ĐS9 cđ1 rút gọn BIỂU THỨC và câu hỏi PHỤ 33

DẠNG 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức cần nhớ P x Xét toán: Cho biểu thức   P x a) Rút gọn   P x m P x  Q  x b) Tìm giá trị x cho   (m số)   Giải toán a) Rút gọn P x - Đặt điều kiện để   có nghĩa P x - Thực rút gọn   b) Tìm x : Giải bất phương phương trình - Kiểm tra điều kiện kết luận B Bài tập Bài 1:  x x 3 x  10  x 7 A     :    x  x  x  x x 8  x  x  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x cho A  Lời giải a) Điều kiện x  x  Đặt A  B : C    x  2  x  x  4  x  2 x  16 B   x  2  x  x  4 x  x  4  x  2  A  B:C  B b)   x x  x    x  3 A2   x   x  10 x x  x  x  x x  x  x   x  10   x 2 x2 x 4 x 7 x 2 x 7  24    x 2 2  x 7   0  x     x  Vậy  x  Bài 2:   x 4   x 2 x   P  :     x x 2 x 2  x x 2    Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P    x 2  x 7  x 3     x P  x  m b) Tìm m để có x thỏa mãn Lời giải    x 4   x 2 x  P  :      x x 2 x 2  x x 2 x    a) Ta có x   Điều kiện:  x   P b)  x  1   x 1  4 :   x 1 x 2  : x  4 x 2  1 x  x  x  2 x  P    x    x    x x 2 Theo đầu  x  x  m  x  x   m Nhận thấy x   x  x    m   m  1 5  x  x  1 m   x     m  x   m  x  m  2 4  Ngược lại với m   1   x   m   2   Vậy m  giá trị cần tìm Bài 3: Học sinh giỏi huyện Triệu Phong, năm học 2019 - 2020  B x y   x y x xy y      x y x x  y y  x  y  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức B b) So sánh B B Lời giải a) Điều kiện x, y  0; x  y B Ta có     x y     x  xy  y   x y   x y  x y x y    x y x   x  xy  y   y  x  y    x  xy  y  x  y x  xy  y  x  xy  y  x  y      x  xy  y  x  y  x  xy  y x y x y x y x  xy  y xy x y  xy x  xy  y  y  3y x  xy  y   x    0, x, y     x, y   xy    b) Vì nên B  với x, y thỏa mãn điều kiện cho  x y    x  y  xy  xy  Lại có: Dấu “=” khơng xảy x  y xy 1    x  y  xy xy x  y  xy xy xy 1 Vậy  B   B  B Bài 4: Học sinh giỏi huyện Thường Tín, năm học 2019 - 2020   2x  x 1 2x x  x  x   P    :   1 x x    x 1 x x   Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P  Lời giải a) Điều kiện P có nghĩa x  0; x      x2 x 1          x x 1 x 1 x 1   x  x 1 P :   1 x x   1 x 1 x 1 x 1 x  x    Ta có      x 1  2  P :  1 x x   1 x     P b)  Vì đẳng thức xảy Vậy P       x 1  x 1 1 x  x  x  :  1 x  x  1 x x 1 x 1 x  x x  1 x  x   x 1  x x         x 1  x (bất đẳng thức Côsi)  x  x 1 x (không thỏa mãn điều kiện) Bài 5: Học sinh giỏi huyện Ba Vì, năm học 2019 - 2020  8x x3 3x  P  1 :    x  x   x  x x  12 x   Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P  0; P  c) Tìm giá trị x để P  Lời giải a) Điều kiện: x  2; x  3; x  0; x  P x4 Rút gọn b) P   x  4 (thỏa mãn) P   x  (không thỏa mãn điều kiện) c) P   x    x  4 x  2; x  3; x  0; x  Bài 6: Học sinh giỏi huyện Ba Thước, năm học 2019 - 2020  2x 1  x x4  P     x  x  4; x    x x 1 x  x 1  x 2  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P x   Lời giải a) Ta có   2x 1  x x4   P    x      x 2   x x 1 x  x 