ĐS9 cđ1 rút gọn BIỂU THỨC và câu hỏi PHỤ 1

CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC Hệ thống tập sử dụng chuyên đề Tỉnh, huyện, thành phố Năm học Tỉnh, huyện, thành phố Năm học Chuyên An Giang 2018 Chuyên An Giang 2018 Chuyên Bắc Ninh 2014; 2017 Chuyên Bắc Ninh 2014; 2017 Chuyên Bắc Giang 2018 Chuyên Bắc Giang 2018 Chuyên Bạc Liêu 2019 Chuyên Bạc Liêu 2019 Chuyên Bến Tre vòng 2019 Chun Bến Tre vịng 2019 Chun Bình Dương 2018 Chun Bình Dương 2018 Chun Cao Bằng vịng 2019 Chuyên Cao Bằng vòng 2019 Chuyên Gia Lai vòng 2019 Chuyên Gia Lai vòng 2019 Chuyên KonTum vòng 2019 Chuyên KonTum vòng 2019 Chuyên Cần Thơ 2019 Chuyên Cần Thơ 2019 Chuyên Quảng Ninh 2017; 2019 Chuyên Quảng Ninh 2017; 2019 Chuyên Hưng Yên 2017, 2018 Chuyên Hưng Yên 2017, 2018 chuyên Toán Ninh Bình 2017; 2019 Chun Ninh Bình, chun 2017; 2019 Tốn Ninh Bình Chuyên Thừa Thiên Huế 2017 Chuyên Thừa Thiên Huế 2017 Chuyên Toán Hà Nam 2019 Chuyên Toán Hà Nam 2019 Chuyên Lê Hồng Phong 2015, 2017, 2018 Chuyên Lê Hồng Phong Nam 2015, 2017, 2018 Nam Định Định Chuyên Toán Nam Định 2019 Chuyên Toán Nam Định 2019 Chuyên Thái Bình 2017; 2018; 2019 Chuyên Thái Bình 2017; 2018; 2019 Chuyên Tin Thái Nguyên 2019 Chuyên Tin Thái Nguyên 2019 Chuyên Tiền Giang vòng 2, 2018, 2019 Chuyên Tiền Giang vòng 2, 2018, 2019 chuyên Tin Tiền Giang chuyên Tin Tiền Giang vòng vòng Chuyên Lào Cai 2017 Chuyên Lào Cai 2017 Chuyên Lâm Đồng vòng 2019 – Chuyên Lâm Đồng vòng 2019 Chuyên Lâm Đồng vòng 2019 Chuyên Lâm Đồng vòng 201 Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015, 2016, 2017, Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015, 2016, 2018 2017, 2018 Chuyên Trà Vinh 2018 Chuyên Trà Vinh 2018 Chuyên Toán Bến Tre 2018 Chun Tốn Bến Tre 201 Chun Tốn Bình Định 2018, 2019 Chun Tốn Bình Định 201, 2019 chuyên vòng chuyên vòng Chuyên Hưng Yên 2018; 2019 Chuyên Hưng Yên 2018; 2019 Chuyên Nam Định 2018 – 2019 Chuyên Nam Định 2018 Chuyên An Giang 2018 – 2019 Chuyên An Giang 2018 Chuyên Phú Yên vòng 2019 – 2020 Chuyên Phú Yên vòng 2019 Chuyên Quảng Ngãi 2019 – 2020 Chuyên Quảng Ngãi 2019 Chuyên Quảng Trị 2018 - 2019 Chuyên Quảng Trị 2018 Chuyên Sơn La vòng 2019 - 2020 Chuyên Sơn La vòng 2019 Đại Học Ngoại Ngữ Hà Nội 2010, 2014, 2017 Đại Học Ngoại Ngữ Hà Nội 2010, 2014, 2017 Học sinh giỏi TP Bắc Giang 2016 Học sinh giỏi TP Bắc Giang 2016 Học sinh giỏi Hịa Bình 2010 Học sinh giỏi Hịa Bình 2010 Học sinh giỏi Tỉnh Điện 2018 Học sinh giỏi Tỉnh Điện Biên 2018 Biên Học sinh giỏi Tỉnh Lạng Sơn Học sinh giỏi Long An Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình