ĐS9 cđ1 rút gọn BIỂU THỨC và câu hỏi PHỤ 44

DẠNG 5: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN A Kiến thức cần nhớ P  x Xét toán: Cho biểu thức a) Rút gọn   b) Tìm GTNN, GTLN P biểu thức có liên quan đến P P x Ví dụ: Tìm Min (max) Giải tốn - Tìm Tập xác định - Rút gọn P  x  1 P  x  P x m P x m - Chỉ số m cho   (hoặc   ) P x m Chi x0 cho   Chú ý: Với số thực A, B  - A0 - A  B  AB (bất đẳng thức AM  GM ) Dấu “=” xảy A  B - A2  B  C  D   A  B  A C  B C   A2  B  ,  A  B    A3  B3  B Bài tập , với số thực A, B, C , D  , với A, B  Bài 1: Chuyên Lê Hồng Phong, năm 2018   x 1 1 x   P x   :  x   x x x    Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị x để biểu thức P có nghĩa Chứng minh P  Lời giải a) Điều kiện: x  0; x  Ta có   x 1  x  x   P x  :  :  x   x x x  x    P  x 1   x 1 x x b) Với x  0; x  Ta có  P  x 1 x  x 4 x Dấu “=” xảy  x   x  1   x 1 1 x  x 1  x 1 x x : x x x 1   Do x  nên P  (đpcm) Bài 2: Chuyên Hưng Yên, năm 2017 P x 1 x 1   x  0; x  1 x 1 x 1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P  A b) Tìm GTNN biểu thức  x   x  1 P Lời giải a) b) P x 1 x 1 x    x  0; x  1 x 1 x 1 x 1 A   x   x  1 x 2 x x 1       x 4  x4 x  2 x    8 Dấu “=” xảy  x    x   x  (thỏa mãn) Bài 3: Học sinh giỏi huyện Cầu Giấy, năm học 2019 - 2020  2x x  x  x x  x  x 1 x P      x 1  x x 1   2x  x 1 x 1 Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa rút gọn P b) Tìm GTNN biểu thức P Lời giải   x  x    x x  x x 1     x   x 1    2 x  x   2  x   2 2 x        x  a) Điều kiện x    x  x     x   x    x  x  x 1     Ta có  P     P   2x x  x  x      x 1 x  x  x         x 1 x  x       x 1 x  x 1  x 1 x  x 1     2  2x x  x  x      x 1 x 1 x   x    x   x  x 1    2  x 1  x 1      x  x   x 1 x  x   x 1 x 1  x x 2 x         x 1 x  x x 1 x x x 2 x x x x      x 1 x 1 x 1 x  x  x 1 x 1 x  x 1 x  x      x x x  x  11   1 x  x 1 x  x 1 x  x 1 P b) Ta có  P đạt GTNN x  x  đạt GTLN  x  x  đạt GTNN Lại có x  0; x  1; x   x  x 1   Giá trị nhỏ x  x    x   Giá trị nhỏ P   x  Vậy với x  P có giá trị nhỏ Bài 4: Học sinh giỏi huyện Quan Sơn, năm học 2019 - 2020 x x  2x  x  x x  2x  x   x x  x  x x 3 x  Cho biểu thức a) Rút gọn P Với giá trị x P  P b) Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn Lời giải P a) Ta có     x 1 x x  2x  x  x x  2x  x    x x 3 x 2 x x 3 x 2    x 1    x  1  x 1  b) Ta có P x 1  x 1  x 1  x 1    x 1    x 1  x 1     x  2  x 1   x 1  x 1  x  1  x  2  x   x  1   x   x  1  x 1 x 1 x 1  x 1 x 1  2x  x 1 2x   2x  2  4   2 x 1 x 1 x 1 P có giá trị lớn 2 x  có giá trị lớn  x  số nguyên dương nhỏ  x 1   x  Bài 5: Học sinh giỏi huyện Cẩm Thủy Thanh Hóa Vòng 2, năm học 2019 - 2020  x x  2 2 x  P    :      x 1 x 1   x x x  x  Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P Lời giải a) Điều