1       2x 1 x x 1   x  P  x 1 x  x 1       P   P  x  x 1 x  x 1    x  x 1   x 1     x 2 P x 1       x 1 x  x     x   x x  2x  x      x  x    x 2   x    x  4    x 2   x 2 x x 2 2x   x    x  4    x 2   x 2  x 2  x    x  x 1     x   x   b) Ta có Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn tốn Bài 7: Chun Cao Bằng vịng 2, năm học 2019 - 2020    x x p     : 1  x    x  x x  x  x      , với x  0; x  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x để P  Lời giải x    x 1 x x  x  x 1 x 1 a) Ta có -  x 1 Vậy b)  P P 1 - TH1: x  x 1    x 1 x 1 x  x 1  x 1  x  x 1 ;1   x 1 x x 1 x  x 1 x 1 x 1 2 x 1 0 x 1 x 1   x   x  x    1 x   x   x    x  x    x   x     x   x  - TH2:  x   (vô lý) Vậy giá trị x cần tìm  x  Bài 8: Chun Tốn Ninh Bình, năm học 2019 - 2020 Với x  0, xét hai biểu thức A 2 x x 3 x 9 B  x x x  x Tìm tất giá trị x để A  B Lời giải B Ta có x 3 x 9 x 9 x 9 x2 x x 2     x x3 x x 3 x x3 x x x 3     A 2 x 2 x   :   x x 3 Với x  , ta có B 81  x 90 x x 3   x 9 5 x x (vì x  0, x  ) Bài 9: HSG Tỉnh Yên Bái, năm học 2020 - 2021 B Cho biểu thức    x3  x   x    x  :   x    x    1 x  1 x   x    Với x  0; x  Chứng minh 1  M  x  B    2  Lời giải 2) Với x  0; x  , ta có: B x  1 x 1 x B     x  1 x  : 1 x  x  x 1 x  x  x    1 x B  x  1 x 1 x        2 :  1 x 1 x    x  1 x :  1 x 1 x B    x  x  x   1 x 1 x  x      :  x  x     1 x 1 x    B x 1 x 1  M  x  B    2  * Chứng minh (Với x  0; x  )     M  x  x    M  x x   x  M   x x     M  x  B   1 x   1 x 21 x     Ta có:  x   x x 1  x 1   21 x   x  1  Với x  0, x  ta có:  Vậy: Với x  0, x  M     0 M 0 Bài 10: HSG Huyện Hoài Đức, năm học 2019 - 2020  x3 x 2 x x  1   :   x 1   x 1 x 1 x 2 x 1  , với x  0; x   P   Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P     x  24 b) Tính giá trị P với 3 2 3 2  24 3 2 3 2 x 1  1 c) Với giá trị x P Lời giải a) Với x  0; x  ta có   x3 x 2 x x  1   P  :    x 2 x 1   x 1 x 1  x 1    x 2 x 1 x x 1   x 1  :     x 2 x 1 x 1 x 1   x 1 x 1     x 1 x  x    :   x 1  x 1 x 1  x 1                         x 1 x  1  x 1 x x 1 x Vậy với x  0; x  b) Ta có P x 1 x     x 1   x 1  x 1  3 2 3 2 x  24  24  x  24 32 3 2 x2   1  2 1  1     1 1  24     1 1 2 1 2 1  x2 1 1 2 1 x2   2 1    1 x2    1   x  2 22 2  x  Thay x  (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức P ta Vậy với c) Ta có x  24 x 1 x x 1  1  1  8 x 1 x 1 x 16 x  x  x   x     x  3   x  1 Với  0  x 3   x 3  0 x  x    x 1 0  x 1 x  0, x   x    mà  x 1 1 1   2 4 3 2 3 2  24 P 3 2  2 x 1  1 P  P  0  x 1    x 3     x 3   x 1 0  x 1 0 x 1  1 Dấu “=” xảy  x    x   x  (tmđk) Vậy để P x  Bài 11: HSG Tân Kỳ, năm học 2018 - 2019  3x  16x  x 1 x  7  x  A    : 2    x x     x  x  x      Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định A x 27  10  A b) Tính giá trị c) Cho P x2 x2 A Tìm x để P  Lời giải a) ĐKXĐ x  0; x  1; x   1  3x  16x  x 1 x  7  x  A    : 2   x x     x  x  x          x  1   3x  x  A    x  x    