Học sinh giỏi Tỉnh Bình Phước Học sinh giỏi Tỉnh Lai Châu Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa Học sinh giỏi Phú Thọ Học sinh giỏi Hải Dương Học sinh giỏi Nam Định Học sinh giỏi Huyện Đan Phượng Học sinh giỏi Huyện Hoằng Hóa Học sinh giỏi Huyện Quan Sơn Học sinh giỏi Huyện Chương Mỹ vòng vòng Học sinh giỏi Huyện Ba Đình Học sinh giỏi Huyện Bắc Từ Liêm Học sinh giỏi Huyện Đức Cơ Học sinh giỏi Huyện Như Thanh Học sinh giỏi Huyện Triệu Phong Học sinh giỏi Huyện Thường Tín Học sinh giỏi Huyện Ba Vì Học sinh giỏi Huyện Ba Thước Học sinh giỏi Huyện Đan Phượng Học sinh giỏi Huyện Thanh 2019; Học sinh giỏi Tỉnh Lạng Sơn 2019; 2012 2018 Học sinh giỏi Long An Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình 2012 2018 2018 Học sinh giỏi Tỉnh Bình Phước 2018 2018 Học sinh giỏi Tỉnh Lai Châu 2018 2018 Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình 2018 2013; 2016; 2017 Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa 2012 - 2013 Học sinh giỏi Phú Thọ Học sinh giỏi Hải Dương Học sinh giỏi Nam Định Học sinh giỏi Tỉnh Sóc Trăng Học sinh giỏi Huyện Đan Phượng Học sinh giỏi Huyện Hoằng Hóa Học sinh giỏi Huyện Quan Sơn 2013 2016 2017 2012 2018 2019 2019 2020 2018 2019 2019 2019; 2020 Học sinh giỏi Huyện Chương Mỹ vòng vòng 2019 2017 Học sinh giỏi Huyện Ba Đình 2017 2018 Học sinh giỏi Huyện Bắc Từ Liêm Học sinh giỏi Huyện Đức Cơ 2018 Học sinh giỏi Huyện Như Thanh Học sinh giỏi Huyện Triệu Phong Học sinh giỏi Huyện Thường Tín Học sinh giỏi Huyện Ba Vì Học sinh giỏi Huyện Ba Thước 2019 Học sinh giỏi Huyện Đan Phượng Học sinh giỏi Huyện Thanh 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 - 2020 2019 202019 2019 Xuân Học sinh giỏi Huyện Mỹ Đức Học sinh giỏi Huyện Cầu Giấy Học sinh giỏi Huyện Quan Sơn Học sinh giỏi Huyện Cẩm Thủy Thanh Hóa Học sinh giỏi Huyện Đơng Hà Quảng Trị Học sinh giỏi TP Thanh Hóa 2019 Xuân Học sinh giỏi Huyện Mỹ Đức 2019 2019 Học sinh giỏi Huyện Cầu Giấy 2019 2019 Học sinh giỏi Huyện Quan Sơn 2019 2019 Học sinh giỏi Huyện Cẩm Thủy Thanh Hóa Học sinh giỏi Huyện Đông Hà Quảng Trị Học sinh giỏi TP Thanh Hóa 2020 2020 2020 A BÀI TỐN VỀ CĂN THỨC Bài 1: Chun Bình Định vịng 2, năm học 2019 – 2020 A Rút gọn biểu thức Ta có: 2 82   3  1    3  2  3 2    3  2  3 Lời giải  3  82 62  6  94          10 2020 2020 +)        6  3  3     6  3  3 3 2  3  4 3  3     1      1  12     10  +)    3 2  3  4 3  3  12     10   3 A Do Vậy A  Cách khác: 2  3  Ta có: 2    3 2   3 62 4 62 62  +) 2        3  3 2  3 4 6   2  3    10   10  2 10 62  2 5 5 62  2 5 5  20   20  40  A  4   4  42    