kiện x  0; x  Ta có:    x x  2 2 x  P    :      x 1 x 1   x x x  x  x2 x  x 1 b) Có  x 1 x   x 1 x2 x  P  x x 1 1   x 1 x 1 x 1 P  x 1 x 1  Dấu “=” xảy x      x 1  x x 1   x : x 1 x 1 x x 1     x x 1  x 1 x 1  22 x 1 x  1 24 x 1  x 1   x   tm  x 1      x   1  x   loai   Vậy Pmin   x  Bài 6: Học sinh giỏi huyện Đan Phượng, năm học 2018 - 2019 P x x  26 x  19 x x 3   x2 x 3 x 1 x 3 Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P Lời giải a) Điều kiện x  0; x  P Ta có  x x  26 x  19   x 1 x 3    x x  26 x  19  x  x  x  x   b) Ta có Vậy P  x 1   x x  x x  26 x  19  x  x    x 1 x 3 x 1 x 3 x 3    x x  x  16 x  16   x 1 x 3 x  16 25 25  x 3  x 3 6  x 3 x 3 x 3 Pmin   x  4        x  1  x 3 x   x  16   x 3 x 3    x  16 x 3 25   10   x 3 Bài 7: Học sinh giỏi Tỉnh Lạng Sơn, 23/03/2019 A x x 3   x 1 x 3    x 3 x 1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x 3 x 3 , với x  0; x  Lời giải A a) Ta có   x x 3  x 1 x x  3x  x  24   x 1 b) Ta có x 3 A  x 3      x 3 x 1   x  1  x   x  8 x 3    x 3  x 3 x x 3     x  3  x  1  x  3 x 3   x 1 x 8 x 1 x8  x 1 2 x 1 x 1 x   0, x  0; x  nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có Vì A  x 1 2 x 1 Đẳng thức xảy   2  x 1 x 1  x 1   x4 x 1 (thỏa mãn) Vậy Amin  x  Bài 8: Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình, 23/03/2019 A x 1     x 1 x  x 1 Cho biểu thức Rút gọn tìm giá trị lớn A  x  x 1 , với x  Lời giải  x 1 A Ta có Ta có Và     x 1 x  x 1  x  x 1   x    x  x 1 x x 1 x   x 1 x x 1 x x  x 1  1   x  x    x     0, x  2     x  0, x   x   0, x   x  x   0, x   x  x   x , x   x  1, x  x  x 1  A  1, x  A   x  Vậy giá trị lớn A x  Bài 9: Đại học Ngoaị Ngữ hà nội, năm học 2010 Cho biểu thức a) Rút gọn P x 1 : x x  x  x x  x Q  x  x  15 P b) Với giá trị x  Q  P  đạt GTNN Lời giải a) Điều kiện x  0; x  P  Ta có b)     x  x  x  1 x 1 x x x 1  x 1    x 1 x 1 x  x 1 x  x 1  Q  P   x  x  15   x  1  x  x  x  19   x4  x  16    x  x      x     x        1  1 2  x2     x2 x2 0  Dấu “=” xảy Vậy x  Bài 10: Chuyên Hưng Yên, năm học 2018-2019 A x 1 1 : x x  x  x  x  x B  x  x  x  2025 với x  0; x  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để biểu thức T  B  A đạt giá trị nhỏ Lời giải A a) Ta có x 1 1 :  x x  x  x x  x  x 1  x x  x 1  x 1 x  x 1 2 b) T  B  A  x  x  8x  2025  x  x   x  x  x  2023   x  x  16    x  x    2003   x     x    2003  2003, x 2 Vậy Tmin  2003  x  Bài 11: Chuyên Thái Bình, năm học 2018-2019   x 1 x 1 x4   P  1:  x  0; x  1; x   x  x  2 x  x    Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x cho P  2019 c) Với x  5, tìm GTNN T  P 10 x Lời giải  P   a) Ta có    x  1  x 2   1   x  2  x 2  x 1 x 1 x 1  x 1  x 1    x 1  x 1 b) P  2019  x   2019  x  505 (thỏa mãn) c) T  P 10 10 10 x 18  10 x  18 x  x       1     21 