ĐS9 cđ1 rút gọn BIỂU THỨC và câu hỏi PHỤ 22

B RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN DẠNG 1: RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIẾN Cách giải: Cần lưu ý số kiến thức sau - Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa (nếu tốn chưa cho) trước rút gọn - Kiểm tra xem giá trị biến có phù hợp với ĐKXĐ hay khơng trước thay giá trị biến vào biểu thức thu gọn x - Đơi tính x trước thay vào biểu thức rút gọn - Kết cuối biểu thức rút gọn phải có mẫu dương khử mẫu trục thức mẫu Bài 1: Cho biểu thức  a   a A = 1 − : − ÷  ÷ ÷ ÷  a +1   a +1 a a + a + a +1 a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị A A a = 2021 − 2020 Lời giải  a   a +1− a a a +1− a A = 1 − : − = : ÷  ÷ ÷  ÷ a +1 a + ( a + 1)  a +1   a +1 a a + a + a +1  ( a) Ta có Điều kiện xác định: ⇒ A = a +1 a ≥  a ≥ ⇔  a ≠  a − a + ≠ a = 2021 − 2020 = ( a ( ) ( 2020 − ⇒ A = b) Lại có A = 2020 a = 2021 − 2020 Vậy M= ) ) Bài 2: ( ) a + 2a − 3b + 3b a − 3b − 2a a + 3ab Cho biểu thức a) Tìm điều kiện a, b để M xác định rút gọn M b) Tính giá trị M ) 2020 − + = a = 1+ b = 10 + 11 Lời giải 2020 − + = 2020 a) Điều kiện xác định M= b) Ta có = (a a (  a ≥  b ≥   a + 3ab ≠ ⇔ a ) ) + 3b ≠ ( ) a + 2a − 3b + 3b a − 3b − 2a = a + 3ab )( + 3ab a − 3ab ( ( a > ⇔ b ≥ a a + 3ab ) )= 2− 2a − 3b 2a − 3ab = a + 3ab a a + 3ab ( 3b a ( )( )( ) 30 + 22 − 3b 30 + 11 30 + 22 = = = = +6 = 2+ a 1+ 1+ + 3 −1 c) Ta có ⇒M = 2− Vậy M = −2 ( 2+ 2) ) ( ) ( ) = −2 a = 1+ b = 10 + 11 Bài 3: Chuyên Quảng Ninh, năm 2017 Cho biểu thức a) Rút gọn A   x 3  A =  + + ÷ ÷ x + 1÷ ÷ x + x + x − 27    b) Tính giá trị A x = 3+ − − 29 − 12 Lời giải a) Điều kiện  x ≠   x ≠ ( ) x− +3   x 3  x + 3x + A =  + + + = = ÷ ÷ ÷ ÷ 3x x−  x + 3x + x − 27  x  x − x + 3x + ( Ta có b) Ta có ( 29 − 12 = a − b = ( ) ) ( )( ) ⇒ a = ; b = ⇒ 29 − 12 = − ⇒ − − ⇒ x − = ⇒ x = + ⇒ A = ) (2 −3 ) = 3− +3 = − Vậy A =1 x= 3+ − − 29 − 12 Bài 4: Chuyên Thừa Thiên Huế, năm 2017 x − 21x3 + 55 x − 32 x − 4012 A= x − 10 x + 20 Cho biểu thức Tính giá trị A x = 5− Lời giải Cách 1: Chia tử cho mẫu x = − ⇒ x − = ⇒ x − 10 x + 22 = Cách 2: Ta có TS = x − 21x + 55 x − 32 x − 4012 = x ( x − 10 x + 22 ) − x ( x − 10 x + 22 ) + ( x − 10 x + 22 ) − 4034 = −4034 MS = x − 10 x + 20 = −2 ⇒ A= TS = 2017 MS Bài 5: Học sinh giỏi huyện Hằng Hóa, năm 2019 - 2020 P= Cho biểu thức a) Rút gọn P 3x + x − x +1 x −2 − − x+ x −2 x +2 x −1 b) Tính giá trị biểu thức P x = 20 + 14 + 20 − 14 Lời giải a) Điều kiện P= Ta có ⇒P= ( ( x ≥ 0; x ≠ 3x + x − − )( x − 1) ( x +1 ( )= x + 2) x +2 )( ) ( ( x − 1) ( x + 2) x +1 x −1 − x +2 )( x −2 ) = 3x + x − − x + − x + ( x − 1) ( x + ) x +1 x −1 b) Ta có ( )( x = 20 + 14 + 20 − 14 ⇔ x3 = 40 + 3 20 + 14 20 − 14 )( ⇔ x3 = 40 + x ⇔ x − x − 40 = ⇔ ( x − ) ( x + x + 10 ) = ⇔ x = x + x + 10 = ( x + ) + > (vì 3 20 + 14 + 20 − 14 ) x=4 Thay vào biểu thức thu gọn ta P = Bài 6: Học sinh giỏi huyện Quan Sơn Thanh Xuân, năm 2019 - 2020 Cho biểu thức a) Rút gọn A  x −3 x +2 9− x   x −9 A =  + − ÷ ÷:  − x − ÷ ÷  2− x 3+ x x + x −6    x= 10 + ( ) −1 6+2 − b) Tính giá trị biểu thức A Lời giải  x −3 x +2 9− x   x −9 x−4 x +2 A =  + − : − = = ÷  ÷ ÷ x−9 ÷ x x x −2  2− x 3+ x x + x −6    ( a) Ta có x= 10 + ( )= ( −1 6+2 − b) Ta có A= Vậy ) ( −1) = ( ( + 1) − +1 )( +1 ) ) =2 −1 1+ − 2+ = +1 Bài 7: Học sinh giỏi Ba Đình, năm 2019 - 2020 Cho biểu thức a) Rút gọn A  x x −1 x x +1  A =  + − 4÷ : −2 ÷ x +1  x −1  x− x x= b) Tính giá trị biểu thức A ( 2+ − 2− )( 3+ − 3− ) Lời giải x > 0; x ≠ a) Điều kiện  x x −1 x x +1  1 A =  + − 4÷ : − = x + x + + x − x + − −2 ÷ x− x x − x + x x −   Ta có ( = 2x − x ( x= b) ) x −1 ( −2= ( ) −2 = x +1 x 2+ − 2− )( ) ( ) x )  4+2 −  + 6−2  ÷ ÷ 3+ − 3− =  − −  2 ÷ 2 ÷     +1 −  + −1  2 =  − − ÷ ÷ ÷ ÷= = 2 2    x=2 Thay A = vào biểu thức A ta Bài 8: Học sinh giỏi Bắc Từ Liêm, năm 2017 - 2018 1 1 A =  + ÷ +  x y  x + y + xy Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A  1  x− y +  ÷:  y÷ x+ y  x  xy xy ( ) x = + 5; y = − b) Tính giá trị biểu thức A Lời giải a) Điều kiện A= Ta có = x > 0; y > 0; x ≠ y xy x+ y ( x+ y x + y + xy xy ( b) Với x+ y ) A = xy xy x− y x + y − xy = ( x+ y x+ y = )( ) x y ) xy xy = xy x − y ta có x> y ( xy xy x− y xy x− y A= )( )  3+ 3−    mà Vậy ) ( x = + 5; y = − ( xy ) + ( 3+ 5) + ( 3− 5) − xy >0 x− y 32 − ( 5) 42 = =8 − 2.2 A= =2 Bài 9: Chuyên Bắc Ninh, năm học 2017 – 2018 (Học sinh chuyên Toán – Tin) 2x − x − P= x −2 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P Q Q= b) Tính tất giá trị x để x3 − x + x − x +2 P =Q Lời giải x ≥ 0; x ≠ a) Với b) Khi ta P = x +1 Q = x −1 với x ≥ 0; x ≠ P = Q ⇔ x + = x −1 ⇔ x − x + = ⇔ Kết hợp với điều kiện xác định ta ( ) x −1 = ⇔ x −1 = ⇔ x = +1 ⇔ x = + x = 4+2 thỏa mãn điều kiện Bài 10: Chuyên Bắc Ninh, năm học 2014 – 2015 (Học sinh chuyên Toán – Tin) P= (  1− x x  − x  x −  + x ÷ ÷ − x ÷ ÷  1− x   ) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P P b) Tính số phương x cho với x ≥ 0; x ≠ số nguyên Lời giải a) Ta có P= = ( (  1− x x 