x− x−2 x+1 √ √ √ A= √ − √ 2 ( x + 1) ( x − 1) ( x − 1)( x + 1) x √ √ √ x+1 x+ x−2−x+ x+2 √ √ √ A= ( x+ x √1) ( x −1) √ x x+1 √ √ A= √ ( x + 1)2 ( x − 1) x A= x−1 B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các toán rút gọn, tính giá trị biểu thức chứa số Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức p √ a) A = − p √ c) C = 19 − p √ − 12 p p √ √ d) D = − − + 12 b) B = Hướng dẫn q√ p √ √ √ a) A = − = ( − 1)2 = | − 1| = − q√ p p √ √ √ √ b) B = − 12 = − = ( − 1)2 = | − 1| = − q√ p √ √ √ c) C = 19 − = ( − 4)2 = | − 4| = − q√ q√ p p √ √ √ √ √ √ d) D = − − + 12 = ( − 2) − ( + 1)2 = | − 2| − | + 1| √ √ √ √ = − − − = −1 − Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức p √ a) A = + p √ c) C = − p √ − 15 p p √ √ d) D = + 13 − − 13 b) B = Ví dụ 3: biểu pRút gọn p thức.√ √ 6+2 5−2 √ √ +√ √ +√ √ a) A = √ + √ b) B = √ 5+1 3− 5− 6+ 6+ 1 1 √ +√ √ +√ √ + + √ √ c) C = √ + 2 + 3 + 99 + 100 p p √ √ 3 d) D = + − − Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức p p √ √ a) A = − 2 − − √ √ p √ c) C = 14 + − 21 Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức p p √ √ a) A = − + + p p √ √ 3 c) C = + − − Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức p p √ √ a) A = − − + p p √ √ 3 c) C = 20 + 14 + 20 − 14 Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức p p √ √ +√ −√ − √ + − − 10 √ d) D = 6+2 r q p √ √ b) B = − − 29 − 12 p p √ √ 3 d) D = + + − b) B = q p √ √ b) B = − 13 + + + 13 + p p √ √ 3 d) D = + + − q p p p √ √ 11 + + 11 − p p √ √ c) − 2 − − a) p p √ √ b) q 41 − 12 − 41 + 12 p √ √ √ d) − − 29 − 12 Các toán rút gọn chứa ẩn tốn phụ Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC A KHI x = x0 Phương pháp: Rút gọn giá trị biến (nếu cần) sau thay vào biểu thức cho thay vào biểu thức cho tính kết Ví dụ: Cho biểu thức A = 2x+ | x − | a) Rút gọn A b) Tính giá A x = Hướng dẫn 2x + x − x ≥ Ta có A = 2x+ | x − |= 2x − (x − 4) x < 3x − x ≥ = x + x < Khi x = < giá trị A √ là: A = + 4√= √ x−1 x 2−5 x Ví dụ: Cho biểu thức A = √ −√ + 4−x x+2 x−2 a) Rút gọn A √ b) Tính giá trị A biết x = 2− √ √ x+2 x−2 4x √ − Ví dụ: Cho biểu thức A = : x−1 (x − 1)2 x−2 x+1 a) Rút gọn A b) Tính giá trị A biết |x − 5| = √ √ √ √ xy x+ y x Ví dụ: Cho biểu thức A = − √ √ √ √ x−y x−2 y x− y a) Rút gọn A x b) Tính giá trị A biết = y x2 − 2x 2x2 Ví dụ: Cho biểu thức A = + 1− − 2x2 + x3 − 2x2 + 4x − x x a) Rút gọn A p √ b) Tính giá trị A biết x = − √ x− x 1 −√ Ví dụ: Cho biểu thức A = +√ x−9 x+3 x−3 a) Rút gọn A p √ b) Tính giá trị A biết x = 11 − 1 c) Tính giá trị A biết x = √ −√ 3−1 +r r 2 √ d) Tính giá trị A biết x = − √ 3+1 3−1 Dạng 