Phiếu học tập tuần toán 7 DẠNG TOÁN ÔN THI LỚP 9 CHUYÊN ĐỀ I RÚT GỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 1 Cho biểu thức 2 5 1 3 6 2 xA x x x x + = − − + + − − (với 0, 4x x≥ ≠ ) a) Rút gọn A b) Tính giá trị[.]
DẠNG TỐN ƠN THI LỚP CHUN ĐỀ I RÚT GỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN x +2 (với x ≥ 0, x ≠ ) − − x +3 x+ x −6 x −2 Câu 1: Cho biểu thức A = a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x= + x 8x x + Câu 2: Cho biểu thức P = − + (với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ ) : x +2 x−4 x −2 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = −4 Câu 3:= Cho biểu thức: A x +1 x x + : với x > x+4 x +4 x+2 x x +2 Rút gọn biểu thức A Tìm x để A ≥ x y y −1 y y + 2( y − y + 1) Câu 4: = Cho A (với y > 0; y ≠ ) − : y− y y −1 y + y a) Rút gọn A b) Tìm số nguyên y để A có giá trị nguyên b +2 + − ( b ≥ 0; b ≠ 1) b −1 b −1 b +1 a) Rút gọn Q Câu 5: Cho Q= b) Tính giá trị biểu thức Q b= + x −1 1 − : với x > 0; x ≠ x −x x x +1 Câu 6: Cho A = a) Rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức A x= + a +3 a −3 1 Câu 7: Cho A = − − với a > 0; a ≠ a + a a −3 a) Rút gọn A b) Tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu 8: Cho A = x x −1 2x − x − x+7 B = với x > 0; x ≠ + − x −9 x +3 x −3 x a) Rút gọn A +B A b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S= x− x x +1 x +1 − , ( x > 0, x ≠ 1) : x x −1 x + x Câu 9: Cho biểu thức= A a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A = x 12 + a +1 1 + , ( a > 0, a ≠ 1) : a −1 a − a +1 a− a a) Rút gọn biểu thức A Câu 10: Cho biểu thức= A b) Tìm giá trị a > cho A ≤ 1 + : x −1 x− x Câu 11: Cho biểu thức = B ( x +1 ) x −1 a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức B b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức= P x − B x +1 x−2 + , ( x > 0, x ≠ 1) x + x −1 x+2 x a) Rút gọn biểu thức P Câu 12: Cho biểu thức = P b) So sánh P + x với x −1 x+ x với x ≥ 0; x ≠ + : x x + x + x +1 x +1 x +1 Câu 13: Cho P = a)Rút gọn P b)Tính giá trị biểu thức P x = 2+ 2+ x 2− x x −3 4x − − : 2− x 2+ x x−4 x − x Câu 14: Cho A = a) Rút gọn A b) Tìm x để A = x −7 x +3 với x ≥ 0; x ≠ Câu 15: Cho A = + − : x − 2 x + x − x − x − 10 x a)Rút gọn A b) Tìm x để A số nguyên Câu 16: Cho= P x + x +1 x −9 với x ≥ 0; x ≠ − − x −5 x +6 x − 3− x a) Tìm đkxđ Rút gọn P b) Tìm x để P < x x +2 x+ x −4 + − + : với x > 0; x ≠ 1 x − 1 x x x x x − − + a) Rút gọn P b) Tìm x để P = Câu 17: Cho P = 1 a +1 với a > 0; a ≠ − : a a −a a −1 a) Rút gọn K Câu 18: = Cho K b) Tìm a để K = 2012 Câu 19: Cho= B ( x + 4) + x với x ≥ 0; x ≠ 16 − x +1 x −4 x −3 x −4 a) Rút gọn B b) Tìm x để B số nguyên 1− a a 1− a với