x x x 5  x  (do x  5, áp dụng Cơsi) Vậy T có giá trị nhỏ 21 x  Bài 12: Chuyên Toán Hà Nam, năm học 2019-2020 A x  24  x  x 2 x 2  :    x  x   x  3 x x  x  6 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ , với x  0; x  4; x  Lời giải  x  24  A : x x 2   a) Ta có A A b)   A     : x 2   x  24 x 1 x 3    x 3   x 2    x 2  x  2   x 3  x 2   x 9  x   x  2      :   x 2 x 2 x 3   x  24 x 1         x  24 x 1 x 3   x 3 x 2    x  24 x   25 25 25   x 1  x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số ta có  Do A  , đẳng thức xảy  x 1 25  10 x 1 x   25  x    x  16 Vậy giá trị nhỏ A 8, đạt x  16 Bài 13: Chuyên Phú Yên, năm học 2019-2020  x 3 x 2 x 2   x2  A     :  1    x  3 x x  x    x  x   Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A P  2A  x đạt giá trị lớn b) Tìm x để Lời giải a) Điều kiện x  0; x  4; x  x 3 x 2 x 2    x  3 x x 5 x 6 Ta có  x 3    x 3   x 2 x 2   x 3 x 2   x 2 3 x   x 2  x 3   x 2 Do : x 2  x   x 1 x 2   x 2  x 3    x    x  4   x  2   x    x  3 x2 x x 2 x2 x 1    x x 2 x x 2 x x 2 A x 2 x   x 1 x 2 x 2  x 1 x  2 x 2   P   2    1   1 x 1 x x x x  x  b) Ta có , dấu “=” xảy x Vậy Pmax   x  Bài 14: Chuyên Quảng Ngãi, năm học 2019-2020 x  x x  x2  x P   x x  x x x  x , với x  0; x  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị lớn A Lời giải P a) Ta có 2x   x   x   x  x x  1  x  x   x x  1 x  x  1 x 1 x  x  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có x   P  22 x x 2 x Dấu “=” xảy x (thỏa mãn điều kiện) Bài 15: Chuyên Quảng Ninh, năm học 2019-2020 4 x  x  x 1 x 1   x3 x 2 x 1 x  , với x  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị lớn A A Lời giải A a) Ta có b) A Do 4 x  x   x3 x 2    x  1  x 1    x  1  x    x  1  x 2 1 x  5  x 1 x  Với x  ta có A  5    1 x   x  2  x  1  x 1 x 2 x 2    1 6 x 1 x   nên   Amax   x  x 1 Bài 16: Chun Thái Bình vịng 1, năm học 2019-2020  1  xy  x  y   xy P     xy x y  x x  y y   Cho biểu thức , với x  0; y  a) Rút gọn biểu thức P b) Biết xy  16 Tìm giá trị nhỏ P Lời giải a) Ta có    1  xy  x  y   xy xy  x  y P      xy x y  x x  y y xy   x y xy  xy  x y   xy x  y  xy x y x y  xy  x y xy , với x  0; y  b) Áp dụng bất đẳng thức Cachy, ta có: x y 2 xy  16   P  1 16 Dấu “=” xảy  x  y  Vậy Pmin  x  y  Bài 17: Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa, năm học 2013 - 2014  x 1 xy  x   xy  x x 1  A   1: 1     xy  1  xy   xy  xy      Cho biểu thức , với x  0; y  x x 1 a) Rút gọn biểu thức A 1  6 x y b) Cho Tìm giá trị lớn A Lời giải A       xy  1    xy  1   xy  x  1  xy  xy  x a) Ta có :      xy  1  xy     xy  x   xy  1  xy   x  1  xy    xy  x   xy  1   xy  1   xy  1   xy    xy  x   xy  1   x  1   x  1  xy  6 Theo bất đẳng thức Cơsi ta có  Dấu “=” xảy Vậy   xy    xy  1  xy 1  2 x y    1 x  xy  x y  xy xy 1  