Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 90 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
90
Dung lượng
1,45 MB
Nội dung
1 CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ BÀI TỐN LIÊN QUAN Mục Lục Trang Lời nói đầu Các công thức biến đổi thức Cách tìm điều kiện tốn chứa thức Các dạng toán biến đổi thức thường gặp Dùng ẩn phụ để đơn giải hóa tốn Các tốn tính tổng dãy có quy luật Rút gọn biểu thức chưa hay nhiều ẩn 12 Rút gọn biểu thức toán liên quan 14 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức x = k (với k số) 14 Dạng 2:Tính giá trị biến x để P = k (với k số) 16 Dạng 3: Tính giá trị biến x để P = A (với A biểu thức chứa ẩn) 17 Dạng 4: Tìm giá trị biến x để biểu thức P cho thỏa mãn bất đẳng thức P < 18 k ( > ; ≥; ≤ k) với k số Dạng 5: So sánh biểu thức cho với k (hằng số) B (biểu thức chứa ẩn) 20 Dạng 6: So sánh biểu thức rút gọn A với √𝐴 A2 22 Dạng 7: Chứng minh với giá trị ẩn x để biểu thức A cho xác định 23 A > k ( < ; ≥; ≤ k) với k số Dạng 8: Tìm giá trị biến x để biểu thức P cho thỏa mãn bất đẳng thức P < 25 A ( > ; ≥; ≤ A) với A biểu thức chứa ẩn Dạng 9: Tìm giá trị ẩn để biểu thức cho nhận giá trị nguyên 27 Dạng 10: Tìm giá trị ẩn để biểu thức đạt GTNN GTLN 32 Dạng 11: Chứng minh biểu thức cho âm dương 35 Dạng 12: Tìm giá trị ẩn thỏa mãn phương trình, bất phương trình chứa dấu 36 giá trị tuyệt đối Dạng 13: Tìm giá trị tham số m để x thỏa mãn phương trình, bất phương trình 38 Bài tập luyện tập 42 Hướng dẫn giải 54 CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Các công thức biến đổi thức A nÕu A ≥ A= A = − A nÕu A < AB = A = B A2 B = A (Với A ≥ 0; B ≥ ) A B A B (Với A ≥ 0; B > ) (Với B ≥ ) B (Với A ≥ 0; B ≥ ) A B= A B = − A2 B A2 B A = B B A A B = B B (Với A < 0; B ≥ ) (Với A ≥ 0; B > ) AB (Với B > ) ( C A±B C = A − B2 A±B 10 C C = A± B 11 A) ( = 3 ( ) A± B (Với A ≥ 0; A ≠ B2 ) ) A− B (Với A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ) = A3 A Cách tìm điều kiện tốn chứa thức BIỂU THỨC - ĐKXĐ: A A B VÍ DỤ A≥0 Ví dụ: ĐKXĐ: B ≠ Ví dụ: ĐKXĐ: ĐKXĐ: x ≥ 2018 x+4 x−7 ĐKXĐ: x≠7 x − 2018 A B ĐKXĐ: B > Ví dụ: x +1 x −3 ĐKXĐ: x>3 A B ĐKXĐ: A ≥ 0; B > Ví dụ: x x −3 ĐKXĐ: x ≥ ⇔ x>3 x > A ≤ B < ĐKXĐ: A ≥ B > A B Cho a > ta có: Cho a > ta có: ĐKXĐ: x > a Ví dụ: x > ⇔ x < − a x > a x >a⇔ x < − a x +1 x+2 Ví dụ: x + ≤ x + < ⇔ x < −2 x ≥ x + ≥ x + > Ví dụ: x < ⇔ −2 < x < 2 x 2.2016 2017 − + 20162 − 2017 − − 20162 − > Rút gọn biểu thức: 2.2016 2017 − + 20162 − a) A = − − 29 − 12 b) B= 70 − 4901 + 70 + 4901 Lời giải a) A= = − − 29 − 12 = 5− ( − 3− (2 −3 ) ) −1= b) Đặt x = 70 − 4901 + 70 + 4901 ⇒ x 03= 70 − 4901 + 70 + 4901 = 70 − 4901 + 70 + 4901 + 3 70 − 4901 70 + 4901 70 − 4901 + 70 + 4901 = 140 + 3x Khi ta có: ( ) x 03 + 3x − 140 =0 ⇔ ( x − ) x + 5x + 28 =0 Mà x + 5x + 28 > ( ∆ < ) ⇒ x =5 Vậy B = + 3+ + +4 Thí dụ 10 Rút gọn biểu thức: P = 2+ 3+ Lời giải Ta có: P + 3+ + +4 = 2+ 3+ ( ) ( + 3+2 + 4+ 6+ 2+ 3+ + + 4)+( + + 8) ( (= ) ) 2+ 3+ + 2+ 3+ ( 2+ 3+ ) 2+ 3+ = 1+ Dạng 2: Dùng ẩn phụ đơn giản hóa tốn Thí dụ Rút gọn biểu thức: A = 7− −47− 7− Lời giải Đặt a = ⇒ a = a = ta có: + 747+ + 343 − 2a 13a + a2 + + = + a 1 a a (a + 1) 2 a− a a + a a a + a − 2a − 2a + 13a + a 2a (7 − a ) = = = 0= Do a 3 a (a + 1) a (a + 1) A = −a − a a2 − ( Thí dụ Rút gọn biểu thức: B = − − 25 − 125 4 ) Lời giải Đặt b = ⇒ b2 = Ta có: B = 25 , b = 125 , b = 5, b6 = 5b , b = 5b − 3b + 2b − 3b 1 (b + 3b) + (2b + 4) = Mặt khác:= b − 2b + 3b − (b + 3b) − (2b + 4) (b + 3b)2 − (2b + 4)2 b + 3b + 2b + (b + 2b + 3b + 4)(b − 3) b + 2b − 2b − 9b − 12 = = − = −2b − 2(b − 9) − b − 2b − b+1 = = − Vậy B = = = b+1 b+1 4 +1 − 1+ + Thí dụ Rút gọn biểu thức: E = − 1− 2 4 1+ + 1+ 2 Lời giải Đặt =a ⇒ a =2, 4 =a = Ta có: a2 − a + a2 E= + a a − − 2 + 2 1 a a = −a + + a − + a = − =0 2 a a 1+ a 1+ a a a 1+ ( ) Vậy E = Dạng 3: Các tốn tính tổng dãy có quy luật Thí dụ = S Rút gọn: +1 + +2 + + 1999 1998 + 1998 1999 Lời giải + 2000 1999 + 1999 2000 Với k ∈ N, k ≥ : ( k + 1) ( k + 1) k − k ( k + 1) k − k k += k ( k + 1) ( k + 1) k − k ( k + 1) = k + k k+1 2 k+1 = k − k+1 ( 1) Áp dụng (1) với k = 1, 2, 3, , 1999 ta 1 ; = − +1 2 1 ; = − +2 3 −−−−−−−−−−−−− = 2000 1999 + 1999 2000 1999 − 2000 Cộng đẳng thức theo vế ta được: S = + 1 + + +1 + 1999 1998 + 1998 1999 1 1 1 = − + − + + − 2 1999 2000 = 1 2000 1999 + 1999 2000 2000 2000 − = = − + 2000 20 − 20 Thí dụ A= Rút gọn: 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + 2+ + 2 2 3 1998 1999 1999 2000 Lời giải Với k ∈ N, k ≥ : 1 1 2 1+ + 2+ − − 1+ k − − k = ( k − 1) k k − ( k − 1) k k =1 + ⇒ 1+ ( k − 1) ( k − 1) ⇒ 1+ 2 + 2 2 + − + − k −1 k −1 k k k 1 + = 1+ − k −1 k k ( k − 1) + 1 =1 + − k −1 k k ( 1) 10 Áp dụng (1) với k = 1, 2, 3, , 2000 ta 1 1 1 1 A = + − + + − + + + − + 