1− x  x −  + x ÷ ÷ − x ÷ ÷ =  1− x   ) )( ) x −1 1+ x + x + x ∈ Z ⇔ x −1 P b) Ta có ⇒ x ∈ { 0; 4;9} ( 1+ x ) = ( )( )  1− x x + x +1   1− x     x −1 + x    1− x 1− x 1+ x     ( ) ( )( ) x −1 + x ước gồm ( 1+ x ) ( )( = x −1 ±1; ±2 Bài 11: Học sinh giỏi Tỉnh Bình Phước, năm học 2018 - 2019  x −1 x +8 P= +  + x −1 − x −1 + x −1  ( Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P x = 3+ 2 − b) Tính giá trị P )( ( ) +1 )    ÷:  x − + − ÷ ÷  x − − x − x −1 ÷   − 2 + 1− Lời giải a) Điều kiện xác định: Đặt < x ≠ 10 a = x − 1;0 < a ≠ Khi  a a2 + P =  +  + a ( − a) ( + a)   3a + 1   a ( − a ) + a +   3a + 1  = −  ÷ : ÷:  a − 3a − a ÷   ( − a ) ( + a )   a ( a − 3) a   ) = ( a + 3) ( a + 3) a ( a − 3) 3a + 3a + − a + 2a + : = : = ( − a ) ( + a ) a ( a − 3) ( − a ) ( + a ) a ( a − ) ( − a ) ( + a ) 2a + = −3a −3 x − = 2a + x − + x = 3+ 2 − b) Ta có = +1− P= Vậy ( ( ) +1 ( − 2 + 1− = ) ( 2 +1 − ) ( +1 ) 2 −1 + − ) +1 1− + 1− = +1− 1− − 1− + 1− = +1− ( ) −1 = −3 − −1 = 2 −1 + Bài 12: Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình, năm học 2018 - 2019  x +1 xy + x   xy + x x +1  P= + + 1÷: 1 − − ÷  xy + 1 − xy ÷ xy − xy + ÷     Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P , với x = 4−2 + 4+2 x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ y = x2 + Lời giải a) Ta có P= = ( ) ( xy + x )( ) xy + + − xy xy − − : − xy ( )( ) ( xy + x ) x ) ( xy + 1) + ( x + 1 − xy + − xy + Với )( x + 1 − xy + ( xy + x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ x3 = b) Ta có ( P= xy + + − xy )( x +1 ) = 8+3 ⇒ x + x = ⇔ x ( x + ) = ⇔ xy = Thay xy = vào P ta 2 ( ( xy + x )( ) ( xy + − )( x +1 xy − ) x +1 xy + x y ) xy = ( 4−2 + 4+2 )( − + = 8x − (thỏa mãn điều kiện) P= Bài 13: Chuyên Ninh Bình, năm học 2017 ) ) xy − 1 xy 4−2 + 4+2 P= ) xy − = ( P= a a +1 a + + + ( a ≥ 0; a ≠ ) 4−a a +2 a −2 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P a = 1+ b) Tính giá trị P a) Ta có x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ 84 84 + 1− 9 a a +1 a + a + + = 4−a a +2 a −2 P= , với ( Lời giải ) ( )( a −2 + a −1 ) ( a +2 − a +2 ) a−4 3a − a + a + a + − a − 4a − a a = = a−4 a−4 a +2 P= b) Tính a = 1( tm ) ⇒ P = Bài 14: Chuyên Trà Vinh, năm học 2018 - 2019   x x y ÷: Q= − 1 + 2 x − y  x2 − y ÷ x> y >0  x− x − y Cho biểu thức với a) Rút gọn Q x = 3y b) Xác định giá trị Q Lời giải  x Q= − 1 + 2 x − y  x − y2 x a) Ta có = x x2 − y2 Q= Vậy − x − x2 + y2 y x2 − y = x x2 − y −  x + x2 − y2 x − x2 − y2 y x ÷: = − 2 2 ÷ x − x2 − y2 y x − y x − y  y x2 − y2 = ( x− y ) x + y x − y = x− y x+ y x− y x+ y với x> y>0 x = 3y b) Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức Q ta được: 3y − y 2y Q= = = 3y + y 4y Bài 15: Chuyên Toán Bến Tre, năm học 2018 - 2019 a b + a −b a − b + ab P= Cho biểu thức P: a) Rút gọn biểu thức ( a, b hai số thực dương ) a + b ( a + b) b) Xác định giá trị biểu thức P a = 2019 + 2018 ab a b + a −b a − b = + ab P= với Lời giải ( ) ( a− b + + ab a− b b = 2020 + 2019 ) =( a) Ta có P: ( ) a + b ( a + b) = ( a = 2019 + 2018 = b) a− b ( )( )( a − b + ab ( 1+ ab ) ) ) ( ) 2019 + ⇒ P = 2018 + − 2019 − = 2018 − 2019 Bài 16: Học sinh giỏi cấp Tỉnh Lạng Sơn, năm học 2020 - 2021  x− y x + y   x + y + xy  P= − ÷: 1 + ÷  + xy − xy  − xy ÷ x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠    Cho biểu thức với P a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị biểu thức y =9+4 với Lời giải x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ a) Điều kiện  x− y x + y   x + y + xy  P= − : 1+ ÷ ÷  + xy ÷  − xy  − xy    x−x y− y+ y x− x−x y− y−y x  ÷:  − xy + x + y + xy  P= ÷  ÷  − xy + xy − xy    ( )( )  −2 x y − y      −2 y ( x + 1)   − xy − xy P=  ÷   ÷=   ÷ − xy   ( + x ) ( + y )     + x + y + xy   − xy P= a− b a + b ( a + b ) = ( a − b ) ( a + b ) = a − b2 2018 + ; b = P )= −2 y 1+ y P= Vậy b) Với −2 y 1+ y với x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ y = 9+ = ( ) ( 5+2 ⇒ y = P= Thay vào biểu thức P= Vậy − 5 P 5+2 −2 ( ) = 5+2 5+2 ) = −2 ( 1+ + 5 ta y =9+4 (thỏa mãn) ( 5+2 ) 5+2 ) = −1 − = 5 Bài 17: Học sinh giỏi cấp Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu, năm học 2020 - 2021  x x − x −1   x + x−5  P =  − :  − ÷ ÷ ÷ ÷  x − x − x   x +1 x − x −  1) Rút gọn biểu thức 2) Tính giá trị biểu thức M = x3 − x + 2021 với với x ≥ 0, x ≠ x = 12 − 13 + 12 + 13 Lời giải 1) Với x > 0, x ≠  x x − x −1   x + x−5  P =  − :  − ÷ ÷ ÷ ÷  x − x − x   x +1 x − x −  = = x − x + x +1 ( x x ( x −2 x +1 x −2 ) : ) ( ( x−4− x+5 )( x +1 )( x +1 x −2 ) ) = x −1 x 2) Áp dụng công thức: M = x3 − x + 2021 = x −2 ( ( a + b) = a + b3 + 3ab ( a + b ) 12 − 13 + 12 + 13 = 12 − 13 + 12 + 13 + 3 144 − 117 −9 ( ) ( ) −9( 3 12 − 13 + 12 + 13 12 − 13 + 12 + 13 + 2021 10 ) 12 − 13 + 12 + 13 + 2021 ) = 24 + 3.3 ( ) ( 12 − 13 + 12 + 13 − ) 12 − 13 + 12 + 13 + 2021 = 2045 Bài 18: HSG Huyện Gia Lâm vòng 1, năm học 2020 - 2021 A= Cho biểu thức x x − x−4 x +4 x x +x−4 x −4 − 2−3 x + x x 2+3 x − x x a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị A A x= ( + 3) 7−4 3 −1 Lời giải A= a) Đặt x x − x−4 x +4 x x + x−4 x −4 − 2−3 x + x x 2+3 x − x x t = x ( t ≥ 0) ⇒ x = t t − t − 4t + t + t − 4t − ( t − ) ( t + ) ( t − 1) ( t − ) ( t + ) ( t + 1) − = − 2 t − 3t + −t + 3t + ( t − 1) ( t + ) ( t + 1) ( − t ) A= Như = t − t + 2t − x − + = = t −1 t +1 t −1 x −1 x= b) Ta có A= ( (2 + 3) − = −1 ( 2+ ) ( 2− 3 −1 ) = ( + 3) ( − 3) = −1 +1 = −1 ) + − − 3 − = = −2 3 −1 −1 Vậy b) Ta có bđt phụ sau (rất quen thuộc nên ta không chứng minh lại) x; y; z Với ba số thực dương xy + yz + xz ≤ ( x + y + z) 1 + + ≥ x y z x+ y+ z Và Áp dụng ta có P= (dấu (dấu x= y=z x=y=z ) )   2020 1 2018 + = + + ÷+ 2 2 x +y +z xy + yz + zx  x + y + z xy + yz + xz xy + yz + xz  xy + yz + xz 11 ≥ 2018 6063 6063 + = ≥ = 6063 x + y + z + ( xy + yz + xz ) x + y + z ( x + y + z ) ( ) 2 Pmin = 6063 ⇔ x = y = z = Vậy Bài 19: HSG Hà Đông, năm học 2018 - 2019 P= Cho biểu thức (a + 1) (a − 2) + (a − 1) (a − 2)(a + 2) (a − 1) (a + 2) + (a − 1) (a − 2)(a + 2) a) Rút gọn biểu thức a+2 a−2 P b) Chứng minh biểu thức sau rút gọn số nguyên tố b) Tính giá trị biểu thức P 5+2 + 2( a= P số nguyên tố − 2) +1 biết +5 Lời giải ĐKXĐ: P= Nếu P= Nếu P= Nếu Nếu Vì Với a < −2 (a + 1)2 (a − 2) + (a − 1) (a − 2)(a + 2) (a − 1) (a + 2) + (a − 1) (a − 2)(a + 2) a> 2 a+2 a−2 (a + 1) a − ( a + 1) a − + ( a − 1) a +  (a − 1) a + ( a − 1) a + + ( a + 1) a −  a < −2 a + a +1 = a − a −1 −(a + 1) − a (a + 1) − a + ( a − 1) − a −  −(a − 1) − a − (a − 1) − a − − (a + 1) − a  a < −2 ⇒P=− a +1 a∈Z Mà a> nên a> nên a=3 P P khơng số nguyên tố nguyên tố nguyên −a − a +1 =− 2−a a −1 P số nguyên a− thuộc ước a − > ⇒ a − 1= ⇒ a = P=2 số nguyên tố Vậy P số nguyên tố a=3 số nguyên tố 12 a số nguyên a 5+2 + 2( t= − 2) +1 Đặt ⇒ a = 2+ = Thay ⇒ t2 = ⇒ t = a=7 P= vào 7+ = 7− (do t>0 ) Bài 20: HSG Huyện Nga Sơn, năm học 2020 - 2021    a a A =  − ÷ ÷ ÷:  − ÷  a −1 a a + a − a −1   a +1  Cho biểu thức A a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị a 2− = 4+2 6− , biết Lời giải a) a ≥ 0, a ≠ Với ta có:    a a A =  − ÷ ÷ ÷:  − ÷  a −1 a a + a − a −1   a +   a A= −  a − ( a + 1) a −  (  a +1− a A=  ( a + 1) a −  ( A= A= ( ) ) a −1 ( a + 1) (  ÷: ÷  ( ) a −1 a +1 × ) ( a −1 a +1 ) a −1 a −1 a −1 A= Vậy b) Ta có: ⇔ )    ÷:  a + − a ÷ ÷  a +1 ÷   với a ≥ 0, a ≠ a 2− = 4+2 6− a ( 1+ 3) = 4−2 ( ) −1 13 với ≤ a ≠1 ⇔ ⇔ a ( 1+ 3) = = a ( 1+ ) ( ⇔ a = 1+ ) ( −1 −1 ( ) (1+ 3) A= 3 ( thỏa mãn = −1 Vậy A= A= −1 a = 1+ Thay ) −1 a ≥ 0, a ≠ ) vào biểu thức a −1 