a > 0; a ≠ Câu 20: Cho C = + a + a 1− a 1− a a) Rút gọn C b) Tìm a để = P a + C đạt giá trị nhỏ DẠNG TỐN ƠN THI LỚP CHUYÊN ĐỀ I RÚT GỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x +2 (với x ≥ 0, x ≠ ) − − x +3 x+ x −6 x −2 Câu 1: Cho biểu thức A = a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x= + Lời giải a) Với x ≥ 0, x ≠ ta có x +2 − − A= x +3 x+ x −6 x −2 x +2 A= − − x +3 x −2 x +3 x −2 ( A= A= A= )( ) x−4−5− x −3 ( ( ( ( A= x +3 )( x −2 x − x − 12 x +3 )( )( x + 3)( x +3 x −2 ) ) ) x − 2) x −4 x −4 x −2 ( b) Ta có x = + =+ 2 Thay ) ⇒ x =+ 2 x= + vào A ta A = x 2+ −4 = 2+ −2 8x x + −2 = 1− Câu 2: Cho biểu thức P = − + (với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ ) : x +2 x−4 x −2 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = −4 Lời giải a) Với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ ta có x 8x x + P= − + : x +2 x−4 x −2 x = P − x +2 P= P= P= P= x ( ( ( ) )( x +2 −4 x − x ( x +2 − x ( x −2 )( x − − 8x x −2 ( ) 4( x +2 x +2 : x + 2+3 x −6 x −2 x + 8x ) ) x −2 x −4 ) x −1 ) ) ( ) x −1 − x x −1 − x = ⇔4 x −1 ( b) Ta có: P = −4 ⇔ Câu 3:= Cho biểu thức: A ) 16 4⇔ x= x −1 = − x ⇔3 x = ⇔x= x +1 x x + : với x > x+4 x +4 x+2 x x +2 Rút gọn biểu thức A Tìm x để A ≥ x Lời giải Với x > ta có = A = A = A x +1 x x : + x+4 x +4 x+2 x x +2 ( ( x +1 x +2 ) x +1 x +2 ) : x ( x x +2 ) + x x +2 x x + : x + x +2 A= A= x +1 ( x +2 ) ( x x +2 ) x +1 với x > x+2 x A ≥ x 1 (với x > ) ≥ x+2 x x ⇔ ⇔ x+2 x ≤3 x ⇔ x− x ≤0 ⇔ x Vậy < x < A ≥ y y −1 Câu 4: = Cho A y− y a) Rút gọn A ) x −1 ≤ x −1 ≤ ⇔ x < ⇔ x < x > ∀x > nên Mà ( x ( ) y y +1 y − y +1 (với y > 0; y ≠ ) : y −1 y + y − b) Tìm số ngun y để A có giá trị nguyên Lời giải a Rút gọn A ( ) y y −1 y y +1 y − y +1 = A − : y− y y −1 y + y = A ( )( y( )( ( )−( ) y −1 ( ) ) y + y +1 y − y +1 y −1 = A − : y y y +1 A= A = y + y +1− y + y −1 y 2 y y +1 = y y −1 ( ) A= y +1 y −1 = 1+ Để A∈ ⇔ + ( y +1 y −1 b Ta có y −1 ∈ y −1 ) y +1 y − y +1 : y y +1 y −1 y + y +1 y +1 ) y −1 ( ( ) y −1 )( y +1 ) y −1 Mà 1∈ ∈ ⇔ y −1 Do y − ∈ Ư ( ) ={ ± 1; ± } Ta có bảng sau y −1 −1 −2 y −1 (t/mãn ) y (k (t/mãn ) t/m) Vậy y ∈ { 4;9 } A nhận giá trị nguyên b +2 + − ( b ≥ 0; b ≠ 1) b −1 b −1 b +1 a) Rút gọn Q Câu 5: Cho Q= b) Tính giá trị biểu thức Q b= + Lời giải a) Q= Q= Q= Q= Q= b +2 + − ( b ≥ 0; b ≠ 1) b −1 b −1 b +1 ( ( ) b +1 )( b +1 + ) ( b −1 ( ) b −1 )( b +1 − ) ( b −1 b +2 )( b +1 ) b −1 b + 4+3 b −3−6 b − ( ( )( ) b +1 b −1 )( b +1 b −1 ) b −1 b +1 Vậy với b ≥ 0; b ≠ giá trị biểu thức Q = b +1 b) Thay b= + (TMĐK) vào biểu thức Q = ta được: b +1 = Q = + +1 = +1+1 = 5+2 5−2 Không xác định Vậy với b= + giá trị biểu thức = Q − x −1 : − với x > 0; x ≠ x −x x x +1 Câu 6: Cho A = a) Rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức A x= + Lời giải x −1 : − Điều kiện: x > 0; x ≠ x −x x x +1 a) A = A= x A= x A= ( ( x −1 )( x −1 ) x +1 x ) x +1 ( : x +1− x x ( ) x +1 ) x +1 1 x Vậy với x > 0; x ≠ giá trị biểu thức A = x b) Thay x= + (TMĐK) vào biểu thức A = ta được: x = A = 4+2 = +1 −1 Vậy với x > 0; x ≠ giá trị biểu thức A = a +3 a −3 1 −1 Câu 7: Cho A = − − với a > 0; a ≠ a + a a −3 a) Rút gọn A b) Tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên Lời giải a +3 a −3 1 a) A = − − Điều kiện: a > 0; a ≠ a + a a −3 = A A= ( ( a +3 a −3 )( ) a +3 − ) ( ( a −3 a +6 a +9−a +6 a −9 ( a −3 )( 12 a A= a ( a +3 a +3 ) )( ) a − a +3 a a −3 ) a −3 a ) a +3 A= Vậy với a > 0; a ≠ giá trị bieru thức A = b) Ta có: A = a +3 Điều kiện: a > 0; a ≠ a +3 4>0 > ⇒ A > (1) ⇒ a +3 a + > víi ∀a > 0; a ≠ a ≥ với ∀a > 0; a ≠ ⇒ a + ≥ với ∀a > 0; a ≠ ⇒ 4 ≤ với ∀a > 0; a ≠ a +3 ⇒ A≤ với ∀a > 0; a ≠ ( ) Từ (1) ( ) ⇒ < A ≤ ⇒ A =1 ⇒ Mà A∈ =1 ⇒ a + = ⇒ a =1 ⇒ a =1 (thỏa mãn) a +3 Vậy với a = biểu thức A nhận giá trị nguyên x x −1 2x − x − x+7 B = với x > 0; x ≠ + − x −9 x x +3 x −3 a) Rút gọn A Câu 8: Cho A = b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S= +B A Lời giải x x −1 2x − x − Điều kiện: x > 0; x ≠ + − x −9 x +3 x −3 a) A = x A= A= A= A= ) ( ( ( )( x + 3) − x + x + 3)( x − 3) x − + x −1 x − x + 2x + x − x − − 2x + x + ( x +3 x+3 x ( x +3 x ( ( x +3 )( x −3 x +3 )( ) x −3 )( ) ) ) Vậy với x > 0; x ≠ A = x x −3 + B Điều kiện: x > 0; x ≠ A b) S= = S 1: S= x −3 x x −3 A= = S x +3 x x+7 + x −3 x x −3 x +7 + x x x −3+ x + x S= x+ x +4 x S= x +1+ x Do x > 0; x ≠ 9; x ≠ ⇒ x > ⇒ Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: > x x+ ≥2 x ⇒ x +1+ x = x ≥5 x ⇒ S ≥5 Dấu " = " xảy ⇔ x= ⇔ x= (thỏa mãn) x Vậy S = ⇔ x = x− x x +1 x +1 , ( x > 0, x ≠ 1) − : x x −1 x + x Câu 9: Cho biểu thức= A a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A = x 12 + Lời giải a) Với x > 0, x ≠ , ta có ( ) x x −1 x +1 A = − x −1 x x +1 ( ) : x +1 x x +1 = A x− : x x A= x −1 x +1 : x x A= x −1 x x x +1 Vậy A = x − 1, ( x > 0, x ≠ 1) ( ) b) Ta có x = 12 + =2 + (TMĐK) thay vào A ta = A 2 + −= 2 + a +1 1 + , ( a > 0, a ≠ 1) : a −1 a − a +1 a− a a) Rút gọn biểu thức A Câu 10: Cho biểu thức= A b) Tìm giá trị a > cho A ≤ Lời giải a) Rút gọn biểu thức A = A 1+ a a A= ( a +1 )( a −1 ( a −1 a −1 1+ a a A= ( : ) a −1 ) ) , ( a > 0, a ≠ 1) a +1 a −1 a a −1 , ( a > 0, a ≠ 1) a Vậy = A b) Tìm a > cho A ≤ Để A ≤ ⇔ a −1 ≤ , ( a > 1) ⇔ a − ≤ a , ( a > 1) ⇔ a ≤ 2, ( a > 1) ⇔ a ≤ 4, ( a > 1) a Vậy < a ≤ ta có A ≤ a > 1 + : x −1 x− x Câu 11: Cho biểu thức = B ( x +1 ) x −1 