1+ − 3 4 1998 1999 1999 2000 1 = 1998 + − 2000 Thí dụ Rút gọn biểu thức A 1 2 3 n 1 n ; Lời giải Ta có: 1 2 2 2 1 1 3 2 3 3 n 1 n n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 Do đó: A 1 2 3 n 1 n n n n Thí dụ a) Chứng minh rằng: b) Chứng minh rằng: 1 + + + > 1+ 3+ 79 + 80 1 1 + + + + > 1 − 2 3 n n +1 n +1 c) Chứng minh: n − < 1 1 + + + + + < n − với số nguyên n dương n ≥ Lời giải = A a) Xét 1 = + + + , B 1+ 3+ 79 + 80 1 + + + 2+ 4+ 80 + 81 Dễ thấy A > B Ta có A + B = 1 1 + + + + + 1+ 2+ 3+ 79 + 80 80 + 81 76 Website:tailieumontoan.com x −2 = 1− x x Ta có A = Suy A nhận giá trị nguyên Hay x ước nguyên x ∈ {−1;1; −2; 2} Ta có: x = −1 (Vơ nghiệm) x =1 ⇔ x =1 (thỏa mãn) x = ⇔ x = (thỏa mãn) x = −2 (Vô nghiệm) Vậy để A nguyên x ∈ {1;4} Câu 57 Đặt s = x t = y đẳng thức đề viết lại thành Do s, t ≥ nên s + s 2t + t + t s = a s + s 2t = s s + t , t + t s = t s + t a hay ( s + t ) = Từ ta có ( s + t ) s + t = a2 Suy s + t =3 a Đây kết cần chứng minh Câu 58 a) Điều kiện: x ≠ − y; x ≠ −1; y ≠ x + x − y + y − x y − x y x − xy + y + x − y − x y = (x + y)(1 − y)(1 + x) (1 − y)(1 + x) P x2 + x2 y + x − y 1+ x =x + xy − y = b) Đặt S = + 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2017 2018 2 1 1 Ta có + + = 1+ − + n (n + 1) n n + n(n + 1) (n ∈ * ) 1 1 = 1+ − =1 + − n n +1 n n +1 1 1 1 − Áp dụng đẳng thức ta S = + − + + − + + + 2 3 2017 2018 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 77 Website:tailieumontoan.com = 2018 − < 2018 (điều phải chứng minh) 2018 Câu 59 Từ giả thiết cho ta có: 1 + = ⇔ xz + yz = xy ⇔ 2xy − 2xz − 2yz = x y z ⇒ x2 + y2 + z2 = x + y + z + 2xy − 2xz − 2yz = (x + y − z) = x+y−z ⇒ x + y + z số hữu tỉ Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 60 a) Rút gọn T: Với a ≠ b, a > 0, b > , ta có: a + b − ab a + a b − b a − b − a + b a + b − ab = ⋅ T= : a+ b a+ b a− b a+ b ( Vậy : T = a + b − ab ab ) )( ( a− b ab ( )( a+ b a− b ) )= a + b − ab , với a ≠ b, a > 0, b > b) Chứng tỏ T > Ta có: T = = ⇔T ( a + b − ab ab a− b , với a ≠ b, a > 0, b > (kết câu 1.a) ) + ab ( = ab a− b ) ab + > (vì ab > 0, a − b ≠ với a ≠ b,a > 0, b > ) Vậy T > Câu 61 Ta có ngay: A = 20 − 45 + 125 − 405 = − + 15 − 18 = B= 9−4 + 9+4 = = ( 2 ) − 2.2 (2 ) 2 −1 + ( 2 ) + 2.2 2.1 + + (2 +1 ) 2.1 + = 2 − + 2 += 2 − + 2 += Fb: Trịnh Bình (do2 − > 0) TÀI LIỆU TOÁN HỌC ab 78 Website:tailieumontoan.com Câu 62 Ta có: + = = 1+ + = = 2.3 ⇒ = + 2.3 3.4 ⇒ = + + 3.4 2018.2019 ⇒ = + + + + 2018 2018.2019 P= − 2.3 − 3.4 − 2018.2019 2.3 − 3.4 − 2018.2019 − = 2.3 3.4 2018.2019 + + + .