ta được: 1 = = 1+ −1 a 2− = 4+2 6− Bài 21: HSG Yên Định, năm học 2020 - 2021 Cho biểu thức  x   x +2 x +3 x +2 A = 1 − : + + ÷  ÷  x +1 ÷ x − 3− x ÷    x −5 x +6  a) Rút gọn biểu thức A x= b) Tính giá trị A , biết 1+ 3 1+ 1+ 1− + 1− 1− Lời giải a) Với x≥0 x≠4 x≠9 , , ta có:  x   x +2 x +3 x +2 A = 1 − : + + ÷  ÷  x +1 ÷ x −2 3− x ÷    x −5 x +6  =  x +1− x  :  x +1  = x +2+ : x +1  x +3 x +2÷ + − x −2 x −3÷ x −3  x+2 ( x −2 ( )( x +3 ( )( ) ) ( x −3 − x −2 )( x −3 x +2 ) )( x −2 14 ) = x +2+ x−9− x+ : x +1 x −2 x −3 = : x +1 = 1 : x +1 x − = x −2 x +1 = x −2 x +1 ( )( ) x −3 ( x −2 )( x −3 ) x −2 x +1 A= Vậy b) Khi x≥0 x≠4 x≠9 , , 2+ 2− = 2 x= + = + 2+ 3 4+2 4−2 1+ 1+ 1− 1− 1+ 1− 2 4 1+ 1− = 2+ 2− + 3+ 3− = ( + 3) ( − 3) + ( − 3) ( + 3) ( 3+ 3) ( 3− 3) = 6− +3 −3+6+ −3 −3 =1 9−3 A= Ta có A= Vậy −1 x −2 − −1 = = x +1 +1 (thỏa mãn ĐKXĐ) 15 2+ ( ) +1 2 2− + 2− ( ) −1 2 DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức cần nhớ P ( x) Xét toán: P ( x) a) Rút gọn P ( x) = m P ( x) = Q ( x) x b) Tìm để (m số) Giải toán a) Rút gọn 16 - Đặt điều kiện để P ( x) - Thực rút gọn có nghĩa P ( x) x b) Tìm : Giải phương trình B Bài tập Bài 1: Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định, năm 2015 Cho biểu thức  x + x 1− x   Q= − − ÷ ÷ x −x÷  x − x −   x +  a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị Q x để Q = −1 Lời giải a) Điều kiện Q= ( Ta có x ≥  x >  x −1 ≠ ⇔  x ≠  x −1 ≠  x−x≠0  ) x +1 −   x −1 x −1  x − = = ÷ x −1 x  x −1 x  x −1 1 = −1 ⇔ x − = − x ⇔ x = ⇔ x = x Q = −1 ⇔ b) Vậy x −1 x − x = x x (thỏa mãn điều kiện) x= Bài 2: Chuyên Lào Cai, năm 2017 Cho biểu thức  x x   P ( x ) =  +  x − ÷ ÷ ÷ x −1   x  x +1 P ( x) a) Rút gọn biểu thức P ( x) = x +1 x b) Tìm để Lời giải a) Điều kiện P ( x) = Ta có x>0 x ( x ≠1 ) x −1 + x x −1 ( ) x +1 x −1 = x x ( x 17 ) =2 x −1 + x +1 x P ( x) = x +1 ⇔ x = x +1 ⇔ x − x +1 = ⇔ b) Vậy khơng có giá trị để P ( x) = x +1 ( ) x −1 = ⇔ x −1 = ⇔ x = (loại) Bài 3: P= Cho biểu thức 3x + x − x +1 x −2 − + ( x ≥ 0; x ≠ 1) x+ x −2 x + 1− x P a) Rút gọn biểu thức b) Tìm tất giá trị x nguyên dương để p nhận giá trị nguyên Lời giải P= 3x + x − x +1 x −2 − + = x+ x −2 x + 1− x a) Ta có = x + x − − ( x − 1) − ( x − ) ( P= b) P∈Z ⇔ Vì x +2 )( ) x −1 Vậy ( x+3 x +2 x +2 )( ) x −1 = − )( x + 2) ( x +1 x +1 x −1 x +1 = 1+ x −1 x −1 ∈Z x −1 x ∈ Z +; x ≠ ⇒ x ∈ Z + Để = ( ( x + ) ( x −1) ( 3x + x − x≥2  x ∈ Z  x −1 = x = ∈Z ⇔  ⇔ ⇔ x −1 x =  x − =  x − ∈U ( ) (thỏa mãn) x ∈ { 4;9} Bài 4: Chuyên