A  x 1   x  3  x 1  x  1  x      x    x 1 x   :    x 1 x  1 x3       3x  x  7 x  1 x  10 x  21 x   x : x 1 x 1 x  A   A    x  x  27  x  3  x  3  x 1 x2 :  x  9 x  1 x3  x 1 x 1 x2 x9  x2 b) Ta thấy x 27 54  14 49  2.7      10  7 5     7 5 7 1  x  (Thỏa mãn ĐKXĐ) Thay x  vào biểu thức A , ta tính c) ĐKXĐ x  0; x  1; x  Ta có: P x2 x2 P  0 A  x9 x2 x2 x9 x2  A 9 9  3  6 3 x9 x2  0 x  9 Khi đó, ( x   0)   x  81 Kết hợp với ĐKXĐ ta  x  81; x  1; x  P  x2 BÀI 4: RÚT GỌN VÀ TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIỂU THỨC Phương pháp: B C với A, B số nguyên, C nhận giá trị nguyên vô tỷ P + Đối với biểu thức nhận giá trị nguyên C số nguyên C ước số B P  A B C với A, B số hữu tỷ, C nhận giá trị thực Ta thường tìm cách + Đối với biểu thức đanh giá P , tức chặn P theo kiểu M  P  N từ suy giá trị P Hoặc tìm điều kiện P để tồn biến x, y, thỏa mãn yêu cầu tốn từ suy giá trị ngun P  A P - Đối với toán tổng hợp học sinh cần ý điều kiện ban đầu để loại giá trị không thỏa mãn Bài 1: Học sinh giỏi huyện Đan Phượng, năm học 2019 - 2020 x x x9 x B  x  với x  0; x  4; x  x  x 3 Cho biểu thức a) Tính giá trị biểu thức A x  100 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M  A : B có giá trị nguyên A Lời giải a) Điều kiện x  0; x  4; x  Khi x  100 (thỏa mãn điều kiện) b) B c) Ta có x x9 x x   x 9 x 3 M  A: B  Để M nguyên  A 10 10   10   x 3  x 9 x x9  x3 x  x9 x x 3 x x 3 x 3 x 25    1 x 2 x x 2 x 2 x 2 x  U  5 x   2  x    1;1;5  x   1;3; 7  x   1;9; 49 Bài 2: Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa, năm học 2017 - 2018 x2 x x 1  2x  x   , x x 1 x x  x  x x2  x Cho biểu thức với x  0; x  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên P P    x    x 1  x  x  1  x  x  1 x x2 x  a) Ta có  Lời giải x 1 x 1  x   x x x 2     x  2  x   x  1  x  x  1 x  x  x 1 Ta có điều kiện x  0; x   x  x   x     P  x 2 x 2   1 2 x  x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x  x  P Do nguyên nên (loại) Vậy khơng có giá trị x để P ngun  P 1 Bài 3: Học sinh giỏi Tỉnh Điện Biên, năm học 2018 - 2019  x    P    :      x 1   x 1 x x  x  x 1  Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để Q  x  P nhận giá trị nguyên Lời giải  x 1 x    x  0; x   P   :     x    x   x  1 x  a) Điều kiện   x 1 x   x 1    :    x     x  1 x     x 1 x  x 1 x  x 1 1  x 1 Q x P x         x  1    x   x       x    x          x 1   x 1    x x 1 x x x 1    x 1 x 1 x 1 x 1  x   tm   x 1     x   1  x  2  loai  b) Để Q  Z x  ước Vậy x  Q  Z 10 Bài 4: Chuyên Điện Biên, năm học 2018 - 2019 x 2 x  3x  x    ,  x  0; x  25  x 1  x x  x  P Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P Tìm số thực x để P  2 b) Tìm số tự nhiên x số phương cho P số nguyên Lời giải a) Ta có x 2 x  3x  x  x 2    x 1  x x  x  x 5 P P  2    x 5 x 2 x 2  2   0 x 5 x 5  x  12 - Với x    x  25 - Với x  12  x  144 b) Ta có x số phương nên x   5 x 2  1   Z  x    1;1;7  x   16;36;144 x 5 