= + 2018 10 4074340 2.3 3.4 2018.2019 1.4 2.5 3.6 2016.2019 2017.2020 = 2.3 3.4 4.5 2017.2018 2018.2019 (1.2 .2017 ) ( 4.5 .2020 ) 1.2020 2020 1010 = = = = ( 2.3 .2018 ) ( 3.4.5 .2019 ) 2018.3 6054 3027 = Câu 63 a) Điều kiện x > 0; x ≠ x +1 −1 : = x x + x + x −x + x A = ( x +1 x x + x + = x +1 x+ x +1 ( ) ( x x x −1 ( x +1 x x+ x +1 ) ( x2 − x ) ) )( ) ( x −1 x + x +1 = x +1 )( ) x − =x − b) Ta có: T= B − 2A = x − 5x − 8x + 2025 − ( x − 1) = x − 5x − 8x + 2025 − 2x + 4x − = x − 7x − 4x + 2023 = x − 8x + 16 + x − 4x + + 2003 ( ) = x − + ( x − ) + 2023 ( Vì x − ) 2 ≥ 0, ( x − ) ≥ ⇒ T ≥ 2003 x = x − = ⇔ x = −2 ⇔ x = Dấu “=” xảy ⇔ x − = x = Vậy với Tmin = 2003 ⇔ = x Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 79 Website:tailieumontoan.com Câu 64 a) Rút gọn biểu thức P : ( Điều kiện : a > 0, b > ab = P ⇒ P: = ( ) ( ( a− b + + ab ( ) a + b (a + b) a− b )( ) a + b (a + b) ) ( a− b = = P ( )( ) a − b + ab = + ab a− b ) a + b (a + b) ) a + b ( a + b ) = ( a − b )( a + b ) = a − b b) Ta có: ( ( ) ) a 2018 = + a = a = 2019 + 2018 2018 + ⇔ ⇒ 2020 + 2019= 2019 + b b = b = 2019 + P ⇒ = a −= b 2018 + − ( ) 2019= +1 2018 − 2019 Câu 65 1) Điều kiện < a < 1+ a 1− a 1 Q = + − − a − 2a + 2 a a a a + − − 1 a a − − + 1 (1 − a ) 1+ a − a − a − 2a + = + 1+ a − 1− a a2 a − a − a − + a − a2 1+ a 1− a = + − ( a − 1) a 1+ a − 1− a a 1+ a − 1− a ( ( ) + a + − a − a2 − a −1 a + a − − a a (do a > 0) + a + − a − a2 − (1 − a ) a 1+ a − 1− a (do < a < 1) 1+ a + 1− a ( )( 1+ a − 1− a 1+ a − 1− a ) ) − a2 −1 (1 − a ) a 1+ a −1+ a − a2 −1 (1 − a ) a + a + − a − − a2 2a − − a2 Fb: Trịnh Bình − a2 −1 (1 − a ) a TÀI LIỆU TOÁN HỌC 80 Website:tailieumontoan.com =−(1 − a ) =a − 2) Điều kiện < a < ( a − 1) Ta có: Q= Xét hiệu : Q − Q = ( a − 1) − ( a − 1) = ( a − 1) ( a − 1) − 1 = ( a − 1)( a − − 1)( a − + 1) = a(a − 1)(a − 2) Mà a > < a < ⇒ a − < ⇒ a ( a − 1)( a − ) > a − < ⇒ Q3 − Q > ⇔ Q3 > Q Vậy Q > Q Câu 66 ( )( 10 − ) − 15 =4 + 15 ( − ) ( + 15 )( − 15 ) 15 ( − ) 16 − 15 = ( + ) ( − ) ).