25  20  5    Do Vậy A  Bài 2: Chuyên Tỉnh Bạc Liêu, năm học 2019 – 2020 Rút gọn biểu thức    B  13    20  43  24 Lời giải Ta có: B  91  52  28  48  B  43  24     13      13     43  24     2  1    3  B  43  24      B  35 Bài 3: Chuyên Tỉnh Bến Tre vòng 2, năm học 2019 – 2020 1 1   1 A Tính giá trị biểu thức Lời giải      1  1 A  1 1  Ta có Vậy A      :  1  1  :  1  4 1 4 Bài 4: Chuyên Tỉnh Gia Lai vòng 2, năm học 2019 – 2020     5 A  42  62  Rút gọn biểu thức Lời giải A Ta có   1    1 2  3 5 5   5  2 Vậy A  Bài 5: Chuyên KonTum vòng 2, năm học 2019 – 2020 Tính giá trị biểu thức Ta có P P  3 3 10   3 3 P   10    Lời giải     1 6 5  53     2 1 2          1  1 8 Vậy P  Bài 6: Chuyên Tỉnh Lâm Đồng vòng 2, năm học 2019 – 2020 Tính giá trị biểu thức    T   1 13  19  Lời giải Ta tính 13    19     T   Do Vậy T  187    12       12   187  Bài 7: Chuyên Tỉnh Nam Định chuyên Toán, năm học 2019 – 2020 P  x   x Cho x       Tính Lời giải     x           32        Ta có 62   1      1 x   x     x  1  Do Vậy P  hay x  x   P  Bài 8: Chun Tỉnh Ninh Bình chun Tốn, năm học 2019 – 2020 Rút gọn C  33  128  3 Lời giải Ta có:      C    33  128  :    6   :              11   C  3 3 Vậy C   x Cho  1      3 3  2 2   :      5 Bài 9: Chuyên Tỉnh Sơn La vòng 2, năm học 2019 – 2020 10  21   Tính B   x2  x  2 2019 Lời giải   1 Ta có:   1   1  x 10   3 4 Vậy   1; 21   54 B   x2  4x  2 2019   1 2  1  1  2 2019  1 Bài 10: Chuyên Tỉnh Thái Nguyên, chuyên Tin, năm học 2019 – 2020 3 Cho x  70  4901  70  4901 Không sử dụng máy tính bỏ túi chứng minh x số nguyên tố Lời giải Ta có   x  140  3 70  4901 70  4901   70  4901  70  4901  x  140  x  x3  x  140    x    x  x  28    x    x   x  x  28   Vậy x số nguyên tố Bài 11: Chuyên Tin Tiền Giang, năm học 2019 – 2020 Rút gọn A   10    10  Ta có  8 A   A 2 8   1  8   4 10     4 1     Lời giải    10    16  10      1  A  1 Vậy A   Bài 12: Chuyên Tiền Giang vòng 2, năm học 2019 – 2020 3 P  x3  x  3x   Cho x      Tính Lời giải  x        x  1    x  1  x  x  x  3 Ta có P  x  x  3x     x  3x  x   P  27 3 Vậy P  27 Bài 13: Tuyển Sinh chuyên Quảng Trị, năm học 2018 – 2019 Rút gọn biểu thức   13  48 A 6 Lời giải Ta có  A    13  48 : 42  Vậy  1 A       3  :     3   : 1 6 2 1    1  Bài 14: Tuyển Sinh chuyên Tiền Giang, năm học 2018 – 2019 Rút gọn biểu thức A  29  12  52 Lời giải A 2 3   Ta có: Vậy A   52   3 5  Bài 15: Tuyển Sinh chuyên Bình Dương, năm học 2018 – 2019 Tính giá trị biểu thức P 1 1     1   2005 2004  2004 2005 Lời giải  n  1 * Với n  N , ta có  n  n n 1 n  n  n 1  n   n 1  n n  n  n   n  n 1  n 1   n  n