a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức B b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức= P x − B Lời giải a) + Điều kiện xác định: x > 0, x ≠ 1 + B = + : x −1 x− x = B 1+ x x ( : )( x −1 ( x +1 ) x −1 x +1 ) x −1 , ( x > 0, x ≠ 1) 1+ x B= x ( ) x −1 ( ) x −1 x +1 x −1 x B= x −1 , ( x > 0, x ≠ 1) x Vậy = B b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức= P x − B Với x > 0, x ≠ ta có P = x − Vì x > 0; x −1 = x+ −1 x x 1 > nên áp dụng BĐT Cơ si ta có x + ≥ x = x x x Do P ≥ Dấu = xảy x= 1 (thoả mãn) ⇔ x= x Vậy GTNN P = ⇔ x = x +1 x−2 + , ( x > 0, x ≠ 1) x + x −1 x+2 x a) Rút gọn biểu thức P Câu 12: Cho biểu thức = P b) So sánh P + x với Lời giải a) x−2+ x = P x = P ( ( )( x −1 x Vậy = P x +2 ( ) x +1 , ( x > 0, x ≠ 1) x −1 x +2 x +2 ) ) x +1 , ( x > 0, x ≠ 1) x −1 x +1 , ( x > 0, x ≠ 1) x b) Với = P x +1 , ( x > 0, x ≠ 1) x x +1 + x= −3 x Xét P + x= −3 (x − ) ( x +1 = x ) x −1 x Vậy P + x > 3, ( x > 0, x ≠ 1) x+ x x −1 với x ≥ 0; x ≠ + : x + x + 1 x x + x + x + Câu 13: Cho P = a) Rút gọn P b) Tính giá trị biểu thức P x = 2+ Lời giải x −1 x+ x a) P = + x x + x + x + x + : x + = x ( ( ) x +1 + x +1 + x +1 x +1 x −1 x x +1 ) x x +1 = + x +1 x +1 x −1 = x +1 x +1 x +1 x −1 = x +1 x −1 P = b) x +1 = x −1 Thay x = ( ( ) x +1 x −1 2+ vào ( ) x +1 ta được: 2+ 2+ 2+ + 1= +2 +1 x + 1= 2 ) 2+ +2 4+2 +2 3 +6 = 2 Thay x = 2+ vào x − ta được: > 0, ∀x > 0, x ≠ x −1 = 2+ = −1 ( x +1 = x −1 Vậy P= x −1 2+ x 3+6 = 3 + 6= + 3 )= x +1 4x 2− x x −3 Câu 14: Cho A = − − : 2− x 2+ x x−4 x − x a) Rút gọn A b) Tìm x để A = Lời giải 2+ x 2− x 4x x −3 a) A = : − − 2− x 2+ x x−4 x − x ( ) ( ) ( 2 x 2− x x x + − 4x = − + x −3 2+ x 2− x + x − x 2− x 2+ x ( = = = )( ) ( ( − x )( + x ) ( ( x 2− x x + 4x x 2+ x )( ) ( − x )( + x ) )( ) x −3 ( x 2− x ) ( ) x −3 4x x −3 b) Để A = 1⇔ ⇔ 4x = x −3 4x =1 4 x − x + = x −3 ⇔ 4x = −1 x + x − = x −3 Ta có: x − x= +3 (2 x ) x = −1 4x + x − = ⇔ x = 2 47 − 2.2 x + + >0 16 ) ) Vậy x = −1; x = x −7 x +3 Câu 15: Cho A = với x ≥ 0; x ≠ + − : x − 2 x + x − x − x − 10 x a)Rút gọn A b) Tìm x để A số nguyên Lời giải x −7 x +3 a) A = + − x − 2 x + x − x − : x − 10 x = = = ( ) 2 x +1 ( )( ) (2 x − 2 x +1 ( ) ( 2 x +1 + ( + ( x −2 )( x +1 ) ( )( ) ) x −2 − ) (2 ) ( ( ) ( x +3 = ( = x x +1 ) )( )( x ) x − 2 x +1 b) A = ( x −2 )( x +1 x −2 − x −7 x x −2 x +3 x − 2 x +1 x + 2+3 x −6−5 x +7 x x −2 x +3 x − 2 x +1 ) ) x +3 x x +1 Để A số nguyên x 2 x +1 ⇔ 10 x x + ⇔ 10 x + − 5 x + ⇔ 5− : x +3 x −2 x x −2 x −7 ∈Z x +1 Vậy ∈ Z ⇔ 5 x + ⇔ x + ∈ U ( ) = {±1; ±5} x +1 ) ( ) x +1 -5 -1 x Loại Loại (loại) Vậy x = A số nguyên x + x +1 x −9 − − x −5 x +6 x − 3− x Câu 16: Cho= P a) Tìm đkxđ Rút gọn P b) Tìm x để P < Lời giải a) ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ = P = = x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x − 3− x ( ( x − 2)( x − 3) ( x −9 − )( x − )( x +3 ) + ( x + 1)( x − 3) ( x − 3)( x −3 ) x − 2) x −2 x − − x + + 2x − x − = ( ( = ( = ( x −2 x −3 ) x− x −2 )( x − )( x − )( x −2 ) x + 1) x − 3) x −3 x +1 x −3 b) Để P < ⇔ Mà )( x +1 < ⇔ x +1 < x − x −3 x ≥ ⇔ x +1 > x − Nên không tồn tai x để P < x + Câu 17: Cho P = x −1 x +2 x+ x −4 − + : với x > 0; x ≠ x x − x x +1 x −1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = Lời giải a) Rút gọn P Với x > 0; x ≠ có: x x +2 x+ x −4 P = + − + : x x − x x +1 x −1 x −1 x x +2 x+ x −4 = + − x −1 x x x −1 ( x x + = = ( x x+2 = x ( ) ( )( x − 1) − x − x ( x − 1) x +2 x+ x+ x −2− x− x +4 ( ) x −1 ) x −1 : : x −1+ )( x +1 x +4 : ( ) x −1 x +1 )( x +1 x −1 x −1 x+2 x b) Tìm x để P = = Với x > 0; x ≠ có: P = x+2 x Để P = ⇒ x+2 = x x ⇒ x+2= ⇔ x −3 x + = ⇔ ( x) ⇔ ( −2 x − x +2= x −2 )( ) x −1 = x −2= ⇔ x − =0 x = (thỏa mãn) ⇔ x = (loại) Vậy x = thỏa mãn đề Câu 1 a +1 với a > 0; a ≠ − : a a −a a −1 a) Rút gọn K Câu 18: = Cho K b) Tìm a để K = 2012 Lời giải ) x −1 a) Rút gọn K Với a > 0; a ≠ có: a − a + a2 − a a +1 a a −1 K = = a ( ) a ( ) a −1 ( )( a −1 ) a +1 a +1 2a a = =2 a b) Tìm a để K = 2012 Với a > 0; a ≠ có: K = a Để K = 2012 ⇒2 a = 2012 ⇔2 a= 22.503 ⇔2 a= 503 ⇔ a= 503 ⇔a= 503 (thỏa mãn điều kiện) Vậy a = 503 thỏa mãn đề Câu ( x + 4) Câu 19: Cho= B + x với x ≥ 0; x ≠ 16 − x +1 x −4 x −3 x −4 a) Rút gọn B b) Tìm x để B số nguyên Lời giải a) Rút gọn B Với x ≥ 0; x ≠ 16 có: = B = = = ( ( x + 4) )( x +1 x −4 x − x +1 x −4 ) ( ( x + 1)( x − 4) 2x + + x ( ) + x − −8 2x + + x − x − x − ( ( )( x +1 x −4 x − 12 x )( x +1 x −4 ) ) ) x +1 x = ( ( x −4 )( x +1 ) x −4 ) x x +1 b) Tìm x để B số nguyên = Với x ≥ 0; x ≠ 16 có: B = = ( ) x x +1 x +1 − x +1 = 3− x +1 Để B nhận giá trị nguyên x + 1∈ Ư(3) ⇒ x + ∈ {−1;1; −3;3} +) x + =−1 ⇒ x =−2 (vô lý) +) x + = ⇒ x = ⇔ x = (thỏa mãn) +) x + =−3 ⇒ x =−4 (vô lý) +) x + = ⇒ x = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy x ∈ {0; 4} thỏa mãn đề Câu 1− a a 1− a + a với a > 0; a ≠ Câu 20: Cho C = + a 1− a 1− a a) Rút gọn C P b) Tìm a để = a + C đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Rút gọn C Với a > 0; a ≠ có: ( ) )( 1− a 1+ a + a 1− a + a + C= 1− a 1+ a a 1− a = 1+ a + a + a + 1+ a a = a +1 + 1+ a a = a +1+ a ( ( ( )( ) ) P b) Tìm a để = a + C đạt giá trị nhỏ ) ... Tìm a để = P a + C đạt giá trị nhỏ DẠNG TỐN ƠN THI LỚP CHUN ĐỀ I RÚT GỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x +2 (với x ≥ 0, x ≠ ) − − x +3 x+ x −6 x −2 Câu 1: Cho biểu thức A