( − ) = − = A =4 + 15 8+2 = = ( 5+ Câu 67 a) Điều kiện a > a a + a 4−a P = + a + a + a + a ( ) a a + a = + a +2 a +1 a + a a 4−a = + a +2 + a a ( ( ( )( )( ) a +a 2− a 2+ a = a +2 a )( ) −a a a ( )( a +1 2− a ) a ) = a + − a =−a + a + b) Điều kiện a > Ta có: 1 9 P =−a + a + =− a − + ≤ 2 4 1 Dấu “=” xảy ⇔ a − = ⇔ a = ⇔ a = (tm) 2 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 81 Website:tailieumontoan.com Vậy MaxP = a = 4 Câu 68 Điều kiện a > 0; x ≠ x = a + − + a2 + ( a + 1) a + 2a + + a + 2a + 2a (a + 1)2 = a +1− a + 2a + a + 2a + + 2a = a +1− ( a + 1) (a = a +1− = a +1− a2 +a +1 ( a + 1) ) 2 a2 + a + a2 + a + = a +1− a +1 a +1 a2 + a + > 0 a +1 a + 2a + − a − a − a = < 1∀a > a +1 a +1 ⇒ < x < ∀a > = = ⇒P x+ = x+ x + x−2 x +1 +1 = x − 2x + x −1 +1 = x −1 ( x −1 ( x − 1) x +1− x +1 = 1− x 1− ) +1 = a a +1 ( a + 1) = 2a + a +1−a Vậy = P 2a + Câu 69 ( ) ( ) 2 + + − x y x y y x = + + y x + y x + y x − y + ( x + 2y ) x x + y x + y + xy + x + y − xy y y +x x ⇔ + = x − y + 2x + 4y xy x + y ( )( ) ( ( ⇔ ⇔ 2(x + y) + 3(x + y) ( x + y − xy Fb: Trịnh Bình xy ) ( ) ) )( )= xy ( x + y ) x + y x + y − xy = TÀI LIỆU TOÁN HỌC 82 Website:tailieumontoan.com ⇔ x + y − xy =xy ⇔ x + y − xy = ⇔ ( x− y = x =1 y ⇔x=y⇒ Vậy ) x =1 y a + a + b2 a − a + b2 − a − a + b2 a + a + b2 = Câu 70 P ( = = ) ( + b )( a − a + a + b2 (a + a2 − a − a + b2 a + b2 ) a − a 2b , : b ) a > b >0 b2 a ( a − b2 ) ( a + a + b + 2a a + b − a + a + b − 2a a + b a − ( a − b2 ) b2 4a a + b = b2 a a − b ) b2 a a − b a a + b2 a a − b2 a + b2 a > a − b2 = a + b2 a 0; x ≠ , ta có: x+3 x +2 = = − A : x x −8 x −2 x x+3 x +2 ( )( x −2 x+2 x +4 x x −2 x+2 x +4 x+2 x +4 − ) ( )( ) x −2 x x = x+2 x +4 x −2 x+2 x +4 ( )( ) ( ) Ta có x = 14 + = + 2.3 + = + 3+ b) Ta có A =24 − + ( ( ⇒ x= 3+ ) = + = + 3+ 3+ = = = 14 + + + + 24 + 8 + Khi đó, ta có: A = ⇒A= ± −2 ( =( ( ) −2 ) ) ) Do A < nên A= − Câu 73 a) + Biến đổi x+4 x +4 x+ x += 1− x x+ x −2 = + Biến đổi = + Ta có A + Vậy A = 1 ( ( x +2 x −1 x +2 x −1 ( ( x +1 x )( ( x +1 x −1 )( ) x +1 ) ) ) ) ( x = x −1 x −1 )( 2 x = : x −1 x +1 x −1 x +2 − x − x = x +1 1− x x +1 x −1 − )( ) x −1 ( x +1 )( x −1 ) x , với điều kiện x > 0, x ≠ b) Ta có: A≥ + 2018 2018 ⇔ 1+ x ≥ 1+ 2018 ⇔ x ≥ 2018 x ≤ 2018 ⇒ < x ≤ 2018 Vì x > 0, x ≠ x nguyên nên x ∈ {2; 3; 4; ; 2018} Suy có 2017 giá trị nguyên x thỏa mãn toán Câu 74 Ta có: Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 84 Website:tailieumontoan.com + a 2a b + ab : − ab − ab A= 2(1 + a ) = ab(1 + a ) = Khi a > 0; b > , ab a+ b a + b = ab ⇔ ab =⇔ 1 a + b =⇔ 1 a =− 1 b 1 1 ) =− − ≤ Dấu “ = “ xảy ⇔ b= 4; a= Vậy giá Do A = (1 − b 2 b b trị lớn A a= b= 4 Câu 75 Ta có: + a3 a −2 a +1 = P +1− a ( a > 1) a −1 a ( )( )( ) ( ) 1+ a 1− a + a a −1 = + 1− a P a a −1 a +1 1− a + a a −1 = + 1− a P (Do a > ⇒ a > ⇒ a − > 0) − a a P= ( ) 1− a + a + a −1−a + a a −1 a −1 a a a −1 = a −1 a = P Câu 76 a) P = = = x +2 x +1 − x +3 5− x − 3x + x − x−4 x −5 = x +2 x +1 − x +3 5− x − ( 3x + x − x +1 )( x −5 ) ( x + 2)( x − 5) + ( x + 3)( x + 1) − (3x + x − 5) ( x + 1)( x − 5) −x − x − ( x + 1)( x − 5) ( x + 1)( x + 2) x +2 = − = − ( x + 1)( x − 5) x −5 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 85 Website:tailieumontoan.com x +2 Ta có P > −2 ⇔ − x −5 > −2 ⇔ − + Với x < ⇔ ≤ x < 25 + Với x > 12 ⇔ x > 144 x0⇔ x −5 x > 12 x +2 Câu 77 Điều kiện : x > 0, x ≠ ( x − 1) x − x 2x + x A= + − x −1 x + x +1 x = ( ( x x x −1 ) x −1 + ( x+ x +1 ) −2 x −1 ) 1 3 + = x − + ≥ 4 2 4 1 Vậy A ≥ Dấu " = " xảy ⇔ x − = ⇔ x = 4 Câu 78 =1 + x x − =x − x + x − 1+ 2 x − y x − y2 x a) Ta có: Q = (tm) y : x − x2 − y2 x + x2 − y2 x − x2 − y2 x = − ⋅ y x2 − y2 x2 − y2 x = x2 − y2 x = x2 − y2 − x2 − x2 + y2 y x2 − y2 y − x2 − y2 ( x−y) = = x−y x + y x − y Vậy Q = x−y x+y x+y với x > y > b) Ta có: Thay x = 3y (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức Q, ta được: = Q 3y − y = 3y + y Vậy Q = Fb: Trịnh Bình 2y = 4y 2 x = 3y TÀI LIỆU TOÁN HỌC 86 Website:tailieumontoan.com Câu 79 ( A x− y ) + 2x x + y y x x+y y + xy − 3y x−y x x − 3x y + 3y x − y y + 2x x + y y ( )( x − xy + y ) x ( x − xy + y ) y + ( x + y )( x − xy + y ) x + y x = x+ y = x+ y với x, y ≥ x ≠ y + ( y ( x− y x− y )( ) x+ y ) y + x+ y x +3 y = x+ y Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến với x, y ≥ x ≠ y Câu 80 a) ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0, y ≠ 1, x + y ≠ P= x ( = b) ( ) ( ) x + − y − y − xy ( x+ y ( )( x + y 1− y )( )( ( x+ y x +1 ) ) x − y + x − xy + y − xy )( x + y 1− y )( x +1 ) ( )= x+ ) ( P = ⇔ x + xy − y = ⇔ x + y − xy − y ) y + =1 ⇔ ( )( ) x − 1 + y =1 Ta có: + y ≥ ⇒ x − ≤ ⇒ x ≤ ⇔ x ≤ Kết hợp với điều kiện x ≥ ⇒ ≤ x ≤ ⇔ x ∈ {0;1; 2; 3; 4} Thay vào phương trình P = { } Ta ( x; y ) ∈ ( 4; ) ; ( 2; ) Câu 81 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 87 Website:tailieumontoan.com a−b = P a + b2 ⋅ 2 a − b − a + b a − b2 a−b + a+b + a−b a−b + a−b a + b + a − b (a − b) ( 2 ⋅ a + b a + b − a − b a − b a−b a + b − a − b + (a − b) a−b = ) ( ( )( a+b + a−b (a − b) a + b 2b a − b (a > b > ) ( ) a+b + a−b a+b − a−b ) )⋅ a + b2 a − b2 a + b2 a + b2 ⋅ = b a − b a + b Vì a – b = a = b + theo BĐT AM – GM: a + b2 = P= b ( b + 1) + b 2b + 2b + 1 = 2b + + ≥ 2b ⋅ + = 2 +2 = b b b b Câu 82 a) ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0, xy ≠ ( P= ) ( )( x + y + xy + )( x − y − xy − xy ) : − xy + x + y + xy − xy x+x y+ y+y x+ x−x y− y+y x − xy − xy + x + y + xy = ( ) x+y x = (1 + x )(1 + y ) = x (1 + y ) x = (1 + x )(1 + y ) + x ( ) 2− 2 b) Với x = = = − =3 − 2+ 2+ 2− ( x= = P ( ) ( − 1) = + ( − 1) −1 = −1 = )( ) ( ) −1 −2 +2 = 13 5−2 Câu 83 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 88 Website:tailieumontoan.com x+3 x +2 x+ x 1 a) P = − + : x −1 x +1 x −1 x+ x −2 x+3 x +2 x x −1+ x +1 : = − x +2 x − 1 x + x x − − ( = )( ) ( x ( x + 1)( x+3 x +2−x−2 ( )( )( x − 1) x ) ( x + 1)( x − 1) x +2 = x ( x + )( x − 1) x +2 x −1 ) x +1 x x > 0; x ≠ 1 x +1 b) − ≥1⇔ x x +1 P − ≥1 x +1 (* ) ⇔ 16 x − ( Vậy x = ( x +1 x +1 ) ) ≥1 ⇔ ( x −3 ) (* ) ≤ 0⇔ x = ( tm ) x +1 − ≥1 P Câu 84 Với điều kiện x > 0, x ≠ , ta có: = P x−2 x ( )( x −1 x + x +1 ( ) ( x( ) + ( x +1 x x+ x +1 ) + ) ( x − 1) + 2x − x − 1)( x + x + 1) x (x + x − 2) = x ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + ) x +2 = x + x + x − x + x + ( )( ) = x x−2 x + x +1 x ( 2x − x + )( x −1 x + x +1 ) x +1 Ta có với điều kiện x > 0, x ≠ ⇒ x + x + > x + > ⇒0 − ( n + 1) n n n +1 n n +1 n n +1 Suy ra: A= = 1− Lại có: Fb: Trịnh Bình 2 + 2011 ( n + 1) ⇒ A< 2− + n < 2 − + + > 1− n +1 2011 2010 > 1− + − + + 2010 − 2011 87 = 89 89 ( + + n +1 + n 2010 − 2 = − n n +1 n ) 88 = 21− < − = 2011 2011 45 45 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com Câu 89 Ta có ( − ) + 20 − 20 15 = 2 − + 2 ( − 2) + − = −4+2 −4 = A=2 Fb: Trịnh Bình − 20 5 5= −4 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... tốn tính tổng dãy có quy luật Rút gọn biểu thức chưa hay nhiều ẩn 12 Rút gọn biểu thức toán liên quan 14 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức x = k (với k số) 14 Dạng 2:Tính giá trị biến x để P = k (với... 38 Bài tập luyện tập 42 Hướng dẫn giải 54 CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ BÀI TỐN LIÊN QUAN Các cơng thức biến đổi thức A nÕu A ≥ A= A = − A nÕu A < AB = A = B A2 B = A (Với A...