n n 1  Áp dụng kết quả, ta được: P 1 1 1 1 1 44          1  1  45 45 2 3 2004 2005 2005 Rút gọn A  Bài 16: Tuyển Sinh chuyên An Giang, năm học 2018 – 2019   11  13   11  13   11  13   11  13  Lời giải Ta có:     11  13   11  13  7   11  13     7  11  13  11.13  17  11.13  +)   11  13 7  11  13   A  17  Vậy Vậy A  283     11  13   11.13   17  2 7  11  13  7  11  13     11  13  11.13  17  11.13  11.13  17  4.11.13  289  572  283 Bài 17: Học sinh giỏi Tỉnh Hịa Bình, năm học 2011 – 2011 8 A 1  Rút gọn 8 8 1 1 Lời giải A Đặt T M , ta có T   T  T T2  Xét   24  T  8   8 8 1   8  1   2  8  8 1    1   8 1 1     8 1  1  A  Vậy A  Bài 18: Học sinh giỏi Phú Thọ, năm học 2012 – 2013 Rút gọn A 10  30  2  : 10  2 1 Lời giải Ta có   3 1  Vậy A 2 10  30  2  :  10  2 1 A   2   1 1   1 1  2  3 1 2  1  2 2 Bài 19: Học sinh giỏi TP Bắc Giang, năm học 2016 – 2017 N Tính giá trị biểu thức 4  4  13  27  10 Lời giải Ta có: N  4  4  13  25  10      3  4  4         5 2 2    4  4 4  4    5  2    4  4 4  4    5   5  Vậy N  A Bài 20: Học sinh giỏi Long An, năm học 2012     15  10  23  Tính Lời giải Ta có  A      15  10 23   1   3 5  1    2 2     15  10   23  1    1     15  46  5 1 1 1 Bài 21: HSG huyện Nga Sơn Thanh Hóa, năm học 2016 - 2017 B Rút gọn 2  2  2  2 Lời giải Ta có:        3 3 1 Vậy B  Bài 22: HSG Tỉnh Quảng Nam, năm học 2020 - 2021 Rút gọn biểu thức A  13  30   Và B  4 3  12   27  3  12   4  27 Lời giải a) Ta có  2 3  3 2 B 2 2 2 2      2 4 2 42 3 3 3 3 A  13  30    13  30   13  30   1  13  30   2   43  30   1  13  30  2 53 2  53   b) Đặt a  12   4  27 ;b a b   ab   12  suy  ab   3   4   12  27     3  12   27  4  27       4 3 12  12   12   4  27  4  27    3 27  4 3 a  b3    a  b   3ab  a  b   3     a  b    a  b    a  b   a  b   a  b   3   a  b    a  b   a  b       a  b   a  0, b   Vậy B  Bài 23: HSG Tỉnh Bình Dương, năm học 2020 - 2021 Tính giá trị biểu thức M   x9  x  x   27  10  x 2020 2021 37 10  117 10  91  10 với Lời giải Ta có:  27  10  x 37 10  117 10  91  18 10    10 10    10  3   10  M   19   12020  Thay x  vào M ta được: Vậy M  với  27  10  x 3 2021       1 10   10  10   10 2021  1  12021  37 10  117 10  91  18 10 Bài 24: HSG Tỉnh Đồng Tháp, năm học 2020 - 2021 20  11 15  11  20  11 A Tính giá trị biểu Lời giải A Ta có   11   20  11 15  11  20  11     11  3 11  2  11  11   11  10 Bài 8: HSG Huyện Tiên Du, năm học 2020 - 2021 1 1 A     1 5 9  13 21  25 Chứng minh A  Cho Lời giải Ta có  A 1 1     1 5 9  13 21  25 1 5 9  13 21  25     1 59  13 21  25   1      13   21  25    1  1  25    4 Vậy A  F: SỐ HỮU TỈ SỐ VÔ TỈ Bài 1: 30 M a 2  a  0;a   a 2 Cho a) Tìm số nguyên a để M nguyên b) Tìm số hữu tỉ a để M nguyên Lời giải a) Ta có a 2  1 a 2 a 2 M a  Z  a   U     1; 2; 4  M  Z  Để Từ tìm giá trị a b) Đặt 4  2n   2n   n  an  2n   a  a  n a 2  n  n   2n 2n 0 0 n  n  2 Điều kiện n n   2n  a   n  , với n  Z , n  0, n  2 M nguyên Vậy Bài 2: a) Chứng minh số vô tỉ b) Tổng quát, a số ngun dương khơng phương a số vơ tỉ c) Tính chất: Nếu a số ngun dương khơng phương, A, B hữu tỉ A a  b  A B0 Lời giải  a Mp a, b  Z , p  P, a.Mp   b Mp *) Lưu ý: a) Gỉa sử số hữu tỉ  3 a * b với  a, b   1 ab, N   3b  a  a M3  a.a M3  a M3  a M9  3b M9  b M3  bM3 a M3   Vậy b M3 vơ lí  số vơ tỉ b) Ta phân tích Tổng quát:  a  p11 p22 pk k 1  N * , Pi  P  a  b p1 p2 pk Ta chứng minh p1 p2 pk số vô tỉ 31 p1 p2 pk Phản chứng: Giả sử số hữu tỉ  n p1 p2 pk  m  m Mp1  mMp1  p1 p2 pk  m ,  m, n  N *  ,  m, n   n  1  m Mp12  n p1 p2 pk Mp12  n p2 pk Mp1  n Mp1  n Mp1   Từ (1)(2)  vơ lí (đpcm) c) Từ giả thiết  a số vô tỉ (chứng minh ý b) Nếu A   B  (đúng) A   A a  B  a  B Q A (vơ lí)  đpcm Bài 3: Cho ba số x, y, x  y số hữu tỉ Chứng minh x ; y số hữu tỉ Lời giải Đặt 2 Mà x y m  m, n  N , n  0,  m, n   1  n y m m2 m  x  y  2 xx n n n  m m2 m  m2 x  x y  x    x  y  Q n n nn  y m  x Q n (đpcm) Bài 4: Cho a, b, c ba số hữu tỉ n nghiệm phương trình x  ax  bx  c với n số ngun dương khơng phương Tìm nghiệm lại Lời giải * Theo chứng minh trên, n  N , n khơng phương  n  I Giả thiết: n nghiệm phương trình x  ax  bx  c  n n  an  b n  c    n  b  n  an  c Nếu nb  0 n   an  c Q nb (vô lý)  n  b   an  c   c  an Vậy b  n; c  an thay vào phương trình ta có: 32 x   n x3  ax  nx   an   x  x  n   a  x  n     x  n   x  a      x  a Vậy nghiệm lại là: x   n x  a 33 G: LUYỆN TẬP CĂN THỨC Hãy lập phương trình f  x  Bài 1: 3 với hệ số nguyên có nghiệm x   Lời giải a  b Ta có:  Có Đặt  a  b3  3ab  a  b  x3    3 27     x3  12  x  x  x  12  f  x   x3  x  12 Phương trình f  x 3 có x   nghiệm Tìm GTNN biểu thức Bài 2:    A  x   x3   x3   x   Lời giải Điều kiện: x  1 Nhắc lại: Ta có:  a  b  ab , dấu “=” xảy  ab       A  x3   x3   x   x   x3    Dấu “=” xảy x3      x3      x3   x3     x3          x  1  x     x     x   x  Vậy GTNN A   1  x  Bài 3: SPHN, năm học 2016 x y  x  1;0  y  1;  1 1 x 1 y Cho x, y thỏa mãn điều kiện Tính giá trị biểu thức P  x  y  x  xy  y Lời giải Ta có giả thiết 34 x  1 y  y  1 x x y  1   x  xy  y  xy    x    y    x  y    3xy 1 x 1 y  1 x  1 y   3xy  3xy  xy  x y  xy   xy  P       xy     Từ ta có Vậy P +) Nếu +) Nếu   3xy  22  xy  3xy  2 xy  1  xy  3xy P  1 2 xy  1  3xy 3xy  P   3xy 2 Bài 4:  1  1  x3  y x  x y  y A      :   x y x  y x y  xy  ?3     Cho biểu thức với x  0; y  a) Rút gọn A b) Tìm x, y cho xy  36 A  Lời giải  1 A   :  xy x y    a) Ta có b) Theo giải thiết ta có  x y   x  y   x y xy  x  y      xy  36    1   5  y  x   xy      1  5  x y  1 6 x y xy x y Cho 1  3; 2 x y 2  8 a) Chứng minh rằng: 4a  2a   b) Tính S  a  a  a  Lời giải a) Ta có a  2 a 2  a2    4a  2a   4 a)  2.a   4a  a   2a  * b) Từ Thay vào S ta 35 1  x y 1  2; 3 x y Bài 5: a   trường hợp S  a  a   2a   a  a  2a   a     a2  a2  2   16   8 Ta chứng minh (đúng) 1  *  a   2a    2.a  a  2 Từ a0 a 2  a    a    a2 2 Vậy S  a   a  Bài 6: Chuyên Nam Định, năm học 2017          x 1   x 1  Tìm tất số tự nhiên x thỏa mãn:  x Lời giải Điều kiện x  0; x  VT  *  A  Ta có A 1 Ta có Với Do   x 1 x   x  x 1 x x 1   x 1  1 ** x 1 x   x  N  x  x    **   x   x   x  x   x   2;3; 4 Bài 7: Đại học Ngoại Ngữ - Hà Nội, năm học 2017  1 1 x   x  x 1 P    1  1 x  1 x 1 x  1 x    Cho a) Rút gọn P b) Tìm x để P 2 Lời giải 1  x  a 1 a 1 b 1 1       a, b    Q   a a b b a b 1 x 1 x a) Đặt 1  x  b 1  x   Với a  0; b  0; b   điều kiện  x      x   x  x2 1   x2 x2 1  P     1     x2 1   x2   2 1 x 1 x   36   x 1  2 1 2 2  P  1  x  1; x      x     x    x   2 2    1  x   b) Bài 8: Đại học Sư Phạm - Hà Nội, năm học 2017 1   Giả sử x, y hai số thực phận biệt thỏa mãn điều kiện x  y  xy  1 A   x  y  xy  Tính Lời giải Điều kiện xy  1 1     y  1  xy  1   x  1  xy  1   x  1  y  1 Theo giả thiết ta có x  y  xy   xy  x  y   xy  x y  x  y  xy  x  y   x y   x  y   xy  x  y    x  y     x  y 2 x  y  xy   A   xy   xy  1    Bài 9: Chuyên Sư Phạm - Hà Nội Vòng 1, năm học 2018 P a  a  2b  b2 a  b    a  a b 1  a a    Cho a) Chứng minh P  a  b   a  a  ab  a 2b b  :   2 a b ab  a  0; b  0; a  b; a  b  a  với  3 b) Tìm a, b biết P  a  b  Lời giải a) Ta có a  a  2ab  b 2   a  b  a2  a  a4   a  b  a2  a  b  b  a   P :   :   ab    a  b   a  b  a  b  a  a b a  a b  a b  1   a ab b2    a   a  b   a2  a  b  a a b b) P   a  b      a b  a b a a b b  a  b3    b  1  b3   3b  3b     b  2 Ta có: Vì b  nên b   a  Vậy a  2; b  Bài 10: Chun Tốn Bình Định, năm học 2018 - 2019 37  T a b   ab  a  b a  b3 :   a b a b a b  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức T b) Chứng tỏ T   ,   với a  b, a  0, b  Lời giải a) Ta có a  b  ab a  a b  b a  b3  a  b3 a  b  ab T :  a b a b a b a b  Vậy T b) Ta có    a b ab   a b a b    ab a  b  ab  a  b, a  0, b   ab T ab ab ab   a b   ab ab   a b  ab 1  (vì ab  0, a  b  ) Bài 11: Chuyên Toán Hà Nam, năm học 2018 - 2019   1 a 1 