9 xy xy 1   x y x y Amax   x  y  Bài 18: SPHN, năm 2015  a b  1   b  a  1 a  b    P 2 a b a b     b a  b a  , với a  0,b  0;a  Cho P ab a) Chứng minh b) Giả sử a, b thay đổi thỏa mãn 4a  b  ab  Tìm GTNN P Lời giải a  b  ab a  b  2ab  a b  1  TS          b a a b a b a 2b2     a) Ta có    a  2a 2b  b  ab a  b  2a 2b MS  3 ab   a  b  ab a  b 3 ab a b  a b  a  b  a 3b  b3a      b2 a  b a  a 2b 10   xy Vậy P ab b) Ta có:  4a  b  4ab  AM  GM   4a  b  ab  ab   ab  ab   25 ab Vậy P  25  a  4a  b  ab   10    4a  b b   Dấu ‘=” xảy Bài 19: HSG Tỉnh Hà Nam, năm 2020 - 2021  x2 x x x x 6 x 1 x  39 Q       x  x   x  x  x  10  x4 Cho , với x  0; x  1; x  4) a) Rút gọn Q b) Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Với x  0; x  1; x  ta có:  x 2 x x  x x 6 x 1  x  39 Q       x  x   x  x  x  10  x4            x    x 2  x 2 x   x 2     x 2  x  1 x  1   x  1  x  1 x 1  x  39   x 2 x  39 x 5   x  2    x  2  x  5 x  x  1  x  x x    x  1  x   x  39  x    x  1  x  2  x  5 x 2 x x  x x x 6 x3 x 2    x 2 x x x4 x 4   x 1  x x x 6 x 1   x  1   x    x  1   x    x 1   x x x 6 x 2 x  39   x 2 x  39  x 2 x 5 x  39  x 2 x 5 x 5   x  39 x 5 11   1   ab 25 Vậy với x  0; x  1; x  x  39  x 5 x  b) Ta có Q x  39 x 5 64 64  x 5  10  x 5 x 5   x 5   x  x    x  "  " Dấu xảy   x 5 64  10  x 5 64 x 5  x9 Vậy MinQ   x  Bài 20: HSG Quận Nam Từ Liêm, năm 2020 - 2021  1  1  x3  y x  x y  y A       :   x  x  y x y  y xy  x y     Cho , với x  0, y  a) Rút gọn biểu thức A b) Cho x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Lời giải a) Rút gọn biểu thức A  1  1  x3  y x  x y  y A       :  y xy  x y  x  x  y x y  với x  0, y   x y x y   :  xy  xy x y    x y x   :   xy  xy    xy  x  y : xy    x y xy        x y y xy  x  y  x y   x3  x y  y x  y3 xy  y  x  x y    x  y xy  x  y  xy  x  y  x y   x  y x y xy A Vậy x y xy với x  0, y  b) Cho x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 12  Với x  0, y  ta có: A x y xy  Áp dụng bất đẳng thức Cô- Si ta có: xy  Mặt khác: 1  2 x y x y 1  2   2 xy 1  2 x y Hay 1  x y 1 2 x y 1 2 x y xy 1   2 xy  xy x  y  x y2 x  y  A   “  ” Do đó: Dấu xảy Vậy MinA  x  y  Bài 21: HSG Huyện Chương Mỹ, năm 2020 - 2021 x 1 x 3 7 x  x    x  x x  x  , với x  0; x  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P P b) Tính giá trị biểu thức P x  21  48  21  48 c) Tìm tất giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm giá trị nhỏ Q  P x  x  12 x Lời giải 1) Rút gọn biểu thức P P x 1 x 3  x  x   3 x 2 x x  x   ( x  1)( x  2)  ( x  3)( x  3)  (7  x  x) ( x  2)( x  3)  x 3 x  2 x97 x  x ( x  2)( x  3)  x4 x 4 ( x  2)   ( x  2)( x  3) ( x  2)( x  3) Vậy với x  v x  t hì P x 2 x 3 x 2 x 3 2) Tính giá trị biểu thức P x  21  48  21  48 Ta có: x  21  3.4  21  3.4  (2  3)  (2  3) 13  3  3  (tmđk