x 5 P Khi x  N Bài 5: Chuyên Bắc Giang, năm học 2018 - 2019  x4 x 4 x x   1  A    :   x  0; x  1     x 1 1 x   x x  x     Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A A b) Có giá trị nguyên x để  2018 2018 Lời giải a) Ta có  +)   x 2  x 1  x 2 x      x 1  x 1  x 1 x 2 x   x 1 x 1 x 1 1   x 1 1 x  A b) x4 x 4 x x   1 x x x 2 A  :   x 1  x  x 1 x  x 1  x 1    x 1  x 1   x 1 x  x 1 x 1  x  0; x  1 x  2018 1 1  1 1    x  2018   x  2018 2018 x 2018 x 2018 x   2;3; ; 2018 Vì x  0; x  x nguyên nên Vậy có 2017 giá trị ngyên x thỏa mãn toán 11 Bài 6: Chuyên Toán Cần Thơ, năm học 2018 - 2019 x   x  1  x   x  1   1    x 1  x   x  1 A Cho biểu thức , x  1; x  a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức A số nguyên Lời giải a) Ta có - Nếu x  1   x 1  x     x2  x 1  x  x 1  x  x 1  x      x 1  x2  x  A 1 x   A  1 x x 1 x 2 A - Nếu b) - Nếu  x  khơng có giá trị ngun - Nếu x  x 1 A + x    x  (loại) + x    x  (thỏa mãn) Bài 7: Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa, năm học 2016 - 2017 x y xy P   x  y 1 y x y x 1 x 1 1 y Cho biểu thức với x  0; x  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x, y nguyên thỏa mãn P    x  y   x P a) Ta có   b) x    x 1  y  x 1     x  y y  xy       P   x  xy  y    x y  x 1  y 1 x 1 x  1 x   1 y  y   1 y   y  1 y      Lời giải x  y 1 x 1 y 1 y       x y   x  y  x  xy  y  xy x y yy x 1 y x  xy  y    x 1  Ta có  y   x     x   x  0;1; 2;3; 12    x  y 1 x 1 y , với x  0; y  0; y  1; x  y   x 1 y  1 y   1 y    4;0 ; 2; Thay vào P ta có cặp giá trị     thỏa mãn Bài 8: Học sinh giỏi huyện Chương Mỹ, năm học 2019 - 2020 A Cho biểu thức a) Tìm x để A  1 A b) Biết  1 x   x 2 x 2 4 x  19   19   1, tính giá trị c) Tìm giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên, A d) Tìm x để  B P  A: x 3 :  A 2 x x 3 2 x  x   x  x   x  16   x Lời giải a) Điều kiện x  0; x  A x A 1 x  , Rút gọn Kết hợp với điều kiện ta được:  x  x 1 x 2 0 x 2 0 x x 2 x 3 x 9 x  b) Tính (thỏa mãn điều kiện) 6 1 B :6  7 Thay vào biểu thức A  3 c) Ta có P  A: x 3 x   1  2 x 3 x 3 x  Z  x   0; 4;16;36  x P Để nhận giá trị nguyên , kết hợp với điều kiện ta x   0;16;36 d) A   x   x  x   x  16   x     x   x  16   x Ta có VT  5;VP  với x thuộc điều kiện xác định  dấu “=” xảy  x  Bài 9: HSG Tỉnh Lào Cai, năm học 2020 - 2021  x x 9x  x 1  x  P     : x  3x  x x  x     x  x ( x  0; x  ) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x cho P nhận giá trị số nguyên Lời giải  x x 9x  x 1  x 1 P     : x  3x  x x  x     7x  x a) Ta có 13  x (3 x  2)  2( x  1)  x  x  x ( x  1) ( x  1)(3 x  2) x 1  x 1 x x  x 1  x x 2 b) x  0, x   x   P  x 0 x 2 x 14 7      P  , x  0, x  3 x  3(3 x  2) P nhận giá trị số nguyên  P  {1; 2} P P 1 x  1 x (tmđk) P   x   x  16 (tmđk) 1  x   ;16    P nhận giá trị số nguyên Vậy Bài 10: HSG Tỉnh Bắc Giang, năm học 2020 - 2021 3x  x  x 1 x 2   x x 2 x   x ( x  0; x  ) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên A Lời giải a) Với x  0, x  , ta có: 3x  x  x 1 x 2  A A   x x 2 x  1 x  A  x x 6 x 2   x 1 Vậy với x  0, x  b) Ta có A  A A    x  2  x 2     x  2  x  1 3x  x    A x  1 x 3 x 3 x 1 x 3  1 x 1 x 1 14  x 1 x 3 x 1 x 1  x 2   Với x  ¢ , để A ¢ x    2;  1 Suy Lập bảng  x 1 ước 2 1 (loại) x 1 x x 1 x   0; 4;9 Kết hợp với điều kiện x  0, x  thỏa mãn u cầu tốn Bài 11: HSG Tỉnh Quảng Ninh, năm học 2020 - 2021 x 1 x 1 x    x 2 x  x  x  ( x  0; x  ) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A A A b) Tìm giá trị x để nhận giá trị nguyên Lời giải a) Ta có: A   5 x 1 x 1 x    x 2 x  x  x  với x  x   x 1    x 1  x 1  x 2     x 1 5x  x   x  x   x 1    x  1  x  1  x  2 x    x  2  x  1  x  A  x   x 1 x 2   7x  x  x 2  x 2 x 2 Vậy b) Với x  x  A x 2  0 Ta có 2 x  A Để nhận giá trị nguyên  A M2 A ¢ Ta có A x 2  x 2   x   12 x 2 7  x 1 12 7 x 2 Mà  A  , AM2, A ¢  A   2; 4;6 15 Với A  Với A  Với A   x 2 27 x 22 x 4 5 x 2 x  x 2 25 (thỏa mãn)  x 2   x   x 8  x   x   x  (thỏa mãn) x 2  x 2   x   x  12  x  10  x  100 (thỏa mãn) x 2 4  A x   ;4; 100  25   nhận giá trị nguyên Vậy Bài 12: HSG Tỉnh Đồng Tháp, năm học 2020 - 2021 x4 x4  x4 x4 2 16 1  x x Cho biểu thức (4  x 8) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A có giá trị nguyên A Lời giải a) Với  x  ta có A  x44 x4 4  x44 x4 4 2  4 1    x | x   |  | x   | 2  1 x   x4 2    x4 2  x 4  2 2 x4 2 x4 x x    2x  2 x4 x4 A nguyên x  ước  x   1  x   2   x   4  Suy ra:  x   8 x  x   x  Kết hợp với điều kiện ta có:  Bài 13: HSG Tỉnh Sơn La, năm học 2020 - 2021 Cho hai biểu thức A x x   11 x   B  x x 3 x 3 16 2  4 1    x b) Với  x  ta có A x 3 x  với x  0; x  1 2x 0  x x4 x  45  2021    45  2021  a) Tính giá trị A b) Rút gọn A c) TÌm tất số nguyên x để P  A.B nhận giá trị nguyên Lời giải a) Ta có: x 5(45  2021)  5(45  2021)  2(45  2021)  2(45  2021) 90  2021  90  2021  5(45  2021)(45  2021) 5(2025  2021) 180 20  Thay x  vào biểu thức B ta được:  B b) x 3 3 33   0 x 1 1 1 A x x   11 x x ( x  3)  ( x  1)( x  3)  11 x     9 x ( x  3)( x  3) x 3 x 3  x  x  x  x  x   11 x  3x  x  ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3)  x ( x  3) x  ( x  3)( x  3) x  với x  0, x  c) Ta có: P  A B   P số nguyên 3 x x 3 x 3( x  1)   3    x 1 x  x 1 x 1 x 1  x  số nguyên  3: ( x  1)  ( x  1)  Ö (3)  {1; 3} mà x   với x   x    1; 3  x {0; 4} Bài 14: HSG Quận Tây Hồ, năm học 2020 - 2021  x2 x    x  1  P    :     x  x    x  11  x  x      Cho hai biểu thức với x  2; x  11 a) Rút gọn biểu thức P c) Tìm tất số thực x để biểu thức P đạt giá trị nguyên Lời giải 1) Rút gọn biểu thức P Điều kiện xác định: Đặt x  2; x  11 x   a , a  0; a  17  a   a  a  3  a    3a   a a    3a  1  P   :  P  :            a  a   a  3a a     a    a   a   a  a  3 a  a  3  P  a  3   a   a :  a  2 a  a  3  P 3a  a  2 P x   a vào P ta được: Thay  x2 x2 2  b) Tìm số thực x để biểu thức P đạt giá trị nguyên P  3 x  x2 2   x   P    