a 1 Q          a  a  2a  a  a   a  a      Cho biểu thức với  a  a) Rút gọn biểu thức Q b) So sánh Q Q Lời giải  1 a Q   1 a  1 a  a) Ta có  1 a     a   a 1 a   1 a    1 a  1 a    1 a   1 a 2a  1 a     1 a  1 a           a   a    1 a   1 a  1 a        a   a     1 a     1 a  1 a   1 a     1 a  1 a 2a  1 a     1 a  1 a a  a  1 1   a  a    a    a      a    a 1 a    1 a  1 a  2a 2a   a   a 1 2a  a    a   1    a  1  Do  a2    a a  Q  Q   a  1  a  1  1    Xét Vậy Q  Q Bài 12: 38 1 a  1 a   1 a ab ab  x x  x 1   x  x5  P    :     x 1 x  x    x 2 x2 x      với  a  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P x x  P    x   x3  x c) Tìm x thỏa mãn điều kiện: Lời giải Điều kiện x  0; x   x x  x 1   x  x   x  x  x 1 P    :       x x  :  x  x  x   x 1 x  x    a) Ta có  x  x 1 x 2 b) Ta có    x 1  P4    c) Ta có:   x 2  x 1 x  x 1 x     4   x 1 x4 x5    x 1 x 2  x  x 1   P  x Dấu “=” xảy x    2 x x  x   x   x  x   x  x     Chi hai vế cho x   ta thu 1 2x x 3 t x 4 x  Đặt x x  , với t  ta có: t  2t  3t     2t  1  t  1    t   2 - Với - Với t 1 t  x   x2  x   x 4 (vô nghiệm) x   x2  x     x  2   x  x 4 (thỏa mãn) Bài 13: x   x  14 1   x 3 x   x  x  với x  0; x  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P P b) Tính giá trị P x  c) Tìm giá trị x để P số tự nhiên Lời giải a) Ta có: P x  1  x 3  x  14   x 2 x3 x 2 x    x 1  x 1 x 2 39    x  14  x 1 x 2    x  11 x  14  x 1 x 2      x  1  x 2 x 7 b) Với x 2   2 x 7 x 1 x  4 x  2 P  c) Ta có P   x 1  x 1 2.2  11  1  2 x 1    P  P   3; 4;5; 6; 7 x 1 Do Vì P số nguyên nên  5         1; 2;3; 4;5  x   5; ; ; ;1  x  4; ; ; ;0   x  16; ; ; ;  x 1      16  x00   x  16; ; ; ;0   16  giá trị cần tìm Đối chiếu với điều kiện ta thấy m x  Cách khác: Để P số nguyên điều kiện cần đủ (m số nguyên dương x  ) 5m 5m m m x m 5 x  ,  0, m Ta có x  x   điều kiện m m       m   m   1; 2;3; 4;5  x  4; ; ; ;0   x  16; ; ; ;0     16    m   m  hay P Cho biểu thức a) Chứng minh Bài 14: Chuyên Nam Định, năm học 2018 - 2019  x2 x  x x 2 P x 2 x 1   x  0; x  1 x 1 x 2 x 3 x 2 b) Chứng minh x  0; x  P Lời giải  x 1  x x 2  x  1  x  2  x  1  x    x  1  a) Ta có  x  1  x  3  x  3x  x  x  x   x  x  x 3     x  1  x    x  1  x    x 1  x   x  (đpcm) P b) P  x2 x  x 2 x 1   x 1 x 2 3x  x   x 2  x 3  1 x 2 x 2 Với x  0; x  , ta có x 22 1   1 x 2 3  P x 2 Bài 15: Chuyên Nam Định, năm học 2018 - 2019 40   x  2 x 1 P x yy x xy   x y   xy x y Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P   y  x  0; y  0; x  y  Lời giải P a) Ta có  x  y x yy x xy  x y   x y   xy xy y x y  x y   x2 xy  y x y xy y x