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp: • Nếu tốn u cầu tìm x để A = k ta biến đổi A − k = tính kết quả, kết hợp với điều kiện để kết luận • Nếu tốn u cầu tìm x để A > k (≥, ≤, < k) Ta đánh giá dựa vào điều kiện xét hiệu A − k > với điều kiện đề√bài để tìm x 2− x √ với x ≥ 0, x 6= Tìm x để A = − Ví dụ: Cho biểu thức A = 2+ x Hướng dẫn √ √ √ √ 1 2− x √ = − ⇔ x − = x + ⇔ x = ⇔ x = 36 (thỏa mãn điều kiện) Ta có A = − ⇔ 2 2+ x 2 1 √ −√ − : Ví dụ: Cho biểu thức A = √ x−4 x+2 x+4 x+4 x−2 a) Rút gọn A b) Tìm x để A = √ √ √ √ x x x−2 x x+2 Ví dụ: Cho biểu thức P = √ +√ − với x ≥ 0; x 6= Q = √ x−4 x−2 x+2 x−2 a) Rút gọn P b) Tìm x cho P = Ví dụ: Cho biểu thức A = √ với x ≥ 0, x 6= Tìm x để A > x−3 Hướng dẫn √ √ 1 1− x+3 x−4 Ta có A > ⇔ √ >1⇔ √ −1>0⇔ √ >0⇔ √ x > 16 √ x−3 0, x 6= 1, x 6= x −p2 x − px − √ √ a) Tính giá trị biểu thức A x = 27 + 10 − 18 + + B b) Rút gọn biểu thức P = A √ c) Tìm giá trị nguyên x để P x ≥ − Dạng 3: SO SÁNH BIỂU THỨC A VỚI k HOẶC BIỂU THỨC B (k LÀ HẰNG SỐ) Phương pháp: Nếu đề yêu cầu so sánh biểu thức A với số k hay biểu thức khác B ta xét hiệu A − k, A − B xét√dấu biểu thức √ kết luận √ x+5 x x x+9 x − B = với x ≥ 0, x 6= x 6= 25 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ x−9 x − 25 x−3 a) Rút gọn A A b) Hãy so sánh P = với B Hướng dẫn √ x a) A = √ x+3 √ √ √ A x x+5 x x−5 =√ : =√ b) Ta có: P = B √ x + x − 25 x+3 x−5 −8 Xét hiệu: P − = √ −1= √ < với x ≥ 0, x 6= x 6= 25 x+3 √x + √ √ x−9 x+3 x+1 √ √ với x ≥ 0, x 6= x 6= Ví dụ: Cho biểu thức A = −√ − x−5 x+6 x−2 3− x a) Rút gọn A b) Hãy so sánh A với √ √ √ 3x + 9x − x+1 x−2 √ √ với x ≥ 0, x 6= Ví dụ: Cho biểu thức A = −√ + x+ x−2 x−2 1− x a) Rút gọn A b) Hãy so sánh A với √ √ x x+ x √ √ √ Ví dụ: Cho biểu thức A = √ − √ : + x−1 x x−x+ x−1 x x+x+ x+1 x+1 với x ≥ 0, x 6= a) Rút gọn A b) Hãy so sánh A với √ √ √ x+1 x−1 x √ √ Ví dụ: Cho biểu thức A = − √ : +√ x−3 (2 x − 3)( x + 1) x+1 a) Rút gọn A b) Hãy so sánh A với Dạng 4: TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA x ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Phương pháp: Biến đổi biểu thức dạng phân thức có tử số nguyên, lí luận chặt chẽ để mẫu phải thuộc ước tự nhiêncủa tử kết luận 6 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ :√ +√ − x+3 x−3 9−x x+2 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Hướng dẫn a) Điều ta có √ kiện: x ≥ 0;√x 6= Khi √ ( x − 3) + 5( x + 3) + x + √ √ A= ( √x + 3)( x −√3) x + 18 x+2 √ A= √ ( x +√3)( x − 3) √ x+2 6( x + 3) √ A= √ (√ x + 3)( x − 3) x+2 A= √ x−3 √ √ x−3+5 x+2 = √ =1+ √ b) Ta có A = √ x−3 x−3 x−3 √ √ A có giá trị nguyên ⇔ √ có giá trị nguyên ⇔ x − ∈Ư(5) ⇔ x − ∈ {±1; ±5} x−3 √ Ta biết x số nguyên x số nguyên (nếu x số phương) số vơ √ số ngun x khơng thể số vơ tỉ, tỉ (nếu x khơng số phương) Để √ x−3 √ √ x số nguyên, suy x − ước tự nhiên Ta có bảng sau √ x − -1 √ x x 16 -5 -2 64 || √ x−1 1 √ Ví dụ: Cho biểu thức A = x + √ −√ x x− x+1 x+1 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên √ x x+1 x √ + √ −√ √ Ví dụ: Cho biểu thức A = √ + x x− x x x−1 x+ x+1 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A ≥ 10 c) Tìm giá trị nguyên x√để A có giá trị nguyên √ √ x+2 x x+2 +√ với x ≥ 0, x 6= Ví dụ: Cho biểu thức A = √ B = : x−4 x−4 x−2 x−2 a) Rút gọn B b) Tìm giá trị nguyên x√để P = A(B − 2) √ có giá trị nguyên √ x+2 x x+2 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ B = +√ : với x ≥ 0, x 6= x−4 x−4 x−2 x−2 a) Rút gọn B b) Tìm giá trị nguyên x để P = A(B − 2) có giá trị ngun Dạng 5: TÌM GIÁ TRỊ CỦA x ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Phương pháp: Cách 1: Dựa vào điều đánh giá biểu thức để tìm khoảng biểu thức nằm trong, biện luận biểu thức nguyên nên ta giá trị nguyên thuộc khoảng đó, với giá trị biểu thức ta tìm nghiệm biến tương ứng Cách 2: Đặt biểu thức tham số nguyên, biến đổi suy vế chứa thức bậc hai, dựa vào thức để giải bất phương trình để tương ứng, tìm khoảng tham số nằm giải với tham số tương ứng để tìm nghiệm biến tương ứng Ví dụ: A = √ với x ≥ Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên x+3 Cách 1: Với x ≥ ta có A > 7 ≤ •A= √ x+3 Mà A ∈ Z ⇒ A ∈ {1; 2} Với A = ⇔ x = 16 (thỏa mãn) Với A = ⇔ x = (thỏa mãn) Cách 2: Đặt A = √ = n với n ∈ Z x+3 √ √ 7 − 3n − 3n =n⇔ x= Vì x ≥ nên ≥0⇔0 Khi √ ta có x x+1+x A= √ √ :√ √ x( √x + 1) √ x( √ x + 1) x x( x + 1) A= √ √ √ x(√ x + 1) x + + x x A= √ x+1+x √ x b) Ta có: A = √ = √ x+1+x 1+ √ + x x r √ √ 1 Xét biểu thức mẫu: + √ + x ≥ x √ + = (áp dụng cô si) x x √ 1 Ta có A ≤ Do maxA = x = √ ⇔ x = 3 √ √ √ √x x x−6 x x − 36 x √ √ Ví dụ: Cho biểu thức A = − √ x − 36 x + x 2( x − 3)(x − x + 3) a) Rút gọn A b) Tìm giá trị lớn A Hướng dẫn √ với điều kiện x > 0; x 6= 9; x 6= 36 x−2 x+3 √ 6 b) A = √ ≤ = ( x + 1)2 ≥ 2 ( x + 1) + Suy maxA = x = √ √ √ x+3 x−2 15 x − 11 √ Ví dụ: Cho biểu thức A = √ + √ − x+3 x−1 x+2 x−3 a) Rút gọn A a) A = b) Tìm giá trị nhỏ A Hướng dẫn √ x−2 với điều kiện x ≥ 0; x 6= a) A = √ x + √ √ x + 15 − 17 17 17 √ b) A = =5− √ ≥5− ⇒ A ≥ − x ≥ 3 x+3 x+3 Suy minA = − x = √ √ √ x+ x+4 3x − x+1 x−1 √ − √ √ với x > 0, x 6= B = + Ví dụ: Cho biểu thức A = √ x − x − x x − x √ x+1 a) Chứng minh B = √ x−2 √ √ √ √ b) Tính giá trị A x + x + + (2 − 1) x = 3x − x − + A b) Tìm giá trị nhỏ P = B Dạng 