Sư Phạm Hà Nội, năm 2017 P= ( x + 1) x + + ( x − 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị 2x − x +1 x − 1 x −1 − x −1 x +1 P x để P = x −1 Lời giải 18 ) −( x − 1) ( x −1 )( x + 2) ( x −2 ) x − 1) x +2 P= a) Ta có = ( ( ) ( x +1 + )( x −1 ) 2x − P = x −1 ⇔ x +1 = x −1 x + x − x −1 x + + x − x − x + x − b) Ta có ( ) 2x − ( ) x + x − x + − x −1 x + x − x +1 − x −1 x >1 (điều kiện ) x +1 = x +1 x + − ( x − 1) x +1 = )  x = ( loai ) ⇔ x + = ( x − 1) ⇔   x = ( tm ) Vậy Cho Tìm x=3 giá trị cần tìm Bài 5: Học sinh giỏi huyện Chương Mỹ vòng 2, năm học 2020 x y xy H= − − x + y − xy − y x + xy + x + y x + − xy − y x, y nguyên để H = 20 Lời giải Điều kiện x, y ≠ 1; x, y > x + y − xy − y = Ta có x + y + xy + x = H= Khi H= H= ( ( ) x+ y − y x+ y )( ) ( ) ( x+ y = x +1 x + − xy − y = ; x x + x − y + y y − xy x − xy y ( )( x + y 1− y x − y + x − xy + y − xy (1− y ) ( ( x − y + y 1− x 1− y ) x +1 )= = )( ) x +1 ( x+ x) −( x− y + y− y x 1− y Ta có : H = 20 ⇒ x + xy − y = 20 ⇒ x ( )( x + y 1− y = ) )( x +1 1− y ) x + y  x − y + x − xy + y − xy  x + y 1− y x +1 ( )( )( ) ( )( y ) ( x + 1) y + xy + y − x + x (1− ( ) ) ) = x + y − y = x + xy − xy ) ( y +1 − ( ( ) ) y + = 19 ⇒ = 19 = 19.1 = 1.19 = ( −1) ( −19 ) = ( −19 ) ( −1) 19 ( )( y +1 ) x − = 19 = 19.1 = 1.19  y + =  x = 400 ⇒   x − = 19  y = TH1:  y + = 19  x = ⇒   y = 324  x − = TH2:  y + = −1 ⇒   x − = −19 TH1: loại  y + = −19 ⇒  x − = −  TH1: Vậy với x = 400; y = loại x = 4; y = 324 H = 20 Bài 6: Học sinh giỏi huyện Đức Cơ, năm học 2019 A= Cho 2x − x − x3 + x + x + ;B = x −2 x +2 Tìm x cho A=B Lời giải A= Ta có A= 2x − x − x −2 2x − x − = x −2 B= Lại có ( xác định )( ) =2 x − 2 x +1 x −2 x3 + x + x + x +2 x3 + x + x + = x +2 B= x ≥ 0; x ≠ ( x +1 xác định ) x + ( x + 1) x +2 x≥0 = x +1 A = B ⇔ x +1 = x +1 ⇔ x − x = ⇔ x ( Ta có Kết hợp với điều kiện ta Vậy x=0  x = x = x −2 =0⇔  ⇔  x =  x = ) x=0 A=B Bài 7: Học sinh giỏi huyện Như Thanh, năm học 2019 Cho biểu thức  x+2 x  x −1 A =  + + ÷ ÷:  x x −1 x + x +1 1− x  20 x A A để có nghĩa rút gọn A b) Tìm x để biểu thức nhận giá trị a) Tìm điều kiện c) Tính giá trị biểu thức x = 3+ A ( ) −1 3 + Lời giải a) Điều kiện Ta có = x ≥ 0; x ≠ ( x + + x − x − x − x −1 ( )( ) x −1 x + x +1 A= Vậy x + x +1 A=2⇒ b) Ta có x +1 > (vì ) ( )  : ( ) ( x+ x −1 2 = ) ( x +1 = ⇔ x + x +1 = ⇔ x x + x +1 ( ) +1 ⇔ ( x − 3) = 3 + 3  ( ⇔ ( x − 3) = − + 3 x=4 ) ( ) ) x −1 ) ( x+ x −1   ) x +1 = x + x +1 x ≥ 0; x ≠ với 3 c) Ta có = x −1 ( x − x +1 )( x −1 ( ) x +1 = ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn) với x) x = 3+ Thay (   x+2 x  x −1  x + + x x − − x + x + A =  + + : = ÷ ÷  x −1 x + x +  x x −1 x + x + 1− x   −1 ⇔ x−3= ( ) ) ( +1 −1 +1  ⇔ ( x − 3) =  ( ) 3 −1 ⇔ ( x − 3) = ) −1 + ( )( +1 ( ) −1 +1 −1 ) 22 − ⇔ ( x − 3) = ⇔ x − = ⇔ x = A= vào A ta được: (thỏa mãn) 2 = + +1 Bài 8: Học sinh giỏi huyện Mỹ Đức Tỉnh Lai Châu (2018-2019), năm học 2019 - 2020 Cho  x+2 x  x −1 P =  + + ÷ ÷:  x x −1 x + x +1 − x  a) Rút gọn với P b) Tìm giá trị x P= để 21 x ≥ 0; x ≠ 2P c) So sánh P2 Lời giải a) Ta có =    x+2 x  x −1  x + x  P =  + + + − ÷ ÷: =  x + x +1 x − 1  x x −1 x + x + 1− x  x −   ( ) x+2+ x ( ( ) ( ): x −1 − x + x +1 )( ) x −1 x + x +1 x − x +1 ( )( ) x −1 x + x +1 2 = x −1 x + x +1 x ≥ 0; x ≠ b) Với P= Ta có 2 ⇔ = ⇔ x + x +1 = ⇔ x + x − = ⇔ x + x +1 x +3 > ⇒ x −2 = ⇔ x = Vì x −1 = P= Vậy ( x −2 )( ) x +3 = (thỏa mãn) x=4 ≤ ⇔ < P ≤ ⇔ P ( P − 2) ≤ ⇔ P − 2P ≤ ⇔ P ≤ 2P x + x +1 x ≥ ⇒ x + x +1 ≥ ⇔ < c) Vì Dấu “=” xả P=2⇔ x=0 P ≤ 2P Vậy Bài 9: HSG Tỉnh Sóc Trăng, năm học 2020 - 2021 Cho x −1 x + 2021 x +1    P =  x −1+ + + ÷ ÷ x + 2021   x − 2022 x + 2021 x −1 2021 − x ÷   P a) Rút gọn b) Tìm giá trị x P = 2024 để Lời giải x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 2021 a) Điều kiện xác định: x −1 x + 2021 x +1    P =  x −1+ + + ÷ ÷ x + 2021   x − 2022 x + 2021 x −1 2021 − x ÷   = ( )( x −1 ) x + 2021 + x + 2021 ( x − 1) + ( × )( ) ( ( x − 1) ( x − 2021) x + 2021 x − 2021 − 22 )( x −1 ) x +1 ( ) x + 2020 x − 2020 ( x − 1) + x − 2021 − ( x − 1) = × x + 2021 x −1 x − 2021 ( )( ) ( x + 2020 x − 2020 ) ( x − 2021 ) = ( x + 2021) ( x − 1) ( x − 2021) x + 2020 x − 2020 x −1 = P = 2024 b) Ta có: ⇔ x + 2020 x − 2020 = 2024 x −1 ⇔ x + 2020 x − 2020 − 2024 x + 2024 =0 x −1 ⇔ x−4 x +4 =0 x −1 ⇒ x−4 x +4 =0 ⇔ ( x −2 ) =0 ⇔ x −2= ⇔ x =2 ⇔x=4 Vậy với (thỏa mãn điều kiện) x=4 P = 2024 23 ... Cho biểu thức (a + 1) (a − 2) + (a − 1) (a − 2)(a + 2) (a − 1) (a + 2) + (a − 1) (a − 2)(a + 2) a) Rút gọn biểu thức a+2 a−2 P b) Chứng minh biểu thức sau rút gọn số nguyên tố b) Tính giá trị biểu. .. ( ) −1 2 DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức cần nhớ P ( x) Xét toán: P ( x) a) Rút gọn P ( x) = m P ( x) = Q ( x) x b) Tìm để (m số) Giải toán a) Rút gọn 16 - Đặt điều... = 2 2    x=2 Thay A = vào biểu thức A ta Bài 8: Học sinh giỏi Bắc Từ Liêm, năm 2017 - 2018 1 1 A =  + ÷ +  x y  x + y + xy Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A  1  x− y +  ÷: 