4 P P nguyên nên P   Từ Do x2  4 P 2P  4 P 3 0 P0 x   nên P  Suy P   1; 0 Do P nguyên nên Với P  1 Với P  x    x  18 x2   x  Bài 15: HSG Huyện Ba Vì, năm học 2020 - 2021 P x  x x 1 x2  x x  x 1    x x x xx x Cho hai biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P  c) Với giá trị x biểu thức P nhận giá trị nguyên Lời giải a) Rút gọn biểu thức P Điều kiện x  ; x  x x  ( x  1)( x  x  1) x  x    x  x x ( x  1) x Ta có x  x x  x  ( x  1)( x  x  1)  x  x     xx x x (1  x) x Thay vào P ta được: P x 1 x  x   x  x 1 x     2 x x x x 18 b) Chứng minh P  Ta có với x  0; x    x 1  Suy x   x x 1 x 2 2 x x Do đó, Suy P  P c) Với giá trị x biểu thức P nhận giá trị nguyên? P  40  P Ta có Do P nhận giá trị nguyên Khi P6 x 1 x  x 1 26 0 x x  x  2  ( x  2)     x   x    x    Vậy với  P nhận giá trị nguyên Bài 16: HSG Huyện Mỹ Đức, năm học 2020 - 2021  x 7  x 3 P     : x  2 x  2x  x     10 x  x Cho hai biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x  13  12  28  16  c) Cho biểu thức B x 2 x  x Tìm x để M  P.B có giá trị nguyên Lời giải  x 7  x 3 P     : x  2 x 1 2x  x     10 x  x a) Ta có 19 Với x  0, x   x 23 x 6 x 7    x  2 x 1 x  2 x 1    x 3  : x    x  2 x 1  x x 1             x 3   x  2 x 1       : x   x x 1     x x 1 x 3 x x 2 b) Ta có: x  13     3 6  x  13        (TM)  15 2 P M  P.B  c) x x 2  x 2 x x 2  Với x  0, x  ta có M  + Với + Với x 2 2 1  x 2 5  x 2 Mà dễ thấy Nên với  x 2 M 00M  M  ¢  M   1; 2 M 1   x    x  (TM) x 2 M 2 5   x    x  (TM) x 2 1  x   ;9  4  Vậy Bài 17: HSG Huyện Hưng Hà, năm học 2019 - 2020 x  x x 1 x2  x x  x 1   x x  x xx x Cho hai biểu thức (với  x  ) a) Rút gọn biểu thức P chứng minh P  Q P nhận giá trị nguyên b) Với giá trị x biểu thức P Lời giải a) Với  x  ta có: 20 x  x x 1 x2  x x  x   P   x x x xx x   x   x 1 x  x 1  x x 1 x 1  x  x  1  x 1  x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1  x x  Vậy với  x  , ta có Ta có: P x  x 1  x x 2 x   x x x  1 x   x 1  x  x 1 x x 2 x 1 2 x  2 x x x x    x 1   x x Dấu “=” xảy khi:  Vì  x  P  b) Ta có: Q P xác định  x  Chỉ P > suy P 4Q  Vì Mà   Vậy P x 2   Q 0 P 6   0Q  P P x  x 1   x  x 1  x  x  x 1  x 3     x    x 2  x 2      x     x   x 2 ; 2   21  x  1  x 1  x 1  x 1 x 1 x  x 1 x  x 1   x x x 0 x Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: x   x  0; Vì P  x x 1 x  x  x 1 x  x 1  x 1    2 (thỏa mãn) 22 ... 11  x  x      Cho hai biểu thức với x  2; x  11 a) Rút gọn biểu thức P c) Tìm tất số thực x để biểu thức P đạt giá trị nguyên Lời giải 1) Rút gọn biểu thức P Điều kiện xác định: Đặt...  x 1    x x x xx x Cho hai biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P  c) Với giá trị x biểu thức P nhận giá trị nguyên Lời giải a) Rút gọn biểu thức P Điều kiện x  ; x  x x... x B  x  với x  0; x  4; x  x  x 3 Cho biểu thức a) Tính giá trị biểu thức A x  100 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M  A : B có giá trị nguyên A Lời giải