7: CHỨNG MINH BIỂU THỨC LUÔN LUÔN ÂM HOẶC LUÔN LUÔN DƯƠNG VỚI MỌI GIÁ TRỊ CỦA ẨN Phương pháp: • Để chứng minh biểu thức A > ta A = A21 + k với (k số dương) • Để chứng minh biểu thức A < ta A = A 1 − k với (k số dương) x+2 − √ :√ Ví dụ: Cho biểu thức A = √ x+1 x x+1 x a) Rút gọn A b) Chứng minh biểu thức A luôn âm với giá trị x làm A xác định Hướng dẫn a) Điều kiện √ x > Khi ta có (x − x + 1) − (x + 2) √ A= √ :√ ( x + 1)(x − x + 1) x √ √ x −( x + 1) √ A= √ ( x +√ 1)(x − x + 1) − x √ A= 2(x − x + 1) √ b) Ta có: x > nên − x < 2 √ √ x− x+1= + > x− Do A < với x > √ 1 x x+x Ví dụ: Cho biểu thức A = √ √ +√ √ + √ x+1 x−1+ x x−1− x a) Rút gọn A b) Chứng minh biểu thức A luôn không âm với giá trị x làm A xác định Hướng dẫn a) Điều kiện x ≥ Khi ta có √ A = x − x − √ √ √ b) Ta có: A = x − x − = (x − 1) − x − + = ( x − − 1)2 ≥ Vậy A luôn không âm với x ≥ Dạng 8: CHỨNG MINH BIỂU THỨC THỎA MÃN VỚI ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ Phương pháp: Vận dụng linh √ hoạt kiến thức √ học √ x−2 x−1 x−9 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ (với x > 0, x 6= 9) B = √ − x−9 x x−3 a) Rút gọn biểu thức B 1 −√ b) Tính giá trị A x = √ 2−1 2+1 A c) Cho biểu thức P = Hãy tìm giá trị m để có x thỏa mãn P = m B Hướng dẫn √ x−2 a) B = √ x+3 √ √ √ 2+1 2−1 2−2 −√ = − = thay vào A = b) x = √ 2−1 2−1 2 −√ 2+1 A x+3 = √ c) P = với điều kiện x > 0, x 6= 4, x 6= B x√ P = m ⇔ (m − 1) x = (1) Nếu m = phương trình (1) vơ nghiệm √ Nếu m 6= từ (1) ⇒ x = m √ √− √ Do x > 0, x 6= 4, x 6= ⇒ x> 0, x 6= 2, x 6= > m>1 m 3− Để có x thỏa mãn P = m ⇔ 6= ⇔ m 6= m−1 m 6= 6= m−1 (Thỏa mãn yêu cầu toán) √ √ √ x−2 x−1 x−9 Ví dụ: Cho biểu thức A = √ B = √ − với x > 0, x 6= x−9 x x−3 a) Rút gọn A p √ b) Tìm giá trị A x = − A c) Tìm x để biểu thức =1 B A = m d) Tìm giá trị m để có x thỏa mãn B √ √ x2 − x 2x + x 2(x − 1) √ Ví dụ: Cho biểu thức A = − √ + √ x+ x+1 x x−1 a) Rút gọn A Vậy m > 1, m 6= 2, m 6= b) Tìm giá trị nhỏ A √ x c) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị số nguyên A √ √ √ √ x 3 x+2 x+3 x √ + : √ Ví dụ: Cho biểu thức A = √ − + √ x−4 x+2 2− x x−2 x−x a) Rút gọn A √ b) Tính giá trị A x = − √ c) Tìm x cho A.(x − 1) = √ x √ √ x+3 x x+1 x+7 Ví dụ: Cho biểu thức A = +√ +√ B = √ (ĐKXĐ: x > 0, x 6= 9) x+3 x−3 x √ 9−x x a) Chứng minh A = √ x+3 b) So sánh A với c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức√P = A.B √ √ x−2 x x+1 + 2x − x √ + √ + √ (với x > 0, x 6= 1) Ví dụ: Cho biểu thức A = √ x x−1 x x+x+ x x2 − x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị số nguyên Hướng dẫn √ x+2 √ x+ x+1 √ √ b) Cách 1: Với √ x > 0, x 6= 1√⇒ x + x + > x + > x+2 x+2 √ Vậy < A = 3 Với A = ⇒ x = (loại) √ √ √ √ x+2 √ Với A = ⇒ = ⇔ 2x + x = ⇔ x(2 x + 1) = ⇔ x = (loại) x+ x+1 √ √ √ x+1 x x− x B = √ + √ (với x ≥ 0, x 6= 1) Ví dụ: Cho biểu thức A = √ x−1 x−1 x−1 x+1 a) Rút gọn biểu thức B √ b) Tính giá trị A x = + A2 − 2A + ≤ c) Với x ∈ N x 6= Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = A.B C LUYỆN TẬP BÀI TẬP GỒM NHIỀU Ý HỎI Bài I Cho biểu thức: √ √ √ x−1 2−2 x x+2 √ √ A= + √ : − với x ≥ 0, x 6= x−1 x x+x− x−1 x+ x−2 x−1 √ x−1 Chứng minh A = √ x+1 Tính giá trị A khi: √ a) x = − p √ √ p b) x = + 80 − − 80 p p √ √ 3 c) x = 10 + + 10 − 1 √ +√ √ + + √ √ d) x = 1+ 3+ √ 79 + 81 e) x nghiệm phương trình 2x2 − 3x − = x − f) x nghiệm phương trình |2x − 6| = 3x + √ √ g) x giá trị biểu thức M = x (1 − x) đạt giá trị lớn Tìm x để: a) A = ; So sánh : b) |A| = A; c) A2 + A ≤ √ x−3 a) A với b) A với biểu thức N = √ x Tìm x nguyên dương để biểu thức nhận giá trị nguyên A Tìm x thực để A nhận giá trị nguyên Tìm giá trị nhỏ biểu thức: √ a) P = A (x − x − 2) A √ b) Q = với ≤ x < −x + x − √ x c) R = với x > A Tìm giá trị lớn biểu thức: A b) C = √ với x > x + √ √ √ √ Tìm x thỏa mãn A ( x + 1) − − x = 2x − x − + a) B = − A; Bài II Cho biểu thức: √ √ √ 2x + x 1+x x √ 2−2 x √ √ √ − x + √ B= − với x > 0, x 6= x x−1 x+ x+1 1+ x x √ x−3 x+2 √ Chứng minh B = x Tính giá trị B khi: √ a) x = − 48 p p √ √ b) x = 11 + + 11 − p p √ √ 3 c) x = + − − 1 √ +√ √ + + √ √ d) x = 1+ 4+ 97 + 100 √ e) x nghiệm phương trình x2 − x + = x f) x nghiệm phương trình |x − 1| = |2x − 5| √ g) x giá trị biểu thức P = x − x + đạt giá trị nhỏ Tìm x để: √ x−4 b) B + √ ≤ x a) B = 0; So sánh : √ a) B với −2 b) B với biểu thức C = x − 3x x Tìm x để B nhận giá trị nguyên √ Xét dấu biểu thức T = B ( x − 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: √ a) B b) D = B x B c) E = √ x Tìm giá trị lớn biểu thức: √ b) Q = − B x √ √ √ √ Tìm x thỏa mãn B x + + x = 3x − x + + 10 a) G = −3 − B; Bài III Cho biểu thức: √ √ √ x+2 x 2x x+2 x−1 √ √ − √ B= + : với x > 0, x 6= 4, x 6= x+4 x+4 4−x x−2 x x+ x x x−3 Tính giá trị C khi: √ a) x = − p p √ √ b) x = 11 + + 11 − p p √ √ 3 c) x = 14 + 20 − 14 − 20 − 1 1 √ +√ √ + + √ √ d) x = 1+ 5+ √ 77 + 81 e) x nghiệm phương trình x2 − x = x − 1 Chứng minh C = √ f) x nghiệm phương trình |x − 3| = √ g) x giá trị biểu thức M = −x + x + đạt giá trị lớn Tìm x để: a) C ≤ 0; So sánh C với biểu thức D = b) |C| = −C √ x x > 2C Tìm x để E = √ nhận giá trị nguyên x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) Biểu thức C với x > C b) I = − √ với < x < 9, x 6= x x C Tìm giá trị lớn biểu thức N = √ x − + C √ √ √ Tìm