y  y x y  x y y2 yy b) Chứng minh P  Có  P   y  y   y  y 1    y 1  (luôn với y) Bài 16: Chuyên Thái Bình, năm học 2017 - 2018    x 5 A       x 1 x x  x  x 1    Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Đặt   B  x  x  A   x 1   1   , với x  0; x  x Chứng minh B  với x  0; x  Lời giải  x 5 A   x   x  1 x   a) Ta có A x với x  0; x  Vậy  b) với x  0; x  , ta có         x 1  x x  B  x  x 1 A  x x 1  x    x  1  x 1    x 1   x  x x 1  x x  x 1 x  x  x Bài 17: Chuyên Bắc Ninh vòng 2, năm học 2019 - 2020 Tính giá trị biểu thức A x  x3  3x  38 x  x   x2  x  Lời giải x    x     x  2   x2  x   Ta có Có x2  4x   x2  4x    ; x  x3  x  38 x    x  x3  x    x  x  x    10 x  40 x  10    5  A  Bài 18: Phát triển đề tuyển sinh vào 10 TPHN 41 5 x x  24 B   x  0; x   x  x  x  Cho hai biểu thức a) Tính giá trị biểu thức A x  25 A b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm x nguyên để P  AB nguyên d) Tìm GLLN P e) Tìm x để P nguyên Lời giải a) Tính b) Rút gọn c) Ta có 13 A x x  24   x 9 x 3 B P  AB  x 8  x 8 x 3 x 8 x 3 x 3 x  Z  x  U    P  Z  Vì Mà x    x    x  16  tm  Với x  16  P   Z d) Vì x 3 3 7  x  3 , dấu “=” xảy  x  P   P  , PZ   P  e) Dễ thấy +) Với +) Với P    x   x   x  16  tm  P272   x 3  x   tm  1  x   ;16    P nguyên Vậy Bài 19: Chuyên Ngữ, năm 2014  x  x  x  x 1    A    :3     x 1   x 2 x 1  x x 8 Cho a) Rút gọn A b) Tìm x để A  42 c) Tìm x để A  Lời giải Điều kiện xác định: 3 Ta có +) +)   x  x 1  x 1 x 2  A Ta có x 1   x2 x 4  x x 8 x3  x 2   x 1  x 1  x 2    x  2  0 x 1 x 1  x 1 x   x 1    x  3 x 2   x 1 x3 x 1 x 1   x 1 x2 x 4   x 2 x  0; x  1; x  4;3   x 2 x2 x 4  x  x  x  x 1    x 1 x 2 x x 8   x 2 x 1 x 1  x 1 x 3  x 2   x 1  x 2   x 1  x  3  x 1  x 1 *) Chú ý: Muốn biết kết hay sai ta thay vài giá trị x vào biểu thức ban đầu biểu thức rút gọn, hai kết kết rút gọn 99,99% A0 b)  x 1  x 1 03     x   x    x    x  Vậy x  1; x  3; x  A 1  c)  x 1  x 1 1  x 1  x 1 1   x 1 x  3   x     x x    1 x   x 1  x 20 x 1      +) TH1:  x   x     x   x    +) TH2:  vô nghiệm Vậy  x  x  A  43  x 1 0 42 x   x 1 0  x 2 0 x 1 44 ... 20 21 Rút gọn biểu thức N 1  11  1    11  21 21  31 2 011  20 21 Lời giải Ta có : N  1  11  1    11  21 21  31 2 011  20 21 11  21  11 31  21 20 21  2 011 20 21       10 10 ... 20 21 20  11 15  11  20  11 A Tính giá trị biểu Lời giải A Ta có   11   20  11 15  11  20  11     11  3 11  2  11  11   11  10   11      11   11   11    11 ... 11  13   11  13  Lời giải Ta có  +  11  13   11  13  7    +  11  13      11  13  7  11  13   11  13  17    7  11  13  11 .13  17  11 .13 7  11  13