x  x  ) Thay x  v biểu thức P, ta có: Vậy P  12   3 x  21  48  21  48 P 12  3) Tìm tất giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên  P Ta có: x 3  x 2 x 25  1 x 2 x 2 x  nguyên  5M x   x   Ö (5)   1; 5  P nguyên  Bảng tìm x x 2 -1 1 Tmđk x x Nhận định Với x   1;9; 49 Ta có: Q Tmđk -5 -3  49 Tmđk P có giá trị nguyên 4) Tìm giá trị nhỏ Q  x 2 x 3  Q  P  x 4 x  x  12 x x 3 x    x 2 x 4  x x6 x 8    x 6  x   x x  x Q2 x 6  6 x Dấu “=” xảy x  (tmđk) Vậy GTNN của: Q   x  Bài 22: HSG Huyện Ứng Hòa, năm 2020 - 2021 P x 1 x2 x 1   x 1 x x 1 x  x 1  x  0, x  1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị lớn biểu thức Q  x P 3 c) Tính giá trị P cho x   50   50 Lời giải 14 1) Rút gọn P x 1 x2 x 1   x 1 x x 1 x  x  P  x 1 P P P 2)  x  x2    x  0, x  1   x 1 x  x   x    x  2      x 1  x 1 x  x 1  x 1 x 1 x  x   x  1 x  1  x  1  x  x  1 x  x  x   x 1 x   x x  x 1 Q 2x  x  x x2 x 2  x   P  x  x  x   Q   x   2 x   x Theo BĐT Cauchy ta có Nên Suy x 2 x 2 2 2 x  max Q   2   x dấu "=" xảy  x2 x 3 3) Từ x   50   50 3 Ta có x   50   50  x  50  x  3x  14    x    x  x     x  ( Do x  x   ) Thay x  ( Thỏa ĐKXĐ ), ta tính P  3 Bài 23: HSG Huyện Vĩnh Lộc, năm 2019 - 2020 A x 1 x 3 10  x   x 3 2 x x 5 x 6 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x cho A  B c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B biết Lời giải 15 x  x  20 A  x 2  a) Điều kiện xác định: x  0; x  4; x  Khi đó: A  x 1 x 3 10  x x 1 x 3      x 3  x x 5 x 6 x 3 x 2 2  x 1 b) Để   x 2   x 3 x 3   x 2  x   10  x  x 1 x 1   2 0 x 2 x 2 A2   10  x x 3  x 2    x  3  x    x2 x 3   x  3  x 1  x  2 x 3 x 1 x 2 x 5 0 x 2  x    x   x  25    x  25   x  x   x      TH1: Khi   x    x  0  x  25   0 x4   x  x   x      TH2: Khi  Đối chiếu với điều kiện xác định ban đầu ta giá trị cần tìm x là:  x  x  25 c) Ta có: B xác định x  0; x  4; x  B x  x  20 A   x 5 x 2   x  x  x  20 x  x  20  x 1 x 2 x 1 25 25  x 1 6 x 1 x 1 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số x  25 x  , ta 25 25 25  2.5  x    10  x   6   B  x 1 x 1 x 1 25 x 1   x    x   x  16 x 1 Dấu “=” xảy khi: (t/m) x 1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức B là: MinB  x  16 16 ... x y  y xy  x y     Cho , với x  0, y  a) Rút gọn biểu thức A b) Cho x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Lời giải a) Rút gọn biểu thức A  1  1  x3  y x  x y  y A      ... 1 x  x 1  x  0, x  1 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị lớn biểu thức Q  x P 3 c) Tính giá trị P cho x   50   50 Lời giải 14 1) Rút gọn P x 1 x2 x 1   x 1... Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P P b) Tính giá trị biểu thức P x  21  48  21  48 c) Tìm tất giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm giá trị nhỏ Q  P x  x  12 x Lời giải 1) Rút