x thỏa mãn 2 + C x − 3C = 3x − x − + D MỘT SỐ CÂU VỀ RÚT GỌN VÀ CÂU HỎI PHỤ TRONG ĐỀ TUYỂN SINH HÀ NỘI Ví dụ : (TS 10 - √ THPT Hà Nội, năm học 2012 - 2013) x+4 1) Cho biểu thức A = √ Tính giá trị biểu thức A x = 36 x+ 2 √ x x + 16 +√ :√ với x ≥ 0, x 6= 16 2) Rút gọn biểu thức B = √ x+4 x−4 x+2 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị ngun x để giá trị biểu thức B(A − 1) số nguyên Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội, √ năm học√2013 - 2014) √ 2+ x x−1 x+1 √ Với x > 0, cho hai biểu thức A = √ B = √ + x x x+ x 1) Tính giá trị biểu thức A x = 64 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Tìm x để > B Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà √Nội, năm học 2014 - 2015) x+1 x = 1) Tính giá trị biểu thức A = √ x−1 √ x−2 x+1 √ +√ √ với x > x 6= 2) Cho biểu thức P = x+2 x x+2 x−1 √ x+1 a) Chứng minh P = √ x √ b) Tìm giá trị x để 2P = x + Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội,√năm học 2015 - 2016) √ x−1 x−2 x+3 B = √ + với x > 0, x 6= Cho hai biểu thức A = √ x−4 x−2 x+2 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Rút gọn biểu thức B A đạt giá trị nhỏ B Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội, năm - 2017) √ học 2016 √ x x − 24 Cho hai biểu thức A = √ B = √ + với x ≥ 0, x 6= x−9 x+8 x−3 1) Tính giá trị biểu √ thức A x = 25 x+8 2) Chứng minh B = √ x+3 3) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị số nguyên 3) Tìm giá trị x để biểu thức P = Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội, năm học 2017√- 2018) √ x+2 20 − x Cho hai biểu thức A = √ B = √ + với x ≥ 0, x 6= 25 x − 25 x−5 x+5 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Chứng minh B = √ x−5 3) Tìm tất giá trị x để A = B|x − 4| Ví dụ : (TS 10 - THPT Hà Nội, năm √ học 2018 - 2019) √ x+4 x+1 √ Cho hai biểu thức A = √ B = −√ với x ≥ 0, x 6= x−1 x+2 x−3 x+1 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Chứng minh B = √ x−1 A x 3) Tìm tất giá trị x để ≥ + B ... √x + 1) √ ( x + 2)( x − 1) ( x − 2)( x + 1) x +1+ x−x √ √ √ A= √ − √ ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) √ x √ √ x+ x−2 x− x−2 x +1 √ √ √ A= √ − √ 2 ( x + 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x + 1) x... 1: Rút gọn biểu thức p √ a) A = − p √ c) C = 19 − p √ − 12 p p √ √ d) D = − − + 12 b) B = Hướng dẫn q√ p √ √ √ a) A = − = ( − 1) 2 = | − 1| = − q√ p p √ √ √ √ b) B = − 12 = − = ( − 1) 2 = | − 1| ... 10 √ d) D = 6+2 r q p √ √ b) B = − − 29 − 12 p p √ √ 3 d) D = + + − b) B = q p √ √ b) B = − 13 + + + 13 + p p √ √ 3 d) D = + + − q p p p √ √ 11 + + 11 − p p √ √ c) − 2 − − a) p p √ √ b) q 41